o_19q4rjn5k8m6mrm16i4g6f17b2a.pdf

Trigonometrie – probleme rezolvate
Virgil-Mihail Zaharia
1. Se consideră triunghiul ABC cu AB = 4, AC = 7 şi BC = 3 . Să se calculeze măsura
unghiului B.
2 2 2
R. Din teorema cosinusului: AC = AB + BC − 2AB ⋅ AC ⋅ cos B se obŃine:
cos B =
AB + BC − AC
2AB ⋅ BC
0
⇒ m( ∡ B ) = 30 .
2 2 2
⇒
16 + 3 − 7 12 3 3 3 3
cos B = = = = =
2 ⋅ 4 3 8 2 3 2 3 2 ⋅3 2
2. Să se calculeze aria triunghiului ABC ştiind că AC = 2, m( ∢ BAC) = 30° şi AB = 4 .
0
AC ⋅ AB ⋅sin
A
2 ⋅ 4 ⋅sin30
1
R. A ∆ ABC
= şi obŃinem A ∆ ABC
=
= 4 ⋅ = 2.
2
2 2
3. Să se calculeze aria triunghiului ABC, ştiind că AB = AC = 2 , m( ∢ A) = 30°.
0
AB ⋅ AC ⋅sin A 2 ⋅ 2 ⋅sin30
1
R. S = ⇒ S =
= 2 ⋅ = 1.
2
2 2
4. Să se calculeze raza cercului circumscris triunghiului ABC , ştiind că AB = 3 şi m( ∢ C) =
30°.
a b c
R. Teorema sinusurilor = = = 2R
, unde R este raza cercului circumscris
sin A sin B sinC
AB
3 1
triunghiului ABC. ObŃinem: 2R 2R 2R 3 R 3
0
sinC = ⇒ sin30 = ⇒ ⋅ 2
= ⇒ = .
5. Se consideră triunghiul ABC cu AB = 1, AC = 2 şi BC = 5 . Să se calculeze cos B.
R. Din teorema cosinusului se obŃine
2 2 2
AB + AC − BC 1+ 4 − 5
0
cos B = ⇒ cos B = = 0 ⇒ m( ∢ B)
= 90 .
AB ⋅ AC
1⋅
4
6. Să se calculeze sin 2 130 0 + cos 2 50 0 .
R. sin 2 130 0 = sin 2 (180 0 − 50 0 ) = sin 2 50 0 şi sin 2 50 0 + cos 2 50 0 = 1.
7. Se consideră triunghiul ABC, având aria egală cu 15. Să se calculeze sin A , ştiind că AB =
6 şi AC = 10.
AB ⋅ AC ⋅sin A 6 ⋅10 ⋅sin A
30 1
R. Din S∆ABC
= ⇒ = 15 ⇒ 60 ⋅ sin A = 30 ⇒ sin A = =
2 2 60 2
8. Fie triunghiul dreptunghic ABC şi D mijlocul ipotenuzei BC. Să se calculeze lungimea
laturii AB, ştiind că AC = 6 şi AD = 5.
R. AD este mediană într-un triunghi dreptunghic şi este jumătate
3

Trigonometrie – probleme bacalaureat rezolvate
Virgil-Mihail Zaharia
din ipotenuză ⇒ BC = 2AD ⇒ BC = 10.
Teorema lui Pitagora: BC 2 = AC 2 + AB 2 ⇒ AB 2 = BC 2 - AC 2 ⇒
AB = 8
9. Se consideră triunghiul ABC cu AB = 5, AC = 6 şi BC = 7. Să se calculeze cos A.
R. Din teorema cosinusului: BC 2 = AB 2 + AC 2 −2 AB@AC@ cosA obŃinem
2 2 2 2 2 2
AB AC BC
5 6 7 25 36 49 12 1
cos A = + − ⇒ cos A = + − = + − = = .
2 ⋅ AB ⋅ AC
2 ⋅5⋅ 6 2 ⋅5⋅ 6 12 ⋅5 5
10. Să se calculeze aria unui paralelogram ABCD, ştiind că AB = 3, AD = 3 şi
m( ∢ BAD)=120 0 .
R. Aria paralelogramului este 2@ S ∆ABD .
şi
9 3 9 3
S
ABCD
= 2 ⋅ = .
4 2
S
∆abd
3
AB ⋅ AD ⋅ ⋅ ⋅
9 ⋅
= ⇒ = = =
2 2 2 4
0
sin A 3 3 sin120 2 9 3
S∆
abd
11. Să se calculeze raza cercului circumscris triunghiului ABC ştiind că BC = 8 şi
m( ∢ A)=45 0 .
R. Din teorema sinusurilor:
BC
8 8
2R 2R R
0
sin A = ⇒ sin 45
= ⇒ = 2
= 8 8 2
4 2
2
= 2
= .
2 ⋅
2
12. Se consideră triunghiul ABC de arie egală cu 6, cu AB = 3 şi BC = 8. Să se calculeze
sinB.
AB ⋅ BC ⋅sin B 3⋅8⋅sin B 12 1
R. Din S∆
ABC
= ⇒ 6 = ⇒ sin B = ⇒ sin B = .
2 2 24 2
13. Să se calculeze cos x , ştiind că
R. Din formula fundamentală a trigonometriei avem:
2 2 2 16 9
3
cos x = 1− sin x ⇒ cos x = 1− = ⇒ cos x = .
25 25 5
sin
4
5
x = şi x este măsura unui unghi ascuŃit.
14. Să se calculeze perimetrul triunghiului ABC ştiind că AB = 2, BC = 4 şi m( ∢ B)=60 0 .
R. Din teorema cosinusului avem:
2 2 2 2 2 2 0
AC = AB + BC − 2AB ⋅ BC ⋅ cos B ⇒ AC = 2 + 4 − 2 ⋅ 2 ⋅ 4 ⋅ cos60 ⇒

Trigonometrie – probleme bacalaureat rezolvate
2 1
Virgil-Mihail Zaharia
AC = 4 + 16 −16 ⋅ = 20 − 8 = 12 ⇒ AC = 12 = 2 3 şi perimetrul este
2
P = AB + BC +AC ⇒ P =2 +4+2 3 = 6 + 2 3 .
15. Să se calculeze perimetrul triunghiului ABC, ştiind că AB = 5, AC = 4 şi m( ∢ A) = 60 0 .
2 2 2
R. Din teorema cosinusului în ∆ABC ⇒ BC = AB + AC − 2AB ⋅ AC ⋅ cos B
⇒ BC = 25 + 16 − 2 ⋅5⋅ 4 ⋅ cos60 = 41− 40 ⋅ = 21⇒ BC = 21 şi
2
P∆ ABC
= AB + AC + BC ⇒ P ∆
= 5 + 4 + 21 = 9 + 21 .
2 0 1
ABC
16. Triunghiul ABC are AB = 3, AC = 4 şi BC = 5. Să se calculeze lungimea înălŃimii duse
din vârful A.
R. Din AB = 3, AC = 4 şi BC = 5 ⇒ BC 2 = AB 2 + AC 2 şi triunghiul este dreptunghic.
Notăm AD înălŃimea dusă din vârful A. Atunci:
AB ⋅ AC BC ⋅ AD AB ⋅ AC 3⋅
4 12
S∆
ABC
= = ⇒ AB ⋅ AC = BC ⋅ AD ⇒ AD = ⇒ AD = = .
2 2 BC
5 5
17. Să se calculeze sin135°.
R. sin135° = sin(180 0 − 45 0 ) = sin45 0 =
2
2 .
18. Raza cercului circumscris triunghiului ABC este 3 , iar BC = 3 . Să se calculeze sin A .
2
BC 3 3
R. Din teorema sinusurilor avem: = 2R
⇒ = 2 ⋅ ⇒ sin A = 1.
sin A sin A 2
19. Să se calculeze cos 2 45 0 + sin 2 135 0 .
R. sin 2 135 0 = sin 2 (180 0 − 45 0 ) = sin 2 45 0 şi
cos 2 45 0 + sin 2 135 0 = cos 2 45 0 + sin 2 45 0 = 1 după formula trigonometrică fundamentală.
20. Să se determine numărul real x pentru care x, x+7 şi x +8 sunt lungimile laturilor unui
triunghi dreptunghic.
2 2 2
R. Triunghiul dreptunghic verifică teorema lui Pitagora: ( x + 8) = x + ( x + 7) ⇒
2
2 2
2
+ 16x
+ 64 = x + x + 14x
+ 49 ⇒ x − 2x
−15
= 0
x cu soluŃiile x 1 = 5 şi x 2 = – 3 . Fiind
lungimea unei laturi x = 5.
21. Să se calculeze aria triunghiului ABC, ştiind că AB = 6 , AC = 8 şi BC =10 .
R. Din 10 2 = 6 2 + 8 2 ⇒ BC 2 = AB 2 + AC 2 ⇒ ∆ABC dreptunghic ⇒
AB ⋅ AC 6 ⋅8
S∆
ABC
= ⇒ S∆
ABC
= = 24.
2 2

Trigonometrie – probleme bacalaureat rezolvate
Virgil-Mihail Zaharia
22. În triunghiul ABC măsura unghiului C este egală cu 60° , AB = 4 şi BC = 2. Să se
calculeze sin A .
3
BC AB 2 4
2 ⋅
3
R. Din teorema sinusurilor avem: = ⇒ = ⇒ sin A = 2 = .
0
sin A sinC sin A sin 60 4 4
23. Să se calculeze sin120°.
R. sin120° = sin(180 0 −60 0 ) = sin60 0 =
3
2 .
24. Să se calculeze aria triunghiului ABC, ştiind că AB = 3 , AC = 3 şi măsura unghiului A
este egală cu 120° .
R.
S
∆ABC
3
AB ⋅ AC ⋅sin A
3 ⋅3⋅
2 9
= ⇒ S∆
ABC
= = .
2 2 4
25. Să se calculeze sin170 0 − sin10 0 .
R. sin170 0 − sin10 0 = sin(180 0 − 10 0 ) − sin10 0 = sin10 0 − sin10 0 = 0.
26. Să se calculeze cos30° + cos60° + cos120° + cos150° .
R. cos30° + cos60° + cos120° + cos150°= cos30° + cos60° + cos(180 0 −120°) +
+cos(180 0 −150°)= cos30° + cos60° − cos60 0 − cos30 0 = 0.
27. Să se calculeze aria triunghiului MNP dacă MN=6, NP=4 şi m(ËMNP)=30°.
1
MN ⋅ NP ⋅sin N
6 ⋅ 4 ⋅
R. S 2
∆ MNP
= = = 6 .
2 2
28. Se calculeze sin 60 0 − cos30 0 .
R. sin 60 0 − cos30 0 = sin 60 0 − sin(90 0 −30 0 ) = sin 60 0 − sin 60 0 = 0.
29. Să se calculeze (cos150 0 +cos30 0 )(sin120 0 −sin 60 0 ).
R. Din cos150 0 = cos(180 0 −150 0 )= −cos30 0 şi sin120 0 =sin(180 0 −120 0 )=sin60 0 ⇒
(cos150 0 +cos30 0 )(sin120 0 −sin 60 0 )=(−cos30 0 +cos30 0 )(sin60 0 −sin60 0 )=0.
30. Să se calculeze sin30 0 −cos45 0 +sin 60 0 .
0 0 0 1 2 3 1− 2 + 3
R. sin30 − cos45 + sin 60 = − + = .
2 2 2 2