Calcul diferential si integral (notite de curs)

Calcul diferenţial şi integral(notiţe de curs)Şt. BalintE. Kaslik, L. Tǎnasie, A. Tomoioagă, I. Rodilǎ, N. Bonchiş, S. MarişCuprins0 La ce poate fi util un curs de calcul diferenţial şi integralpentru un student de anul întâi care doreşte sǎ fie licenţiat îninformaticǎ? 9I Introducere 91 Noţiunile: mulţime, element al unei mulţimi, apartenenţa la o mulţime:sunt noţiuni fundamentale în matematicǎ. 92 Simboluri folosite în teoria mulţimilor. 93 Operaţii cu mulţimi. 104 Relaţii binare. 125 Funcţii. 146 Funcţia compusǎ. Inversa unei funcţii. 167 Simboluri logice. 178 Afirmaţia contrarǎ, teorema contrarǎ şi teorema reciprocǎ. 189 Condiţie necesarǎ şi condiţie suficientǎ. 191

II Calcul diferenţial şi integral pentru funcţii reale de ovariabilǎ realǎ 2010 Elemente de topologie în R 1 . 2011 Şiruri de numere reale. 2112 Convergenţa şirurilor de numere reale. 2213 Reguli privind convergenţa şirurilor de numere reale. 2314 Punct limitǎ al unui şir de numere reale. 2715 Serii de numere reale. 2816 Reguli privind convergenţa seriilor de numere reale. 3117 Serii absolut convergente. 3618 Limita într-un punct a unei funcţii. 3819 Reguli privind limita funcţiei într-un punct. 4020 Limite laterale. 4221 Limite infinite. 4422 Punctele limitǎ ale unei funcţii într-un punct. 4623 Continuitatea unei funcţii într-un punct. 4724 Reguli privind continuitatea unei funcţii într-un punct. 4825 Proprietǎţi ale funcţiilor continue. 4926 Şiruri de funcţii. Mulţimea de convergenţǎ. 5327 Convergenţa uniformǎ a unui şir de funcţii şi continuitatea. 5428 Şiruri de funcţii reale egal continue şi egal mǎrginite. 552

29 Serii de funcţii. Convergenţǎ şi convergenţa uniformǎ. 5630 Criterii de convergenţǎ pentru serii de funcţii. 5831 Serii de puteri. 5932 Operaţii cu serii de puteri. 6133 Derivabilitatea funcţiilor. 6234 Reguli de derivabilitate. 6435 Extreme locale. 6936 Proprietǎţi fundamentale ale funcţiilor derivabile. 7037 Derivabilitatea (diferenţiabilitatea) de ordinsuperior. 7338 Polinoame Taylor. 7439 Teorema de clasificare a punctelor de extrem. 7940 Integrala Riemann-Darboux. 8041 Proprietǎţi ale integralei Riemann-Darboux. 8242 Clase de funcţii integrabile Riemann-Darboux. 8743 Teoreme de medie. 9044 Teorema fundamentalǎ de calcul integral. 9145 Tehnici de determinare a primitivelor. 9345.1 Integrarea prin pǎrţi . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 9445.2 Schimbarea de variabilǎ . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 9546 Integrale improprii. 973

47 Serii Fourier. 9948 Diferite forme ale seriei Fourier. 104III Calcul diferenţial şi integral pentru funcţii de n variabilereale 10949 Elemente de topologie în R n . 10950 Limita într-un punct a unei funcţii de n variabile. 11351 Continuitatea funcţiilor de n variabile. 11452 Proprietǎţi remarcabile ale funcţiilor continue de n variabile. 11653 Diferenţiabilitatea funcţiilor de n variabile. 11754 Proprietǎţi fundamentale ale funcţiilor diferenţiabile. 12355 Diferenţialǎ de ordin superior. 12756 Teoremele lui Taylor. 12957 Teoreme de clasificare a extremelor locale. 13058 Extreme condiţionate. 13159 Integrala Riemann-Darboux dublǎ pe un interval bidimensional. 13260 Calculul integralei Riemann-Darboux duble pe uninterval bidimensional. 13561 Integrala Riemann-Darboux dublǎ pe o mulţimemǎsurabilǎ Jordan. 13862 Calculul integralei Riemann-Darboux duble pe omulţime mǎsurabilǎ Jordan. 14463 Integrala Riemann-Darboux pe o mulţimen-dimensionalǎ mǎsurabilǎ Jordan. 1474

64 Calculul integralei Riemann-Darboux pe o mulţime n-dimensionalǎmǎsurabilǎ Jordan. 15365 Curbe simple şi curbe simple închise. 15466 Integrala curbilinie de speţa întâi. 16167 Integrala curbilinie de speţa a doua. 16368 Transformarea integralelor duble în integrale curbilinii. 16469 Suprafeţe simple. 16870 Integrale de suprafaţǎ de speţa întâi. 17371 Integrale de suprafaţǎ de speţa a doua. 17472 Proprietǎţi ale integralelor de suprafaţǎ. 17573 Derivarea integralelor cu parametru. 1775

La ce poate fi util un curs de calcul diferenţial şiintegral pentru un student de anul întâi care doreştesǎ fie licenţiat în informaticǎ?Aceastǎ întrebare ne-a fost pusǎ de mai multe ori chiar la primele lecţii de cǎtre studenţiicare au participat la curs.Este dificil sǎ dǎm un rǎspuns complet şi convingǎtor la întrebare la început pentru cǎtrebuie sǎ vorbim despre utilitatea unor concepte şi instrumente matematice pe care ceicare întreabǎ nu le cunosc încǎ în rezolvarea unor probleme cu care nu s-au întâlnit.Chiar dacǎ aşa stau lucrurile întrebarea nu trebuie şi nu poate fi ocolitǎ. Este necesarsǎ formulǎm un rǎspuns parţial care aratǎ utilitatea acestei discipline în rezolvarea uneiprobleme reale şi o face interesantǎ pentru viitorii informaticieni. Dorim sǎ subliniemaici cǎ pentru studenţii care au optat pentru licenţǎ în matematicǎ disciplina de calculdiferenţial şi integral reprezintǎ o parte consistentǎ a edificiului matematicii pe care eitrebuie sǎ-l studieze şi problema utilitǎţii nu se pune de obicei în termenii unei utilitǎţiîn afara matematicii.Revenim acum la încercarea de formulare a unui rǎspuns parţial promis studenţilorinformaticieni. Dorim sǎ spunem de la început cǎ în acest curs vor fi prezentate concepteşi instrumente clasice de calcul diferenţial şi integral folosite în analiza funcţiilor reale sauvectoriale de una sau mai multe variabile reale. Pentru a ilustra utilitatea unor concepteşi instrumente prezentate în curs vom considera problema realǎ de elaborare a unui mersal trenurilor şi vom sublinia acea fazǎ în care anumite concepte şi instrumente de calculdiferenţial sunt utile.Elaborarea unui mers al trenurilor pentru o reţea de cǎi ferate datǎ este o problemǎrealǎ şi complexǎ. Ea se bazeazǎ pe: cunoaşterea restricţiilor de vitezǎ pe reţea; pecunoaşterea staţiilor; pe cunoaşterea materialului rulant care urmeazǎ sǎ circule pe reţea;pe opţiuni privind oprirea sau nu şi staţionarea unor trenuri în anumite staţii şi pe uncalcul prealabil din care rezultǎ cǎ dacǎ nu intervin lucruri neprevǎzute atunci conformmersului, trenurile nu se ciocnesc. Anumite concepte şi instrumente de calcul diferenţialşi integral se dovedesc utile tocmai în acest calcul. Vom ilustra un fragment dintr-unasemenea calcul. Pentru a se asigura cǎ trenurile nu se ciocnesc este necesar sǎ cunoaştemla fiecare moment poziţia trenurilor care circulǎ pe aceeaşi linie şi sǎ ne asigurǎm cǎ nuexistǎ un moment la care poziţiile a douǎ trenuri coincide. Sǎ alegem de exemplu liniaTimişoara Bucureşti pe care o reprezentǎm cu o curbǎ ÃB ca în figura urmǎtoare:iar un tren care circulǎ pe aceastǎ linie în intervalul de timp [t 0 , t 0 +T ] va fi reprezentat cuun punct P . Dacǎ în intervalul de timp considerat sunt mai multe trenuri care circulǎ pe6

aceastǎ linie va trebui sǎ descriem mişcarea fiecǎruia. Pentru a descrie matematic mişcareaunui tren reprezentat cu P , putem asocia fiecǎrui moment de timp t ∈ [t 0 , t 0 +T ] lungimeaarcului de curbǎ ÃP , unde P este punctul de pe curba ÃB unde se aflǎ trenul la momentult. Se obţine astfel o funcţie f definitǎ pentru t ∈ [t 0 , t 0 + T ] şi care are valori în mulţimea[0, l]: f : [t 0 , t 0 + T ] → [0, l]; l este distanţa pe calea feratǎ de la A la B.Subliniem aici cǎ obiectul apǎrut aici în mod natural pentru a descrie mişcarea unui tren,este o funcţie realǎ de o variabilǎ realǎ care este un obiect matematic şi este un subiectde studiu al cursului.Trenul despre care vorbim, trebuie sǎ soseascǎ la anumite ore în staţiile în care are opririşi are restricţii de vitezǎ pe parcurs, de aceea funcţia f poate fi destul de complicatǎ.Cu toate acestea sunt câteva caracteristici ale mişcǎrii reale care trebuie sǎ se regǎseascǎîn proprietǎţile funcţiei f. Astfel, de exemplu, mişcarea realǎ este continuǎ; prin aceastaînţelegem cǎ trenul P ajunge dintr-o poziţie P 1 într-o poziţie P 2 treptat, trecând prin toatepoziţiile intermediare şi nu printr-un salt. Aceasta înseamnǎ cǎ funcţia f care descriemişcarea chiar dacǎ este complicatǎ trebuie sǎ aibǎ urmǎtoarea proprietate: oricare ar fit 2 ∈ [t − 0, t 0 + T ] dacǎ t 1 tinde la t 2 atunci f(t 1 ) tinde la f(t 2 ).O funcţie cu o asemenea proprietate, se numeşte în curs, funcţie continuǎ pe segmentul[t 0 , t 0 + T ] şi este studiatǎ punându-se în evidenţǎ diferite proprietǎţi ale acesteia. Prinurmare funcţiile continue studiate în cadrul cursului sunt utile, de exemplu, pentru adescrie mişcarea unui tren pe o linie feratǎ.Dacǎ trenul pleacǎ în momentul t 0 din staţia A şi se îndepǎrteazǎ continuu de A fǎrǎ sǎse opreascǎ pânǎ la momentul t 1 în prima staţie S 1 atunci funcţia f care descrie mişcareaare urmǎtoarea proprietate: oricare ar fi t ′ , t ′′ ∈ [t 0 , t 1 ], t ′ < t ′′ rezultǎ f(t ′ ) < f(t ′′ ).În curs o funcţie cu aceastǎ proprietate este numitǎ monoton crescǎtoare. Tot în curssunt prezentate şi funcţiile monoton descrescǎtoare şi proprietǎţi ale funcţiilor monotone.În cazul mişcǎrii considerate, acest concept este util pentru cǎ exprimǎ apropiere sauîndepǎrtare.Datoritǎ restricţiilor de vitezǎ şi a opririlor în staţii viteza trenului depinde de locul încare se aflǎ. Mai exact depinde de momentul t: aceasta întrucât trenul în intervalul detimp [t 0 , t 0 + T ] poate sǎ treacǎ de mai multe ori prin acelaşi loc. Pentru a afla vitezatrenului la momentul t 1 se considerǎ viteza medie f(t) − f(t 1)pe un interval de timpt − t 1mic [t, t 1 ] şi limita acesteia pentru t tinzând la t 1 reprezintǎ viteza trenului la momentult 1 . În curs aceastǎ limitǎ se numeşte derivata funcţiei f în t 1 şi se noteazǎ f ′ (t 1 ). Dacǎtrenul se aflǎ într-o staţie în intervalul de timp [t 1 , t 2 ] atunci viteza lui este zero f ′ (t) = 0pentru t ∈ [t 1 , t 2 ]. Dacǎ f ′ (t) > 0, atunci trenul se îndepǎrteazǎ de A, iar dacǎ f ′ (t) < 0atunci trenul se apropie de A. Dacǎ trenul merge cu o vitezǎ constantǎ în intervalul[t 1 , t 2 ], atunci f ′ (t) = const pe intervalul [t 1 , t 2 ]. Aceste consideraţii aratǎ cât de util esteconceptul de derivatǎ studiat în curs în descrierea mişcǎrilor mecanice.În final subliniem cǎ dintr-un profil de vitezǎ v(t) (care rezultǎ din restricţii de vitezǎ,fixarea apriori a momentelor de sosire şi plecare din staţii) funcţia f(t) care descriemişcarea se recupereazǎ folosind formula integralǎ:f(t) = f(t 0 ) +∫ tt 0v(τ)dτ.prezentatǎ în curs.Nǎdǎjduim sǎ credem cǎ aceastǎ argumentaţie extrem de simplǎ şi parţialǎ reuseşte7

sǎ convingǎ studenţii informaticieni cǎ vor face cunosţiinţa la acest curs cu obiecte şirezultate matematice utile ce le vor fi de folos în viitoarea carierǎ de informatician.Cursul scris este prezentat într-o formǎ destul de standard foarte asemǎnǎtor cu un cursprezentat pentru cei care se pregǎtesc sǎ fie licenţiaţi în matematicǎ.Cursul vorbit însǎ este plin cu comentarii şi exemple menite sǎ ilustreze pe parcursutilitatea şi aplicabilitatea conceptelor şi a rezultatelor la rezolvarea unor probleme reale.Autorii8

Partea IIntroducere1 Noţiunile: mulţime, element al unei mulţimi,apartenenţa la o mulţime: sunt noţiuni fundamentaleîn matematicǎ.Într-un curs de matematicǎ riguros, noţiunile care se folosesc trebuiesc definite.O definiţie descrie o noţiune (A) folosind o altǎ noţiune (B) presupusǎ cunoscutǎ sau înorice caz mai simplǎ decât (A). Noţiunea (B) la rândul ei trebuie şi ea sǎ fie definitǎ şi îndefiniţia ei se va folosi o altǎ noţiune (C) mai simplǎ ca (B), şi aşa mai departe.Astfel, în construcţia unei teorii matematice, în care noţiunile sunt definite, se degajǎ unset restrâns de noţiuni simple la care celelalte pot fi reduse şi care la rândul lor nu suntdefinite. Noţiunile din acest set vor fi numite noţiuni fundamentale. Noţiunile fundamentaleîn matematicǎ trebuie sǎ fie aşa de evidente ca sǎ nu necesite definiţii. Semnificaţianoţiunilor fundamentale se descrie prin exemple.Noţiunile: mulţime, element al unei mulţimi, apartenenţa unui element la o mulţime,sunt noţiuni fundamentale în matematicǎ. Nu existǎ definiţii precise a acestor noţiuni,dar semnificaţia lor se poate clarifica prin exemple.Sǎ considerǎm noţiunea de mulţime. Putem vorbi fǎrǎ nici o ambiguitate despre:mulţimea studenţilor dintr-o salǎ de curs, mulţimea zilelor dintr-un an, mulţimeapunctelor dintr-un plan, etc. În cazurile enumerate; fiecare student din sala de curs,fiecare zi a anului, fiecare punct al planului este un element al mulţimii respective.Atunci când se considerǎ o mulţime concretǎ ceea ce este esenţial este ca sǎ existe uncriteriu în baza cǎruia se poate decide pentru orice element dacǎ aparţine sau nu aparţinela mulţime. Astfel, în cazul mulţimii zilelor unui an; ”20 mai”, ”3 iulie”, ”29 decembrie”sunt elemente ale mulţimii, iar ”miercuri”, ”vineri”, ”ziua liberǎ”, ”ziua lucrǎtoare” nusunt elemente ale mulţimii. În cazul mulţimii punctelor dintr-un plan doar punctele dinplanul considerat sunt elemente ale mulţimii. Dacǎ un punct nu este în planul consideratsau dacǎ elementul nu este un punct, atunci punctul sau elementul nu este element almulţimii.Pentru a defini o mulţime concretǎ este necesar sǎ se descrie clar elementele care aparţinacestei mulţimi. Orice descriere defectuoasǎ poate duce la contradicţie logicǎ.2 Simboluri folosite în teoria mulţimilor.Dacǎ x este un element al mulţimii A, atunci aceasta se noteazǎ astfel x ∈ A. Dacǎ x nueste element al mulţimii A, atunci aceasta se noteazǎ cu x /∈ A. Simbolul ∈ se numeştesimbolul apartenenţei.Definiţia 2.1. Douǎ mulţimi A şi B care sunt formate exact din aceleaşi elemente se zicegale.9

Altfel spus în familia mulţimilor egalitatea A = B înseamnǎ cǎ aceeaşi mulţime se noteazǎcu litere diferite, sau altfel, A şi B sunt nume diferite pentru aceeaşi mulţime. NotaţiaA = {x, y, z, ...} înseamnǎ cǎ mulţimea A este formatǎ din elementele x, y, z, .... Dacǎîntr-o asemenea notaţie anumite simboluri se repetǎ acestea desemneazǎ acelaşi element.De exemplu: {1, 1, 1, 2, 2, 3, 4, 5} = {1, 2, 3, 4, 5}.O mulţime A formatǎ din toate elementele x ale unei mulţimi B care au o anumitǎproprietate, se noteazǎ astfel: A = {x ∈ B| ...}, unde proprietatea este specificatǎ dupǎlinia verticalǎ. De exemplu, fie a şi b douǎ numere reale astfel { încât∣a < b. Mulţimea } de∣∣∣puncte ale intervalului închis [a, b] este mulţimea [a, b] = x ∈ R 1 a ≤ x ≤ b , undeR 1 este mulţimea tuturor numerelor reale.Definiţia 2.2. Dacǎ orice element dintr-o mulţime A este element al unei mulţimi B,atunci zicem cǎ A este o submulţime a mulţimii B şi notǎm A ⊂ B sau B ⊃ A.Relaţia A ⊂ B se citeşte astfel ”mulţimea A este inclusǎ în mulţimea B”, iar relaţiaB ⊃ A se citeşte astfel ”mulţimea B include mulţimea A”. Se vede uşor cǎ A = B dacǎşi numai dacǎ A ⊂ B şi B ⊂ A.3 Operaţii cu mulţimi.Definiţia 3.1. Oricare ar fi mulţimile A şi B reuniunea A∪B este mulţimea de elementecare aparţin la A sau la B sau la ambele mulţimi.Definiţia 3.2. Oricare ar fi mulţimile A şi B intersecţia A∩B este mulţimea de elementecare aparţin la A şi la B.Definiţia 3.3. Oricare ar fi mulţimile A şi B diferenţa A − B este mulţimea de elementedin A care nu aparţin la B.Dacǎ mulţimea B este o submulţime a mulţimii A atunci mulţimea A − B se numeştecomplementara lui B în A şi se noteazǎ C A B.Comentariu:1. Este posibil ca douǎ mulţimi A şi B sǎ nu aibǎ nici un element în comun. Într-unasemenea caz intersecţia A ∩ B nu are nici un element. Cu toate acestea convenimca şi în asemenea cazuri sǎ considerǎm cǎ intersecţia A ∩ B este o mulţime; care nuconţine nici un element. Aceastǎ mulţime se numeşte mulţimea vidǎ (sau mulţimeanulǎ) şi se noteazǎ cu simbolul ∅.2. Noţiunile de reuniune a douǎ mulţimi şi de intersecţie a douǎ mulţimi pot fi extinsela trei, patru, cinci sau mai multe mulţimi. Astfel:Dacǎ A 1 , A 2 , ..., A n sunt n mulţimi atunci:- reuniunea A 1 ∪ A 2 ∪ ... ∪ A n este mulţimea elementelor care aparţin la cel puţinuna din mulţimile A 1 , A 2 , ..., A n .- intersecţia A 1 ∩ A 2 ∩ ... ∩ A n este mulţimea elementelor care aparţin la toatemulţimile A 1 , A 2 , ..., A n .10

3. Oricare ar fi mulţimea A sunt adevǎrate urmǎtoarele incluziuni: A ⊂ A şi ∅ ⊂ A.Altfel spus mulţimea A şi mulţimea vidǎ ∅ sunt submulţimi ale mulţimii A. Acestedouǎ submulţimi ale lui A se numesc submulţimi improprii ale mulţimii A. Osubmulţime B a mulţimii A diferitǎ de A şi ∅ se numeşte submulţime proprie amulţimii A.4. Uneori reuniunea mulţimilor poartǎ denumirea de suma mulţimilor şi intersecţiamulţimilor poartǎ denumirea de produs al mulţimilor.5. Operaţiile de reuniune şi intersecţie sunt definite de obicei pe mulţimea tuturorsubmulţimilor (pǎrţilor) unei mulţimi S, care se noteazǎ cu P(S).Operaţiile de reuniune şi intersecţie au urmǎtoarele proprietǎţi:- asociativitate:- comutativitate:(A ∪ B) ∪ C = A ∪ (B ∪ C) oricare ar fi A, B, C ∈ P(S)(A ∩ B) ∩ C = A ∩ (B ∩ C) oricare ar fi A, B, C ∈ P(S)A ∪ B = B ∪ AA ∩ B = B ∩ A- intersecţia este distributivǎ faţǎ de reuniune:oricare ar fi A, B ∈ P(S)oricare ar fi A, B ∈ P(S)A ∩ (B ∪ C) = (A ∩ B) ∪ (A ∩ C)oricare ar fi A, B, C ∈ P(S)- reuniunea este distributivǎ faţǎ de intersecţie:A ∪ (B ∩ C) = (A ∪ B) ∩ (A ∪ C)oricare ar fi A, B, C ∈ P(S)- pentru orice A ∈ P(S) existǎ un singur B ∈ P(S) astfel încât sǎ avem A ∪ B = S şiA ∩ B = ∅. Mulţimea B este mulţimea C S A.- pentru orice A ∈ P(S) avem A ∪ S = S şi A ∩ ∅ = ∅.- pentru orice A, B ∈ P(S) avem:C S (A ∪ B) = C S A ∩ C S BC S (A ∩ B) = C S A ∪ C S BAceste egalitǎţi se numesc legile lui De Morgan.Definiţia 3.4. Oricare ar fi mulţimile A şi B produsul cartezian A × B este mulţimea deperechi ordonate (a, b) cu a ∈ A şi b ∈ B.A × B = {(a, b)| a ∈ A, b ∈ B} .Produsul cartezian este distributiv faţǎ de reuniune şi intersecţie:A × (B ∪ C) = (A × B) ∪ (A × C)A × (B ∩ C) = (A × B) ∩ (A × C)oricare ar fi A, B, Coricare ar fi A, B, C11

4 Relaţii binare.Definiţia 4.1. O relaţie binarǎ în (sau pe) mulţimea A este o submulţime R a produsuluicartezian A × A : R ⊂ A × A.Prin tradiţie apartenenţa (x, y) ∈ R se noteazǎ cu xRy.Mulţimea R = {(x, y) ∈ R 1 × R 1 | x 2 + y 2 ≤ 1} este o relaţie binarǎ în mulţimea R 1 anumerelor reale.Definiţia 4.2. O relaţie binarǎ R în mulţimea A este reflexivǎ dacǎ pentru orice x ∈ Aavem xRx.Mulţimea R = {(x, y) ∈ R 1 × R 1 | x − y ≤ 0} este o relaţie binarǎ reflexivǎ în mulţimeaR 1 a numerelor reale.Definiţia 4.3. O relaţie binarǎ R în mulţimea A este simetricǎ dacǎxRy ⇒ yRxpentru orice x, y ∈ AMulţimea R = {(x, y) ∈ R 1 × R 1 | x 2 + y 2 ≤ 1} este o relaţie binarǎ simetricǎ în mulţimeaR 1 a numerelor reale.Definiţia 4.4. O relaţie binarǎ R în mulţimea A este antisimetricǎ dacǎxRy şi yRx ⇒ x = ypentru orice x, y ∈ AMulţimea R = {(x, y) ∈ R 1 × R 1 | x − y ≤ 0} este o relaţie binarǎ antisimetricǎ înmulţimea R 1 a numerelor reale.Definiţia 4.5. O relaţie binarǎ R în mulţimea A este tranzitivǎ dacǎ:xRy şi yRz ⇒ xRz pentru orice x, y, z ∈ A.Mulţimea R = {(x, y) ∈ R 1 × R 1 | x − y ≤ 0} este o relaţie binarǎ tranzitivǎ în mulţimeaR 1 a numerelor reale.Definiţia 4.6. O relaţie binarǎ R în mulţimea A este totalǎ dacǎ pentru orice x, y ∈ Aeste adevǎratǎ cel puţin una dintre urmǎtoarele douǎ afirmaţii: xRy, yRx.Mulţimea R = {(x, y) ∈ R 1 × R 1 | x − y ≤ 0} este o relaţie binarǎ totalǎ în mulţimea R 1a numerelor reale.Definiţia 4.7. O relaţie binarǎ R în mulţimea A este parţialǎ dacǎ existǎ x, y ∈ A astfelîncât nici una din urmǎtoarele douǎ aserţiuni nu este adevǎratǎ: xRy, yRx.Mulţimea R = {(x, y) ∈ R 1 × R 1 | x 2 + y 2 ≤ 1} este o relaţie binarǎ parţialǎ în mulţimeaR 1 a numerelor reale.12

Definiţia 4.8. O relaţie binarǎ R în mulţimea A este o relaţie de ordine parţialǎ dacǎare urmǎtoarele proprietǎţi: R este relaţie parţialǎ; R este reflexivǎ; R este antisimetricǎ;R este tranzitivǎ.Relaţia de incluziune a mulţimilor este o relaţie de ordine parţialǎ în mulţimea pǎrţilorunei mulţimi.Definiţia 4.9. O relaţie binarǎ R în mulţimea A este relaţie de ordine totalǎ dacǎ areurmǎtoarele proprietǎţi: R este relaţie totalǎ; R este reflexivǎ; R este antisimetricǎ; Reste tranzitivǎ.Mulţimea R = {(x, y) ∈ R 1 × R 1 | x − y ≤ 0} este o relaţie binarǎ de ordine totalǎ înmulţimea R 1 a numerelor reale.Definiţia 4.10. O mulţime A împreunǎ cu o relaţie de ordine parţialǎ în A se numeştesistem parţial ordonat şi se noteazǎ cu (A, R).Mulţimea pǎrţilor unei mulţimi X împreunǎ cu relaţia de incluziune este un sistem parţialordonat.Definiţia 4.11. O mulţime A împreunǎ cu o relaţie de ordine totalǎ R în A se numeştesistem total ordonat şi se noteazǎ tot cu (A, R).Mulţimea numerelor reale împreunǎ cu relaţia R = {(x, y) ∈ R 1 × R 1 | x − y ≤ 0} esteun sistem total ordonat.Definiţia 4.12. Fie (A, R) un sistem parţial ordonat şi A ′ o submulţime a lui A : A ′ ⊂ A.Un element a ∈ A este majorant pentru mulţimea A ′ dacǎ a verificǎ a ′ Ra oricare ar fia ′ ∈ A ′ . Un majorant a ∗ pentru A ′ este margine superioarǎ pentru A ′ dacǎ a ∗ verificǎa ∗ Ra pentru orice majorant a al lui A ′ . Marginea superioarǎ a lui A ′ dacǎ existǎ senoteazǎ cu sup A ′ .Definiţia 4.13. Fie (A, R) un sistem parţial ordonat şi A ′ o submulţime a lui A : A ′ ⊂ A.Un element a ∈ A este minorant pentru mulţimea A ′ dacǎ a verificǎ aRa ′ pentru oricea ′ ∈ A ′ . Un minorant a ∗ pentru A ′ este margine inferioarǎ pentru A ′ dacǎ a ∗ verificǎ aRa ∗pentru orice minorant a al lui A ′ . Marginea inferioarǎ a lui A ′ dacǎ existǎ se noteazǎ cuinf A ′ .Definiţia 4.14. Fie (A, R) un sistem parţial ordonat. Un element a ∈ A este maximaldacǎ pentru orice a ′ ∈ A cu proprietatea aRa ′ rezultǎ a ′ Ra.Remarca 4.1. Familia P (X) a pǎrţilor unei mulţimi X cu relaţia de incluziune R = ” ⊂” este un exemplu bun pentru ilustrarea acestor concepte. Sistemul parţial ordonat este(P (X); ⊂). Un majorant al unei mulţimi B ⊂ P (X) este orice submulţime a mulţimii Xcare conţine mulţimea ⋃ B, iar mulţimea ⋃ B este marginea superioarǎ a mulţimii B.B∈BB∈BAnalog, mulţimea ⋂ B este marginea inferioarǎ a mulţimii B. Singurul element maximalB∈Bîn mulţimea P (X) este mulţimea X.13

Definiţia 4.15. O relaţie R în mulţimea A este relaţie de echivalenţǎ dacǎ are urmǎtoareleproprietǎţi: R este reflexivǎ, R este simetricǎ şi R este tranzitivǎ. Un exemplu de relaţiede echivalenţǎ este egalitatea în mulţimea pǎrţilor P (X) ale unei mulţimi X.Mulţimea R = {(x, y) ∈ Z × Z | x − y divizibil cu 5} este o relaţie de echivalenţǎ înmulţimea Z a numerelor întregi.Definiţia 4.16. O relaţie R între elementele unei mulţimi A şi elementele unei mulţimiB este o submulţime a produsului cartezian A × B; R ⊂ A × B.Prin tradiţie dacǎ (x, y) ∈ R se noteazǎ cu xRy.Definiţia 4.17. O funcţie f definitǎ pe o mulţime A şi cu valori în mulţimea B este orelaţie R între elementele mulţimii A şi elementele lui B (R ⊂ A×B) care are urmǎtoareleproprietǎţi:a) pentru orice x ∈ A , existǎ y ∈ B astfel încât xRy.b) dacǎ pentru x ∈ A şi y 1 , y 2 ∈ B avem xRy 1 şi xRy 2 , atunci y 1 = y 2 .Prin tradiţie, o funcţie f definitǎ pe mulţimea A şi cu valori în mulţimea B se noteazǎ cuf : A → B.5 Funcţii.Noţiunea de funcţie joacǎ un rol important în matematicǎ. Nu este o noţiune fundamentalǎpentru cǎ aşa cum am vǎzut poate fi definitǎ folosind noţiunea de mulţime (o relaţiebinarǎ cu anumite proprietǎţi). Cu toate acestea pentru cei care abia încep sǎ studiezeanaliza matematicǎ este mai uşor sǎ considere noţiunea de funcţie drept noţiune fundamentalǎclarificând semnificaţia ei prin exemple şi descriind-o de o manierǎ satisfǎcǎtoare(pentru sensul comun).Descrierea 5.1. Dacǎ la fiecare element x al unei mulţimi A (x ∈ A) am pus încorespondenţǎ (am asociat) un element y dintr-o mulţime B (y ∈ B) pe baza unei reguli,atunci zicem cǎ am definit o funcţie (corespondenţǎ, aplicaţie) f pe mulţimea A cu valoriîn mulţimea B şi o notǎm cu f : A → B. Astfel o funcţie este determinatǎ de mulţimileA şi B, precum şi de regula de corespondenţǎ (legea) care asociazǎ unui element x ∈ Aun element y ∈ B.De ce Descrierea 5.1. a funcţiei nu este o definiţie? Ce-i lipseşte?Descrierea 5.1. foloseşte noţiunile de corespondenţǎ şi regulǎ care nu au fost definiteîn prealabil şi de aceea Descrierea 5.1. nu este o definiţie. Desigur intuitiv este clarce este o regulǎ şi ce este o corespondenţǎ. În cazuri simple, aceste noţiuni nu conduc laconfuzii şi sunt suficient de clare pentru a conferii noţiunii de funcţie calitate de noţiunefundamentalǎ. Altfel spus şi noţiunea de funcţie poate fi consideratǎ noţiune fundamentalǎ.Trebuie însǎ sǎ reţinem cǎ acest lucru nu este necesar pentru cǎ funcţia poate fidefinitǎ cu ajutorul noţiunii de mulţime.Este de asemenea important de reţinut cǎ în cazul în care funcţia f : A → B este gânditǎca noţiune fundamentalǎ descrisǎ de 5.1., atunci regula prin care unui element x ∈ A se14

asociazǎ un element y ∈ B este aplicabilǎ fiecǎrui element x din mulţimea A. Elementulx ∈ A se numeşte argumentul funcţiei, iar elementul y ∈ B ce corespunde lui x se numeştevaloarea funcţiei şi se noteazǎ y = f(x). Într-o asemenea notaţie şi viziune funcţia f apareca o regulǎ care transformǎ fiecare element x ∈ A într-un element y = f(x) ∈ B. Deaceea funcţia se numeşte adesea şi transformare.Mulţimea A se numeşte domeniul de definiţie al funcţiei f şi mulţimea elementelor y ∈ Bpentru care existǎ x ∈ A astfel ca y = f(x), se numeşte domeniul de valori al funcţiei f.Acesta se noteazǎ de obicei cu f(A) :{}f(A) = y ∈ B∣ existǎ x ∈ A astfel încât f(x) = yşi se numeşte adesea imaginea mulţimii A prin funcţia f.Adesea va trebui sǎ considerǎm funcţii care asociazǎ la fiecare numǎr real x dintr-osubmulţime A a mulţimii numerelor reale; x ∈ A ⊂ R; un numǎr real = f(x) ∈ R 1 .Acest gen de funcţii se numesc funcţii reale de o variabilǎ realǎ şi în cazul unora regulade corespondenţǎ este datǎ de o expresie algebricǎ explicitǎ. De exemplu:y = x 2 + 2x; y =1 − x √ x + 2; y = 5 √1 + 7√ xMembrii drepţi ai acestor egalitǎţi reprezintǎ regula dupǎ care x se transformǎ în y. Regulaîn primul caz este: fiecare x se ridicǎ la pǎtrat şi apoi se adaugǎ dublul lui x.Regulile în cel de-al doilea şi cel de-al treilea caz pot fi formulate în mod asemǎnator.Regula poate fi formulatǎ şi cu ajutorul funcţiilor elementare exp, log a , sin, cos, tg, ctg, arctg, etcîn combinaţie cu operaţii algebrice. De exemplu:y = log 2√1 + sin x; y =1√ tgx − 2x .Membrii drepţi ai acestor egalitǎţi aratǎ regula dupǎ care x se transformǎ în y.O altǎ metodǎ, utilizatǎ frecvent, pentru a defini o regulǎ este urmǎtoarea: se considerǎdouǎ funcţii f 1 şi f 2 definite printr-o expresie ca cele prezentate mai sus şi un numǎr a,dupǎ care se scrie:{f1 (x) pentru x < af(x) =f 2 (x) pentru x ≥ aEgalitatea aceasta se interpreteazǎ ca o regulǎ care la un numǎr x mai mic decât a facesǎ corespundǎ un numǎr y dupǎ regula f 1 şi la un numǎr x mai mare sau egal cu a facesǎ corespundǎ un numǎr y dupǎ regula f 2 .15

6 Funcţia compusǎ. Inversa unei funcţii.Definiţia 6.1. Fie f : X → Y şi g : Y → Z douǎ funcţii. Pentru orice x ∈ X elementulg(f(x)) aparţine mulţimii Z. Corespondenţa:x ↦−→ g(f(x))defineşte o funcţie pe mulţimea X cu valori în mulţimea Z, care se noteazǎ cu g ◦f : X →Z şi se numeşte compusa funcţiilor g şi f.Comentariu: Regula dupǎ care elementului x ∈ X i se asociazǎ elementul g(f(x)) seformuleazǎ în cuvinte astfel: prima oarǎ se aplicǎ f elementului x şi se obţine elementulf(x) ∈ Y , dupǎ aceea se aplicǎ funcţia g elementului f(x) şi se obţine elementul g(f(x))din mulţimea Z. De exemplu:f(x) = sin x ; g(y) = y 2 ⇒ (g ◦ f)(x) = g(f(x)) = sin 2 xf(x) = x 2 ; g(y) = tg y ⇒ (g ◦ f)(x) = g(f(x)) = tg x 2f(x) = x 2 ; g(y) = cos y ⇒ (g ◦ f)(x) = g(f(x)) = cos x 2Definiţia 6.2. Funcţia f : X → Y este injectivǎ dacǎ pentru orice x 1 , x 2 ∈ X, x 1 ≠ x 2rezultǎ f(x 1 ) ≠ f(x 2 ).Definiţia 6.3. Funcţia f : X → Y este surjectivǎ dacǎ pentru orice y ∈ Y existǎ x ∈ Xastfel încât f(x) = y.Definiţia 6.4. Funcţia f : X → Y este bijectivǎ dacǎ este injectivǎ şi surjectivǎ.Comentariu:1. O funcţie injectivǎ f : X → Y are urmǎtoarea proprietate: dacǎ f(x 1 ) = f(x 2 )atunci x 1 = x 2 .Funcţiile numerice: y = 5x; y = e x ; y = arctg x sunt injective.2. O funcţie surjectivǎ f : X → Y se numeşte funcţie cu valori pe Y . Dacǎ funcţiadefinitǎ pe X este cu valori pe Y atunci pentru orice y ∈ Y ecuaţia f(x) = y are celpuţin o soluţie în X. Funcţia numericǎ y = sin x este o funcţie definitǎ pe mulţimeaR 1 a numerelor reale şi cu valori pe segmentul închis [−1, 1] şi nu este o funcţiesurjectivǎ pe mulţimea R 1 a tuturor numerelor reale. (Ecuaţia sin x = 2 nu aresoluţie).3. O funcţie bijectivǎ f : X → Y este o corespondenţǎ unu la unu. Aceasta înseamnǎcǎ: orice x ∈ X are un corespondent y ∈ Y, y = f(x) şi la diferiţi x corespund ydiferiţi; pentru orice y ∈ Y existǎ x ∈ X astfel ca y = f(x) şi pentru diferiţi x,elementele y sunt diferite.Definiţia 6.5. Fie f : X → Y o funcţie bijectivǎ. Pentru orice y ∈ Y existǎ un x ∈ X,unic! astfel ca f(x) = y. Corespondenţa y ↦−→ ”acel x pentru care f(x) = y” defineşte ofuncţie pe mulţimea Y cu valori pe mulţimea X, care se numeşte inversa funcţiei f şi senoteazǎ cu f −1 ; f −1 : Y → X.16

Comentariu:1. Regula de corespondenţǎ din definiţia 6.5 implicǎ urmǎtoarea proprietate a funcţieiinverse:f(f −1 (y)) = y pentru orice y ∈ Yf −1 (f(x)) = x pentru orice x ∈ X2. Funcţiile f şi f −1 sunt mutual inverse; adicǎ:(f −1 ) −1 = f3. Pentru a gǎsi inversa unei funcţii numerice y = f(x) (dacǎ f este bijectivǎ) trebuiesǎ exprimǎm x în funcţie de y. Astfel de exemplu: dacǎ y = 3x + 2 funcţia inversǎeste x = y − 23 ; dacǎ y = x3 funcţia inversǎ este: x = 3√ y.7 Simboluri logice.În matematicǎ se folosesc frecvent urmǎtoarele expresii: ”pentru orice element” şi”existǎ”. Aceste expresii sunt notate cu simboluri speciale.Expresia: ”pentru orice element” se noteazǎ cu simbolul ∀ care se obţine prin inversarealiterei A; prima literǎ din cuvântul ”Any”.Expresia ”existǎ” se noteazǎ cu simbolul ∃ care este imaginea în oglindǎ a literei E; primaliterǎ din cuvântul ”Exist”.Se foloseşte de asemenea simbolul ⇒ cu semnificaţia ”rezultǎ”. Dacǎ A şi B sunt douǎafirmaţii atunci A ⇒ B înseamnǎ cǎ din A rezultǎ B.Dacǎ A ⇒ B şi B ⇒ A atunci afirmaţiile A şi B sunt echivalente şi aceasta se noteazǎcu A ⇔ B. A ⇔ B înseamnǎ cǎ afirmaţia A este adevǎratǎ dacǎ şi numai dacǎ B esteadevǎratǎ.Folosind aceste notaţii injectivitatea unei funcţii f : X → Y poate fi scrisǎ sub forma:∀ x 1 , x 2 ∈ X, x 1 ≠ x 2 ⇒ f(x 1 ) ≠ f(x 2 )iar surjectivitatea aceleaşi funcţii sub forma:∀ y ∈ Y ∃ x ∈ X | f(x) = y.Linia verticalǎ inaintea egalitǎţii f(x) = y se citeşte ”astfel încât”.Notaţia A ⇐⇒ defB se foloseşte când vrem sǎ definim o noţiune A folosind o afirmaţie B.Ea se citeşte: ”prin definiţie A este B”. Astfel de exemplu notaţia:X ⊂ Ydef⇐⇒ {(∀x)(x ∈ X) ⇒ (x ∈ Y )}defineşte X ca submulţime a mulţimii Y . Partea dreaptǎ a notaţiei se citeşte astfel: ”oriceelement x din X este element al mulţimii Y ”.17

8 Afirmaţia contrarǎ, teorema contrarǎ şi teoremareciprocǎ.Definiţia 8.1. Oricare ar fi afirmaţia A, notǎm cu Ā afirmaţia: ”afirmaţia A este falsǎ”.Afirmaţia Ā se numeşte afirmaţia contrarǎ.Exemplu 8.1. Dacǎ A este afirmaţia: ”7 este un numǎr impar” atunci Ā este afirmaţia:”7 nu este un numǎr impar”. Dacǎ A este afirmaţia: ”mâine va ploua” atunci afirmaţiaĀ va fi: ”mâine nu va ploua”. Dacǎ A este afirmaţia: ”toate rachetele vor atinge ţinta”,atunci Ā este afirmaţia: ”cel puţin o rachetǎ nu va atinge ţinta”.Definiţia 8.2. Pentru teorema ”dacǎ A atunci B” afirmaţia ”dacǎ Ā atunci ¯B” senumeşte teoremǎ contrarǎ. Teorema contrarǎ a teoremei contrare este teorema iniţialǎ.Exemplu 8.2. A=”suma mǎrimilor a douǎ unghiuri opuse într-un patrulater este egalǎcu 180 o ”, B=”patrulaterul este inscriptibil”, Ā=”suma mǎrimilor a douǎ unghiuri opuseîntr-un patrulater nu este egalǎ cu 180 o ”, ¯B=”patrulaterul nu este inscriptibil”Teorema ”dacǎ A atunci B” se formuleazǎ astfel: ”dacǎ suma mǎrimilor a douǎ unghiuriopuse într-un patrulater este egal cu 180 o atunci patrulaterul este inscriptibil”. Teoremacontrarǎ: ”dacǎ Ā atunci ¯B” se formuleazǎ astfel: ”dacǎ suma mǎrimilor a douǎ unghiuriopuse într-un patrulater nu este egalǎ cu 180 o atunci patrulaterul nu este inscriptibil”În acest exemplu ambele teoreme: cea directǎ şi cea contrarǎ sunt adevǎrate.Definiţia 8.3. Pentru orice afirmaţie în matematicǎ (teoremele inclusiv) care au formaA ⇒ B se poate construi o nouǎ afirmaţie permutând A şi B. Astfel se obţine afirmaţiaB ⇒ A care se numeşte afirmaţie reciprocǎ sau teoremǎ reciprocǎ. Mai exact teoremaB ⇒ A este reciproca teoremei A ⇒ B. Reciproca teoremei reciproce este teorema iniţialǎ.De aceea teoremele A ⇒ B şi B ⇒ A se zic mutual reciproce.Dacǎ teorema directǎ A ⇒ B este adevǎratǎ, reciproca ei B ⇒ A poate fi adevǎratǎ saufalsǎ.Exemplu 8.3. Teorema directǎ (teorema lui Pitagora) este: ”dacǎ triunghiul estedreptunghic atunci pǎtratul laturii celei mai mari a triunghiului este egal cu sumapǎtratelor celorlalte douǎ laturi”. Teorema reciprocǎ este: ”dacǎ pǎtratul laturii celei maimari a triunghiului este egal cu suma pǎtratelor celorlalte douǎ laturi atunci triunghiuleste dreptunghic”.În acest exemplu atât teorema directǎ cât şi cea reciprocǎ sunt adevǎrate.Exemplu 8.4. Teorema directǎ: ”dacǎ douǎ unghiuri sunt drepte atunci cele douǎunghiuri sunt egale”. Teorema reciprocǎ: ”dacǎ douǎ unghiuri sunt egale atunci celedouǎ unghiuri sunt drepte”.În acest exemplu teorema directǎ este adevǎratǎ, iar teorema reciprocǎ este falsǎ.Teorema reciprocǎ este echivalentǎ cu teorema contrarǎ. Aceasta înseamnǎ cǎ teoremareciprocǎ este adevǎratǎ dacǎ şi numai dacǎ teorema contrarǎ este adevǎratǎ.18

9 Condiţie necesarǎ şi condiţie suficientǎ.Definiţia 9.1. Dacǎ teorema A ⇒ B este adevǎratǎ atunci: condiţia A este suficientǎpentru B şi condiţia B este necesarǎ pentru A.Dacǎ teorema reciprocǎ B ⇒ A este adevǎratǎ atunci: condiţia B este suficientǎ pentruA şi condiţia A este necesarǎ pentru B.Definiţia 9.2. Dacǎ teorema directǎ A ⇒ B şi teorema reciprocǎ B ⇒ A sunt adevǎrateatunci : condiţia A este necesarǎ şi suficientǎ pentru B şi condiţia B este necesarǎ şisuficientǎ pentru A. Cu alte cuvinte condiţiile A şi B sunt echivalente. A este adevǎratǎdacǎ şi numai dacǎ B este adevǎratǎ.Exemplu 9.1. Teorema lui Bézout este: ”Dacǎ α este o rǎdǎcinǎ a polinomului P (x)atunci polinomul P (x) este divizibil cu x − α”.Reciproca teoremei lui Bézout este: ”Dacǎ polinomul P (x) este divizibil cu x − α atunciα este o rǎdǎcinǎ a polinomului P (x).”Ştim cǎ atât teorema lui Bézout cât şi reciproca ei sunt adevǎrate. Rezultǎ de aici cǎ ocondiţie necesarǎ şi suficientǎ pentru ca ”numǎrul α sǎ fie rǎdǎcinǎ a polinomului P (x)”este ca ”polinomul P (x) sǎ fie divizibil cu x − α”. Prin urmare, este adevǎratǎ teorema:”polinomul P (x) este divizibil cu x − α dacǎ şi numai dacǎ α este rǎdǎcinǎ a polinomuluiP (x)”.19

Partea IICalcul diferenţial şi integral pentrufuncţii reale de o variabilǎ realǎ10 Elemente de topologie în R 1 .Definiţia 10.1. O vecinǎtate a punctului x ∈ R 1 este o mulţime V ⊂ R 1 care conţine uninterval deschis (a, b) ⊂ R 1 ce conţine pe x: adicǎ x ∈ (a, b) ⊂ V .Orice interval deschis care conţine pe x este vecinǎtate pentru x. Un interval deschis estevecinǎtate pentru orice x ce aparţine intervalului.Definiţia 10.2. Un punct x ∈ R 1 este punct interior al mulţimii A ⊂ R 1 dacǎ existǎ uninterval deschis (a, b) astfel încât x ∈ (a, b) ⊂ A.Un punct x al intervalului (a, b) este un punct interior al mulţimii (a, b).Definiţia 10.3. Interiorul unei mulţimi A ⊂ R 1 este mulţimea punctelor interioare alelui A.Tradiţional interiorul mulţimii A se noteazǎ cu Int(A) sau cu Å. Dacǎ A = (a, b), atunciÅ = (a, b) = A.Definiţia 10.4. Mulţimea A ⊂ R 1 este deschisǎ dacǎ A = Å.Orice interval deschis este o mulţime deschisǎ. Mulţimea A ⊂ R 1 este deschisǎ, dacǎ şinumai dacǎ fiecare punct al ei este în mulţime cu o întregǎ vecinǎtate.Reuniunea unei familii de mulţimi deschise este o mulţime deschisǎ.Intersecţia unui numǎr finit de mulţimi deschise este mulţime deschisǎ.Mulţimea numerelor reale R 1 şi mulţimea vidǎ ∅ sunt mulţimi deschise.Definiţia 10.5. Mulţimea A ⊂ R 1deschisǎ.este închisǎ dacǎ complementara ei C R 1A esteOrice interval închis [a, b] este o mulţime închisǎ.Intersecţia unei familii de mulţimi închise este închisǎ.Reuniunea unui numǎr finit de mulţimi închise este o mulţime închisǎ.Mulţimea numerelor reale R 1 şi mulţimea vidǎ ∅ sunt mulţimi închise.Definiţia 10.6. Punctul x ∈ R 1 este punct limitǎ sau punct de acumulare al mulţimiiA ⊂ R 1 , dacǎ orice vecinǎtate V a lui x conţine cel puţin un punct y din A care estediferit de x; y ≠ x şi y ∈ V ⋂ A.Definiţia 10.7. Închiderea Ā a mulţimii A ⊂ R1 esteînchise care conţin mulţimea A.intersecţia tuturor mulţimilor20

Închiderea unei mulţimi A are urmǎtoarele proprietǎţi:Ā ⊃ A; Ā = Ā; A ∪ B = Ā ∪ ¯B;Ā = A dacǎ şi numai dacǎ A este mulţime închisǎ.x ∈ Ā dacǎ şi numai dacǎ orice vecinǎtate V a lui x intersecteazǎ mulţimea A (V ∩A ≠ ∅).Definiţia 10.8. Mulţimea A ⊂ R 1 este mǎrginitǎ dacǎ existǎ m, M ∈ R 1 astfel încâtm ≤ x ≤ M pentru orice x ∈ A.Definiţia 10.9. Mulţimea A ⊂ R 1 este compactǎ dacǎ este mǎrginitǎ şi închisǎ.Orice interval închis [a, b] este mulţime compactǎ.11 Şiruri de numere reale.Definiţia 11.1. O funcţie definitǎ pe mulţimea numerelor naturale N = {1, 2, 3, ..., n, ...}şi cu valori în mulţimea R 1 a numerelor reale se numeşte şir de numere reale.Comentariu: Valoarea funcţiei, care defineşte şirul de numere reale, în 1 se noteazǎ cua 1 , valoarea în 2 se noteazǎ cu a 2 , ... , valoarea în n cu a n , ... .Tradiţional a 1 se numeşte primul termen al şirului, a 2 cel de-al doilea termen al şirului,... ,a n cel de-al n-lea termen al şirului sau termenul general.Şirul a 1 , a 2 , ..., a n , ... se noteazǎ tradiţional cu (a n ). Pentru a defini un şir trebuie sǎdefinim toţi termenii şirului. Altfel spus trebuie datǎ o regulǎ care permite determinareafiecǎrui termen al şirului.Exemplu 11.1.a n = q n−1 , q ≠ 0; a 1 = 1; a 2 = q; a 3 = q 2 ; ... a n = q n−1 ; ...a n = 1 n ; a 1 = 1; a 2 = 1 2 ; a 3 = 1 3 ; ... a n = 1 n ; ...a n = n 2 ; a 1 = 1; a 2 = 4; a 3 = 9; ... a n = n 2 ; ...a n = (−1) n ; a 1 = −1; a 2 = 1; a 3 = −1; ... a n = (−1) n ; ...a n = 1 + (−1)n2; a 1 = 0; a 2 = 1; a 3 = 0; ... a n = 1 + (−1)n ; ...2Se poate întâmpla ca atunci când n creşte şi a n creşte.Definiţia 11.2. Şirul (a n ) este crescǎtor dacǎ pentru orice n ∈ N are loc inegalitateaa n ≤ a n+1 .Definiţia 11.3. Un şir (a n ) este descrescǎtor dacǎ pentru orice n ∈ N are loc inegalitateaa n+1 ≤ a n .Definiţia 11.4. Un şir (a n ) este monoton dacǎ este crescǎtor sau este descrescǎtor.Exemplu 11.2. Dacǎ q > 1 atunci şirul a n = q n este crescǎtor, iar dacǎ q ∈ (0, 1) atuncişirul a n = q n este descrescǎtor. Dacǎ q ∈ (0, ∞) şi q ≠ 1 atunci şirul a n = q n estemonoton21

Definiţia 11.5. Un şir (a n ) este mǎrginit dacǎ existǎ un numǎr M > 0 astfel încât pentruorice n ∈ N are loc inegalitatea |a n | ≤ M.Dacǎ q ∈ (0, 1) atunci şirul a n = q n este mǎrginit (|a n | < 1). Şirul a n = (−1) n estemǎrginit (|a n | ≤ 1).Definiţia 11.6. Un şir (a n ) este nemǎrginit dacǎ nu este mǎrginit. Altfel spus, pentruorice M > 0 existǎ n M ∈ N astfel încât |a nM | > M.Dacǎ q > 1 atunci şirul a n = q n este nemǎrginit.Definiţia 11.7. Un subşir al şirului (a n ) este un şir de forma (a nk ) unde (n k ) = n 1 , n 2 , ...este un şir strict crescǎtor de numere naturale.Comentariu:Orice subşir al unui şir crescǎtor este şir crescǎtor.Orice subşir al unui şir descrescǎtor este şir descrescǎtor.Orice subşir al unui şir mǎrginit este şir mǎrginit.12 Convergenţa şirurilor de numere reale.Se poate întâmpla ca dacǎ n creşte termenii a n ai şirului (a n ) sǎ se apropie de un numǎrL. În acest caz ajungem la o noţiune matematicǎ importantǎ, acea de convergenţǎ a unuişir la un numǎr.Definiţia 12.1. Şirul de numere reale (a n ) converge la numǎrul real L dacǎ pentru oriceε > 0 existǎ un numǎr N = N(ε) astfel ca toţi termenii de rang n > N(ε) ai şirului sǎverifice inegalitatea:|a n − L| < εFaptul cǎ şirul (a n ) converge la numǎrul L se noteazǎ pe scurt cu lim a n = L şi se exprimǎn→∞prin cuvintele: ”pentru n tinzând la infinit limita lui (a n ) este egalǎ cu L” sau a n −−−→n→∞ Lşi se exprimǎ prin cuvintele ”pentru n tinzând la infinit a n tinde la L”.În cazul a n −−−→n→∞ L se mai spune (a n ) converge la L.Comentariu: Dacǎ şirul (a n ) converge la L, atunci orice subşir (a nk ) al şirului (a n )converge la L. Aceasta întrucât pentru orice ε > 0 existǎ N = N(ε) astfel încât pentrun > N(ε) sǎ avem |a n −L| < ε. De aici rezultǎ cǎ pentru orice n k > N avem |a nk −L| < ε.Nu orice şir este convergent. De exemplu, şirul a n = (−1) n nu converge. Aceasta întrucâtsubşirul a 2k = (−1) 2k = 1 converge la 1 şi subşirul a 2k+1 = (−1) 2k+1 = −1 converge la -1.Limita unui şir convergent este unicǎ.Afirmaţia contrarǎ ar însemna cǎ şirul (a n ) converge la L 1 şi L 2 cu L 1 ≠ L 2 . Rezultǎde aici cǎ existǎ N 1 şi N 2 astfel încât |a n − L 1 | < |L 1 − L 2 |pentru orice n > N 1222

şi |a n − L 2 | < |L 1 − L 2 |pentru orice n > N 2 . De aici rezultǎ cǎ pentru orice2n > max{N 1 , N 2 } avem: |L 1 − L 2 | ≤ |L 1 − a n | + |L 2 − a n | < |L 1 − L 2 | ceea ce esteabsurd.Dacǎ un şir (a n ) converge la L, atunci este mǎrginit. Aceasta întrucât existǎ N(1)astfel cǎ pentru orice n > N(1) sǎ avem: |a n −L| < 1 şi astfel |a n | = |a n −L|+|L| < 1+|L|pentru orice n > N(1). Rezultǎ în continuare cǎ pentru orice n are loc inegalitatea:|a n | ≤ max{|a 1 |, . . . , |a N(1) |, 1 + |L|}1Exemplu 12.1. Vom arǎta cǎ lim √n = 0. Considerǎm ε > 0 şi condiţia:n→∞1∣√ − 0n ∣ < εRezultǎ de aici inegalitatea √ 1 < ε sau 1 n n < ε2 echivalent cu n > 1 ε .[ ] [ ]21 1 1Punem N(ε) = + 1, unde este partea întreagǎ a numǎrului . Este evidentε 2 ε 2 ε2 cǎ dacǎ n > N(ε) atunci n > 1 ∣ ∣∣∣ε şi inegalitatea 1√n − 02 ∣ < ε este satisfǎcutǎ.În acest exemplu am demonstrat convergenţa la zero folosind definiţia convergenţei.În urmǎtoarea secţiune vom stabili reguli care permit verificarea convergenţei şi calcularealimitei de o manierǎ mult mai simplǎ.În anumite cazuri se spune cǎ şirul (a n ) converge (tinde) la infinit. Sensul acestei noţiunieste precizat în urmǎtoarele definiţii:Definiţia 12.2. Şirul (a n ) tinde la +∞ dacǎ pentru orice M > 0 existǎ N(M) astfelîncât a n > M oricare ar fi n > N(M).Şirul a n = n 2 tinde la +∞ în sensul acestei definiţii.Definiţia 12.3. Şirul (a n ) tinde la −∞ dacǎ pentru orice M > 0 existǎ N(M) astfelîncât a n < −M pentru n > N(M).Şirul a n = −n 2 tinde la −∞ în sensul acestei definiţii.13 Reguli privind convergenţa şirurilor de numerereale.Fie (a n ) şi (b n ) douǎ şiruri de numere reale convergente la numerele reale a şi respectiv b.Regula sumei: Şirul (a n + b n ) converge la numǎrul real a + b.23

Demonstraţie. Fie ε > 0 şi ε ′ = 1 2 ε. Deoarece a n −−−→ n→∞ a şi b n −−−→n→∞ b existǎ N 1 = N 1 (ε ′ )astfel încât |a n −a| < ε ′ , ∀n > N 1 şi existǎ N 2 = N 2 (ε ′ ) astfel încât |b n −b| < ε ′ , ∀n > N 2 .Fie N 3 = max{N 1 , N 2 }. Pentru orice n > N 3 avem:|a n − b n − a − b| ≤ |a n − a| + |b n − b| < ε ′ + ε ′ = 2ε ′ = εAceasta demonstreazǎ cǎ a n + b n −−−→n→∞ a + b.Regula produsului: Şirul (a n · b n ) converge la numǎrul real a · b.Demonstraţie. Deoarece b n −−−→n→∞ b existǎ M > 0 astfel ca |b n | ≤ M pentru orice n ∈ N.Rezultǎ:|a n · b n − a · b| = |a n · b n − a · b n + a · b n − a · b| = |b n · (a n − a) + a · (b n − b)| ≤≤ |b n | · |a n − a| + |a| · |b n − b| ≤ M · |a n − a| + |a| · |b n − b|, ∀n ∈ NFie ε > 0 şi fie ε 1 =ε2M , ε ε2 =2(|a| + 1) .Deoarece a n −−−→n→∞ a, b n −−−→n→∞ b existǎ N 1 şi N 2 astfel încât: |a n − a| < ε 1 , ∀n > N 1 şi|b n − b| < ε 2 , ∀n > N 2 .Fie N 3 = max{N 1 , N 2 }. Pentru orice n > N 3 avem: |a n · b n − a · b| < ε. Altfel spus:a n · b n −−−→n→∞ a · b.Regula câtului: Dacǎ b n ≠ 0, ∀n ∈ N şi b ≠ 0 atunci şirul a nb nab .converge la numǎrul realDemonstraţie. Prima oarǎ arǎtǎm cǎ 1 1−−−→b n n→∞ b . Pentru aceasta evaluǎm diferenţa:1∣ − 1 b n b ∣ şi gǎsim: ∣ ∣∣∣ 1− 1 b n b ∣ = |b n − b||b n | · |b|Întrucât b n −−−→n→∞ b existǎ N 1 astfel încât sǎ avem: |b n − b| < 1 |b| pentru orice{ } 22n > N 1 . Considerǎm numǎrul M = max|b| , 1|b 1 | , . . . , 1şi remarcǎm cǎ are loc∣ |b N1 |inegalitatea1 ∣∣∣∣ < M pentru orice n.b nFie acum ε > 0 şi ε ′ = ε · |b|M . Pentru ε′ > 0 existǎ N 2 = N 2 (ε ′ ) astfel încât |b n − b| < ε ′pentru orice n > N 2 . De aici rezultǎ cǎ1∣ − 1 b n b ∣ < ε pentru orice n > N 3 = max{N 1 , N 2 }.Cu alte cuvinte 1 1−−−→b n n→∞ b . În virtutea regulii produsului rezultǎ: a n a−−−→b n n→∞ b .24

Regula de înmulţire cu un numǎr: Şirul (k · a n ) converge la numǎrul real k · a pentruorice numǎr real k.Regula de înmulţire cu un numǎr este un caz special al regulii produsului.Aplicaţie 13.1 Determinaţi limita:limn→∞n 2 + 2n + 34n 2 + 5n + 6 =?Soluţie: Regula câtului nu poate fi aplicatǎ direct pentru cǎ nici numǎrǎtorul nicin 2 + 2n + 3numitorul fracţieinu converge la o limitǎ finitǎ.4n 2 + 5n + 6Cu toate acestea dacǎ se dǎ factor comun n 2 şi la numǎrǎtor şi la numitor şi fracţia sesimplificǎ cu n 2 se obţine:a n =1 + 2 n + 3 n 24 + 5 n + 6 n 2Se aratǎ uşor cǎ 1 n −−−→ 0 şi cǎ şirul constant (k) converge la k. Aplicând acum regulan→∞sumei, a produsului şi a înmulţirii cu un numǎr rezultǎ urmǎtoarele convergenţe:1 + 2 n + 3 n 2 −−−→n→∞ 1 4 + 5 n + 6 n 2 −−−→n→∞ 4Aplicând în continuare regula câtului obţinem urmǎtoarea convergenţǎ:Regula ”cleştelui”:inegalitǎţile:a n = n2 + 2n + 3 1 + 24n 2 + 5n + 6 = n + 3 n 24 + 5 n + 6 −−−→n→∞n 2Fie (a n ), (b n ), (c n ) trei şiruri de numere reale care verificǎa n ≤ b n ≤ c n ,∀n ∈ NDacǎ şirurile (a n ) şi (c n ) sunt convergente la aceeaşi limitǎ L atunci şirul (b n ) convergela L.14Demonstraţie. Deoarece a n ≤ b n ≤ c n , ∀n ∈ N avem: a n − L ≤ b n − L ≤ c n − L,deci:|b n − L| ≤ max{|a n − L|, |c n − L|}, ∀n.Pentru ε > 0 existǎ N 1 = N 1 (ε) şi N 2 = N 2 (ε) astfel încât sǎ avem:∀n şiRezultǎ cǎ avem:Cu alte cuvinte b n −−−→n→∞ L.|a n − L| < ε, ∀n > N 1 (ε) şi |c n − L| < ε, ∀n > N 2 (ε)|b n − L| < ε, ∀n > N 3 = N 3 (ε) = max{N 1 (ε), N 2 (ε)}.25

Aplicaţia 13.2. Arǎtaţi cǎ (−1) n 1 ·n −−−→ 2Soluţie: Fie a n = − 1 n ; b 2 n = (−1) n ·n→∞ 0.1n 2 ; c n = 1 n 2 .Întrucât a n −−−→n→∞ 0; c n −−−→n→∞ 0 şi a n ≤ b n ≤ c n rezultǎ (aplicând regula cleştelui) b n −−−→n→∞ 0.Regula de convergenţǎ a şirurilor monotone: Dacǎ (a n ) este un şir monoton şimǎrginit atunci este convergent la un numǎr real.Demonstraţie. Vom demonstra afirmaţia pentru un şir crescǎtor şi mǎrginit. Demonstraţiaeste similarǎ pentru un şir descrescǎtor şi mǎrginit.Fie (a n ) un şir crescǎtor şi mǎrginit şi fie M 0 = sup{a n |n ∈ N}. Pentru orice ε > 0 existǎN = N(ε) astfel încât a N > M 0 − ε.Dacǎ n > N, atunci a n ≥ a N şi deci a n > M 0 − ε. În plus a n ≤ M 0 pentru orice n ∈ N.Rezultǎ astfel cǎ |a n − M| < ε pentru n > N. Aceasta demonstreazǎ cǎ a n −−−→n→∞ M 0 .Aplicaţie 13.3. Un şir (a n ) este definit astfel: a 1 = 1 şi a n+1 = √ a n + 1 pentru n ≥ 1.1 + √ 5Sǎ se arate cǎ: a n −−−→n→∞ .2Soluţie: Prima oarǎ se aratǎ, prin inducţie, cǎ şirul (a n ) este crescǎtor.Deoarece a 1 = 1 şi a 2 = √ 2 avem: a 1 ≤ a 2 . Calculǎm acum diferenţa a n+1 − a n şi gǎsim:a n+1 − a n = √ a n + 1 − √ a n−1 + 1 =a n − a n−1√an + 1 + √ a n−1 + 1Întrucât suma √ a n + 1 + √ a n−1 + 1 este pozitivǎ dacǎ a n−1 ≤ a n , atunci a n ≤ a n+1 .Astfel rezultǎ prin inducţie cǎ şirul (a n ) este crescǎtor.Din relaţia de recurenţǎ a n+1 = √ a n + 1 prin ridicare la pǎtrat se obţine egalitatea:a 2 n − a 2 n+1 = a 2 n − a n − 1 =(a n − 1 ) 2− 5 2 4şi deoarece şirul (a n ) este crescǎtor avem: (a n − 1 2 )2 − 5 ≤ 0. Din aceastǎ inegalitate4rezultǎ imediat cǎ şirul (a n ) este mǎrginit superior de numǎrul 1 + √ 5. Cu regula de2convergenţǎ a şirurilor monotone deducem cǎ şirul (a n ) este convergent. Fie L = lim a n .n→∞Deoarece a n+1 −−−→n→∞ L obţinem cǎ L = √ L + 1 şi astfel L 2 = L + 1. Ecuaţia de gradulal doilea L 2 1= L + 1 are douǎ rǎdǎcini:2 (1 ± √ 5). Întrucât a n ≥ 1, ∀n ∈ N, rǎdǎcinapozitivǎ este limita. Adicǎ L = 1 2 (1 + √ 5).Teorema 13.1. Teorema lui Weierstrass-Bolzano Dacǎ şirul de numere reale (a n )este mǎrginit atunci conţine un subşir convergent la un numǎr real.Demonstraţie. Fie S N = {a n |n > N}.Dacǎ fiecare mulţime S N are un cel mai mare element, atunci considerǎm urmǎtorul subşiral şirului (a n ):b 1 = a n1 = max S 1 ; b 2 = a n2 = max S n1 ; b 3 = a n3 = max S n2 ; . . .26

Şirul (b n ) este un subşir al şirului (a n ) şi este descrescǎtor. Deoarece (a n ) este mǎrginit,şirul (b n ) este şi el mǎrginit. Rezultǎ astfel cǎ şirul (b n ) este convergent. Dacǎ pentru unM, S M nu are un cel mai mare element atunci pentru orice a m cu m > M existǎ a n cun > m şi a n > a m . Fie c 1 = a M+1 şi c 2 primul termen al şirului a n dupǎ c 1 = a M+1 careare proprietatea c 2 > c 1 . În continuare fie c 3 primul termen al şirului (a n ) dupǎ c 2 careverificǎ c 3 > c 2 şi aşa mai departe. Se obţine în acest fel un subşir (c n ) al şirului (a n );care este monoton crescǎtor. Deoarece (c n ) este mǎrginit este convergent.Intuitiv este clar cǎ dacǎ a n −−−→n→∞ L atunci termenii şirului care au rang mare diferǎ puţinde L şi deci şi unul de celǎlalt. Mai exact avem:Teorema 13.2. Criteriul Cauchy de convergenţǎ al unui şir de numere reale.Un şir (a n ) de numere reale este convergent la un numǎr real dacǎ şi numai dacǎ pentruorice ε > 0 existǎ N = N(ε) astfel încât avem:|a p − a q | < ε, ∀p, q > N(ε)Demonstraţie. Presupunem cǎ şirul (a n ) converge la numǎrul L şi considerǎm un numǎrε > 0. Existǎ N = N(ε) astfel încât |a n − L| < ε pentru orice n > N(ε). Prin urmare:2|a p − L| < ε 2 şi |a q − L| < ε , ∀p, q > N(ε) şi rezultǎ cǎ:2|a p − a q | ≤ |a p − L| + |a q − L| < ε, ∀p, q > N(ε).Presupunem acum cǎ pentru orice ε > 0 existǎ N = N(ε) astfel încât |a p − a q | < ε,∀p, q > N(ε). Pentru ε = 1 şi N 1 = N(1) ales astfel încât |a p − a q | < 1, ∀p, q > N 1 ,avem:şi deci:|a n | = |a n − a N1 +1 + a N1 +1| ≤ |a n − a N1 +1| + |a N1 +1| ≤ 1 + |a N1 +1|, ∀n ≥ N 1 + 1|a n | ≤ max{|a 1 |, |a 2 |, . . . , |a N1 |, |a N1 +1| + 1} = M, ∀nCu alte cuvinte şirul (a n ) este mǎrginit.Conform teoremei lui Weierstrass-Bolzano şirul (a n ) conţine un subşir (a nk ) convergent.Fie L = lim a nn k →∞ k şi ε un numǎr real pozitiv ε > 0. Existǎ N 1 = N 1 (ε) astfel încât|a nk − L| < ε 2 , ∀n k > N 1 şi existǎ N 2 = N 2 (ε) astfel încât |a p − a q | < ε 2 , ∀p, q > N 2. Deaici rezultǎ cǎ pentru orice n > N 3 = max{N 1 , N 2 } avem:unde n k este ales astfel încât n k > N 3 .|a n − L| ≤ |a n − a nk | + |a nk − L| < ε 2 + ε 2 = ε14 Punct limitǎ al unui şir de numere reale.Definiţia 14.1. Un punct x ∈ R 1 este punct limitǎ al şirului (a n ) dacǎ existǎ un subşir(a nk ) al şirului (a n ) care converge la x; a nk −−−−→n k →∞ x.27

Definiţia 14.2. Mulţimea punctelor x ∈ R 1 care sunt puncte limitǎ ale şirului (a n ) senoteazǎ cu L(a n ) şi se numeşte mulţimea punctelor limitǎ sau pe scurt mulţimea limitǎ aşirului (a n ).Şirul mǎrginit (a n ) converge la L (a n −−−→n→∞ L) dacǎ şi numai dacǎ L(a n ) = {L}.Definiţia 14.3. Limita superioarǎ a şirului (a n ) este marginea superioarǎ a mulţimiiL(a n ). Limita superioarǎ a şirului (a n ) se noteazǎ tradiţional cu lim sup a n sau cu lim a n ;n→∞ n→∞lim a n = sup L(a n ).n→∞Definiţia 14.4. Limita inferioarǎ a şirului (a n ) este marginea inferioarǎ a mulţimiiL(a n ). Limita inferioarǎ a şirului (a n ) se noteazǎ tradiţional cu lim inf a n sau cu lim a n ;n→∞ n→∞lim a n = inf L(a n ).n→∞Şirul (a n ) converge dacǎ şi numai dacǎ are loc:lim a n = lim a n .n→∞ n→∞Exemplu 14.1. În cazul şirului a n = (−1) n mulţimea punctelor limitǎ L(a n ) este:L(a n ) = {−1, 1} şi:lim a n = −1;n→∞lim a n = 1.n→∞15 Serii de numere reale.Fie (a n ) un şir de numere reale. Pentru orice n ∈ N fixat, suma:s n = a 1 + a 2 + ... + a nare sens.Dacǎ şirul (s n ) converge la ”s” atunci ”s” poate fi numit în mod justificat suma ”serieiinfinite”∞∑a n = a 1 + a 2 + ... + a n + ...Mai precis:n=1Definiţia 15.1. O serie infinitǎ de numere reale este un şir de numere reale (s n ) al cǎruitermen general s n are forma s n = a 1 + a 2 + ... + a n unde (a n ) este un şir de numere realedat.În mod tradiţional o serie infinitǎ se noteazǎ cu simbolultradiţie termenul general al seriei.∞∑Tot prin tradiţie simboluln=1a n∞∑a n şi a n se numeşte prinn=1se numeşte serie iar şirul de numere reale (s n ) cus n = a 1 + a 2 + ... + a n se numeşte şirul sumelor parţiale ale seriei.28

Definiţia 15.2. Seria∞∑n=1a nconvergent. Limita şirului (s n ) :∞∑a n = s.n=1Definiţia 15.3. Seria∞∑a n este divergentǎ dacǎ şirul sumelor parţiale (s n ) este divergent.este convergentǎ dacǎ şirul sumelor parţiale (s n ) estelim s n = s se numeşte suma seriei şi se noteazǎ cun→∞n=1Exemplu 15.1. Sǎ se verifice cǎ∞∑n=1Soluţie: Şirul sumelor parţiale al serieis n −−−→n→∞ 1 rezultǎ cǎ seria∞∑n=1Exemplu 15.2. Sǎ se verifice cǎ seriaSoluţie: Şirul sumelor parţiale al seriei(s n ) este divergent seria12 n = 1.∞∑n=112 n este s n =n∑k=112 este convergentǎ şi ∑ ∞1n 2 = 1. nn=1∞∑n este divergentǎ.n=1∞∑n este s n =n=1∞∑n este divergentǎ.n=1Exemplu 15.3. Sǎ se verifice cǎ seriacu 1.∞∑n=11n 2 + nn∑k=112 k = 1 − 1 2 n . Deoarecek = 1 n(n + 1). Deoarece şirul2este convergentǎ şi suma ei este egalǎSoluţie: Întrucât: 1n 2 + n = 1n(n + 1) = 1 n − 1n + 1termenul general al şirului sumelor parţiale este:(s n = 1 − 1 ) ( 1+2 2 − 1 ( 1+ ... +3)n − 1 )n + 1= 1 − 1n + 1şi deci s n −−−→n→∞ 1.Comentariu: Exemplul 15.1 este un caz particular de serie geometricǎ având forma∞∑ax n , în care x este un numǎr real. Remarcǎm cǎ aici însumarea începe cu n = 0 şi nun=0cu n = 1. Pentru o serie geometricǎ suma primilor n termeni este:s n = a + ax + ax 2 + ... + ax n−129

Un calcul standard aratǎ cǎs n = a(1 − xn )pentru ∀ x ≠ 1.1 − xaDe aici s n −−−→n→∞ ∀ |x| < 1.1 − xDeoarece şirul (s n ) este divergent pentru |x| ≥ 1 obţinem urmǎtorul rezultat:∞∑Seria geometricǎ ax n = a + ax + ax 2 + ... + ax n + ... , a ≠ 0 converge dacǎ şi numain=0adacǎ |x| < 1. Mai mult suma seriei este1 − x .Deoarece suma unei serii convergente este definitǎ ca limita şirului sumelor parţiale alseriei, rezultatele privind convergenţa şirurilor de numere reale pot fi folosite pentru astabili convergenţa seriilor.Urmeazǎ un rezultat care poate fi adesea util pentru a testa divergenţa unei serii.Teorema 15.1. Convergenţa la zero a termenului general∞∑Dacǎ seria a n este convergentǎ atunci a n −−−→n→∞ 0n=1Demonstraţie. Dacǎ seria∞∑a n este convergentǎ atunci şirul sumelor parţiale (s n )n=1converge la o limitǎ ”s”. Rezultǎ cǎ şirul s n−1 converge tot la ”s” şi astfel a n = s n − s n−1converge la 0. Prin urmare a n −−−→n→∞ 0.Aplicaţie 15.1 Considerǎm seria∞∑n=1seria consideratǎ nu este convergentǎ.nn + 1 . Deoarece a n =Trebuie reţinut cǎ dacǎ a n −−−→n→∞ 0 nu rezultǎ cǎ seriaexemplu în cazul serieişi∞∑( √ n − √ n − 1) avem:n=1a n = √ n − √ n − 1 =s n =n∑k=1nn + 1→ 1 ≠ 0 rezultǎ cǎ∞∑a n este convergentǎ. Astfel den=11√ n +√ n + 1−−−→n→∞ 0a k = √ n −−−→n→∞ +∞Criteriul lui Cauchy de convergenţǎ a unei serii de numere reale∞∑Seria a n converge dacǎ şi numai dacǎ pentru orice ε > 0 existǎ N = N(ε) astfel încâtn=1pentru n ≥ N(ε) şi p ≥ 1 avem:|a n+1 + a n+2 + . . . + a n+p | < ε30

Demonstraţie. Seria∞∑a n converge dacǎ şi numai dacǎ şirul sumelor parţiale (s n ):n=1s n = a 1 + a 2 + . . . + a n ; converge.Şirul (s n ) converge dacǎ şi numai dacǎ pentru orice ɛ > 0 existǎ N = N(ε) astfel încât|s q − s r | < ε pentru ∀q, r > N(ε). Aceasta este echivalent cu condiţia: ∀ε > 0∃ N = N(ε)astfel încât ∀n ≥ N(ε) şi p ≥ 1 avem: |a n+1 + a n+2 + . . . + a n+p | < ε.16 Reguli privind convergenţa seriilor de numerereale.În continuare prezentǎm câteva reguli relative la convergenţa seriilor de numere reale, caresunt utile în aplicaţii. Aceste reguli se obţin aplicând regulile de convergenţǎ a şirurilorla şirurile sumelor parţiale.Regula sumei∞∑ ∞∑Dacǎ seriile a n şi b n sunt convergente atunci seria sumǎn=1n=1∞∑(a n + b n ) este convergentǎşi are loc egalitatea:n=1∞∑(a n + b n ) =n=1∞∑a n +n=1∞∑n=1Regula de înmulţire cu un numǎr∞∑Dacǎ seria a n este convergentǎ atunci ∀k ∈ R 1 , serian=1are loc egalitatea:∞∑k · a n = k ·n=1∞∑n=1Criteriul 1 al comparaţiei. Dacǎ 0 ≤ a n ≤ b n ,convergentǎ, atunci seriaDemonstraţie. Fie s n =0 ≤ s n ≤ t n . Dacǎ seria∞∑a n este convergentǎ.n=1n∑a k şi t n =k=1∞∑n=1n∑b k .k=1a nb n∞∑k · a n este convergentǎ şin=1∀n ∈ N şi dacǎ seria∞∑b n esten=1Din ipotezǎ rezultǎ cǎ ∀n ∈ N avemb n converge atunci şirul t n converge la un numǎr t: t n −−−→n→∞ t.Şirul (t n ) fiind crescǎtor pentru orice n are loc t n ≤ t. De aici şi din s n ≤ t n rezultǎinegalitatea s n ≤ t, ∀n. Prin urmare şirul crescǎtor s n este mǎrginit superior şi deci este∞∑convergent. Aceasta înseamnǎ cǎ seria a n este convergentǎ.n=131

Exemplu 16.1. Sǎ se verifice cǎ seria∞∑n=11 + cos neste convergentǎ.3 · 2 n + 5 · 3n Soluţie. Fie a n =1 + cos n3 · 2 n + 5 · 3 . Pentru orice n avem a n n ≥ 0 şi a n ≤ 1 2 . Considerǎmnşirul b n = 1 2 şi seria ∑ ∞ ∞∑ 1b n n = . Aceastǎ serie din urmǎ fiind convergentǎ rezultǎ2n n=1 n=1∞∑cǎ seria a n este convergentǎ.n=1Criteriul 2 al comparaţiei.Dacǎ seriile(a n ≥ 0 şi b n ≥ 0) şi a n→ L ≠ 0 atunci seriab nconverge.∞∑n=1a nşi∞∑n=1b nsunt cu termeni pozitivi∞∑a n converge dacǎ şi numai dacǎn=1∞∑n=1b n∞∑Demonstraţie. Presupunem cǎ seria b n este convergentǎ şi considerǎm sumele parţiale:n=1s n = a 1 + a 2 + . . . + a n ;t n = b 1 + b 2 + . . . + b nDeoarece a n−−−→b L pentru ε = 1 existǎ N 1 = N(1) astfel încât avem:n n→∞a n∣ − Lb n∣ < 1, ∀n > N 1.De aici rezultǎ inegalitatea:∣ ∣ a n=a n ∣∣∣ b n∣ =a n∣∣∣b n∣ − L + Lb n∣ ≤ a n− Lb n∣ + |L| < 1 + |L| = k, ∀n > N 1.Considerǎm acum seriile cu termeni pozitiviβ n = k · b N1 +n.Inegalitatea 0 ≤ α n ≤ β n , ∀n şi convergenţa seriei∞∑n=1α nşi∞∑β n =n=1∞∑β n unde α n = a N1 +n şin=1∞∑n=N 1 +1k · b n implicǎ cǎ seria∞∑α n este convergentǎ. Deoarece natura unei serii nu se schimbǎ dacǎ se adaugǎ la ean=1un numǎr finit de termeni rezultǎ cǎ seria∞∑a n este convergentǎ.n=1Am arǎtat astfel cǎ din convergenţa serieiReciproca acestei afirmaţii se aratǎ inversând rolurile lui a nprecedent şi observând cǎ b n 1−−−→a n n→∞ L . 32∞∑n=1b nrezultǎ convergenţa seriei∞∑a n .n=1şi b n în raţionamentul

Exemplu 16.2. Sǎ se verifice cǎ seria∞∑n=11este convergentǎ.7 · 3 n + 2 · 5n 1Demonstraţie. Fie a n =7 · 3 n + 2 · 5 şi b n n = 1 5 . Raportul a nconverge la 1 ≠ 0 şi serian b n 2∞∑ ∞∑ 1b n =5 este convergentǎ. Rezultǎ astfel cǎ seria ∑ ∞a n n este convergentǎ.n=1n=1Criteriul raportului.Dacǎ seriaα n = a n+1a nL < 1 rezultǎ cǎ serian=1∞∑a n este cu termeni poztivi (a n > 0) şi şiruln=1converge la L atunci: din L > 1 rezultǎ cǎ seria∞∑a n este divergentǎ; din∞∑a n este covergentǎ; din L = 1 nu putem trage nici o concluzie.n=1n=1Demonstraţie. Presupunem L < 1 şi considerǎm ε = 1 (1 − L). Observǎm cǎ ε > 0 şiL existǎ N = N(ε) 2 astfel încât α n = |α n − L + L| ≤L + ε = k < 1. Deoarece α n −−−→n→∞ε + L = k < 1, ∀n > N(ε). De aici rezultǎ inegalitatea a n+1 ≤ k · a n , ∀n > N(ε). Fieβ n = a N(ε)+n . Pentru orice n ≥ 1 avem β n+1 ≤ k · β n şi prin inducţie rezultǎ inegalitatea:Seriaseriaβ n+1 ≤ k n · β 1 , ∀n ∈ N∞∑k n · β 1 este o serie geometricǎ convergentǎ pentru cǎ k < 1. De aici rezultǎ cǎn=0∞∑β n converge şi , prin urmare, serian=1∞∑a n converge de asemenea.n=1Presupunem acum L > 1 şi fie ε = L − 1. Numǎrul ε este pozitiv (ε > 0) şi deoareceα n −−−→ L existǎ N = N(ε) astfel încât α n > L − ε pentru orice n > N(ε). Rezultǎ cǎn→∞a n+1 > a n , ∀n > N(ε) şi a n > a N(ε) , ∀n > N(ε).∞∑Deoarece a N(ε) ≠ 0 şirul (a n ) nu tinde la zero şi deci seria a n este divergentǎ.Exemplu 16.3. Sǎ se determine valorile lui x pentru care seriaconvergentǎ.Soluţie: Fie a n = n·(4x 2 ) n şi α n = (n + 1) · (4x2 ) n+1la 4x 2 ; α n −−−→n→∞ 4x2 .De aici rezultǎ cǎ serian=1n=1n · (4x 2 ) n = 4x 2 (1 + 1 n∞∑n · (4x 2 ) nn=1este). Şirul (α n ) converge∞∑a n este divergentǎ dacǎ 4x 2 > 1( |x| > 1 ) şi este convergentǎ2dacǎ |x| < 1 2 . Nu ştim deocamdatǎ ce se întâmplǎ dacǎ |x| = 1 2 . Dacǎ |x| = 1 2 atunci33

∞∑a n =n=1∞∑n şi deci seria este divergentǎ.n=1În consecinţǎ seria∞∑n · (4x 2 ) n este convergentǎ dacǎ şi numai dacǎ |x| < 1 2 .n=1Criteriul rǎdǎcinii. Fie seria∞∑a n o serie cu termeni pozitivi.n=1Dacǎ existǎ k ∈ (0, 1) şi N ∈ N astfel încât n√ a n ≤ k, ∀n > N atunci seria este convergentǎ.Dacǎ n√ a n ≥ 1 pentru o infinitate de termeni ai seriei atunci seria este divergentǎ.Demonstraţie. Dacǎ existǎ k ∈ (0, 1) şi N astfel încât n√ a n ≤ k pentru n > N atunci∞∑a n ≤ k n pentru n > N. Prin urmare seria a n poate fi comparatǎ cu seria geometricǎn=1∞∑k n , care este convergentǎ pentru cǎ k < 1. Aceasta este demonstraţia în primul caz.k=1Dacǎ n√ a n ≥ 1 pentru o infinitate de termeni ai seriei, atunci a n ≥ 1 pentru o infinitatede termeni ai şirului (a n ) şi a n nu tinde la zero. Rezultǎ astfel cǎ seria este divergentǎ.Aceasta este demonstraţia în al doilea caz.Aplicaţie 16.1.Seria∞∑n=11este convergentǎ. Folosind criteriul rǎdǎcinii avem:nn √n 1n = 1 n n ≤ 1 , ∀n ≥ 2.2Criteriul de convergenţǎ pentru serii alternate (Leibnitz). Dacǎ şirul (b n ) estemonotondescrescǎtor şi converge la zero (b n −−−→ 0) atunci seria alternatǎ ∑ ∞(−1) n−1 · b nn→∞n=1converge.Demonstraţie. Considerǎm s m =parţiale al serieişim∑(−1) n−1 · b nn=1termenul general al şirului sumelor∞∑(−1) n−1 · b n . Subşirul termenilor de rang par s 2m are proprietatea:n=1s 2m = b 1 − (b 2 − b 3 ) − . . . − (b 2m−2 − b 2m−1 ) − b 2m ≤ b 1s 2m = (b 1 − b 2 ) + (b 3 − b 4 ) + . . . + (b 2m−1 − b 2m ).Deci este mǎrginit superior şi este crescǎtor.Rezultǎ în acest fel cǎ şirul (s 2m ) este convergent. Fie s = lim s 2m.m→∞În mod analog se aratǎ cǎ subşirul termenilor de rang impar (s 2m+1 ) este descrescǎtor şimǎrginit inferior. Rezultǎ astfel cǎ şirul (s 2m+1 ) este convergent şi fie t = lim s 2m+1.m→∞Avem:t − s = lim (s 2m+1 − s 2m ) = lim b 2m+1 = 0m→∞ m→∞34

Arǎtǎm în final cǎ s n −−−→ s = t.n→∞Pentru aceasta fie ε > 0 şi N 1 = N 1 (ε), N 2 = N 2 (ε) aleşi astfel încât |s 2m − s| < ε∀m > N 1 şi |s 2m+1 − s| < ε, ∀m > N 2 . Fie N = max{2N 1 , 2N 2 + 1}. Orice n > Neste par n = 2m (m > N 1 ) sau este impar n = 2m + 1 (m > N 2 ). În ambele cazuri∞∑|s n − s| < ε dacǎ n > N. Cu alte cuvinte şirul (s n ) converge la s şi deci seria (−1) n · b neste convergentǎ.Exemplu 16.4. Seriadescrescǎtor şi tinde la 0.∞∑n=1(−1) n · 1n este convergentǎ pentru cǎ şirul 1nn=1este monotonCriteriul integral. Fie f : R 1 + → R 1 + o funcţie continuǎ descrescǎtoare şin∫a n = f(n), ∀n ∈ N. Considerǎm şirul j n = f(x)dx.Seria∞∑a n este convergentǎ dacǎ şi numai dacǎ şirul (j n ) converge.n=11Demonstraţia acestei teoreme va fi fǎcutǎ în secţiunea în care integrala Riemann estedefinitǎ.∞∑ 1Aplicaţie 16.2. Arǎtaţi cǎ seria converge dacǎ şi numai dacǎ p > 1.np n=1Soluţie: Considerǎm funcţia f p (x) = 1 x p , x > 0 şi p > 0. Funcţia f p este continuǎ,descrescǎtoare şi f p (n) = 1 n p = a n. Pentru p ≠ 1 avem:j n =Pentru p > 1 avem j n −−−→n→∞avem:şi şirul (j n ) este divergent.∫ n11 x1−pdx = xp 1 − p∣n1= 11 − p (n1−p − 1).1 şi pentru p < 1 şirul (j p−1 n) este divergent. Pentru p = 1j n =Remarca 16.1. Dacǎ p ≤ 0 seriaseriei nu tinde la zero.Exemplu 16.5. Seria armonicǎ∫ n1∞∑n=11x dx = ln x|n 1 = ln(n)∞∑n=11n peste divergentǎ pentru cǎ termenul general al∞1n este divergentǎ şi seria ∑ 1este convergentǎ.n2 ∞∑ 1Comentariu. Seriile împreunǎ cu seriile geometrice constituie o clasǎ de serii anp n=1cǎror convergenţǎ (divergenţǎ) este cunoscutǎ.35n=1

17 Serii absolut convergente.Definiţia 17.1. Seria∞∑a n este absolut convergentǎ dacǎ seria valorilor absoluten=1este convergentǎ.O serie convergentǎ care nu este absolut convergentǎ este serie simplu convergentǎ.∞∑|a n |n=1Convergenţa absolutǎ implicǎ convergenţǎ. Dacǎ seria∞∑atunci seria a n este convergentǎ.n=1∞∑|a n | este convergentǎ,n=1Demonstraţie. Pentru orice n, m ∈ N, n > m avem:Dacǎ seria|s n − s m | = |a m+1 + . . . + a n | ≤ |a m+1 | + . . . + |a n |∞∑|a n | este convergentǎ, atunci pentru orice ε > 0 existǎ N = N(ε) astfeln=1încât pentru orice n, m cu proprietatea n > m > N avem:|a m+1 | + . . . + |a n | < εDe aici rezultǎ |s n −s m | < ε, ∀n, m, n > m > N(ε). Folosind criteriul lui Cauchy obţinem∞∑convergenţa seriei a n .n=1Exemplu 17.1. Seria∞∑ (−1) nn=12 n converge pentru cǎ este absolut convergentǎ.∞∑ (−1) nSeria armonicǎ alternatǎ este simplu convergentǎ. Ea converge (aşa cum rezultǎnn=1∞∑ 1din criteriul lui Leibnitz), dar nu converge absolut pentru cǎ seria este divergentǎ.nComentariu. Convergenţa absolutǎ poate fi stabilitǎ cu ajutorul criteriilor de convergenţǎprezentate pentru serii cu termeni pozitivi.Convergenţa absolutǎ este importantǎ pentru cǎ suma unei serii absolut convergente esteindependentǎ de ordinea în care se adunǎ termenii.∞∑Pe de altǎ parte, se poate arǎta cǎ oricare ar fi seria a n simplu convergentǎ şi oricarear fi numǎrul real S, prin rearanjarea termenilor seriein=1n=1∞∑a n putem avea:n=1∞∑a n = S .De exemplu, putem obţine orice numǎr real prin rearanjarea termenilor seriei armonicealternate.n=136

Produsul Cauchy a douǎ serii.∞∑ ∞∑Dacǎ seriile a n şi b n sunt absolut convergente şin=1 n=1c n = a 1 · b n + a 2 · b n−1 + . . . + a n · b 1atunci seria∞∑c n este absolut convergentǎ şi are loc egalitatea:n=1(∞∑∞) (∑∞)∑c n = a n · b nn=1 n=1n=1Demonstraţie. Admitem la început cǎ seriileşi considerǎm produsele:∞∑a n şin=1∞∑b n sunt serii cu termeni pozitivin=1a 1 · b 1 a 1 · b 2 a 1 · b 3 . . .a 2 · b 1 a 2 · b 2 a 2 · b 3 . . .a 3 · b 1 a 3 · b 2 a 3 · b 3 . . .. . . . . . . . . . . .Dacǎ w n este suma produselor din acest tabel situate în pǎtratul n × n cu vârful în a 1 · b 1∞∑ ∞∑atunci w n = s n · t n unde s n şi t n sunt sumele parţiale ale seriilor a n şi b n .De aiciObservǎm acum cǎlim w n =n→∞(∑ ∞) ( ∞)∑a n · b nn=1n=1∞∑c n este suma produselor din acest tabel adunate dupǎ diagonalǎ.n=1Astfel dacǎ u n este suma parţialǎ a lui∞∑c n atunci:n=1w [ n ]≤ u n ≤ w n2( ∞) (∑ ∑ ∞Cu regula cleştelui rezultǎ u n −−−→ a n · b n).n→∞În cazul general, raţionamentul precedent poate fi repetat pentru seriile∞∑|c n | pentru a deduce cǎ serian=1Deoarece seria produsn=1n=1∞∑c n este absolut convergentǎ.n=1∞∑c n este o combinaţie liniarǎ a seriilor:n=1n=1∞∑a + n ;n=1n=1∞∑|a n |;n=1∞∑a − n ;n=1∞∑|b n |;n=1∞∑b + n ;n=137

∞∑b − n avem:n=1(∞∑∞) (∑∞)∑c n = a n · b n .n=1 n=1n=118 Limita într-un punct a unei funcţii.În calculul diferenţial şi calculul integral un concept important este conceptul de limitǎa unei funcţii într-un punct. Conceptul este folosit în studiul continuitǎţii, derivatei,integralei şi alte studii.Considerǎm o funcţie f : A ⊂ R 1 → R 1 . Vom analiza comportamentul lui f(x) atuncicând x se apropie de o valoare realǎ fixatǎ ”a”. Pentru aceasta se presupune cǎ f(x) estedefinit pentru orice x care se apropie de ”a”, nu însǎ neapǎrat şi în ”a”. Cu alte cuvintevom presupune cǎ domeniul de definiţie A conţine o mulţime de forma (a−r, a)∪(a, a+r)unde r > 0.Definiţia 18.1. Funcţia f are limita numǎrul L în punctul ”a” dacǎ pentru orice ε > 0existǎ un numǎr δ = δ(ε) > 0 astfel ca |f(x) − L| < ε, ∀ x ∈ A, x ≠ a şi |x − a| < δ.Faptul ca funcţia f are limita L în punctul ”a” se noteazǎ prin tradiţie astfel: lim f(x) = Lx→asau f(x) −−→x→a L.Comentariu:1. Valoarea funcţiei f în punctul a, dacǎ existǎ, nu intervine în definiţia limitei.Valoarea f(a) poate sǎ nu verifice inegalitatea din definiţia limitei.2. Fiind datǎ funcţia f şi numǎrul L, inegalitatea |f(x) − L| < ε înseamnǎ L − ε 0 şi sǎ considerǎm inegalitatea:∣ x 2 − 4 ∣∣∣∣ x − 2 − 4 < ε sau 4 − ε < x2 − 4x − 2 < 4 + εpentru x ≠ 2. Aceasta este echivalentǎ cu inegalitatea: 4 − ε < x + 2 < 4 + ε sau2 − ε < x < 2 + ε, arǎtând cǎ putem lua δ = ε.38

Exemplu 18.2. Sǎ se arate cǎ în orice punct a > 0, funcţia f(x) = √ x are limitǎ şi√ √lim x = a.x→aSoluţie:În adevǎr, dacǎ ε > 0, atunci are loccare prin ridicare la pǎtrat devine:| √ x − √ a| < ε sau √ a − ε < √ x < √ a + εa − 2 √ a · ε + ε 2 < x < a + 2 √ a · ε + ε 2 .Pentru un a şi un ε dat, putem lua δ = 2 √ a · ε + ε 2 .Exemplu 18.3. Sǎ se arate cǎ limx→0sin 1 xnu existǎ.Soluţie: Reamintim cǎ oricât de aproape de a = 0 existǎ x ′ astfel ca f(x ′ ) = 1 şi x ′′astfel ca f(x ′′ ) = −1. Rezultǎ cǎ pentru orice L existǎ ε > 0 astfel încât ∀δ > 0 ∃x cu|x − 0| < δ şi∣ sin 1 ∣ ∣∣∣x − L > ε.Limita funcţiei f în punctul a (dacǎ existǎ) este unicǎ.În adevǎr: sǎ presupunem prin absurd cǎ lim f(x) = L 1 şi lim f(x) = L 2 şi L 1 ≠ L 2 .x→a x→aPentru ε = |L 1 − L 2 |existǎ δ 1 astfel încât |f(x) − L 1 | < ε pentru 0 < |x − a| < δ 12şi existǎ δ 2 astfel încât |f(x) − L 2 | < ε pentru 0 < |x − a| < δ 2 . De aici, pentru0 < |x − a| < min{δ 1 , δ 2 } avem |L 1 − L 2 | ≤ |L 1 − f(x)| + |f(x) − L 2 | < |L 1 − L 2 | ceea ceeste absurd.Teorema 18.1. (Teorema lui Heine) Funcţia f : A ⊂ R 1 → R 1 are limitǎ finitǎ în”a” dacǎ şi numai dacǎ pentru orice şir (x n ), x n ∈ A, x n ≠ a, şi x n −−−→n→∞ a şirul (f(x n ))converge.Demonstraţie. Presupunem cǎ f(x) −−→x→a L şi considerǎm un şir (x n) de numere reale cuurmǎtoarele proprietaţi: x n ∈ A, x n ≠ a, şi x n −−−→n→∞ a. Pentru ε > 0 existǎ δ = δ(ε) > 0astfel încât 0 < |x − a| < δ ⇒ |f(x) − L| < ε. Pentru δ > 0 existǎ N = N(δ) astfel încǎt|x n − a| < δ, ∀ n > N. De aici rezultǎ |f(x n ) − L| < ε pentru n > N, deci şirul (f(x n ))converge la L.Presupunem acum cǎ pentru orice şir de numere reale (x n ) cu urmǎtoarele proprietǎţi:x n ∈ A, x n ≠ a, şi x n −−−→n→∞ a, şirul (f(x n )) converge. Vom arǎta la început cǎ lim f(x n )n→∞nu depinde de (x n ). Raţionǎm prin reducere la absurd şi presupunem cǎ existǎ douǎşiruri de numere reale (x ′ n) şi (x ′ n ′ ) cu urmǎtoarele proprietǎţi: x ′ n, x ′′ n ∈ A, x ′ n ≠ a,x ′′ n ≠ a, lim x ′ n = lim x ′′ n = a şi lim f(x ′n→∞ n→∞ n→∞n) = L ′ ≠ L ′′ = lim f(x ′′n→∞n). Cu şirurile(x ′ n), (x ′′ n) construim şirul (x n ) definit astfel:{ x′x n = k pentru n = 2kx ′′ k+1 pentru n = 2k + 139

şi remarcǎm cǎ acest şir are urmǎtoarele proprietǎţi: x n ∈ A, x n ≠ a, şi x n −−−→n→∞ a. Prinurmare şirul (f(x n )) converge la un numǎr L. Deoarece f(x ′ n) −−−→n→∞ L′ şi f(x ′′ n) −−−→n→∞ L′′trebuie sǎ avem L = L ′ şi L ′′ = L şi astfel avem L ′ = L ′′ absurd.Fie L valoarea comunǎ a limitelor şirurilor (f(x n )). Vom arǎta cǎ f(x) −−→x→aL. Pentruaceasta presupunem contrariul. Rezultǎ cǎ existǎ ε 0 > 0 astfel încât pentru orice n ∈ Nexistǎ x n ∈ A, x n ≠ a astfel încǎt |x n − a| < 1 n şi |f(x n) − L| ≥ ε 0 . Rezultǎ de aici cǎşirul (f(x n )) nu converge la L deşi x n ∈ A, x n ≠ a şi x n −−−→n→∞ a. Absurd.Criteriul Cauchy-Bolzano pentru limita funcţiei.Funcţia f : A ⊂ R 1 → R 1 are limitǎ finitǎ în ”a” dacǎ şi numai dacǎ pentru oriceε > 0 existǎ δ = δ(ε) > 0 astfel încât 0 < |x ′ − a| < δ şi 0 < |x ′′ − a| < δ implicǎ|f(x ′ ) − f(x ′′ )| < ε.Demonstraţie. Presupunem cǎ f(x) −−→x→aL şi considerǎm ε > 0. Existǎ δ = δ(ε) > 0 astfelîncât pentru 0 < |x − a| < δ sǎ avem |f(x) − L| < ε 2 . De aici, pentru orice x′ , x ′′ cu0 < |x ′ − a| < δ şi 0 < |x ′′ − a| < δ avem |f(x ′ ) − f(x ′′ )| ≤ |f(x ′ ) − L| + |f(x ′′ ) − L| < ε.Presupunem acum cǎ pentru orice ε > 0 existǎ δ = δ(ε) astfel încât pentru orice x ′ , x ′′cu 0 < |x ′ − a| < δ şi 0 < |x ′′ − a| < δ avem |f(x ′ ) − f(x ′′ )| < ε şi considerǎm un şir denumere reale (x n ) cu urmǎtoarele proprietǎţi: x n ∈ A, x n ≠ a şi x n → a.Pentru δ = δ(ε) > 0 existǎ N = N(δ) astfel încât |x n − a| < δ pentru orice n > N. Deaici, pentru n, m > N avem |f(x n ) − f(x m )| < ε. Aceasta aratǎ cǎ şirul (f(x n )) esteconvergent. Cu teorema lui Heine rezultǎ cǎ f are limitǎ în a.19 Reguli privind limita funcţiei într-un punct.Fie L, M, k ∈ R 1 .a) Dacǎ f(x) = k =constant atunci f(x) −−→x→ab) Dacǎ f(x) −−→x→ac) Dacǎ f(x) −−→x→aL şi g(x) −−→x→a⎧⎪⎨M atunci⎪⎩L, g(x) ≠ 0 şi g(x) −−→x→aDemonstraţie. Vom demonstra doar implicaţiak, ∀a.f(x) ± g(x) −−→x→aL ± Mf(x) · g(x) −−→x→aL · M.M ≠ 0 atunci f(x)g(x) −−→x→aLM .f(x) −−→x→aL şi g(x) −−→x→aM =⇒ f(x) + g(x) −−→x→aL + M.Celelalte se fac asemǎnǎtor sau sunt mai degrabǎ tehnice şi pot fi omise la prima citire.Pentru ε > 0 existǎ δ 1 = δ 1 (ε) > 0 şi δ 2 = δ 2 (ε) > 0 astfel încât:0 < |x − a| < δ 1 =⇒ |f(x) − L| < ε 240

Pentru 0 < |x − a| < min{δ 1 , δ 2 } avem:0 < |x − a| < δ 2 =⇒ |g(x) − M| < ε 2|f(x) + g(x) − (L + M)| ≤ |f(x) − L| + |g(x) − M| < εRegula ”cleştelui”.Dacǎ pe o mulţime de forma I = (a − r, a) ∪ (a, a + r), r > 0 funcţiile f, g, h verificǎinegalitǎţile f(x) ≤ g(x) ≤ h(x) şi dacǎ f(x) −−→ L şi h(x) −−→ L atunci g(x) −−→ L.x→ax→ax→aDemonstraţie. Deoarece f(x) ≤ g(x) ≤ h(x), ∀x ∈ I avem f(x)−L ≤ g(x)−L ≤ h(x)−L.De aici rezultǎ inegalitatea: |g(x) − L| ≤ max{|f(x) − L|, |h(x) − L|}, ∀x ∈ I. Pentruε > 0 existǎ δ 1 = δ 1 (ε) > 0 şi δ 2 = δ 2 (ε) > 0 astfel încât sǎ avem:0 < |x − a| < δ 1 =⇒ |f(x) − L| < ε şi 0 < |x − a| < δ 2 =⇒ |h(x) − L| < ε.De aici rezultǎ cǎ:0 < |x − a| < min{δ 1 , δ 2 } =⇒ |g(x) − L| ≤ max{|f(x) − L|, |h(x) − L|} < εExemplu 19.1. Sǎ se arate cǎ sin θ −−→θ→00 şi cos θ −−→θ→01.Soluţie: Fie θ unghiul la centru mǎsurat în radiani într-un cerc de razǎ 1.Figura 19.1:Aria sectorului circular OAB este | θ | şi aria triunghiului OAB este | sin θ | . De aici22avem:| sin θ|0 ≤ ≤ | θ | sau 0 ≤ | sin θ| ≤ |θ|2 2Funcţiile f(θ) = 0; g(θ) = | sin θ|; h(θ) = |θ| verificǎ condiţiile din regula cleştelui şirezultǎ astfel cǎ: sin θ −−→θ→00.Pentru a arǎta cǎ cos θ −−→θ→0cos 2 θ = 1−sin 2 θ şi deci cos 2 θ −−→θ→0în vecinǎtatea lui 0 rezultǎ cǎ cos θ −−→θ→01.1 pornim de la identitatea sin 2 θ+cos 2 θ = 1 din care obţinem1. De aici rezultǎ cos θ −−→θ→0±1, dar cos θ fiind pozitiv41

Exemplu 19.2. Folosind regula cleştelui, putem arǎta cǎ x · sin 1 x −−→x→0 0.Observǎm cǎ x · sin 1 verificǎ inegalitǎţile:x −|x| ≤∣ x · sin 1 x∣ ≤ |x|, ∀x ≠ 0Alegem f(x) = −|x|, g(x) =∣ x · sin 1 x∣ , h(x) = |x| şi aplicǎm regula cleştelui; rezultǎx · sin 1 x −−→x→0 0.Putem arǎta în acest fel şi cǎ x 2 · sin 1 x −−→x→0 0.Exemplu 19.3. Putem arǎta cǎ e x−−→x→01 + x + x 2 pe o vecinǎtate a lui 0. Mai precis:1 ”prinzând” exponenţiala e x între 1 + x şi1 + x ≤ e x ≤ 1 + x + x 2 , ∀x ∈ (−∞, 1).Folosind inegalitǎţile precedente putem arǎta: ex − 1x−−→x→01.Limita funcţiei compuse: Dacǎ f(x) −−→x→aL, g(y) −−→y→Lmulţime ce conţine I = (a − r) ∪ (a, a + r), r > 0 atunci g(f(x)) −−→x→aM.M şi g ◦ f este definit pe oDemonstraţie. Fie ε > 0. Deoarece g(y) −−→y→LM existǎ δ 1 = δ 1 (ε) astfel încât0 < |y − L| < δ 1 =⇒ |g(y) − M| < ε.Asemǎnǎtor din f(x) −−→ L rezultǎ cǎ existǎ δ 2 = δ 2 (δ 1 (ε)) astfel încât 0 < |x − a|

Definiţia 20.1. Limita la dreapta a funcţiei f în punctul a este L (sau limita lui f(x)atunci când x tinde la a dinspre dreapta este L) dacǎ pentru orice ε > 0 existǎ δ = δ(ε) > 0astfel încât a < x < a + δ =⇒ |f(x) − L| < ε.Faptul cǎ limita la dreapta a funcţiei f în punctul a este L se noteazǎ astfel:L = lim f(x) sau L = lim f(x)x→a + x↘aDefiniţia 20.2. Limita la stânga a funcţiei f în punctul a este L (sau limita lui f(x)atunci când x tinde la a dinspre stânga este L) dacǎ pentru orice ε > 0 existǎ δ = δ(ε) > 0astfel încât a − δ < x < a =⇒ |f(x) − L| < ε.Faptul cǎ limita la stânga a funcţiei f în punctul a este L se noteazǎ astfel:L = lim f(x) sau L = lim f(x)x→a− x↗aObservaţia 20.1. Dacǎ funcţia f are limitǎ la stânga şi limitǎ la dreapta în a şi acestelimite laterale sunt egale cu L:lim f(x) = L = lim f(x)x→a + x→a −atunci funcţia f are limitǎ în a şi aceastǎ limitǎ este L:limx→af(x) = L = lim f(x) = lim f(x)x→a + x→a −Exemplu 20.1. Funcţia f(x) = √ x este definitǎ doar pentru x ≥ 0.√lim x = 0.x→0 +Exemplu 20.2. Funcţialim f(x) =x→0 +sign(x) = x { 1, pentru x > 0|x| = −1, pentru x < 0nu are limitǎ în a = 0. Limitele laterale însǎ existǎ: lim sign(x) = 1 şix→0 +lim sign(x) = −1.x→0− Exemplu 20.3. Funcţia treaptǎ şi funcţia scarǎ.Funcţia treaptǎ este definitǎ astfel:⎧⎪⎨0, pentru x < 01step(x) =⎪⎩ 2 , pentru x = 01, pentru x > 0Pentru x ≠ 0 funcţia treaptǎ poate fi scrisǎ astfel:step(x) = 1 (1 + sign(x)).2Funcţia treaptǎ are limite laterale în 0 şi: lim step(x) = 1; lim step(x) = 0.x→0 + x→0− Funcţia treaptǎ translatatǎ step(x − a) are treapta în punctul a (nu în 0) unde are limitelaterale: step(x − a) = 1 şi lim step(x − a) = 0.+ −limx→ax→a43

Funcţia scarǎ este o funcţie cu mai multe trepte. De exemplu:m∑S m (x) = step(x − n)n=0La fiecare treaptǎ funcţia scarǎ are o limitǎ lateralǎ la stânga şi o limitǎ lateralǎ la dreaptacare sunt diferite şi sunt diferite şi de valoarea funcţiei S m în punct. În toate celelaltepuncte limitele laterale coincid şi deci funcţia scarǎ are limitǎ în puncte x ≠ n.Definiţia 20.3. Funcţia f : A ⊂ R 1 → R 1 este crescǎtoare dacǎ pentru oricex 1 , x 2 ∈ A, x 1 ≤ x 2 rezultǎ f(x 1 ) ≤ f(x 2 ).Definiţia 20.4. Funcţia f : A ⊂ R 1 → R 1 este descrescǎtoare dacǎ pentru oricex 1 , x 2 ∈ A, x 1 ≤ x 2 rezultǎ f(x 1 ) ≥ f(x 2 ).Definiţia 20.5. Funcţia f : A ⊂ R 1 → R 1 este monotonǎ dacǎ este crescǎtoare sau estedescrescǎtoare.Existenţa limitelor laterale în cazul funcţiilor monotoneDacǎ funcţia f : (a, b) → R 1 este monotonǎ atunci pentru orice x 0 ∈ (a, b) limitelelim f(x), lim f(x) existǎ.x→x + 0 x→x − 0Demonstraţie. Fie x 0 ∈ (a, b) şi mulţimea:S x0 = {f(x)|x < x 0 }Dacǎ funcţia f este crescǎtoare, atunci mulţimea S x0 este mǎrginitǎ superior de f(x 0 ) şidacǎ f este descrescǎtoare, atunci mulţimea S x0 este mǎrginitǎ inferior de f(x 0 ).Dacǎ funcţia f este crescǎtoare, atunci marginea superioarǎ a mulţimii S x0 este limita lastânga a lui f în x 0 : sup S x0 = lim f(x) şi dacǎ f este descrescǎtoare atunci margineax→x − 0inferioarǎ a mulţimii S x0 este limita la stânga a lui f în x 0 ; inf S x0 = lim f(x).Considerând mulţimea:x→x − 0R x0 = {f(x)|x > x 0 }se aratǎ de aceeaşi manierǎ cǎ dacǎ f este funcţie crescǎtoare atunci lim f(x) = inf R x0x→x + 0şi dacǎ f este funcţie descrescǎtoare atunci lim f(x) = sup R x0 .x→x + 021 Limite infinite.Plus infinit +∞ şi minus infinit −∞ sunt simboluri matematice şi nu sunt numere cu carese fac operaţii algebrice.Definiţia 21.1. Limita la dreapta a funcţiei f în punctul a este +∞ dacǎ pentru oriceM > 0 existǎ δ = δ(M) > 0 astfel încât:f(x) > M, ∀x ∈ (a, a + δ)Faptul cǎ limita la dreapta a funcţiei f în a este +∞ se noteazǎ astfel:44lim f(x) = +∞.x→a +

Definiţia 21.2. Limita la dreapta a funcţiei f în punctul a este −∞ dacǎ pentru oriceM > 0 existǎ δ = δ(M) > 0 astfel încât:f(x) < −M, ∀x ∈ (a, a + δ)Faptul cǎ limita la dreapta a funcţiei f în a este −∞ se noteazǎ astfel:Remarca 21.1. Limitele la stânga:lim f(x) = −∞.x→a +şi limitele bilaterale:se definesc analog.Exemplu 21.1. Sǎ se verifice cǎ:lim f(x) = +∞; limx→a− lim f(x) = +∞; limx→af(x) = −∞x→a− f(x) = −∞x→a1a) limx→0 − x = −∞;lim 1x→0 + x = +∞.1b) limx→0 x = +∞.2Exemplu 21.2. Se poate întâmpla ca o funcţie sǎ aibe o limitǎ lateralǎ finitǎ şi cealaltǎlimitǎ lateralǎ infinitǎ într-un punct a. De exemplu:{ 0, pentru x ≤ 0h(x) = 1x , pentru x > 0lim h(x) = 0; limx→0− h(x) = +∞x→0 +Limitele care se obţin pentru x → +∞ sau x → −∞ se numesc limite la ±∞ şi nutrebuiesc confundate cu limita infinitǎ.Definiţia 21.3. (limita la infinit) Limita funcţiei f la +∞ este L dacǎ pentru oriceε > 0 existǎ un numǎr M > 0 astfel încât:Limita la −∞ se defineşte analog.Exemplu 21.3. Funcţia f(x) =|f(x) − L| < ε, ∀x > M1 − x2are urmǎtoarele limite la infinit:1 + x + x2 lim f(x) = −1; limx→+∞f(x) = −1x→−∞Definiţia 21.4. (limita la infinit este infinit). Limita funcţiei f la +∞ este +∞ dacǎpentru orice M > 0 existǎ M ′ > 0 astfel încât f(x) > M, (∀) x > M ′ şi se noteazǎf(x) = +∞.limx−→+∞Limita funcţiei f la +∞ este −∞ dacǎ pentru orice M > 0 existǎ M ′ > 0 astfel încâtf(x) < −M, (∀) x > M ′ şi se noteazǎ f(x) = −∞.limx−→+∞45

Limitele lim f(x) = −∞, lim f(x) = +∞ se definesc analog.x−→−∞ x−→−∞Exemplu 21.4.limx−→+∞ x2 = +∞;limx−→−∞ x2 = +∞;limx−→+∞ x3 = +∞;limx−→−∞ x3 = −∞.22 Punctele limitǎ ale unei funcţii într-un punct.Definiţia 22.1. Numǎrul L este punct limitǎ al funcţiei f în a dacǎ existǎ un şir (x n ) denumere reale cu urmǎtoarele proprietǎţi: x n ∈ A, x n ≠ a, x n −−−→ a şi f(x n) −−−→ L;n→∞n→∞unde A este domeniul de definiţie al funcţiei f.Tradiţional mulţimea punctelor limitǎ a lui f în a se noteazǎ L a (f).Definiţia 22.2. Limita inferioarǎ a funcţiei f în a este marginea inferioarǎ a mulţimiiL a (f), adicǎ inf L a (f). Limita inferioarǎ a lui f în a se noteazǎ cu limx→af(x) şi avem:lim f(x) = inf L a(f)x→aDefiniţia 22.3. Limita superioarǎ a funcţiei f în a este marginea superioarǎ a mulţimiiL a (f), adicǎ sup L a (f). Limita superioarǎ a lui f în a se noteazǎ cu limx→af(x) şi avem:lim f(x) = sup L a(f)x→aAre loc urmǎtoarea afirmaţie:Funcţia f : A ⊂ R 1 → R 1 mǎrginitǎ pe o vecinǎtate a punctului a are limita L în punctula dacǎ şi numai dacǎ:lim f(x) = lim f(x) = Lx→a x→aDemonstraţie. Prima oarǎ presupunem cǎ f(x) −−→ L şi considerǎm un şir (x n ) cux→aurmǎtoarele proprietǎţi: x n ∈ A, x n ≠ a, x n −−−→ a. Pentru orice ε > 0 existǎ δ = δ(ε)x→∞astfel încât:0 < |x − a| < δ =⇒ |f(x) − L| < εÎntrucât x n −−−→ a existǎ N = N(ε) astfel încât |x n −a| < δ pentru orice n > N. Rezultǎx→∞cǎ pentru n > N avem |f(x n ) − L| < ε. Se obţine astfel egalitatea L a (f) = {L} şi prinurmare:lim f(x) = lim f(x) = Lx→a x→aPresupunem acum cǎ lim f(x) = limf(x) = L şi vrem sǎ arǎtǎm cǎ f(x) −−→ L.x→a x→a x→aRaţionǎm prin reducere la absurd şi admitem cǎ f(x) −−→ L. Rezultǎ cǎ existǎ ε 0 astfelîncât pentru orice n ∈ N existǎ x n cu proprietatea |x n − a| < 1 n şi |f(x n) − L| > ε 0 . Şirulx→a(f(x n )) are un subşir (f(x nk )) care are limitǎ. Este clar cǎRezultǎ cǎ L a (f) nu se reduce la un element.46lim f(x nn k →∞ k) ≠ L.

Exemplu 22.1. Sǎ se arate cǎ dacǎ f(x) = sin 1 x , ∀x ≠ 0 atunci L 0(f) = [−1, 1].Soluţie: Fie l ∈ [−1, 1]. Ecuaţia sin 1 x1x n =(−1) n arcsin l + nπ .Şirul (x n ) are urmǎtoarele proprietǎţi: x n ∈ R 1 , x n ≠ 0, x n −−−→x→∞= l are o infinitate de soluţii:0 şi f(x n) = l. Rezultǎl ∈ L 0 (f).Prin urmare avem incluziunea [−1, 1] ⊂ L 0 (f). Arǎtǎm acum incluziunea L 0 (f) ⊂ [−1, 1].Pentru aceasta fie l ∈ L 0 (f). Existǎ un şir (x n ) cu urmǎtoarele proprietǎţi: x n ≠ 0,x n −−−→x→∞0 şi f(x n) −−−→n→∞ l.Întrucât f(x n ) = sin 1 x nrezultǎ cǎ |f(x n )| ≤ 1 şi deci |l| ≤ 1. De aici avem apartenenţal ∈ [−1, 1].23 Continuitatea unei funcţii într-un punct.Imprecis dar sugestiv, o funcţie f : A ⊂ R 1 → R 1 este continuǎ dacǎ graficul ei este ocurbǎ continuǎ. În particular dacǎ A conţine o vecinǎtate a punctului a ∈ A, graficul lui fse traseazǎ prin (a, f(a)) fǎrǎ a ridica creionul de pe hârtie. Un asemenea comportamentîn (a, f(a)) se realizeazǎ dacǎ se impune ca pentru x aproape de a, f(x) sǎ fie aproapede f(a). Dacǎ punctul a este izolat atunci x nu se poate apropia oricât de mult de a şicontinuitatea are altǎ semnificaţie.Fie f : A ⊂ R 1 → R 1 şi a ∈ Int(A).Definiţia 23.1. Funcţia f este continuǎ în ”a” dacǎ limx→af(x) = f(a).Aceastǎ definiţie impune trei condiţii: f(a) este definitǎ; existǎ lim f(x); f(a) = lim f(x).x→a x→aDacǎ a este un punct izolat atunci prin definiţie f este continuǎ în a.Definiţia limitei într-un punct a funcţiei f, formulatǎ în limbajul ε, δ poate fi uşortranspusǎ pentru a formula o definiţie a continuitǎţii în a a funcţiei f.Definiţia 23.2. Funcţia f este continuǎ in punctul ”a” dacǎ ∀ ε > 0,∃ δ = δ(ε) astfel încât |x − a| < δ ⇒ |f(x) − f(a)| < ε.Exemplu 23.1. Sǎ se verifice cǎ funcţia f(x) = x 2 , x ∈ R 1 este continuǎ în a = 0.Soluţie: Pentru ε > 0 determinǎm x pentru care |x 2 − 0| = |x 2 | < ε şi gǎsim |x| < √ ε.Prin urmare, dacǎ δ = √ ε atunci |f(x) − f(0)| < ε, pentru ∀ x astfel încât |x − 0| < √ ε.Definiţia 23.3. Dacǎ funcţia f este continuǎ pentru orice x ∈ (a, b) zicem cǎ f estecontinuǎ pe intervalul (a, b).Dacǎ funcţia f este continuǎ în orice punct x din domeniul de definiţie zicem cǎ f estecontinuǎ.47

Definiţia 23.4. Dacǎ lim f(x) = f(a) atunci f este continuǎ la dreapta în a.x→a +Definiţia 23.5. Funcţia f este continuǎ la stânga în a dacǎ lim f(x) = f(a).x→a− Are loc urmǎtoarea afirmaţie:Funcţia f este continuǎ în a dacǎ şi numai dacǎ este continuǎ la stânga şi la dreapta îna.Remarca 23.1. Dacǎ f : [a, b] → R 1 şi este continuǎ aceasta înseamnǎ cǎ f este continuǎpe (a, b), este continuǎ la dreapta în a şi continuǎ la stânga în b.Teorema 23.1. [de continuitate a lui Heine.]Funcţia f : A ⊂ R 1 → R 1 estecontinuǎ în punctul a ∈ Å dacǎ şi numai dacǎ pentru orice şir (x n ) cu proprietǎţile:x n ∈ A, x n −−−→n→∞ a şirul (f(x n )) converge la f(a).Demonstraţie. Acest rezultat se obţine din teorema lui Heine pentru limitǎ.Teorema 23.2. [de continuitate a lui Cauchy-Bolzano.] Funcţia f : A ⊂ R 1 → R 1este continuǎ în punctul a ∈ Å dacǎ şi numai dacǎ ∀ ε > 0 ∃ δ = δ(ε) > 0 astfel încât|x ′ − a| < δ şi |x ′′ − a| < δ ⇒ |f(x ′ ) − f(x ′′ )| < ε.Demonstraţie. Rezultatul se obţine din teorema Cauchy-Bolzano pentru limitǎ.24 Reguli privind continuitatea unei funcţii într-unpunct.Regula sumei: Dacǎ funcţiile f şi g sunt continue în punctul a ∈ R 1 atunci funcţiaf + g este continuǎ în punctul a.Regula produsului: Dacǎ funcţiile f şi g sunt continue în punctul a ∈ R 1 atunci funcţiaf · g este continuǎ în punctul a.Regula câtului: Dacǎ funcţiile f şi g sunt continue în punctul a ∈ R 1 , g(x) ≠ 0 pentruorice x atunci funcţia f este continuǎ în punctul a.gRegula cleştelui: Dacǎ funcţiile f, g şi h sunt astfel încât inegalitatea:f(x) ≤ g(x) ≤ h(x)este verificatǎ pe o vecinǎtate a punctului a ∈ R 1 şi f(a) = g(a) = h(a) atuncicontinuitatea funcţiilor f şi h în punctul a implicǎ continuitatea funcţiei g în punctula.Aceste reguli se demonstreazǎ folosind regulile cu aceeaşi denumire de la limitǎ într-unpunct.Regula de continuitate a funcţiei compuse:Dacǎ funcţia f este continuǎ în a ∈ R 1 şi funcţia g este continuǎ în f(a) ∈ R 1 atuncifuncţia compusǎ g ◦ f este continuǎ în a.48

Demonstraţie. Fie b = f(a). Deoarece g este continuǎ în b, ∀ ε > 0 ∃ δ 1 = δ 1 (ε) > 0 astfelîncât |t − b| < δ 1 ⇒ |g(t) − g(b)| < ε.Deoarece f este continuǎ în ”a” pentru δ 1 = δ 1 (ε) existǎ δ 2 = δ 2 (δ 1 ) = δ 2 (ε) astfel încât|x − a| < δ 2 ⇒ |f(x) − f(a)| < δ 1 . Deducem cǎ |x − a| < δ 2 ⇒ |g(f(x)) − g(f(a))| < ε.Prin urmare: ∀ ε > 0 ∃ δ = δ 2 (ε) > 0 astfel încât |x − a| < δ ⇒ |(g ◦ f)(x) − (g ◦ f)(a)|

δ(1) > 0 astfel încât: a < x < a + δ 1 ⇒ |f(x) − f(a)| < 1. De aici rezultǎ inegalitatea|f(x)| < 1 + |f(a)|, ∀ x ∈ [a, a + δ 1 ]. Prin urmare c > a + δ 12 > a.De fapt va trebui sǎ arǎtǎm cǎ c = b. Deocamdatǎ am obţinut doar cǎ c > a. Presupunemprin absurd cǎ c < b. Deoarece c > a şi f este continuǎ în c rezultǎ cǎ pentru ε = 1 existǎδ ′ = δ ′ (ε) = δ ′ (1) > 0 astfel încât |x − c| < δ ′ ⇒ |f(x)| ≤ 1 + |f(c)|. Altfel spus funcţia feste mǎrginitǎ pe [c, c + δ ′ ]. De aici c + δ′∈ B şi aceasta contrazice faptul cǎ c = sup B.2Prin urmare c = b şi astfel f este mǎrginitǎ pe [a, b].Demonstraţie. Demonstraţia atingerii marginii. Deoarece funcţia f este mǎrginitǎ pe[a, b] mulţimea: A = f([a, b]) = {f(x)|x ∈ [a, b]} este mǎrginitǎ. Fie m = inf A şiM = sup A. Sǎ presupunem prin absurd cǎ f(x) ≠ M, ∀ x ∈ [a, b] şi sǎ considerǎm1funcţia g(x) =definitǎ pentru x ∈ [a, b]. Funcţia g construitǎ în acest fel esteM − f(x)continuǎ şi conform primei pǎrţi din aceastǎ demonstraţie, este mǎrginitǎ pe [a, b]. FieK astfel încât:g(x) ≤ K, ∀ x ∈ [a, b].De aici se obţine:1M − f(x) ≤ K ⇒ 1 K ≤ M − f(x) ⇒ f(x) ≤ M − 1 , ∀ x ∈ [a, b]KAceastǎ din urmǎ inegalitate contrazice egalitatea M = sup A. Prin urmare ipotezaf(x) ≠ M, ∀ x ∈ [a, b] este absurdǎ. Trebuie deci sǎ admitem cǎ existǎ x M ∈ [a, b]astfel încât f(x) = M. Analog se aratǎ cǎ f îşi atinge marginea inferioarǎ.Proprietatea valorii intermediare (proprietatea lui Darboux)Dacǎ f : [a, b] → R 1 este continuǎ atunci pentru orice γ situat între α = f(a) şi β = f(b)existǎ c ∈ (a, b) astfel încât f(c) = γ.Comentariu: De aici rezultǎ cǎ dacǎ f are valorile α ′ şi β ′ în punctele x ′ şi x ′′ din [a, b]atunci f are toate valorile posibile între α ′ şi β ′ .Demonstraţie. Pentru a face o alegere, admitem cǎ α < γ < β şi considerǎm mulţimeaS = {x | x ∈ [a, b] şi f(x) < γ}.Mulţimea S conţine pe a deci S nu este vidǎ. Considerǎm c = sup S şi observǎm cǎc ∈ (a, b). Vom arǎta cǎ f(c) = γ. Pentru aceasta raţionǎm prin reducere la absurd şiadmitem cǎ f(c) ≠ γ. Rezultǎ de aici cǎ f(c) < γ sau f(c) > γ.Dacǎ f(c) < γ atunci pentru ε = γ − f(c) existǎ δ = δ(ε) > 0 astfel încât:|x − c| < δ ⇒ |f(x) − f(c)| < εÎn particular|f(c + δ 2 ) − f(c)| < εşi astfel: f(c + δ ) − f(c) < γ − f(c).2De aici f(c + δ 2 ) < γ şi deci c + δ 2∈ S. Aceasta contrazice egalitatea c = sup S. Prin50

urmare nu putem avea f(c) < γ.Dacǎ f(c) > γ, atunci pentru ε = f(c) − γ > 0 existǎ δ = δ(ε) > 0 astfel ca:|x − c| < δ ⇒ |f(x) − f(c)| < ε. De aici rezultǎ cǎ dacǎ x ∈ (c − δ, c] atunci f(x) > γ şideci x /∈ S. Altfel spus sup S ≤ c − δ ceea ce contrazice c = sup S.Rezultǎ în final f(c) = γ.Proprietatea lui Darboux are multe aplicaţii. Iatǎ una din acestea:Aplicaţia 25.1 Orice polinom de grad impar are cel puţin o rǎdǎcinǎ realǎ.Demonstraţie. Fie P (X) = a 0 + a 1 X + ... + a n X n un polinom de grad n= impar. Fǎrǎ apierde din generalitate, putem presupune a n = 1.Ştim cǎ P = P (X) este o funcţie continuǎ şi considerǎm funcţiar(X) = P (X)X n − 1, X ≠ 0Funcţia r(X) se majoreazǎ astfel:|r(X)| =P (X)∣∣ − 1∣∣X n ∣ = a n−1X + ... + a 1X + a ∣ ∣0 ∣∣ ∣∣ a n−1a∣ ∣1 ∣∣ ∣∣ a∣0 ∣∣≤ ∣ + ... + ∣ + n−1 X n X X n−1 X nşi dacǎ M = max {|a n−1 |, ..., |a 1 |, |a 0 |} atunci:|r(X)| ≤ M ·n∑r=11|X| < M · ∑ ∞ rr=11|X| r =M|X| − 1 , ∀ |X| > 1De aici |r(X)| < 1 pentru |X| > 1 + M. În particular 1 + r(X) > 0 pentru orice X cu|X| > 1 + M. De aici rezultǎ cǎ P (X) = X n (1 + r(X)) are acelasi semn ca X n pentru|X| > 1 + M.Întrucât n este numǎr impar rezultǎ cǎ existǎ α > 0 şi β < 0 astfel ca P (α) > 0 (sealege α > 1 + M) şi P (β) < 0 (se alege β < −(1 + M)). Folosind proprietatea valoriiintermediare rezultǎ cǎ existǎ c (|c| < 1 + M) astfel încât P (c) = 0.Aceasta aratǎ cǎ P are o rǎdǎcinǎ în intervalul (−(1 + M), 1 + M).De fapt toate rǎdǎcinile reale ale polinomului P sunt în interalul (−(1 + M), 1 + M).Proprietatea de transformare a intervalului în intervalDacǎ funcţia f : [a, b] = I → R 1 este continuǎ atunci mulţimea f(I) este un intervalmǎrginit şi închis.Comentariu: Aceastǎ proprietate a funcţiei continue aratǎ cǎ ea transformǎ un intervalmǎrginit şi închis tot într-un interval mǎrginit şi închis.Demonstraţie. Din proprietatea de mǎrginire rezultǎ cǎ existǎ c, d ∈ I astfel încât:f(c) = m 0 = inf{f(x) | x ∈ I}f(d) = M 0 = sup{f(x) | x ∈ I}Pentru a face o alegere presupunem cǎ c ≤ d. Proprietatea valorii intermediare aplicatǎpe subintervalul [c, d] aratǎ cǎ f ia toate valorile dintre m 0 = f(c) şi M 0 = f(d). Cu altecuvinte f(I) = [m 0 , M 0 ].51

Proprietatea de punct fix.Dacǎ funcţia f : [a, b] → [a, b] este continuǎ atunci existǎ cel puţin un punct c ∈ [a, b]astfel încât f(c) = c (c este punct fix pentru f).Comentariu: Aceastǎ propritate spune cǎ gaficul funcţiei intersecteazǎ prima bisectoarey = x.Demonstraţie. Fie g : [a, b] → R 1 definit prin g(x) = f(x) − x. Funcţia g este continuǎ.Dacǎ f(a) = a sau f(b) = b atunci nu avem nimic de demonstrat. Putem deci presupunecǎ f(a) ≠ a şi f(b) ≠ b. De aici g(a) = f(a) − a > 0 şi g(b) = f(b) − b < 0. Proprietateavalorii intermediare în cazul funcţiei g aratǎ cǎ existǎ c ∈ (a, b) astfel încât g(c) = 0. Deaici rezultǎ egalitatea f(c) = c.Proprietatea de continuitate a funcţiei inverseDacǎ f : I → J este o bijecţie continuǎ definitǎ pe intervalul I şi cu valori pe intervalulJ atunci funcţia inversǎ f −1 : J → I este continuǎ.Demonstraţie. Considerǎm o bijecţie continuǎ f : I → J definitǎ pe intervalul I şi cuvalori pe intervalul J.Prima oarǎ arǎtǎm cǎ funcţia f este sau strict crescǎtoare sau strict descrescǎtoare.Pentru aceasta raţionǎm prin reducere la absurd şi presupunem cǎ f nu este nici strictcrescǎtoare nici strict descrescǎtoare. În acest caz existǎ în I trei numere a 1 , a 2 , a 3 cuurmǎtoarele proprietǎţi: a 1 < a 2 < a 3 şi f(a 1 ) < f(a 3 ) < f(a 2 ). Aplicǎm proprietateavalorii intermediare funcţiei f pe [a 1 , a 2 ] şi deducem cǎ existǎ c ∈ (a 1 , a 2 ) astfel încâtf(c) = f(a 3 ). Aceasta contrazice faptul cǎ f este bijecţie. În demonstraţie presupunemîn continuare cǎ f este crescǎtoare. Demonstraţia este similarǎ dacǎ f este descrescǎtoare.Funcţia f fiind deci strict crescǎtoare, funcţia f −1 este şi ea strict crescǎtoare.Fie acum b ∈ J şi a = f −1 (b) ∈ I. Pentru orice ε > 0 (suficient de mic) funcţia ftransformǎ intervalul Ia ε = [a − ε, a + ε] în intervalul Jb ε = f(Iε a) = [m, M]. Deoarecefuncţia f este strict crescǎtoare, rezultǎ b ∈ (m, M). Fie δ = min {b − m, M − b} > 0.Intervalul închis [b − δ, b + δ] este o submulţime a intervalului [m, M] = f(Jb ε −1) şi ftransformǎ intervalul [b − δ, b + δ] în Ia ε = [a − ε, a + ε]. Rezultǎ astfel cǎ pentru ε > 0existǎ δ = δ(ε) > 0 astfel ca|y − b| < δ ⇒ |f −1 (y) − f −1 (b)| < εDacǎ funcţia f : I → J este o surjecţie strict monotonǎ a intervalului I pe intervalul Jatunci funcţia f şi inversa ei f −1 sunt continue.Definiţia 25.1. Funcţia f : A ⊂ R 1 → R 1 este uniform continuǎ pe A dacǎ pentru oriceε > 0 existǎ δ = δ(ε) > 0 astfel încât:|x ′ − x ′′ | < δ ⇒ |f(x ′ ) − f(x ′′ )| < ε ∀ x ′ , x ′′ ∈ ATeorema de continuitate uniformǎ.Dacǎ funcţia f : [a, b] → R 1 este continuǎ atunci f este uniform continuǎ.Comentariu: Aceastǎ teoremǎ afirmǎ de fapt cǎ o funcţie continuǎ pe un intervalmǎrginit şi închis este uniform continuǎ.52

Demonstraţie. Este tehnicǎ şi nu o facem.26 Şiruri de funcţii. Mulţimea de convergenţǎ.Fie A ⊂ R 1 şi f 1 , f 2 , . . . , f n , . . . un şir de funcţii reale definite pe A: f n : A → R 1 , ∀n ∈ N.Vom nota acest şir cu (f n ).Definiţia 26.1. Un element a ∈ A este punct de convergenţǎ al şirului (f n ) dacǎ şirulde numere reale (f n (a)) converge.Mulţimea punctelor de convergenţǎ ale şirului (f n ) se numeşte mulţimea de convergenţǎa şirului (f n ).Fie B ⊂ A mulţimea de convergenţǎ a şirului (f n ). Pentru orice b ∈ B existǎ limn→∞f n (b)şi are sens sǎ considerǎm funcţia f : B → R 1 definitǎ prin:f(b) = limn→∞f n (b)Funcţia f definitǎ în acest fel se numeşte limita şirului de funcţii f n pe mulţimea B. Semai spune cǎ şirul f n converge la f pe B.Definiţia 26.2. Fie (f n ) un şir de funcţii reale definite pe A ⊂ R 1 : f n : A → R 1 . Funcţiaf : A → R 1 este limita şirului de funcţii (f n ) dacǎ pentru orice x ∈ A şi orice ε > 0existǎ N = N(x, ε) astfel ca pentru n > N(x, ε) sǎ avem:|f n (x) − f(x)| < εFaptul cǎ funcţia f este limita şirului de funcţii (f n ) pe A se noteazǎ astfel: f n −−−→ fpe A.Comentariu: Dacǎ în definiţia precedentǎ N depinde doar de ε şi nu depinde de x atuncizicem cǎ şirul (f n ) converge uniform la f pe A.Definiţia 26.3. Şirul de funcţii (f n ) converge uniform la funcţia f pe mulţimea A dacǎpentru orice ε > 0, existǎ N = N(ε) astfel încât pentru orice n > N(ε) şi x ∈ A are loc:|f n (x) − f(x)| < εExemplu 26.1. Considerǎm A = [0, 1], f n (x) = x n , f(x) =Şirul de funcţii (f n ) converge la f şi nu converge uniform la f.Exemplu 26.2. Considerǎm A = [0, 2π], f n (x) =Şirul de funcţii (f n ) converge uniform la f pe A.sin nx, f(x) = 0, x ∈ A.nn→∞{ 1, pentru x = 10, pentru 0 ≤ x < 1 .Faptul cǎ şirul de funcţii (f n ) converge uniform la funcţia f pe mulţimea A se noteazǎastfel:uf n −−−→ f, pe An→∞53

Urmeazǎ în continuare douǎ criterii de convergenţǎ uniformǎ.Criteriul 1 (Cauchy). Şirul de funcţii reale (f n ): f n : A ⊂ R 1 → R 1 converge uniformla funcţia f : A → R 1 dacǎ şi numai dacǎ pentru orice ε > 0 existǎ N = N(ε) astfel încâtpentru orice n, m > N(ε) şi orice x ∈ A are loc:|f n (x) − f m (x)| < εuDemonstraţie. Presupunem prima oarǎ cǎ f n −−−→ f pe A. Pentru ε > 0 existǎ N = N(ε)n→∞astfel încât pentru orice p ≥ N(ε) are loc |f p (x) − f(x)| < ε , ∀ x ∈ A. Fie n, m > N(ε)2şi x ∈ A. Are loc inegalitatea:|f n (x) − f m (x)| < |f n (x) − f(x)| + |f(x) − f m (x)| ≤ ε 2 + ε 2 = εPresupunem acum cǎ pentru orice ε > 0 existǎ N = N(ε) astfel încât pentru n, m > N(ε)şi x ∈ A are loc:|f n (x) − f m (x)| < εşi arǎtǎm cǎ existǎ f : A ⊂ R 1 → R 1 uastfel ca f n −−−→ f.n→∞Din ipotezǎ rezultǎ cǎ pentru orice x ∈ A şirul de numere (f n (x)) este convergent. Decişirul de funcţii (f n ) converge la o funcţie f pe A: f n −−−→ f pe A.n→∞Considerǎm ε > 0 şi N = N(ε) astfel încât pentru n, m > N(ε) şi x ∈ A sǎ avem:Alegem m 0 > N(ε) şi din f n −−−→n→∞|f n (x) − f m (x)| < εf deducem cǎ:|f(x) − f m0 (x)| ≤ ε,∀x ∈ AAceasta aratǎ cǎ f nu−−−→ f pe A.n→∞Criteriul 2. Fie (f n ) un şir de funcţii reale: f n : A ⊂ R 1 → R 1 şi o funcţie realǎf : A ⊂ R 1 → R 1 . Dacǎ existǎ un şir de numere reale pozitive (a n ) care converge la zerouşi verificǎ |f n (x) − f(x)| ≤ a n pentru orice n ∈ N şi orice x ∈ A atunci f n −−−→ f pe A.n→∞Demonstraţie. Fie ε > 0. Deoarece a n → 0, existǎ N = N(ε) astfel încât pentru n ≥ N(ε)are loc a n < ε. Rezultǎ cǎ |f n (x) − f(x)| < ε pentru n > N(ε) şi x ∈ A. Cu alte cuvinteu−−−→f nn→∞ f.27 Convergenţa uniformǎ a unui şir de funcţii şicontinuitatea.Propoziţia urmǎtoare aratǎ cǎ, convergenţa uniformǎ pǎstreazǎ continuitatea:54

Propoziţia 27.1. Fie (f n ) un şir de funcţii reale f n : A ⊂ R 1 → R 1 uniform convergentla o funcţie realǎ f : A ⊂ R 1 → R 1 u; f n −−−→ f. Dacǎ funcţiile f n sunt continue într-unn→∞punct a ∈ A atunci funcţia f este continuǎ în a.uDemonstraţie. Fie ε > 0. Deoarece f n −−−→ f existǎ N = N(ε) astfel încât pentru oricen→∞x ∈ A are loc |f N(ε) (x) − f(x)| < ε . În particular, avem:3|f N(ε) (a) − f(a)| < ε 3Deoarec funcţia f N(ε) este continuǎ în punctul a existǎ δ = δ(ε) astfel încât|x − a| < δ =⇒ |f N(ε) (x) − f N(ε) (a)| < ε 3 .De aici, rezultǎ cǎ pentru orice x cu |x − a| < δ avem:|f(x) − f(a)| ≤ |f(x) − f N(ε) (x)| + |f N(ε) (x) − f N(ε) (a)| + |f N(ε) (a) − f(a)| < ε.Aceasta aratǎ cǎ funcţia f este continuǎ în a.Consecinţa 27.1. Limita unui şir uniform convergent de funcţii continue este funcţiecontinuǎ.28 Şiruri de funcţii reale egal continue şi egal mǎrginite.Fie (f n ) un şir de funcţii reale de variabilǎ realǎ: f n : A ⊂ R 1 → R 1 .Expresia:”(f n ) este un şir de funcţii continue pe A” înseamnǎ cǎ:∀ n ∈ N, ∀ x ∈ A, ∀ ε > 0, ∃ δ = δ(n, x, ε) > 0, a.î. |x−x ′ | < δ =⇒ |f n (x ′ )−f n (x)| < ε.Dacǎ funcţiile f n sunt uniform continue pe A, atunci δ nu depinde de x. Prin urmare,expresia”(f n ) este un şir de funcţii uniform continue pe A” înseamnǎ cǎ:∀ n ∈ N, ∀ ε > 0, ∃ δ = δ(n, ε) > 0, a.î.|x ′ − x ′′ | < δ =⇒ |f n (x ′ ) − f n (x ′′ )| < ε, ∀ x ′ , x ′′ ∈ A.Se poate întâmpla cǎ δ nu depinde de n, dar depinde de x şi ε. În acest caz şirul (f n) esteun şir de funcţii egal continue. Mai precis:Şirul de funcţii (f n ) este un şir de funcţii egal continue pe A dacǎ pentru orice x ∈ Aşi orice ε > 0 existǎ δ = δ(x, ε) > 0 astfel încât pentru orice n are loc:|x − x ′ | < δ =⇒ |f n (x) − f n (x ′ )| < ε.55

Dacǎ δ nu depinde de x şi n, atunci funcţiile din şirul (f n ) sunt uniform continue şi egalcontinue. Mai exact:Şirul de funcţii (f n ) este un şir de funcţii egal uniform continue pe A dacǎ pentruorice ε > 0 existǎ δ = δ(ε) > 0 astfel încât:|x ′ − x ′′ | < δ(ε) ⇒ |f n (x ′ ) − f n (x ′′ )| < ε ∀ n ∈ N şi ∀ x ′ , x ′′ ∈ A.Şirul (f n ) este un şir de funcţii mǎrginite pe A dacǎ ∀ n ∈ N, ∃ M = M(n) > 0astfel încât |f n (x)| < M, ∀ x ∈ A.Dacǎ M nu depinde de n atunci funcţiile din şirul (f n ) sunt egal mǎrginite. Mai exact:Şirul (f n ) este un şir de funcţii egal mǎrginite pe A dacǎ existǎ M > 0 astfel încât|f n (x)| < M, ∀ n ∈ N, ∀ x ∈ A.Teorema 28.1. [Arzela-Ascoli]. Fie I = [a, b] un interval închis şi (f n ) un şir defuncţii reale f n : [a, b] → R 1 . Dacǎ şirul (f n ) este un şir de funcţii egal continue şi egalmǎrginite atunci şirul (f n ) conţine un subşir (f nk ) care este uniform convergent.Demonstraţie. Demonstraţia este tehnicǎ şi este omisǎ în acest curs.29 Serii de funcţii. Convergenţǎ şi convergenţa uniformǎ.Fie A ⊂ R 1 şi f n un şir de funcţii reale f n : A → R 1 .∞∑Definiţia 29.1. Simbolul f n este o serie de funcţii convergentǎ în a ∈ A dacǎ serian=1∞∑numericǎ f n (a) este convergentǎ.n=1∞∑Simbolul f n este o serie de funcţii divergentǎ în a ∈ A dacǎ seria numericǎn=1este divergentǎ.Definiţia 29.2. Un punct a ∈ A este punct de convergenţǎ al seriei de funcţiidacǎ seria converge în ”a”.∞∑f n (a)n=1∞∑n=1f nMulţimea punctelor de convergenţǎ ale seriei de funcţii∞∑convergenţǎ a seriei de funcţii f n .n=1∞∑f n se numeşte mulţimea den=156

Fie B ⊂ A mulţimea de convergenţǎ a seriei de funcţiiS(x) suma:S(x) =∞∑f n (x).Stabilim astfel o corespondenţǎ de la mulţimea B la R 1 . Adicǎ o funcţien=1S : B ⊂ A ⊂ R 1 → R 1Funcţia definitǎ mai sus se numeşte suma seriei de funcţiiTradiţional suma seriei de funcţii se noteazǎ cu S =Definiţia 29.3. Fie∞∑n=1B ⊂ A. Seria de funcţiif n∞∑f n . Pentru x ∈ B notǎm cun=1∞∑f n pe mulţimea B.n=1∞∑f n pentru x ∈ B.n=1o serie de funcţii definite pe A şi S o funcţie definitǎ pe∞∑f n converge la S pe mulţimea B dacǎ pentru orice x ∈ B şin=1orice ε > 0 existǎ N = N(x, ε) > 0 astfel încât pentru orice n > N avem:|f 1 (x) + f 2 (x) + ... + f n (x) − S(x)| < ε.Dacǎ numǎrul N nu depinde de x atunci seria converge uniform la S pe B. În acest cazavem urmǎtoarea definiţie:∞∑Definiţia 29.4. Seria de funcţii f n converge uniform la S pe B dacǎ ∀ ε > 0 ∃ N =N(ε) astfel încât:n=1n∑f∣ k (x) − S(x)< ε, ∀ n > N(ε), ∀ x ∈ B.∣k=1Definiţia 29.5. Seria de funcţii reale∞∑|f n | converge pe B.n=1Dacǎ seria de funcţii∞∑f n converge absolut pe B dacǎ seria de funcţiin=1∞∑f n converge absolut pe B atunci ea converge pe B.n=1Exemplu 29.1. a) Considerǎm şirul de funcţii f n (x) =∞∑funcţii f n .n=1x 2n ≥ 0, şi seria de(1 + x 2 )nMulţimea de convergenţǎ a seriei de funcţii este R 1 şi suma seriei este funcţia:{ 1 + x2pentru x ≠ 0S(x) =0 pentru x = 057

Seria de funcţii este absolut convergentǎ pe R 1 .b) Pentru n ≥ 1 considerǎm şirul de funcţii definit pe R 1 astfel: f n (x) = sinn xşi serian∞∑2de funcţii f n .n=1Seria de funcţii este absolut convergentǎ pe R 1 .convergentǎ pe R 1 .c) Pentru n ≥ 1 considerǎm f n (x) = cos n x şi seria de funcţiiSeria de funcţii este uniform∞∑f n . Mulţimea deconvergenţǎ a seriei este R 1 \ {kπ} k∈Z . Seria este absolut convergentǎ pe aceastǎmulţime.∞d) Pentru n ≥ 1 considerǎm f n (x) = en|x|n şi seria de funcţii ∑f n .n=1convergenţǎ a acestei serii de funcţii este vidǎ.n=1Mulţimea de30 Criterii de convergenţǎ pentru serii de funcţii.Considerǎm seria de funcţii∞∑f n definite pe A; f n : A ⊂ R 1 → R 1 .n=1Definiţia 30.1. Seria de funcţii∞∑f n .n=1Criteriul 1: Seria de funcţii∞∑n=k+1f n se numeşte restul de ordinul k + 1 al seriei∞∑f n este convergentǎ pe A dacǎ şi numai dacǎ restul den=1orice ordin al seriei este convergent pe A.Demonstraţie. Considerǎm sumele parţiale:şi observǎm cǎS k = f 1 +f 2 + ... +f kσp k = f k+1 +f k+2 + ... +f k+pS k+p = S k + σ k pDin aceastǎ egalitate rezultǎ cǎ şirul (S k+p ) converge pentru p → ∞ dacǎ şi numai dacǎşirul (σ k p) converge pentru p → ∞.Criteriul 2: Seria de funcţii∞∑n=1f nsumelor resturilor converge la zero pe A.este convergentǎ pe A dacǎ şi numai dacǎ şirul58

Demonstraţie. Imediatǎ.∞∑Criteriul 3 (Cauchy): Seria de funcţii f n converge uniform pe A dacǎ şi numaidacǎ pentru orice ε > 0 existǎ N = N(ε) astfel ca pentru n ≥ N şi p ≥ 1 sǎ aibe loc:n=1|f n+1 (x) + f n+2 (x) + ... + f n+p (x)| < ε ∀ x ∈ ADemonstraţie. Criteriul este o consecinţǎ a criteriului Cauchy pentru şiruri.∞∑Criteriul 4: Fie a n o serie de numere pozitive convergentǎ. Dacǎ |f n (x)| ≤n=1a n , ∀ x ∈ A, ∀ n ∈ N atunci seria de funcţiiDemonstraţie. Imediatǎ.∞∑f n este uniform convergentǎ pe A.n=131 Serii de puteri.Definiţia 31.1. O serie de funcţii de forma∞∑a n x n , x ∈ R 1 se numeşte serie de puteri.n=1Orice serie de puteri converge pentru x = 0.Mulţimea de convergenţǎ a unei serii de puteri.Teorema 31.1. [Abel-Cauchy-Hadamard.]Seria de puteri∞∑a n x n este absolut convergentǎîn orice punct x cu |x| < R unde R este:n=1R = 1 pentru 0 < ω ≤ +∞ωR = +∞ pentru ω = 0şi ω = limn→∞n √ |a n |.Seria de puteri este divergentǎ în orice punct x cu |x| > R.Pentru orice r ∈ (0, R) seria de puteri este uniform convergentǎ pe intervalul închis[−r, r].R se numeşte raza de convergenţǎ a seriei de puteri.59

Demonstraţie. Considerǎm un punct x 0 ∈ R 1 şi seria∞∑|a n | · |x 0 | n . Aplicǎm criteriulrǎdǎcinii acestei serii şi obţinem: dacǎ limn→∞n √ |a n | · |x 0 | < 1, atunci seriaabsolut convergentǎ. Cu alte cuvinte, serian=1n=1∞∑a n · x n 0 esten=1∞∑a n · x n 0 este absolut convergentǎ pentru|x 0 | < R, unde R = 1 √ndacǎ 0 < ω ≤ +∞ şi R = +∞ dacǎ ω = 0, iar ω = lim |an |.ω n→∞∞∑Aplicând acelaşi criteriu rezultǎ cǎ seria a n · x n 0 este divergentǎ pentru orice x 0 cu|x 0 | > R.Pentru r ∈ (0, R) serian=1∞∑|a n | · r n converge (x = r este un punct în caren=0converge absolut) şi pentru x ∈ [−r, r] are loc:|a n | · |x| n ≤ |a n | · r nConform Criteriului 4 de convergenţǎ seria[−r, r].Exemplu 31.1.a) Seria de puteri∞∑a n · x nn=0∞∑a n · x nn=0este uniform convergentǎ pe∞∑x n este absolut convergentǎ pentru |x| < 1 şin=0este divergentǎ pentru |x| > 1. Raza de convergenţǎ a seriei este R = 1; mulţimeade convergenţǎ este intervalul deschis (−1, 1).b) Pentru seria de putericonvergenţǎ este [−1, 1).∞∑n=0x nnc) Mulţimea de convergenţǎ a seriei de puterid) Seria de puteri∞∑n=0raza de convergenţǎ R este R = 1. Mulţimea de∞∑n=0(−1) n xnneste (−1, 1].x nα > 1 este absolut convergentǎ pe [−1, 1].nα În ceea ce priveşte continuitatea sumei unei serii de puteri avem:Teorema 31.2. Teorema de continuitate a sumei. Suma S a seriei de puterieste o funcţie continuǎ pe (-R,R).∞∑a n x nDemonstraţie. Fie x 0 ∈ (−R, R). Existǎ r > 0 şi r < R astfel încât sǎ aibǎ loc:−R < −r < x 0 < r < R. Deoarece pe intervalul închis [−r, r] seria converge uniform şitermenii seriei sunt funcţii continue, suma S este funcţie continuǎ pe [−r, r]. În particular,S este o funcţie continuǎ în x 0 .60n=0

Suma S a seriei de putericonţinut în (−R, R).∞∑a n x n este uniform continuǎ pe orice interval compactn=0Remarca 31.1. Consideraţiile acestea pot fi aplicate şi în cazul seriilor de forma:∞∑a n (x − a) n .n=032 Operaţii cu serii de puteri.∞∑∞∑Considerǎm seriile de puteri a n x n şi b n x n având razele de convergenţǎ R 1 şi R 2 şin=0n=0presupunem cǎ are loc 0 < R 1 ≤ R 2 . Notǎm cu f(x) suma seriei∞∑seriei b n x n :n=0∞∑∞∑a n x n = f(x) şi b n x n = g(x)n=0Regula sumei. Seria de puteriare loc:n=0∞∑a n x n şi cu g(x) suman=0∞∑(a n + b n ) · x n are raza de convergenţǎ cel puţin R 1 şin=0∞∑∞∑∞∑(a n + b n ) · x n = a n x n + b n x n , ∀ x : |x| < R 1n=0n=0n=0Regula înmulţirii cu un numǎr. Seria de putericel puţin R 1 şi are loc:∞∑k · a n x n = k ·n=0∞∑k · a n x n are raza de convergenţǎn=0∞∑a n x n , ∀ x : |x| < R 1n=0∞∑Regula produsului. Seria de puteri c n x n are raza de convergenţǎ R 1 şi are loc:n∑unde c n = a k · b n−k .k=0n=0(∞∑∞) (∑∞)∑c n x n = a n x n · b n x nn=0n=0n=0Demonstraţie. Aceste reguli se obţin în baza regulilor generale relative la serii de funcţii.Remarca 32.1. Aceste reguli pot fi aplicate şi la serii de forma:∞∑a n (x − a) n .n=061

33 Derivabilitatea funcţiilor.Intuitiv vorbind, o funcţie f : A ⊂ R 1 → R 1 este derivabilǎ(diferenţiabilǎ) în c ∈ A dacǎîn punctul P (c, f(c)) se poate trasa tangenta la graficul funcţiei.Panta corzii P Q din figura 33.1:Figura 33.1:f(x) − f(c)este şi ceea ce se cere este ca aceasta sǎ tindǎ la panta tangentei în P atuncix − ccând Q se apropie de P .Aceastǎ idee geometricǎ motiveazǎ urmǎtoarea definiţie:Definiţia 33.1. Funcţia f : A ⊂ R 1 → R 1 este derivabilǎ (diferenţiabilǎ ) în punctulf(x) − f(c)c ∈ Å dacǎ existǎ limita limşi este finitǎ.x→c x − cTradiţional valoarea limitei se noteazǎ cu f ′ (c) sau cu df (c) şi se numeşte derivata lui fdxîn c.Exemplu 33.1. Funcţia f(x) = x 2 , x ∈ R 1 este derivabilǎ (diferenţiabilǎ ) în orice punctc ∈ R 1 .În adevǎr pentru c fixat,f(x) − f(c)x − cf(x) − f(c)x − c= x2 − c 2x − c(pentru x ≠ c) în cazul de faţǎ este:=(x − c) · (x + c)x − c= x + c −−→x→cDe aici, rezultǎ cǎ funcţia f este derivabilǎ (diferenţiabilǎ ) în punctul c şi f ′ (c) = 2c.Exemplu 33.2. Funcţia f(x) = |x|, x ∈ R 1 este derivabilǎ (diferenţiabilǎ ) în oricec ≠ 0.Este uşor de verificat cǎ funcţia f este derivabilǎ (diferenţiabilǎ ) în orice c ≠ 0 şi f ′ (c) = 1pentru c > 0 şi f ′ (c) = −1 pentru c < 0.Pentru c = 0 avem:f(x) − f(0)x − 0= |x| { 1, pentru x > 0x = −1, pentru x < 0De aicif(x) − f(0)−−−→x − 01 şi f(x) − f(0)−−−→x→0 + x − 0−1x→0 −Deoarece aceste limite laterale nu coincid, f nu este derivabilǎ (diferenţiabilǎ ) în c = 0.622c

Definiţia 33.2. Dacǎ funcţia f : A ⊂ R 1 → R 1 este derivabilǎ (diferenţiabilǎ ) în oricepunct a ∈ A atunci funcţia f ′ : A ⊂ R 1 → R 1 definitǎ prin f ′ f(x) − f(a)(a) = limsex→a x − anumeşte derivata funcţiei f.Remarca 33.1. În general, punctele în care f nu este derivabilǎ (diferenţiabilǎ ), pot fif(x) − f(c)identificate adesea examinând limitele laterale ale raportului dacǎ x → c.x − cf(x) − f(c)Limita la stânga limse numeşte derivata la stânga a funcţiei f în c şi sex→c − x − cnoteazǎ cu f ′ −(c).f(x) − f(c)Analog, limita la dreapta limse numeşte derivata la dreapta a funcţiei f înx→c + x − cc şi se noteazǎ cu f ′ +(c).Evident, f ′ (c) existǎ dacǎ şi numai dacǎ f ′ −(c) = f ′ +(c).Teorema 33.1. Dacǎ f este derivabilǎ (diferenţiabilǎ ) în punctul c, atunci f estecontinuǎ în c.Demonstraţie. Definim funcţia:⎧⎪⎨F c (x) =⎪⎩f(x) − f(c), dacǎ x ≠ cx − cf ′ (c),dacǎ x = cDeoarece f este derivabilǎ (diferenţiabilǎ) în c, F c (x) −−→x→ccontinuǎ în c. ÎntrucâtF c (c) şi deci F c este funcţierezultǎ cǎ funcţia f este continuǎ în c.f(x) = f(c) + F c (x) · (x − c), ∀ x ∈ AMenţionǎm cǎ existǎ funcţii continue care nu sunt diferenţiabile.63

Tabelul urmǎtor conţine câteva funcţii elementare şi derivatele lor:f(x) = k f ′ (x) = 0f(x) = x n , n ∈ Nf ′ (x) = n · x n−1f(x) = √ x, x > 0 f ′ (x) = 12 √ xf(x) = sin xf(x) = cos xf ′ (x) = cos xf ′ (x) = − sin xf(x) = tg x f ′ (x) = 1cos 2 xf(x) = ctg x f ′ (x) = − 1sin 2 xf(x) = e xf(x) = e xf(x) = ln xf ′ (x) = 1 x34 Reguli de derivabilitate.Regula sumei: Dacǎ f şi g sunt funcţii derivabile în c, atunci suma funcţiilor f + geste derivabilǎ în c şi are loc egalitatea:(f + g) ′ (c) = f ′ (c) + g ′ (c).Regula produsului: Dacǎ f şi g sunt funcţii derivabile în c, atunci produsul funcţiilorf · g este funcţie derivabilǎ în c şi are loc egalitatea:(f · g) ′ (c) = f ′ (c) · g(c) + f(c) · g ′ (c).Regula reciprocǎ: Dacǎ f este o funcţie care nu se anuleazǎ şi este derivabilǎ în c,atunci 1 feste derivabilǎ în c şi are loc egalitatea:( 1f)′ (c) = − f ′ (c)f 2 (c) .Demonstraţie. (pentru regula produsului)64

Pentru x ≠ c avem:(f · g)(x) − (f · g)(c)x − cDacǎ x → c atunci,f(x) · g(x) − f(c) · g(c)= =x − cf(x) · g(x) − f(x) · g(c) + f(x) · g(c) − f(c) · g(c)=x − cf(x) − f(c)= · g(c) + f(x) ·x − cg(x) − g(c).x − c=f(x) − f(c)x − c→ f ′ (c)şig(x) − g(c)x − c→ g ′ (c).Deci(f · g)(x) − (f · g)(c)x − c−−−−−−−→x→cf ′ (c) · g(c) + f(c) · g ′ (c).Regula produsului şi a reciprocei pot fi combinate pentru a obţine regula câtului.Regula câtului: Dacǎ f şi g sunt funcţii derivabile în c şi g(x) ≠ 0, atunci f g estederivabilǎ în c şi are loc egalitatea:( fg)′ (c) = f ′ (c) · g(c) − f(c) · g ′ (c)[g(c)] 2 .Exemplu 34.1. Folosind regulile de mai sus sǎ se calculeze pentru fiecare din urmǎtoarelefuncţii derivata în punctele indicate:i) f(x) = x 2 + sin x x ∈ R 1 ;ii) f(x) = x 2 · sin x x ∈ R 1 ;iii) f(x) = tg xx ∈ R 1 şi x ≠ (2n + 1) π , n numǎr întreg;2iv) f(x) = x n , n ∈ Z, n ≠ 0 , x ≠ 0;v) f(x) = sec x, x ≠ (2n + 1) π 2 ;vi) f(x) = cosec, x ≠ nπ;vii) f(x) = tg x, x ≠ (2n + 1) π 2 ;viii) f(x) = ctg x, x ≠ nπ.65

Regula ”cleştelui”: Fie f, g şi h trei funcţii care verificǎ relaţiile: g(x) ≤ f(x) ≤ h(x),pentru orice x în vecinǎtatea lui c şi g(c) = f(c) = h(c). Dacǎ funcţiile g şi h suntderivabile în c, atunci şi f este derivabilǎ în c şi este verificatǎ relaţia:f ′ (c) = g ′ (c) = h ′ (c).Demonstraţie. Din inegalitǎţile date rezultǎ cǎ pentru orice x > c avem:g(x) − g(c)x − c≤f(x) − f(c)x − c≤h(x) − h(c)x − cşi pentru orice x < c avem:g(x) − g(c)x − c≥f(x) − f(c)x − c≥h(x) − h(c)x − cRezultatul cǎutat se obţine din regula cleştelui pentru limite de funcţii dacǎ g ′ (c) = h ′ (c).Pentru a demonstra aceastǎ egalitate din urmǎ, fie:⎧⎨ g(x) − g(c)dacǎ x ≠ cG c (x) =⎩x − cg ′ (c) dacǎ x = cşi⎧⎨H c (x) =⎩h(x) − h(c)dacǎ x ≠ cx − ch ′ (c) dacǎ x = c.Fie k(x) = G c (x) − H c (x). Deoarece funcţiile g şi h sunt derivabile în c, funcţiile G c şi H csunt continue în c. Astfel funcţia k este continuǎ în c. Din primele inegalitǎţi rezultǎ cǎdacǎ x > c, atunci k(x) ≤ 0, iar dacǎ x < c, atunci k(x) ≥ 0. Aşadar, k(c) = 0 şi atunciG c (c) = H c (c). Cu alte cuvinte, g ′ (c) = h ′ (c).Exemplu 34.2. Funcţia⎧⎪⎨ x 2 sin 1 dacǎ x ≠ 0f(x) =x⎪⎩0 dacǎ x = 0.verificǎ inegalitatea: g(x) ≤ f(x) ≤ h(x), dacǎ h(x) = −x 2 şi g(x) = x 2 . Deoarece g şih sunt derivabile în 0, iar derivata celor douǎ funcţii în 0 este 0, din criteriul cleştelui seobţine cǎ f este derivabilǎ în x = 0.Folosind alte reguli se obţine cǎ funcţia f este derivabilǎ pentru orice x ≠ 0 şi în plus,⎧⎪⎨ 2x sin 1f ′ (x) =x − cos 1 dacǎ x ≠ 0x⎪⎩0 dacǎ x = 0.Se observǎ cǎ limx→0f ′ (x) nu existǎ, deşi f ′ (0) existǎ, şi f ′ nu este continuǎ în 0.66

Regula de derivare a funcţiei compuse: Dacǎ functia f este derivabilǎ în c şi funcţiag este derivabilǎ în b = f(c), atunci funcţia g ◦ f este derivabilǎ în c şi are loc egalitatea:Demonstraţie. Fieşi(g ◦ f) ′ (c) = g ′ (f(c)) · f ′ (c).⎧⎪⎨F c (x) =⎪⎩⎧⎪⎨G b (y) =⎪⎩f(x) − f(c)x − cf ′ (c)g(y) − g(b)y − bdacǎ x ≠ cdacǎ x = cdacǎ y ≠ bg ′ (b) dacǎ y = b.Funcţia F c este continuǎ în x = c şi pentru orice x avem:f(x) = f(c) + (x − c) · F c (x).Funcţia G b este continuǎ în y = b şi pentru orice y avem:Aşadarg(y) = g(b) + (y − b) · G b (y).(g ◦ f)(x) =g(f(x)) = g(y) = g(b) + (y − b) · G b (y) ==g(f(c)) + (f(x) − f(c)) · G b (f(x)) ==g(f(c)) + (x − c) · F c (x) · G b (f(x)).şi astfel(g ◦ f)(x) − (g ◦ f)(c)= F c (x) · G b (f(x)).x − cFuncţia din membrul drept al egalitǎţii de mai sus este continuǎ în x = c. Deci(g ◦ f)(x) − (g ◦ f)(c)limx→c x − c= F c (c) · G b (f(c)) = f ′ (c) · g ′ (f(c)),Regula de derivare a funcţiilor compuse, în literatura anglo saxonǎ, este adesea numitǎ”the chain rule”. Formula de derivare a funcţiilor compuse este mai sugestivǎ în notaţialui Leibniz. Dacǎ ∆x = h şi ∆y = f(x + h) − f(x), atuncif ′ (x) = limh→0f(x + h) − f(x)hNotaţia lui Leibniz pentru aceastǎ limitǎ este:dydx .∆y= lim∆x→0 ∆x .Dacǎ se noteazǎ y = g(u), undeu = f(x), atunci f ′ (x) = dudx şi g′ (f(x)) = dydu şi (g ◦ f)′ (x) = dy . Regula de derivaredxpoate fi scrisǎ astfel:dydx = dydu · dudx .67

Exemplu 34.3. Sǎ se arate cǎ h(x) = sin x 2 este derivabilǎ.Soluţie: Dacǎ considerǎm funcţiile g(x) = sin x şi f(x) = x 2 , atunci h = g ◦ f. Deoarecef şi g sunt derivabile în orice punct, din regula de derivare a funcţiei compuse rezultǎ cǎfuncţia h este derivabilǎ. În plus,h ′ (x) = g ′ (f(x)) · f ′ (x) = 2x cos x.Regula de derivare a inversei: Presupunem cǎ f : A → B este o funcţie bijectivǎşi continuǎ, unde A şi B sunt intervale. Dacǎ f este derivabilǎ în a ∈ A şi f ′ (a) ≠ 0,atunci f −1 este derivabilǎ în b = f(a) şi are loc egalitatea:(f −1 ) ′ (b) = 1f ′ (a) .Demonstraţie. Pentru a ∈ A. Considerǎm:⎧f(x) − f(a)⎪⎨dacǎ x ≠ aF a (x) =x − a⎪⎩f ′ (a) dacǎ x = a.F a este continuǎ în x = a şi pentru orice x ∈ Af(x) = f(a) + (x − a) · F a (x).Dacǎ b = f(a) şi y = f(x) pentru x ∈ A atunci:Considerǎmşi remarcǎm cǎ aceasta verificǎ:G b (y) =F a (x) = y − bx − aG b (y) = x − ay − bpentru x ≠ a.pentru y ≠ bx − af(x) − f(a) = 1F a (x) = 1(F a ◦ f −1 )(y) , y ≠ b.Deoarece funcţia f este bijectivǎ şi continuǎ, f −1 este continuǎ. Pe de altǎ parte F a estecontinuǎ în x = a şi astfel funcţia F a ◦f −1 este continuǎ în y = b. În plus au loc egalitǎţile:(F a ◦ f −1 )(b) = F a (f −1 (b)) = F a (a) = f ′ (a) = f ′ (f −1 (b)) ≠ 0Astfel rezultǎ cǎ:Cu alte cuvinte:x − ay − b = G b(y) =f −1 (y) − f −1 (b)limy→b y − b1(F a ◦ f −1 )(y) −−→y→b1(F a ◦ f −1 )(b) .( )1=(b) = 1f ′ ◦ f −1 f ′ (a) .68

Consecinţa 34.1. Dacǎ funcţia f este bijectivǎ şi derivabilǎ pe intervalul A şi f ′ (a) ≠ 0pentru orice a ∈ A atunci funcţia inversǎ f −1 este derivabilǎ pe f(A) şi are loc egalitatea(f −1 ) ′ (f(a)) = 1f ′ (a) .Exemplu 34.4. Funcţia f : (0, ∞) → (0, ∞) definitǎ prin relaţia f(x) = x 2 este o funcţiebijectivǎ. Inversa funcţiei f este f −1 (x) = √ x. Funcţia f este derivabilǎ pentru x > 0 şif ′ (x) = 2x ≠ 0. Folosind regula inversei, funcţia f −1 (x) = √ x este derivabilǎ şi are locrelaţia:(f −1 ) ′ (x) = 12 √ x .(Exemplu 34.5. Funcţia g : − π 2 , π )→ (−1, 1) datǎ prin relaţia g(x) = sin x este o2funcţie bijectivǎ, iar inversa ei este datǎ de relaţia g −1 (x) = arcsin x. Funcţia g estederivabilǎ şi are loc relaţia:(g ′ ◦ g −1 )(x) = cos(arcsin x) pentru |x| < 1.Folosind regula inversei, funcţia g −1 este derivabilǎ şi are loc egalitatea:(g −1 ) ′ (x) =1√1 − x2pentru |x| < 1.35 Extreme locale.În aceastǎ secţiune sunt prezentate rezultate referitoare la determinarea maximului şiminimului local pentru funcţii derivabile.Definiţia 35.1. O funcţie f are un maxim local în c dacǎ existǎ un interval deschis Icare conţine pe c astfel încât f(x) ≤ f(c) pentru orice x ∈ I. Dacǎ f(x) ≥ f(c) pentrufiecare x ∈ I, atunci f are un minim local în c.Teorema 35.1. [Teorema extremelor locale, teorema lui Fermat] Dacǎ funcţia feste derivabilǎ în c şi are în c un minim sau maxim local, atunci f ′ (c) = 0.Demonstraţie. Presupunem cǎ x = c este un punct de minim local pentru f. Existǎ uninterval deschis I astfel încât f(x) − f(c) ≥ 0 pentru orice x ∈ I. Dacǎ x > c, atuncif(x) − f(c)f(x) − f(c)≥ 0 şi dacǎ x < c, atunci ≤ 0. Astfel f ′x − cx − c+(c) ≥ 0 şi f ′ −(c) ≤ 0.Dar f ′ (c) existǎ şi avem: f ′ +(c) = f ′ −(c). Deci f ′ (c) = 0.Deşi condiţia f ′ (c) = 0 trebuie sǎ fie îndeplinitǎ într-un punct de maxim sau minimlocal, aceastǎ condiţie nu este suficientǎ pentru a avea un extrem local în c. De exemplu,considerǎm urmǎtoarea funcţie: f(x) = x 3 . În punctul x = 0, avem f ′ (0) = 0, dar 0 nueste nici maxim local, nici minim local.Exemplu 35.1. Sǎ se delimiteze o mulţime în care se aflǎ punctele de minim şi maximlocal pentru urmǎtoarea funcţie:f(x) = x (x − 1) (x − 2)69

36 Proprietǎţi fundamentale ale funcţiilor derivabile.În aceastǎ secţiune sunt prezentate câteva proprietǎţi fundamentale ale funcţiilor derivabile.Teorema 36.1. [Teorema lui Rolle.] Dacǎ o funcţie f este continuǎ pe [a, b],derivabilǎ pe (a, b) şi dacǎ f(a) = f(b), atunci existǎ cel puţin un c ∈ (a, b), astfel încâtf ′ (c) = 0.Demonstraţie. Deoarece funcţia f este continuǎ pe [a, b], ea este mǎrginitǎ pe [a, b] şiatinge o valoare maximǎ, notatǎ f(c 1 ), şi o valoare minimǎ, notatǎ f(c 2 ), c 1 şi c 2 situateîn intervalul [a, b].Dacǎ f(c 1 ) = f(c 2 ), atunci funcţia f este constantǎ pe [a, b]. De aici, rezultǎ f ′ (x) = 0,pentru orice x ∈ [a, b] şi teorema este demonstratǎ.Dacǎ f(c 1 ) ≠ f(c 2 ), atunci cel puţin una din valorile c 1 şi c 2 este diferitǎ de a şi b.Prin urmare, funcţia f are un maxim sau un minim local în intervalul (a, b) (sau peamândouǎ).Conform teoremei de extrem local f ′ este zero cel puţin într-un punct din intervalul(a, b).Teorema 36.2. [Teorema valorii medii, Lagrange.] Dacǎ funcţia f este derivabilǎpe intervalul (a, b) şi este continuǎ pe intervalul [a, b], atunci existǎ cel puţin o valoarec ∈ (a, b), atfel încât:f ′ f(b) − f(a)(c) = .b − af(b) − f(a)Demonstraţie. Considerǎm funcţia g(x) = f(x) − λx, unde λ = . Funcţia gb − aeste derivabilǎ pe (a, b) şi continuǎ pe intervalul [a, b]. λ a fost ales astfel încât g(a) = g(b).Aplicând teorema lui Rolle, existǎ cel puţin o valoare c, c ∈ (a, b), astfel încât g ′ (c) = 0.Prin urmare, f ′ (c) − λ = 0 şi rezultǎ cǎ f ′ f(b) − f(a)(c) = .b − aTeorema 36.3. [Teorema de monotonie.] Dacǎ funcţia f este derivabilǎ pe intervalul(a, b) şi este continuǎ pe intervalul [a, b], atunci:(1) Dacǎ f ′ (x) > 0 pentru orice x ∈ (a, b) atunci f este strict crescǎtoare pe intervalul[a, b];(2) Dacǎ f ′ (x) < 0 pentru orice x ∈ (a, b) atunci f este strict descrescǎtoare peintervalul [a, b];(3) Dacǎ f ′ (x) = 0 pentru orice x ∈ (a, b) atunci f este constantǎ pe [a, b].Demonstraţie. Considerǎm x 1 , x 2 ∈ [a, b], cu x 1 < x 2 . Deoarece funcţia f îndeplineşteipotezele din teorema de medie pe intervalul [x 1 , x 2 ] existǎ c, x 1 < c < x 2 astfel încât sǎavem:f(x 2 ) − f(x 1 )= f ′ (c)x 2 − x 170

Deoarece f ′ (c) > 0, rezultǎ cǎ f(x 2 ) > f(x 1 ).crescǎtoare pe intervalul [a, b].Cu alte cuvinte, f este funcţie strictDemonstraţia pentru 2 şi 3 este similarǎ.Observaţia 36.1. Teorema anterioarǎ este folositǎ pentru determinarea şi clasificareapunctelor de extrem şi pentru stabilirea unor inegalitǎţi dintre funcţii.Exemplu 36.1. Pentru funcţia f(x) = x 2·e −x determinaţi punctele de extrem şi precizaţinatura lor: .Soluţie: Funcţia f este derivabilǎ şi derivata ei este:f ′ (x) = e −x · (2 − x) · x.Punctele de extrem se aflǎ printre soluţiile ecuaţiei f ′ (x) = 0. De aici rezultǎ cǎ x = 0 şix = 2 sunt eventual puncte de extrem. Deoarece e −x > 0, avem urmǎtoarele situaţii: dacǎx < 0 atunci f ′ (x) < 0, dacǎ x ∈ (0, 2) atunci f ′ (x) > 0 şi dacǎ x > 2 atunci f ′ (x) < 0.Astfel funcţia f este descrescǎtoare pe intervalul (−∞, 0), este crescǎtoare pe intervalul(0, 2) şi este descrescǎtoare din nou pe intervalul (2, +∞). Rezultǎ cǎ x = 0 este un punctde minim local pentru funcţia f şi x = 2 este un punct de maxim local pentru funcţia f.Exemplu 36.2. Arǎtaţi cǎ e x ≥ 1 + x, pentru orice x.Soluţie: Considerǎm funcţia f(x) = e x −1−x. Funcţia f este derivabilǎ şi f ′ (x) = e x −1.Deoarece f ′ (x) > 0 pentru x > 0 rezultǎ cǎ f(x) > f(0) = 0 pentru x > 0.Deoarece f ′ (x) < 0 pentru x < 0 rezultǎ cǎ f(x) > f(0) = 0 pentru x < 0.În final se obţine cǎ f(x) ≥ 0 pentru orice x ∈ R 1 , adicǎ e x ≥ 1 + x.Rezultatul urmǎtor este greu de interpretat geometric, dar este necesar pentru a demonstraregula lui l ′ Hôspital. Aceasta este o regulǎ foarte potrivitǎ pentru determinareaf(x)limitelor de forma: limx→x0 g(x) , unde f(x 0) = g(x 0 ) = 0.Teorema 36.4. [Teorema de medie a lui Cauchy.] Dacǎ f şi g sunt funcţii derivabilepe intervalul (a, b) sunt continue pe intervalul [a, b] şi g ′ (x) ≠ 0 pentru orice x ∈ (a, b),atunci existǎ cel puţin o valoare c ∈ (a, b), astfel încât:f ′ (c)g ′ (c)=f(b) − f(a)g(b) − g(a)Demonstraţie. Observǎm cǎ g(a) ≠ g(b). În caz contrar aplicând teorema lui Rolle pentrufuncţia g în intervalul [a, b] se obţine cǎ funcţia g ′ se anuleazǎ într-un punct din intervalul(a, b) ceea ce contravine ipotezei.f(b) − f(a)Considerǎm funcţia h(x) = f(x) − λg(x), unde λ =g(b) − g(a) .Funcţia h îndeplineşte ipotezele din teorema lui Rolle. Aşadar existǎ c ∈ (a, b), astfelîncât h ′ (c) = 0, ceea ce implicǎ: f ′ (c) = λ · g ′ (c).71

Teorema 36.5. [Regula lui l ′ Hôspital, versiunea A] Fie f şi g douǎ funcţiicare îndeplinesc ipotezele teoremei de medie a lui Cauchy şi fie x 0 ∈ (a, b). Dacǎf(x 0 ) = g(x 0 ) = 0, atuncif(x)limx→x 0 g(x) = lim f ′ (x)x→x 0 g ′ (x)cu condiţia cǎ limita din dreapta existǎ.Demonstraţie. Aplicând teorema de media a lui Cauchy pentru funcţiile f şi g peintervalul [x 0 , x] unde x 0 < x ≤ b, rezultǎ cǎ existǎ c, x 0 < c < x astfel încât:De aici rezultǎ cǎ:limx→x + 0f ′ (c)g ′ (c) = f(x) − f(x 0)g(x) − g(x 0 ) = f(x)g(x) .f(x)g(x) = limc→x + 0f ′ (c)g ′ (c) = limx→x + 0f ′ (x)g ′ (x)cu condiţia cǎ limita din dreapta existǎ.Un rezultat similar se obţine pentru intervalul [x, x 0 ], unde a ≤ x < x 0 :limx→x − 0cu condiţia ca limita din dreapta existǎ.Regula rezultǎ imediat.f(x)g(x) = limx→x − 0f ′ (x)g ′ (x)Exemplu 36.3. Sǎ se verifice cǎ:sin xlimx→0 x = 1.Soluţie: Funcţiile f(x) = sin x şi g(x) = x îndeplinesc ipotezele regulei lui l ′ Hôspital. Înplus,sin xlimx→0 x= lim cos x= 1.x→0 1Exemplu 36.4. Sǎ se verifice cǎ:lim (1 + x) 1 x = e.x→0Soluţie: Folosind regula compunerii pentru limite de funcţii se obţine:iar cu regula lui l ′ Hôspital:() ( )ln lim (1 + x) 1 x = lim ln(1 + x) 1 ln(1 + x)x = lim .x→0 x→0 x→0 xDeciln(1 + x)limx→0 x1= limx→0 x + 1 = 1.lim (1 + x) 1 x = e.x→072

Regula lui l ′ Hôspital poate fi folositǎ pentru evaluarea multor limite nedeterminate, odatǎce acestea sunt exprimate ca şi limite de câturi de funcţii, cu condiţia ca limpoatǎ evalua.g(x)x→x0f(x)sǎ seAdesea, limita de mai sus este tot o nedeterminare (adicǎ f ′ (x 0 ) = g ′ (x 0 ) = 0) şi s-arputea aplica din nou regula lui l ′ Hôspital, dar trebuie ca funcţiile f ′ şi g ′ sǎ fie şi elederivabile.37 Derivabilitatea (diferenţiabilitatea) de ordinsuperior.Definiţia 37.1. Dacǎ f este o funcţie derivabilǎ şi derivata sa f ′ este la rândul ei ofuncţie derivabilǎ, atunci se spune cǎ funcţia f este de douǎ ori derivabilǎ, iar derivatalui f ′ se numeşte derivata de ordinul al doilea a lui f şi se noteazǎ: f ′′ sau f (2) .Definiţia 37.2. În general, f este derivabilǎ de n ori dacǎ f este derivabilǎ de (n − 1)ori şi derivata de ordinul n − 1 este o funcţie derivabilǎ.Derivata derivatei de ordinul n − 1 se numeşte derivata de ordinul n a lui f şi se noteazǎcu f (n) . Dacǎ, în plus f (n) este o funcţie continuǎ, atunci se spune cǎ funcţia f arederivata de ordinul n continuǎ (este de clasǎ C n )Exemplu 37.1.1. Dacǎ f(x) = x m , m ∈ N, atunci⎧⎨ m!f (n) (x) = (m − n)! · xm−n pentru n ≤ m⎩0 pentru n > m.(2. Dacǎ f(x) = sin x, atunci f (n) (x) = sin x + nπ 2)pentru n ≥ 1.3. Dacǎ f(x) = ln x, atunci f (n) (x) = (−1)n−1 · (n − 1)!x n pentru n ≥ 1.Derivatele de ordin superior pentru un produs de funcţii f şi g sunt:(f · g) ′ =f ′ · g + g ′ · f (37.1)(f · g) (2) =f (2) · g + 2 · f ′ · g ′ + f · g (2) (37.2)(f · g) (3) =f (3) · g + 3 · f (2) · g ′ + 3 · f ′ · g (2) + f · g (3) . (37.3)Formula ce urmeazǎ este des folositǎ şi poate fi demonstratǎ prin inducţie dupǎ n.Teorema 37.1. [Formula lui Leibnitz.] Dacǎ f şi g sunt funcţii derivabile de n ori,atunci h = f · g este o funcţie derivabilǎ de n-ori şi este verificatǎ relaţia:n∑h (n) = Cn k · f (n−k) · g (k) .k=073

Teorema 37.2. [Regula lui l ′ Hôspital, versiunea B.] Fie f şi g douǎ funcţii careau derivatele de ordinul n continue pe intervalul (a, b), iar x 0 cu proprietatea a < x 0 < b.Dacǎf (k) (x 0 ) = g (k) (x 0 ) = 0 pentru 0 ≤ k ≤ n − 1şiatunciExemplu 37.2. Sǎ se verifice cǎ:şig (n) (x 0 ) ≠ 0f(x)limx→x 0 g(x) = f (n) (x 0 )g (n) (x 0 ) .1 − cos xlim = 1x→0 x 2 2( ) 1limx→0 x − ctg x = 0.38 Polinoame Taylor.Considerǎm o serie de puteri∞∑a n x n cu raza de convergenţǎ R > 0. Fie f(x) suma seriein=0pentru |x| < R.Se poate demonstra cǎ f este o funcţie derivabilǎ şi derivata verificǎ egalitatea:f ′ (x) =∞∑a n · n · x n−1 pentru |x| < R.n=1Derivata de ordin k verificǎ:∞∑f (k) (x) = a n · n · (n − 1) · . . . · (n − k + 1) · x n−k pentru |x| < R.n=kDacǎ x = 0, atuncia k = f (k) (0)k!pentru k = 1, 2, . . .Aşadar coeficientul a n al lui x n în seria de puteri este f (n) (0)unde f(x) este suma seriein!de puteri. Deci:∞∑ f (n) (0)f(x) =· x n pentru |x| < R.n!n=0Pentru valori mici ale lui x, suma f(x) poate fi aproximatǎ cu polinomul de gradul N:f(0) + f ′ (0)1!x + f (2) (0)2!74x 2 + . . . + f (N) (0)x NN!

în care N este un numǎr natural oarecare.În aceastǎ secţiune vom analiza cât de bine aproximeazǎ acest polinom funcţia f(x), încazul în care f(x) nu este neapǎrat suma unei serii de puteri.Definiţia 38.1. Fie f o funcţie derivabilǎ de n-ori în 0. Polinomul Taylor de gradul npentru f în 0 este definit de egalitatea:T n f(x) = f(0) + f ′ (0)1!x + f (2) (0)2!x 2 + . . . + f (n) (0)x n .n!Exemplu 38.1. Fie f(x) = e x . Pentru k = 1, 2, . . ., avem f (k) (0) = 1. AstfelT 0 f(x) =1T 1 f(x) =1 + xT 2 f(x) =1 + x + 1 2 x2Primul rezultat se obţine din estimarea diferenţei între f(b), valoarea funcţiei date înx = b şi T n f(b), valoarea polinomului Taylor de gradul n în x = b.Teorema 38.1. [Prima teoremǎ a restului] Dacǎ f este o funcţie de clasǎ C (n+1) peun interval deschis ce conţine punctele 0 şi b, atunci diferenţa dintre f şi T n f în punctulx = b este datǎ de:f(b) − T n f(b) =bn+1(n + 1)! · f (n+1) (c)în care c ∈ (0, b).Demonstraţie. Pentru simplificare, vom presupune cǎ b > 0. Dacǎh n (x) = f(b) −n∑k=0atunci h n (b) = 0 şi h n (0) = f(b) − T n f(b). Dacǎf (k) (x)(b − x) k x ∈ [0, b].k!( ) n+1 b − xg(x) = h n (x) −· h n (0) x ∈ [0, b].batunci g este continuǎ pe intervalul [0, b], este derivabilǎ pe intervalul (0, b) şi este verificatǎrelaţia g(0) = g(b) = 0. Conform teoremei lui Rolle existǎ c între 0 şi b astfel încâtg ′ (c) = 0. Dupǎ un calcul simplu se obţineAstfelşih ′ n(x) = − f (n+1) (x)(b − x) nn!g ′ (x) = − f (n+1) (x)(b − x) n (n + 1)(b − x)n+ · hn!b n+1 n (0)0 = g ′ (c) = − f (n+1) (c)(b − c) n (n + 1)(b − c)n+ · hn!b n+1 n (0)75

obţinându-seh n (0) =bn+1(n + 1)! · f (n+1) (c).Diferenţa f(b) − T n f(b) se noteazǎ cu R n f(b) şi se numeşte restul aproximǎrii în x = b.Astfel:f(b) = T n f(b) + R n f(b)şi eroarea de aproximare a lui f(b) prin polinomul T n f(b) este datǎ de restul aproximǎriiR n f(b). Deoarece f (n+1) este continuǎ pe un interval închis ce conţine punctele 0 şi b, eaeste mǎrginitǎ pe acest interval. Existǎ deci un numǎr M astfel încât |f (n+1) (c)| ≤ M şi|R n f(b)| ≤b n+1∣(n + 1)! ∣ · M.Astfel, pentru un n fixat, restul aproximǎrii poate fi mic pentru valori ale lui b apropiatede zero. Cu alte cuvinte, polinoamele Taylor reprezintǎ o bunǎ aproximare a funcţiilor învecinǎtatea lui x = 0. Urmǎtorul exemplu ilustreazǎ acest fapt:Exemplu 38.2. Dacǎ f(x) = sin x, atunciT 7 f(x) = x − x33! + x55! − x7R 7 f(x) = x8(− sin c)7!8!pentru c între 0 şi x. Conform primei teoreme a restului se obţine:R 7 f(0.1) ≤ 0.188!= 2.48 · 10 −13 .Vom arǎta în continuare cum polinoamele Taylor pot fi utilizate pentru a dezvolta în seriede puteri funcţia f care este indefinit derivabilǎ pe un interval deschis ce conţine pe 0 şipe x. Pentru x avem:f(x) = T n f(x) + R n f(x).şilim T nf(x) =n→∞∞∑k=0f (k) (0)k!unde R este raza de convergenţǎ a seriei de puteri.· x k pentru |x| < RDacǎ limn→∞R n f(x) = 0 pentru |x| < R ′ < R, pentru o anumitǎ valoare R ′ , atuncif(x) =∞∑n=0f (n) (0)n!· x n pentru |x| < R ′ .Aceastǎ serie de puteri este numitǎ serie McLaurin pentru f(x).Exemplu 38.3. Dezvoltarea în serie McLaurin a funcţiei f(x) = e x .76

Soluţie: În primul rândTn f(x) = 1 + x 1! + x22! + . . . + xnn!∞∑şi R n f(x) =xn+1x n(n + 1)! ec unde c ∈ (0, x). Seria , conform criteriului raportului esten!n=0absolut convergentǎ pentru orice numǎr real xlim T nf(x) =n→∞∞∑n=0x nn! .Convergenţa la zero a termenului general xnn! −−−→ 0 implicǎn→∞∣ |R n f(x)| =x n+1 ∣∣∣∣(n + 1)! ec → 0 pentru n → ∞oricare ar fi x fixat. Deci, pentru x fixat, limn→∞R n f(x) = 0, şi rezultǎe x =∞∑n=0x nn! = 1 + x 1! + x22! + . . . + xnn! + . . .În mod asemǎnǎtor, seriile de puteri pot fi generate pentru funcţiile standard. În fiecarecaz, suma seriei de puteri este lim T n f(x) şi egalitatea dintre funcţie şi suma seriei esten→∞valabilǎ pentru acele valori x pentru care:a) seria de puteri determinatǎ converge şib) restul R n f(x) → 0 pentru n → ∞.În alcǎtuirea urmǎtoarei liste, dificultatea constǎ în stabilirea condiţiei de la punctul b):e x =∞∑n=0sin x =x nn!∞∑n=0x ∈ R 1 (38.1)(−1) n · x 2n+1(2n + 1)!x ∈ R 1 (38.2)∞∑ (−1) n · x 2ncos x =x ∈ R 1 (38.3)(2n)!n=0∞∑(1 + x) t t · (t − 1) · . . . · (t − n + 1)= 1 +x n t /∈ N, x ∈ (−1, 1) (38.4)n!n=1∞∑ (−1) n−1 · x nln(1 + x) =− 1 < x ≤ 1. (38.5)nn=1Forma restului determinatǎ în prima teoremǎ a restului se numeşte formǎ Lagrange.77

Primii câţiva termeni ai seriei McLaurin pentru o funcţie f datǎ dau o bunǎ aproximarea lui f(x) în vecinǎtatea lui 0.Dar care este aproximarea lui f(x) pentru x în vecinǎtatea unui numǎr real a? În acestcaz polinoamele trebuie considerate ca puteri ale lui (x − a) şi nu puteri ale lui x.Definiţia 38.2. Fie f o funcţie de n-ori derivabilǎ pe un interval deschis ce conţine pea, a numǎr real fixat. Polinomul Taylor de gradul n pentru f în a este definit astfel:T n,a f(x) = f(a) + f ′ (a)1!(x − a) + f (2) (a)2!Prima teoremǎ a restului poate fi acum generalizatǎ.(x − a) 2 + . . . + f (n) (a)(x − a) n .n!Teorema 38.2. Teorema lui Taylor Dacǎ f este o funcţie de clasǎ C (n+1) pe un intervaldeschis ce conţine punctele a şi b, atunci diferenţa dintre f şi T n,a f în b este datǎ de relaţia:pentru c ∈ (a, b).f(b) − T n,a f(b) =(b − a)n+1f n+1 (c)(n + 1)!Demonstraţie. Pentru fiecare t între a şi b avem:undef(b) = f(t) + f ′ (t)1!Derivând în raport cu t se obţine:(0 =f ′ (t) +. . . +(b − t) + . . . + f (n) (t)(b − t) n + F (t)n!F (t) = R n,t f(b) = f(b) − T n,t f(b).−f ′ (t) + f (2) (t)(b − t)1!(− f (n) (t)) (+− f (2) (t)1!(n − 1)! (b − t)n−1 + f ) (n+1) (t)(b − t) n + F ′ (t).n!Reducând termenii asemenea se obţine egalitatea:(b − t) + f ) (3) (t)(b − t) 2 + . . .2!F ′ (t) = − f (n+1) (t)(b − t) n .n!Conform teoremei de medie a lui Cauchy pentru funcţiile F şi G pe intervalul mǎrginitde punctele a şi b (unde G(t) = (b − t) n+1 ), existǎ un numǎr c între a şi b astfel încât:DecisauF (b) − F (a)G(b) − G(a) = F ′ (c) − f (n+1) (c)(b − c) nG ′ (c) = n!−(n + 1)(b − c) . n−(f(b) − T n,a f(b))−(b − a) n+1 =f(b) − T n,a f(b) =f (n+1) (c)(b − c) nn!(n + 1)(b − c) n(b − a)n+1f n+1 (c).(n + 1)!78

Eroarea de aproximare a lui f(b) prin polinomul T n,a f(b) este restul aproximǎrii::R n,a f(b) =(b − a)n+1f n+1 (c)(n + 1)!în care c ∈ (a, b). Aproximarea este bunǎ când b este aproape de a.Seriile de puteri pot fi generate ca serii de puteri ale lui (x−a),numite serii Taylor, pentrufuncţii în a. Egalitatea dintre funcţie şi suma seriei este valabilǎ pentru acele valori xpentru care:a) seria de puteri determinatǎ este convergentǎ şib) R n,a f(x) → 0 pentru n → ∞.39 Teorema de clasificare a punctelor de extrem.Formula lui Taylor, întâlnitǎ des în analiza numericǎ şi prezentatǎ în continuare, sefolosesţe la investigarea punctelor de extrem.În formula lui Taylor:f(x) = T n,a f(x) + R n,a f(x) == f(a) + f ′ (a)1!(x − a) + f (2) (a)2!(x − a) 2 + . . . + f (n) (a)(x − a) n +n!(b − a)n+1f n+1 (c)(n + 1)!c este între a şi x, c ∈ (a, x) şi dacǎ x − a = h, atunci c este între a şi a + h şi se scrieastfel c = a + θ · h cu θ ∈ (0, 1). Rezultǎ:cu θ ∈ (0, 1).f(a + h) = f(a) + h 1! f ′ (a) + . . . + hnn! f (n) (a) + hn+1(n + 1)! f n+1 (a + θ · h)Aceastǎ expresie subliniazǎ cǎ valoarea lui f în a + h este determinatǎ de valoarea lui fşi a derivatelor în a, iar θ reprezintǎ gradul de nedeterminare.Atunci când se investigheazǎ extremele funcţiei f care are punctul staţionar x = a (adicǎf ′ (a) = 0), este necesarǎ determinarea semnului expresiei f(a + h) − f(a) pentru valorimici ale lui h. Aceasta se poate face folosind expresia precedentǎ şi se obţine urmǎtorulrezultat.Teorema 39.1. Teorema de clasificare a punctelor de extrem Dacǎ f este o funcţiede clasǎ C (n+1) într-o vecinǎtate a lui a şi f (k) (a) = 0 pentru k = 1, 2, . . . , n (în particularf ′ (a) = 0, deci x = a este un punct staţionar pentru f) şi f (n+1) (a) ≠ 0 atunci:(1) dacǎ n + 1 este par şi f (n+1) (a) > 0, atunci f admite un minim local în x = a.(2) dacǎ n + 1 este par şi f (n+1) (a) < 0, atunci f admite un maxim local în x = a.79

(3) dacǎ n + 1 este impar, atunci f nu admite nici minim local, nici maxim local înx = a.Demonstraţie. Deoarece f (k) (a) = 0 pentru k = 1, 2, . . . , n, obţinem cǎf(a + h) − f(a) =hn+1(n + 1)! f (n+1) (a + θh)unde 0 < θ < 1. Dar f (n+1) (a) ≠ 0 şi f (n+1) este continuǎ, deci existǎ δ > 0 astfelîncât f (n+1) (x) ≠ 0 pentru |x − a| < δ. Aşadar pentru orice h care satisface |h| < δ,f (n+1) (a + θh) are acelaşi semn ca şi f (n+1) (a), deci f(a + h) − f(a) are acelaşi semn ca şih n+1 · f (n+1) (a) pentru orice h cu |h| < δ.(1) Dacǎ n + 1 este par şi f (n+1) (a) > 0, atunci f(a + h) − f(a) ≥ 0 pe un interval deschis(a − δ, a + δ). Deci x = a este un minim local pentru f.(2) Dacǎ n + 1 este par şi f (n+1) (a) < 0, atunci f(a + h) − f(a) ≤ 0 pe un interval deschis(a − δ, a + δ). Deci x = a este un maxim local pentru f.(3) Dacǎ n + 1 este impar, semnul lui f(a + h) − f(a) se schimbǎ dupǎ semnul lui h. Sespune cǎ x = a este un punct orizontal de inflexiune.Exemplu 39.1. Sǎ se determine natura punctelor staţionare:f(x) = x 6 − 4x 4 .40 Integrala Riemann-Darboux.Definiţia 40.1. O partiţie P a segmentului [a, b] ⊂ R este o mulţime finitǎ de puncte{x 0 , x 1 , x 2 , ..., x n } cu proprietatea:a = x 0 < x 1 < x 2 < ... < x n = bFie o funcţie f : [a, b] → R mǎrginitǎ pe [a, b] şi m, M astfel încâtm ≤ f(x) ≤ M ∀x ∈ [a, b]Funcţia f este mǎrginitǎ pe fiecare subinterval [x i−1 , x i ] şi notǎm:m i = inf{f(x)|x ∈ [x i−1 , x i ]} M i = sup{f(x)|x ∈ [x i−1 , x i ]}Definiţia 40.2. Suma superioarǎ Darboux a funcţiei f corespunzǎtoare partiţiei P este,prin definiţie, numǎrul:n∑U f (P ) = M i (x i − x i−1 )i=1Definiţia 40.3. Suma inferioarǎ Darboux a funcţiei f corespunzǎtoare partiţiei P este,prin definiţie, numǎrul:n∑L f (P ) = m i (x i − x i−1 )i=180

Propoziţia 40.1. Oricare ar fi partiţia P a segmentului [a, b], au loc urmǎtoareleinegalitǎţi:m(b − a) ≤ L f (P ) ≤ U f (P ) ≤ M(b − a)Demonstraţie.n∑U f (P ) = M i (x i − x i−1 ) ≤L f (P ) =i=1n∑m i (x i − x i−1 ) ≥i=1n∑M(x i − x i−1 ) = M ·i=1n∑m(x i − x i−1 ) = m ·i=1Inegalitatea L f (P ) ≤ U f (P ) este evidentǎ.Remarca 40.1. Propoziţia 40.1 aratǎ cǎ mulţimile:n∑(x i − x i−1 ) = M(b − a)i=1n∑(x i − x i−1 ) = m(b − a)i=1L f = {L f (P )|P − partiţie a segmentului [a, b]}sunt mǎrginite.U f = {U f (P )|P − partiţie a segmentului [a, b]}Fie L f = sup L f şi U f = inf U f .Propoziţia 40.2. Are loc inegalitatea:L f ≤ U fDemonstraţie. Fie P o partiţie a segmentului [a, b] şi P ′ partiţia P ′ = P ∪ {y} undex i−1 < y < x i pentru un anumit i, 1 ≤ i ≤ n. Cu alte cuvinte, P ′ este obţinutǎ prinadǎugarea unui punct y la punctele partiţiei P .Vom arǎta acum cǎ au loc urmǎtoarele inegalitǎţi:L f (P ) ≤ L f (P ′ ) şi U f (P ′ ) ≤ U f (P )Considerǎm numerele M i′= sup{f(x)|x ∈ [x i−1 , y]} şi M i′′= sup{f(x)|x ∈ [y, x i ]} şiremarcǎm inegalitǎţile imediate M i ′ ≤ M i şi M i ′′ ≤ M i .Ţinând seama de acestea, deducem:∑i−1U f (P ′ ) = M j (x j − x j−1 ) + M ′ i (y − x i−1 ) + M ′′ i (x i − y) +j=1∑i−1≤ M j (x j − x j−1 ) + M i (y − x i−1 ) + M i (x i − y) +=j=1n∑M j (x j − x j−1 ) = U f (P )j=1n∑j=i+1n∑j=i+1M j (x j − x j−1 )M j (x j − x j−1 )Într-un mod asemǎnǎtor se aratǎ cǎ are loc şi inegalitatea L f (P ) ≤ L f (P ′ ).Se poate acum afirma cǎ, dacǎ P ′′ = P ∪ {y 1 , y 2 , ..., y m } unde y i sunt numere distincte în[a, b], atunci au loc inegalitǎţile:L f (P ) ≤ L f (P ′′ ) şi U f (P ′′ ) ≤ U f (P )81

Considerǎm acum douǎ partiţii P 1 şi P 2 ale segmentului [a, b] şi notǎm cu P 3 partiţiaP 3 = P 1 ∪ P 2 . Pe baza celor arǎtate avem: L f (P 1 ) ≤ L f (P 3 ) şi U f (P 3 ) ≤ U f (P 2 ) şi ţinândseama de inegalitatea L f (P 3 ) ≤ U f (P 3 ) deducem inegalitatea:L f (P 1 ) ≤ U f (P 2 )Cu alte cuvinte, orice sumǎ inferioarǎ este mai micǎ decât orice sumǎ superioarǎ. De aicirezultǎ L f ≤ U f .Definiţia 40.4. O funcţie f : [a, b] → R mǎrginitǎ pe [a, b] este integrabilǎ Riemann-Darboux pe [a, b] dacǎ L f = U f . Aceastǎ valoare comunǎ se noteazǎ cu∫ baf(x) dx = L f = U fşi se numeşte integrala Riemann-Darboux a funcţiei f pe segmentul [a, b].Exemplu 40.1. Funcţia f : [0, 1] → R, f(x) = x este integrabilǎ Riemann-Darboux pe[0, 1] şi∫ 10x dx = 1 2 .Într-adevǎr, pentru n ∈ N, fie P n = {0, 1 , 2 , ..., 1}. Avem:n nşi astfelU f (P n ) = n + 12nPentru n → +∞ rezultǎ L f = U f = 1 2 .şi L f (P n ) = n − 12nn − 12n ≤ L f ≤ U f ≤ n + 12nExemplu 40.2. Funcţia f : [0, 1] → R, f(x) = 1 dacǎ x este raţional şi f(x) = 0 dacǎx este iraţional, nu este integrabilǎ Riemann-Darboux pe [0, 1].Într-adevǎr oricare ar fi partiţia P avem L f (P ) = 0 şi U f (P ) = 1. Prin urmare, L f = 0şi U f = 1, şi astfel L f ≠ U f .Comentariu:Aceastǎ definiţie a integralei∫ bf(x) dx este doar una din multipleledefiniţii existente (de exemplu, un alt tip de integralǎ este integrala Lebesque).funcţiilor continue însǎ, aceste integrale coincid.aÎn cazul41 Proprietǎţi ale integralei Riemann-Darboux.Teorema 41.1. Fie f, g : [a, b] → R funcţii mǎrginite pe segmentul [a, b]. Dacǎ funcţiilef şi g sunt integrabile Riemann-Darboux pe [a, b] atunci toate integralele care apar înrelaţiile urmǎtoare existǎ şi relaţiile sunt adevǎrate:82

(1)∫ b∫ b(αf(x) + βg(x)) dx = αf(x) dx + β∫ bg(x) dx∀α, β ∈ Raaa(2)∫ b ∫ c ∫ bf(x) dx = f(x) dx + f(x) dx ∀c ∈ (a, b)aac(3) dacǎ f(x) ≤ g(x), ∀x ∈ [a, b] atunci∫ b ∫ bf(x) dx ≤ g(x) dxaa∫ b∫ b(4) | f(x) dx |≤| f(x) | dxaaDemonstraţie.∫ ba(1) Demonstraţia egalitǎţii (1) se reduce la demonstrarea egalitǎţilor:∫ bαf(x) dx = αFaptul cǎ egalitateaa∫ baf(x) dxşi∫ ba∫ bαf(x) dx = α(f(x) + g(x)) dx =a∫ baf(x) dx +∫ bag(x) dxf(x) dx este adevǎratǎ pentru orice α ≥ 0rezultǎ din egalitǎţile L αf (P ) = αL f (P ) şi U αf (P ) = αU f (P ), valabile pentru oriceα ≥ 0 şi orice partiţie P a lui [a, b] .Faptul cǎ egalitatea∫ baαf(x) dx = α∫ baf(x) dx este adevǎratǎ pentru orice α < 0rezultǎ din egalitǎţile L −f (P ) = −U f (P ) şi U −f (P ) = −L f (P ), valabile pentru oricepartiţie P a lui [a, b].Faptul cǎ egalitatea∫ ba(f(x) + g(x)) dx =∫ baf(x) dx +obţine observând cǎ pentru orice partiţie P a lui [a, b] are loc:L f (P ) + L g (P ) ≤ L f+g (P ) ≤ U f+g (P ) ≤ U f (P ) + U g (P )din care rezultǎ inegalitǎţile:∫ bL f + L g ≤ L f+g ≤ U f+g ≤ U f + U gAceste inegalitǎţi împreunǎ cu egalitǎţile:L f = U f =demonstreazǎ cǎ are loc:L f+g = U f+g =∫ b∫ baf(x) dx şi L g = U g =(f(x) + g(x)) dx =∫ ba∫ baf(x) dx +g(x) dx este adevǎratǎ seg(x) dx∫ bg(x) dxaaa83

(2) Pentru demonstraţia egalitǎţii (2) fie P 1 şi P 2 partiţii ale lui [a, c], respectiv [c, b].Reuniunea P = P 1 ∪ P 2 este o partiţie a lui [a, b] şi avem:Considerǎm numerele:L f (P ) = L f (P 1 ) + L f (P 2 )L 1 f = sup{L f (P 1 ) | P 1 este partiţie a luiL 2 f = sup{L f (P 2 ) | P 2 este partiţie a lui[a,c]}[c,b]}∫ bÎntrucât L f (P ) ≤ f(x) dx (din definiţie) rezultǎ cǎ are loc inegalitatea:a∫ bL f (P 1 ) + L f (P 2 ) ≤ f(x) dxaDe aici rezultǎ inegalitatea L f (P 1 ) ≤∫ bf(x) dx − L f (P 2 ), din care se obţine încontinuare inegalitatea:a∫ bL 1 f ≤ f(x) dx − L f (P 2 )Din aceastǎ inegalitate rezultǎ succesiv:aL f (P 2 )L 2 fL 1 f + L 2 f≤≤≤∫ ba∫ ba∫ baf(x) dx − L 1 ff(x) dx − L 1 ff(x) dxConsiderǎm acum sumele superioare şi observǎm cǎ avem:U f (P ) = U f (P 1 ) + U f (P 2 )În continuare considerǎm:Uf 1 = inf{U f (P 1 ) | P 1 este partiţie a lui [a,c]}Uf 2 = inf{U f (P 2 ) | P 2 este partiţie a lui [c,b]}84

∫ bÎntrucât U f (P ) ≥De aici se obţine succesiv:af(x) dx (din definiţia integralei) rezultǎU f (P 1 ) + U f (P 2 ) ≥∫ baf(x) dxU f (P 1 )U 1 fU f (P 2 )U 2 fU 1 f + U 2 f≥≥≥≥≥∫ ba∫ ba∫ ba∫ ba∫ baf(x) dx − U f (P 2 )f(x) dx − U f (P 2 )f(x) dx − U 1 ff(x) dx − U 1 ff(x) dxAm obţinut în acest fel inegalitǎţile:L 1 f + L 2 f ≤∫ baf(x) dx ≤ U 1 f + U 2 fÎntrucât f este integrabilǎ Riemann-Darboux pe [a, b], pentru orice ε > 0 se poatealege P astfel încât U f (P ) − L f (P ) < ε.Alegând P 1 şi P 2 astfel încât P = P 1 ∪ P 2 sǎ satisfacǎ condiţia de sus, obţinem:U f (P 1 ) − L f (P 1 ) + U f (P 2 ) − L f (P 2 ) = U f (P 1 ) + U f (P 2 ) − (L f (P 1 ) + L f (P 2 )) =De aici rezultǎ inegalitǎţile:= U f (P ) − L f (P ) < ε0 ≤ U f (P 1 ) − L f (P 1 ) < ε şi 0 ≤ U f (P 2 ) − L f (P 2 ) < εAceste inegalitǎţi demonstreazǎ cǎ avem:L 1 f = U 1 f şi L 2 f = U 2 fadicǎ f este integrabilǎ Riemann-Darboux pe [a, c] şi [c, b] şi are loc egalitatea (2.2).85

(3) Pentru a demonstra (3) este suficient sǎ se arate cǎ dacǎ f(x) ≥ 0 pe [a, b] atunciare loc :∫ bFaptul cǎ inegalitatea∫ baaf(x) dx ≥ 0f(x) dx ≥ 0 este adevǎratǎ rezultǎ din inegalitǎţile:0 ≤ L f (P ) ≤ U f (P )valabile pentru orice partiţie P a lui [a, b].(4) Pentru a arǎta (4) demonstrǎm în primul rând cǎ dacǎ f este integrabilǎ Riemann-Darboux pe [a, b], atunci funcţia |f| este integrabilǎ Riemann-Darboux pe [a, b].Pentru aceasta introducem funcţiile f + , f − : [a, b] → R, definite astfel:{ f(x) dacǎ f(x) ≥ 0f + (x) =0 dacǎ f(x) ≤ 0şi{f − (x) =şi remarcǎm urmǎtoarele egalitǎţi:0 dacǎ f(x) ≥ 0−f(x) dacǎ f(x) ≤ 0f(x) = f + (x) − f − (x) şi |f(x)| = f + (x) + f − (x)Arǎtǎm în continuare cǎ dacǎ funcţia f este integrabilǎ Riemann-Darboux pe [a, b],atunci funcţiile f + , f − : [a, b] → R sunt integrabile Riemann-Darboux pe [a, b].Mǎrginirea funcţiilor f + şi f − este evidentǎ.Fie P o partiţie a segmentului [a, b]. În cazul funcţiei f + notǎm:m + i = inf{f + (x) | x ∈ [x i−1 , x i ]} şi M + i = sup{f + (x) | x ∈ [x i−1 , x i ]}şi observǎm cǎ au loc urmǎtoarele inegalitǎţi:unde:M + i − m + i ≤ M i − m i i = 1, 2, ..., nm i = inf{f(x) | x ∈ [x i−1 , x i ]} şi M i = sup{f(x) | x ∈ [x i−1 , x i ]}Rezultǎ de aici cǎ are loc inegalitatea:0 ≤ U f +(P ) − L f +(P ) ≤ U f (P ) − L f (P )pentru orice partiţie P .De aici rezultǎ integrabilitatea Riemann-Darboux a funcţiei f + pe segmentul [a, b].Integrabilitatea Riemann-Darboux a funcţiei f − pe segmentul [a, b] se aratǎ la fel.În baza afirmaţiei (1) şi a egalitǎţii |f| = f + + f − rezultǎ cǎ funcţia |f| este86

integrabilǎ Riemann-Darboux pe [a, b].Pentru a obţine inegalitatea (4) ţinem seama de inegalitǎţile:şi folosind (3) deducem inegalitǎţile:∫ b−−|f(x)| ≤ f(x) ≤ |f(x)||f(x)| dx ≤∫ bf(x) dx ≤∫ b|f(x)| dxaaacare demonstreazǎ (4).Remarca 41.1. Dacǎ funcţia f : [a, b] → R este mǎrginitǎ şi integrabilǎ pe [a, b] atuncif este integrabilǎ pe orice subinterval [c, d] ⊂ [a, b].Mai mult, dacǎ a = c 0 < c 1 < ... < c n = b, atunci are loc egalitatea:∫ baf(x) dx =n∑∫ c ii=1c i−1f(x) dxRemarca 41.2. Prin definiţie,∫ af(x) dx = 0Remarca 41.3. Dacǎ a > b, atunci, prin definiţie∫ ba∫ af(x) dx = −f(x) dxab42 Clase de funcţii integrabile Riemann-Darboux.Teorema 42.1. Dacǎ f : [a, b] → R este o funcţie continuǎ pe [a, b] atunci f esteintegrabilǎ Riemann-Darboux pe [a, b].Demonstraţie. Vom arǎta cǎ pentru orice ε > 0 existǎ o partiţie P astfel încât U f (P ) −L f (P ) ≤ ε.Considerǎm în acest scop un numǎr ε > 0 şi numǎrul ε ′ =ε . 2(b−a)Dacǎ pentru orice x ∈ [a, b] avem:|f(x) − f(a)| < ε ′87

atunci considerǎm partiţia P = {x 0 , x 1 } cu x 0 = a şi x 1 = b şi verificǎm cǎU f (P ) − L f (P ) < ε.Dacǎ însǎ mulţimea S definitǎ prin:S = {x ∈ [a, b]| |f(x) − f(a)| = ε ′ }este nevidǎ atunci considerǎm punctul x 1 = inf S. Acesta este primul element alsegmentului [a, b] care are proprietatea |f(x) − f(a)| = ε ′ .Dacǎ x 1 = inf S = b atunci considerǎm partiţia P = {x 0 , x 1 } cu x 0 = a şi x 1 = b şiverificǎm cǎ U f (P ) − L f (P ) < ε.Dacǎ x 1 = inf S < b atunci se considerǎ x 2 primul element din [x 1 , b] pentru care|f(x) − f(x 1 )| = ε ′ .Dacǎ x 2 = inf{x ∈ [x 1 , b]||f(x) − f(x 1 )| = ε ′ } = b atunci considerǎm partiţiaP = {x 0 , x 1 , x 2 } cu x 0 = a, x 1 = inf S şi x 2 = b şi verificǎm cǎ U f (P ) − L f (P ) ≤ ε.Dacǎ x 2 = inf{x ∈ [x 1 , b]||f(x) − f(x 1 )| = ε ′ } < b atunci se considerǎ x 3 primul elementdin [x 2 , b] pentru care |f(x) − f(x 2 )| = ε ′ şi se continuǎ procesul.Trebuie sǎ arǎtǎm cǎ acest proces nu poate fi continuat la nesfârşit.Sǎ presupunem prin absurd cǎ în acest fel se obţine un şir infinit (x n ). Este clar dinconstrucţie cǎ şirul (x n ) este crescǎtor şi mǎrginit. Prin urmare (x n ) este convergentla un punct x ∈ [a, b]. Deoarece f este funcţie continuǎ rezultǎ cǎ f(x n ) → f(x) şif(x n−1 ) → f(x). Pe de altǎ parte, din construcţie avem |f(x n ) − f(x n−1 )| = ε ′ , ceea ceeste în contradicţie cu f(x n ) − f(x n−1 ) → 0.Rezultǎ astfel cǎ şirul (x n ) este finit, adicǎ existǎ N astfel încât P = {x 0 , x 1 , ..., x N } esteo partiţie a lui [a, b] pentru care |f(x i ) − f(x i−1 )| = ε ′ , i = 1, 2, ..., N.Pentru aceastǎ partiţie P avem:M i − m i ≤ 2ε ′i = 1, 2, ..., NRezultǎ:U f (P ) − L f (P ) =N∑(M i − m i )(x i − x i−1 ) ≤ 2ε ′ (b − a) = εi=1Folosim aceastǎ inegalitate şi obţinem succesiv:L f ≥ L f (P ) ≥ U f (P ) − ε ≥ U f − εDeoarece ε > 0 este oarecare, rezultǎ L f ≥ U f . Aceastǎ inegalitate împreunǎ cuinegalitatea L f ≤ U f implicǎ L f = U f . Rezultǎ astfel cǎ funcţia continuǎ f este integrabilǎRiemann-Darboux pe segmentul [a, b].Definiţia 42.1. O funcţie f : [a, b] → R se zice continuǎ pe porţiuni dacǎ existǎ opartiţie P = {x 0 , x 1 , ..., x n } a segmentului [a, b] şi funcţiile continue f i : [x i−1 , x i ] →R, i = 1, 2, ..., n astfel încât f(x) = f i (x), ∀x ∈ (x i−1 , x i ).Teorema 42.2. O funcţie f : [a, b] → R continuǎ pe porţiuni este integrabilǎ Riemann-Darboux şi are loc egalitatea:∫ baf(x) dx =n∑∫ x ii=1x i−1f i (x) dx88

Demonstraţie. Este suficient sǎ arǎtǎm cǎ dacǎ o funcţie f : [a, b] → R are proprietateaf(x) = g(x), ∀x ∈ (α, β) ⊂ [a, b] şi g : [α, β] → R este continuǎ, atunci f este integrabilǎRiemann-Darboux pe [α, β] şi are loc egalitatea:∫ βf(y) dy =∫ βg(y) dyααPentru aceasta considerǎm o partiţie P = {y 0 , y 1 , ..., y n } a segmentului [α, β],α = y 0 < y 1 < ... < y n = β şi scriem:unde am notat:L f (P ) = L g (P ) + (m f 1 − m g 1) · (y 1 − y 0 ) + (m f n − m g n) · (y n − y n−1 )U f (P ) = U g (P ) + (M f 1 − M g 1 ) · (y 1 − y 0 ) + (M f n − M g n) · (y n − y n−1 )Prin scǎdere se obţine:m f 1 = inf{f(y)|y ∈ [y 0 , y 1 ]} m g 1 = inf{g(y)|y ∈ [y 0 , y 1 ]}m f n = inf{f(y)|y ∈ [y n−1 , y n ]} m g n = inf{g(y)|y ∈ [y n−1 , y n ]}M f 1 = sup{f(y)|y ∈ [y 0 , y 1 ]} M g 1 = sup{g(y)|y ∈ [y 0 , y 1 ]}Mn f = sup{f(y)|y ∈ [y n−1 , y n ]} Mn g = inf{g(y)|y ∈ [y n−1 , y n ]}U f (P ) − L f (P ) = U g (P ) − L g (P ) + (M f 1 − m f 1 + m g 1 − M g 1 )(y 1 − y 0 ) ++ (M f n − m f n + m g n − M g n)(y n − y n−1 ) ≤≤ U g (P ) − L g (P ) + [(M f − m f ) + (M g − m g )](y 1 − y 0 + y n − y n−1 )Alegând ε > 0 şi P astfel încât U g (P ) − L g (P ) < ε/2 şi y 1 − y 0 + y n − y n−1 g(α) implicǎ m f 1 = m g 1de unde rezultǎ inegalitatea m f 1 − m g 1 ≤ 0.f(β) ≤ g(β) implicǎ m f n ≤ m g n şi f(β) > g(β) implicǎ m f n = m g nde unde rezultǎ inegalitatea m f n − m g n ≤ 0.Inegalitǎţile m f 1 − m g 1 ≤ 0 şi m f n − m g n ≤ 0 implicǎ inegalitatea L f (P ) ≤ L g (P ).f(α) ≤ g(α) implicǎ M f 1 = M g 1 şi f(α) > g(α) implicǎ M f 1 ≥ M g 1de unde rezultǎ inegalitatea M f 1 − M g 1 ≥ 0.f(β) ≤ g(β) implicǎ M f n = M g n şi f(β) > g(β) implicǎ M f n ≥ M g n89

de unde rezultǎ inegalitatea M f n − M g n ≥ 0.Inegalitǎţile M f 1 − M g 1 ≥ 0 şi M f n − M g n ≥ 0 implicǎ inegalitatea U f (P ) ≥ U g (P ).Prin urmare avem:L f (P ) ≤ L g (P ) ≤ U g (P ) ≤ U f (P )Deoarece L f = U f =obţinem egalitǎţile:∫ βαf(y) dy (am arǎtat cǎ f este integrabilǎ), din aceste inegalitǎţi∫ β∫ βL f = U f = f(y) dy = L g = U g = g(y) dyααComentariu: Existǎ diferite caracterizǎri ale integrabilitǎţii Riemann-Darboux. Unadintre aceste caracterizǎri, care se leagǎ de rezultatele stabilite în teoremele precedenteeste urmǎtoarea:O funcţie mǎrginitǎ f : [a, b] → R este integrabilǎ Riemann-Darboux dacǎ şi numai dacǎf este continuǎ aproape peste tot.Menţionǎm cǎ funcţia f este continuǎ aproape peste tot dacǎ mulţimea punctelor sale dediscontinuitate este neglijabilǎ.O mulţime A ⊂ [a, b] se zice neglijabilǎ dacǎ pentru orice ε > 0 existǎ o familie cel multnumǎrabilǎ de intervale deschise (a n , b n ) astfel încât sǎ avem:A ⊂∞⋃(a n , b n ) şin=1∞∑(b n − a n ) < εO funcţie continuǎ pe porţiuni este continuǎ aproape peste tot.n=143 Teoreme de medie.Teorema 43.1. Dacǎ funcţiile f, g : [a, b] → R sunt continue şi g(x) ≥ 0 oricare ar fix ∈ [a, b], atunci existǎ c ∈ [a, b] astfel încât sǎ avem:∫ bf(x) · g(x) dx = f(c) ·∫ bg(x) dxaaDemonstraţie. Dacǎ funcţia g este identic nulǎ, egalitatea de mai sus este verificatǎ,pentru orice c ∈ [a, b]. Presupunem în cele ce urmeazǎ cǎ g nu este identic nulǎ, de∫ bunde g(x)dx > 0. Considerǎm m = inf{f(x)|x ∈ [a, b]} şi M = sup{f(x)|x ∈ [a, b]}.aÎntrucât g(x) ≥ 0 avem:m · g(x) ≤ f(x) · g(x) ≤ M · g(x), ∀x ∈ [a, b]90

De aici rezultǎ:∫ b ∫ b∫ bm · g(x) dx ≤ f(x) · g(x) dx ≤ M · g(x) dxaaaşiK =∫ baf(x) · g(x) dx∫ bag(x) dx∈ [m, M]Funcţia f fiind continuǎ existǎ c ∈ [a, b] astfel încât f(c) = K. De aici rezultǎ:∫ b∫ bf(x) · g(x) dx = f(c) · g(x) dxaaConsecinţa 43.1. Dacǎ f este continuǎ pe [a, b] atunci existǎ c ∈ [a, b] astfel încât:∫ baf(x) dx = f(c) · (b − a).44 Teorema fundamentalǎ de calcul integral.Teorema 44.1. Dacǎ f : [a, b] → R este mǎrginitǎ şi integrabilǎ Riemann-Darboux pesegmentul [a, b] şi F : [a, b] → R este funcţia definitǎ prinF (x) =∫ xaf(t) dtatunci funcţia F este continuǎ pe [a, b]. Mai mult, dacǎ funcţia f este continuǎ pe [a, b],atunci F este derivabilǎ pe [a, b] şi F ′ (x) = f(x), ∀x ∈ [a, b].Demonstraţie. Deoarece f este mǎrginitǎ, existǎ M > 0 astfel încât |f(t)| ≤ M,∀t ∈ [a, b]. Pentru c ∈ [a, b] fixat, avem:∣ ∫ x ∫ c∣∣∣∣∣ ∫x|F (x) − F (c)| =f(t) dt − f(t) dt∣∣ = f(t) dt∣Pentru x > c rezultǎ inegalitatea:a|F (x) − F (c)| ≤∫ xca|f(t)| dt ≤ M · (x − c)91c

Pentru x < c rezultǎ inegalitatea:Rezultǎ în final inegalitatea:|F (x) − F (c)| ≤∫ cx|f(t)| dt ≤ M · (c − x)|F (x) − F (c)| ≤ M · |x − c|, ∀x ∈ [a, b]Aceastǎ inegalitate demonstreazǎ continuitatea funcţiei F în punctul c.Sǎ presupunem acum cǎ funcţia f este continuǎ pe [a, b] şi sǎ considerǎm c ∈ [a, b] fixat.Pentru c < x < b avem:∫ x ∫ c∫ xf(t) dt − f(t) dtf(t) dtF (x) − F (c)∣− f(c)x − c ∣ =aa− f(c)x − c≤c− f(c)x − c=∣∣ ∣∣∫ x∫ x(f(t) − f(c)) dt|f(t) − f(c)| dt=ccx − c≤x − c∣∣Cum f este continuǎ, pentru ε > 0, existǎ δ = δ(ε) > 0 astfel încât |f(t) − f(c)| < εpentru orice |t − c| < δ. De aici, pentru x ∈ (c, c + δ), rezultǎ:F (x) − F (c)∣ x − c− f(c)∣

Remarca 44.3. Dacǎ f : [a, b] → R este continuǎ şi Φ : [a, b] → R este derivabilǎ cuΦ ′ (x) = f(x), ∀x ∈ [a, b], atunci oricare ar fi x 1 , x 2 ∈ [a, b], x 1 < x 2 avem:∫ x 2x 1f(t) dt = Φ(x 2 ) − Φ(x 1 )Comentariu: Evaluarea integralei f(t) dt pe baza formulei:∫ x 2x 1∫ x 2f(t) dt = Φ(x 2 ) − Φ(x 1 )x 1depinde de gǎsirea unei funcţii Φ care are proprietatea Φ ′ (x) = f(x), ∀x ∈ [a, b].Exemplu 44.1.a)∫ 1(x 3 + 2) dx = ( 1 4 x4 + 2x)/ 1 0 = 9 4b)0∫ 0−1(x 2 − x) dx = ( x33 − x22 )/0 −1 = 5 6Definiţia 44.1. Orice funcţie Φ : [a, b] → R care are proprietatea Φ ′ (x) = f(x),∀x ∈ [a, b] se numeşte o primitivǎ a funcţiei f .Remarca 44.4. Din pǎcate existǎ multe funcţii a cǎror primitivǎ nu poate fi scrisǎ întermeni de funcţii elementare. În asemenea situaţii calculul integralei∫ x 2f(t) dt se facenumeric.x 145 Tehnici de determinare a primitivelor.În secţiunea precedentǎ am vǎzut cǎ integrala Riemann-Darboux∫ baf(x) dxpoate fi calculatǎ gǎsind o primitivǎ a funcţiei f, dacǎ aşa ceva existǎ şi este exprimabilǎîn termeni de funcţii simple.Existǎ numeroase tehnici de determinare a primitivelor şi în aceastǎ secţiune prezentǎmdouǎ din cele mai importante tehnici: integrarea prin pǎrţi şi schimbarea de variabilǎ.93

45.1 Integrarea prin pǎrţiTeorema 45.1. Dacǎ funcţiile f, g : [a, b] → R sunt derivabile şi au derivate continue pe[a, b] atunci are loc egalitatea:∫∫f(x)g ′ (x) dx = f(x)g(x) − f ′ (x)g(x) dx∫∫unde simbolul f(x)g ′ (x) dx reprezintǎ mulţimea primitivelor funcţiei fg ′ , iarreprezintǎ mulţimea primitivelor funcţiei f ′ g.f ′ (x)g(x) dxDemonstraţie. Funcţia h = fg are derivatǎ continuǎ pe [a, b] şi∫Fie acum ϕ ∈h ′ (x) = f ′ (x)g(x) + f(x)g ′ (x)f(x)g ′ (x) dx şi diferenţa ψ = ϕ − fg. Prin derivare se obţine egalitatea:ψ ′ = ϕ ′ − f ′ g − fg ′ = −f ′ g∫care aratǎ cǎ ψ ∈ − f ′ g.∫∫Astfel am obţinut cǎ funcţia ϕ = fg + ψ şi ψ ∈ −∫f ′ g. Altfel spus, ϕ ∈ fg − f ′ g.Analog se aratǎ cǎ oricare ar fi ψ∫∈ − f ′ (x)g(x) dx, funcţia ϕ = fg + ψ ∈f(x)g ′ (x) dx.Consecinţa 45.1. Dacǎ funcţiile f, g : [a, b] → R au derivate continue pe [a, b], atunciare loc egalitatea:∫ bf(x)g ′ (x) dx = f(b)g(b) − f(a)g(a) −∫ bf ′ (x)g(x) dxaaExemplu 45.1. Multe formule de recurenţǎ se stabilesc prin integrare prin pǎrţi repetatǎ.De exemplu, fie:∫I n = cos n x dxIntegrând prin pǎrţi rezultǎ:De aici avem:I n = cos n−1 x · sin x + (n − 1)I n−2 − (n − 1)I nnI n = cos n−1 x · sin x + (n − 1)I n−2 ∀n ≥ 2Aceastǎ formulǎ împreunǎ cu egalitǎţile I 0 = x şi I 1 = sin x conduc la evaluarea primitiveiI n , pentru n ∈ N.94

45.2 Schimbarea de variabilǎPropoziţia 45.1. Dacǎ funcţia g : I ⊂ R → J ⊂ R este surjectivǎ, este derivabilǎ cuderivata g ′ continuǎ pe I şi diferitǎ de zero, şi dacǎ funcţia f : J ⊂ R → R este continuǎpe J atunci are loc egalitatea:∫∫( f(x) dx) ◦ g = (f ◦ g)(t) · g ′ (t) dt∫unde simbolul ( f(x) dx) ◦ g reprezintǎ mulţimea de funcţii ce se obţine compunând∫primitivele funcţiei f cu funcţia g, iar simbolul (f ◦ g)(t) · g ′ (t) dt reprezintǎ mulţimeaprimitivelor funcţiei (f ◦ g) · g ′ .∫Demonstraţie. Fie G ∈ (Funcţia G : I → R este derivabilǎ şi :f(x) dx) ◦ g. Existǎ F ∈∫f(x) dx astfel încât G = F ◦ g.G ′ (t) = F ′ (g(t)) · g ′ (t) = f(g(t)) · g ′ (t) = (f ◦ g)(t) · g ′ (t)∫Aceastǎ egalitate demonstreazǎ apartenenţa G ∈ (f ◦ g)(t) · g ′ (t) dt.∫Fie acum G ∈ (f ◦ g)(t) · g ′ (t) dt. Funcţia g : I → J este bijectivǎ şi inversa g −1 : J → Ieste derivabilǎ , funcţia derivatǎ (g −1 ) ′ este continuǎ şi verificǎ:(g −1 ) ′ (x) = 1g ′ (t)unde x = g(t)Se considerǎ funcţia F = G ◦ g −1 : J → R. Funcţia F este derivabilǎ şi verificǎ:F ′ (x) = G ′ (g −1 (x)) · (g −1 ) ′ (x) = (f ◦ g)(g −1 (x))[(g −1 ) ′ (x)] −1 · (g −1 ) ′ (x) = f(x)∫Prin urmare, F ∈ f(x) dx. Din definiţia lui F avem G = F ◦ g şi se obţine astfel∫apartenenţa G ∈ ( f(x) dx) ◦ g.Consecinţa 45.2. Dacǎ f şi g satisfac condiţiile din Propoziţia 45.1 şi dacǎ [a, b] ⊂ I şi[α, β] ⊂ J verificǎ g([a, b]) = [α, β] atunci are loc egalitatea:∫ baf(g(t)) · g ′ (t) dt =∫ βαf(x) dx∫dxExemplu 45.2. Pentru a gǎsi mulţimea de funcţiix · lnx0 şi g(t) = e t , t ∈ R. Suntem în condiţiile Propoziţiei 45.1 şi avem:∫∫dx(x · lnx ) ◦ g =Rezultǎ de aici egalitatea:∫e t ∫ 1t · e dt = dt = lnt + C ∀t > 0t tdxx · lnx = ln(lnx) + Cconsiderǎm f(x) =1x·lnx , x >95

Remarca 45.1. Tehnica schimbǎrii de variabilǎ se numeşte adesea integrare prinsubstituţie, unde x = g(t) defineşte substituţia.Remarca 45.2. Formula de schimbare a variabilei:∫ baf(g(t)) · g ′ (t) dt =∫ βαf(x) dxrǎmâne adevǎratǎ şi în ipoteza în care funcţia f este continuǎ pe porţiuni, iar g satisfacecondiţiile din Propoziţia 45.1 şi este strict crescǎtoare (g(a) = α şi g(b) = β).Remarca 45.3. Dacǎ f : [−a, a] → R este continuǎ pe porţiuni şi este simetricǎ(f(−x) = f(x)) atunci:∫ a∫ af(x) dx = 2 f(x) dxiar dacǎ f este antisimetricǎ (f(−x) = −f(x)) atunci:−a∫ a−a0f(x) dx = 0În ambele cazuri se prezintǎ integrala∫ a−af(x) dx =∫ a−a∫ 0−af(x) dx sub forma:f(x) dx +şi apoi se aplicǎ primei integrale substituţia x = −t.∫ a0f(x) dxRemarca 45.4. Dacǎ f : R → R este periodicǎ de perioadǎ T şi este continuǎ pe porţiuniatunci pe orice interval de lungime T integrala acestei funcţii are aceeaşi valoare:∫a+Tf(x) dx =∫ Tf(x) dx∀a ∈ Ra0Pentru demonstraţie se scrie:∫a+Tf(x) dx =∫ 0f(x) dx +∫ Tf(x) dx +∫a+Tf(x) dxÎn integrala∫a+Taa0f(x) dx se aplicǎ schimbarea de variabilǎ x = t + T şi se obţine:TT∫a+T∫ 0f(x) dx = −f(x) dxTa96

46 Integrale improprii.Integrala Riemann-Darboux a fost definitǎ numai pentru funcţii mǎrginite definite pe uninterval mǎrginit.În aceastǎ secţiune relaxǎm aceste condiţii şi definim integralele improprii.Definiţia 46.1. Fie f : [a, +∞) → R o funcţie mǎrginitǎ şi integrabilǎ Riemann-Darbouxpe intervalul [a, b] pentru orice b > a. Dacǎ limita∫ blim f(x) dxb→+∞aexistǎ şi este finitǎ atunci zicem cǎ integrala[a, +∞)) şi prin definiţie:∫+∞af(x) dx converge (f este integrabilǎ pe∫+∞af(x) dx = limb→+∞∫ baf(x) dx∫ bDacǎ limita lim f(x) dx nu existǎ sau nu este finitǎ zicem cǎ integralab→+∞aeste divergentǎ (f nu este integrabilǎ pe [a, +∞)).∫+∞af(x) dxRemarca 46.1. Pentru f : (−∞, b] → R mǎrginitǎ şi integrabilǎ Riemann-Darboux pe∫ borice [a, b], a < b, integrala f(x) dx se defineşte în mod analog:−∞∫ b−∞f(x) dx =∫ blim f(x) dxa→−∞aRemarca 46.2. Pentru a pǎstra aditivitatea în cazul integralelor improprii, integrala peR se defineşte astfel:∫+∞∫ 0 ∫+∞f(x) dx = f(x) dx + f(x) dx−∞−∞0cu condiţia ca ambele integrale din membrul drept al egalitǎţii sǎ fie convergente.În continuare vom defini integrala unei funcţii pe un interval mǎrginit atunci când funcţianu este mǎrginitǎ pe interval. Aceste integrale se numesc integrale improprii de speţa adoua.97

Definiţia 46.2. Fie f : (a, b] → R integrabilǎ Riemann-Darboux pe [a + ε, b] pentru oriceε ∈ (0, b − a). Dacǎ limita:∫blimε→0 +a+εexistǎ şi este finitǎ atunci zicem cǎ integrala[a, b]) şi prin definiţie:∫ baf(x) dx∫ baf(x) dx = limε→0+∫ba+εf(x) dx converge (f este integrabilǎ pef(x) dxRemarca 46.3. Pentru f : [a, b) → R integrabilǎ Riemann-Darboux pe [a, b − ε] pentruorice ε ∈ (0, b − a), integrala∫ ba∫ baf(x) dx se defineşte în mod analog:f(x) dx = limε→0+∫b−εaf(x) dxPropoziţia 46.1 (Criteriu de comparaţie pentru integrale improprii). Fief, g : [a, +∞) → R funcţii mǎrginite şi integrabile Riemann-Darboux pe [a, b] pentruorice b > a. Dacǎ sunt îndeplinite urmǎtoarele condiţii:1) 0 ≤ f(x) ≤ g(x), ∀x ≥ a2)+∞ ∫ag(x) dx convergeatunci integrala∫+∞f(x) dx converge de asemenea şi are loc inegalitatea:a∫+∞af(x) dx ≤∫+∞ag(x) dxDemonstraţie. Pentru orice b > a avem:∫ b ∫ b0 ≤ f(x) dx ≤ g(x) dxaa∫ bFuncţia b ↦→ g(x) dx este crescǎtoare şi mǎrginitǎ:a∫ ba∫ bg(x) dx ≤ lim g(x) dx =b→+∞a∫+∞ag(x) dx98

∫ bPrin urmare funcţia crescǎtoare b ↦→f(x) dx este mǎrginitǎ şi deci integrala∫+∞f(x) dxeste convergentǎ.aaUn criteriu de comparaţie pentru integrale improprii de speţa a doua se formuleazǎ şi sedemonstreazǎ prin analogie.Propoziţia 46.2. Fie f, g : (a, b] → R integrabile Riemann-Darboux pe [a + ε, b] pentruorice ε ∈ (0, b − a). Dacǎ sunt îndeplinite urmǎtoarele condiţii:1) 0 ≤ f(x) ≤ g(x), ∀x ∈ (a, b]2)∫ bg(x) dx este convergentǎaatunci integrala∫ bf(x) dx converge de asemenea şi are loc inegalitatea:a∫ b ∫ bf(x) dx ≤ g(x) dxaa47 Serii Fourier.Pentru ca o funcţie f sǎ fie dezvoltabilǎ în serie Taylor este necesar ca f sǎ fie indefinitderivabilǎ. Aceastǎ restricţie este severǎ. Chiar dacǎ se foloseşte formula lui Taylor curest pentru reprezentarea funcţiei, funcţia trebuie sǎ fie derivabilǎ de un numǎr finit deori. Aceastǎ din urmǎ condiţie implicǎ continuitatea funcţiei. Multe funcţii însǎ, caredescriu fenomene fizice importante, nu sunt continue şi nu pot fi reprezentate nici cuformula lui Taylor. De exemplu, funcţia care descrie evoluţia în timp a tensiunii într-uncircuit electric în care apar comutǎri de contacte, nu este continuǎ.Seriile Fourier oferǎ posibilitatea de reprezentare a funcţiilor continue şi continue peporţiuni. Aceasta întrucât pentru a construi seria Fourier, funcţia trebuie sǎ fie doarintegrabilǎ Riemann-Darboux.Definiţia 47.1. Fie f : [−π, π] → R o funcţie continuǎ pe porţiuni. Seria Fourier a luif este, prin definiţie, seria de funcţii:f(x) ∼ a ∞02 + ∑(a n · cos nx + b n · sin nx)n=199

în care coeficienţii Fourier a n , b n sunt calculaţi cu formulele:a n = 1 πb n = 1 π∫ π−π∫ π−πf(x) · cos nx dx n = 0, 1, 2, ...f(x) · sin nx dx n = 1, 2, 3, ...Remarca 47.1. În mod tradiţional, pânǎ când problema convergenţei seriei Fourier nueste tranşatǎ, relaţia dintre funcţia f şi seria Fourier a lui f se noteazǎ cu semnul ∼ înloc de egalitate.Rezultatul fundamental care va fi stabilit în aceastǎ secţiune se referǎ la convergenţa serieiFourier a unei funcţii continue pe porţiuni şi la suma seriei. Acest rezultat se bazeazǎ pealte douǎ rezultate care au importanţa lor în sine şi le vom prezenta sub forma a douǎleme.Lema 47.1. [de reprezentare integralǎ a sumei parţiale S n (x)] Suma parţialǎ deordinul n, S n (x), a seriei Fourier a unei funcţii f : [−π, π] → R 1 continue pe porţiuni şiprelungitǎ prin periodicitate la R 1 poate fi reprezentatǎ sub forma:S n (x) = 1 π∫ π−πf(x − u) · sin(n + 1 2 )u2 sin 1 2 u du x ∈ RDemonstraţie. Considerǎm suma parţialǎ S n (x) a seriei Fourier a funcţiei f:S n (x) = a n∑02 + (a k · cos kx + b k · sin kx)În virtutea definiţiei coeficienţilor Fourier a k , b k putem scrie:k=1S n (x) = 12π∫ π−πf(t) dt + 1 πn∑[coskxk=1∫ π−π∫ πf(t) cos kt dt + sinkx−πf(t) sin kt dt]Introducând cos kx şi sin kx sub semnul de integralǎ şi folosind identitatea trigonometricǎ:cos k(x − t) = cos kx · cos kt + sin kx · sin ktobţinem:Aplicând identitatea:S n (x) = 1 π∫ π−πf(t)[ 1 n∑2 + cos k(x − t)] dtk=11n∑2 +k=1cos k(x − t) = sin(n + 1 )(x − t)22 sin 1 (x − t)2100

şi introducând u = x − t, S n (x) devine:S n (x) = 1 ∫x+πf(x − u) · sin(n + 1)u2π2 sin 1u du2x−πIntegrantul este o funcţie de u periodicǎ de perioadǎ 2π şi prin urmare:S n (x) = 1 π∫ π−πf(x − u) · sin(n + 1 2 )u2 sin 1 2 u duLema 47.2. Dacǎ f : [−π, π] → R este o funcţie continuǎ pe porţiuni atunci suntadevǎrate urmǎtoarele egalitǎţi:a) limn→∞a n = limn→∞b n = 0b) limn→∞∫baf(x) sin(n + 1 )x dx = 0 dacǎ −π ≤ a < b ≤ π2unde a n şi b n sunt coeficienţii Fourier ai funcţiei f.Demonstraţie. Se considerǎ identitatea:∫ π−π[f(x) − S n (x)] 2 dx =Prin calcul se aratǎ cǎ avem:∫ π−π[S n (x)] 2 dx =∫ π−π∫ π−π∫ πf 2 (x) dx − 2−πf(x)S n (x) dx +∫ π−πn∑f(x)S n (x) dx = π[ a2 02 + (a 2 k + b 2 k)]k=1[S n (x)] 2 dxŢinând seama de aceastǎ egalitate din urmǎ, identitatea consideratǎ devine:∫ π−π[f(x) − S n (x)] 2 dx =De aici se deduce inegalitatea:a 2 0∫ π−πn∑2 + (a 2 k + b 2 k) ≤ 1 πk=1n∑[f(x)] 2 dx − π[ a2 02 + (a 2 k + b 2 k)]∫ π−πf 2 (x) dxvalabilǎ pentru orice n şi cunoscutǎ sub denumirea de inegalitatea lui Bessel.Din inegalitatea lui Bessel rezultǎ cǎ seria numericǎ:a 2 0∞2 + ∑(a 2 k + b 2 k)k=1101k=1

este convergentǎ şi , prin urmare, a k −−−→ 0 şi b k→∞ k −−−→Remarcǎm aici faptul cǎ dacǎ:atunci are loc egalitatea:a 2 0numitǎ egalitatea lui Parseval.Convergenţa:lim∫ πn→∞−πk→∞ 0.[f(x) − S n (x)] 2 dx = 0∞2 + ∑(a 2 n + b 2 n) = 1 πlimk=1∫ πn→∞−π∫ π−πf 2 (x) dx[f(x) − S n (x)] 2 dx = 0se numeşte convergenţa în medie a şirului de sume parţiale S n (x) la funcţia f(x).Trecem acum sǎ arǎtǎm cǎ pentru a < b, a, b ∈ [−π, π] avem:∫ blim f(x) sin(n + 1 )x dx = 0n→∞2aRemarcǎm la început cǎ pentru α < β avem:∣ ∫ β∣∣∣∣∣ sin(n + 1 ∣ 2 )x dx =cos(n + 1)α − cos(n + 1)β2 2 ∣ n + 1 ∣ ≤ 2n + 1 22αFie a = x 0 < x 1 < ... < x p = b o partiţie a segmentului [a, b] şi descompunereacorespunzǎtoare a integralei:Notǎm:∫ bşi reprezentǎm integrala∫ baaf(x) sin(n + 1 p−12 )x dx = ∑∫ bf(x) sin(n + 1 p−12 )x dx = ∑ai=0∫x i+1x im i = inf{f(x)|x ∈ [x i , x i+1 ]}f(x) sin(n + 1 )x dx2f(x) sin(n + 1 )x dx în forma urmǎtoare:2i=0∫x i+1x i[f(x) − m i ] sin(n + 1 p−12 )x dx + ∑Pentru ω i = M i − m i , unde M i = sup{f(x)|x ∈ [x i , x i+1 ]}, avem:i=0∫m ix i+1f(x) − m i ≤ M i − m i = ω i ∀x ∈ [x i , x i+1 ] şi i = 0, ..., p − 1102x isin(n + 1 )x dx2

De aici rezultǎ:∣∫ ba∣ ∣∣∣∣∣f(x) sin(n + 1 p−12 )x dx ∑≤i=0Pentru ε > 0 alegem partiţia astfel încât sǎ avem:p−1∑ω i ∆x i < ε 2i=0ω i ∆x i + 2n + 1 2p−1∑|m i |Acest lucru este posibil pentru cǎ funcţia f este continuǎ pe porţiuni şi este integrabilǎ.Acum putem lua n > 4 M(b − a), unde M = sup{f(x)|x ∈ [a, b]} şi pentru asemeneaεvalori ale lui n obţinem inegalitatea:∣ ∫ b∣∣∣∣∣ f(x) sin(n + 1∣2 )x dx ≤ ε ∀ε > 0ai=0Teorema 47.1. [Fourier] Fie f : [−π, π] → R o funcţie continuǎ pe porţiuni care seprelungeşte prin periodicitate la toatǎ axa realǎ. Dacǎ f are derivate laterale finite înpunctele ei de discontinuitate atunci urmǎtoarele afirmaţii sunt adevǎrate:a) dacǎ x 0 este un punct de continuitate a lui f atunci:lim S n(x 0 ) = f(x 0 )n→∞b) dacǎ x 0 este punct de discontinuitate a lui f atunci:limn→∞ S n(x 0 ) = 1 2 [f(x+ 0 ) + f(x − 0 )]Demonstraţie. Facem demonstraţia în cazul în care f nu este continuǎ într-un punct x 0 .Considerǎm:f(x − 0 ) = lim f(x) şi f(x +x→x − 0 ) = lim f(x)0x→x + 0Conform lemei 47.1 avem:S n (x 0 ) = 1 π∫ π−πf(x 0 − u) · sin(n + 1 2 )u2 sin 1 2 u duAvem de asemenea:12 · f(x+ 0 ) = 1 π∫ 0−πf(x + 0 ) · sin(n + 1 2 )u2 sin 1 2 u du12 · f(x− 0 ) = 1 ∫ πf(x − 0 ) · sin(n + 1)u2π2 sin 1u du20103

şi, prin urmare:S n (x 0 ) − 1 2 [f(x+ 0 ) + f(x − 0 )] = 1 π∫ 0−π∫ π+ 1 π[f(x 0 − u) − f(x + 0 )] · sin(n + 1 2 )u2 sin 1 2 u du +0[f(x 0 − u) − f(x − 0 )] · sin(n + 1 2 )u2 sin 1 2 u duIntegranzii sunt bine definiţi peste tot, cu excepţia lui u = 0 unde trebuie fǎcutǎ o analizǎ.Primul integrant poate fi scris sub forma:undeF 1 (u) · sin(n + 1 2 )uF 1 (u) = f(x 0 − u) − f(x + 0 )u·1u 2sin 1u2Pentru u → 0 − , cel de-al doilea factor tinde la 1 şi produsul tinde la −f ′ (x + 0 ). Astfel dacǎpunem F 1 (0) = −f ′ (x + 0 ) integrantul este bine definit în u = 0.În mod similar, avem:F 2 (u) = f(x 0 − u) − f(x − 0 ) − 1·u 2−u sin 1u2are limita +f ′ (x − 0 ) şi dacǎ punem F 2 (0) = +f ′ (x − 0 ) cel de-al doilea integrant este binedefinit.Prin urmare avem:S n (x 0 ) − 1 2 [f(x+ 0 ) + f(x − 0 )] = 1 π∫ 0F 1 (u) · sin(n + 1 2 )u du + 1 π∫ πF 2 (u) · sin(n + 1 )u du2−πşi aplicând lema 47.2 concluzionǎm cǎ:0lim S n(x 0 ) = 1n→∞ 2 [f(x+ 0 ) + f(x − 0 )]Pe firul acestei demonstraţii se aratǎ uşor cǎ dacǎ f este continuǎ în x 0 atunci:lim S n(x 0 ) = f(x 0 )n→∞48 Diferite forme ale seriei Fourier.Teorema 48.1. [schimbarea originii intervalului fundamental [−π, π]] Dacǎf : [−π, π] → R este o funcţie continuǎ pe porţiuni şi este prelungitǎ pe R prin periodicitate,atunci pentru orice α, coeficienţii Fourier a n , b n ai lui f verificǎ relaţiile:a n = 1 ∫α+πf(x) · cos nx dx n = 0, 1, 2, ...πα−π104

n = 1 π∫α+πf(x) · sin nx dx n = 1, 2, 3, ...şiα−πf(x) = a ∞02 + ∑(a n · cos nx + b n · sin nx)n=1în orice punct de continuitate x ∈ [α − π, α + π].Demonstraţie. Funcţiile f(x) · cos nx, f(x) · sin nx sunt periodice de perioadǎ 2π. Rezultǎcǎ integralele lor sunt aceleaşi pe orice interval de lungime 2π. Se obţin în acest felegalitǎţile:∫α+π1f(x) · cos nx dx = 1 ∫ πf(x) · cos nx dx = a nππPentru egalitatea:α−π∫1πα+πα−π−π∫ πf(x) · sin nx dx = 1 f(x) · sin nx dx = b nπ−πf(x) = a ∞02 + ∑(a n · cos nx + b n · sin nx)n=1considerǎm şirul y k = x − 2kπ, k ∈ Z. Existǎ k 0 ∈ Z astfel încât y k0 ∈ [−π, π] şi pentruk 0 avem: f(y k0 ) = f(x − 2k 0 π) = f(x), precum şi:f(y k0 ) = a ∞02 + ∑(a n · cos ny k0 + b n · sin ny k0 ) = a ∞02 + ∑(a n · cos nx + b n · sin nx)n=1n=1Remarca 48.1. În condiţiile Teoremei 48.1, dacǎ x este un punct de discontinuitate aprelungirii lui f prin periodicitate, atunci are loc:12 [f(x+ ) + f(x − )] = a ∞02 + ∑(a n · cos nx + b n · sin nx)Aceastǎ egalitate se demonstreazǎ asemǎnǎtor cu egalitatea din Teorema 48.1.n=1Teorema 48.2. [schimbarea lungimii intervalului] Dacǎ f : [−L, L] → R 1 este ofuncţie continuǎ pe porţiuni, atunci pentru orice x ∈ [−L, L] are loc:f(x) = a ∞02 + ∑(a n · cos nπxLn=1+ b n · sin nπxL )dacǎ f este continuǎ în x12 [f(x+ ) + f(x − )] = a ∞02 + ∑(a n · cos nπxLn=1+ b n · sin nπxL )dacǎ f nu este continuǎ în x105

în care:a n = 1 Lb n = 1 L∫ L−L∫ L−Lf(x) · cos nπxLf(x) · sin nπxLdx n = 0, 1, 2, ...dx n = 1, 2, 3, ...Demonstraţie. Considerǎm funcţia ϕ : [−π, π] → [−L, L] definitǎ prin ϕ(y) = L · y şi πfuncţia g : [−π, π] → R definitǎ prin g = f ◦ ϕ, g(y) = f(ϕ(y)) = f( Ly ). πRemarcǎm cǎ funcţia g este continuǎ pe porţiuni şi punctele de discontinuitate y d ale luig se obţin din punctele de discontinuitate x d ale lui f cu formula y d = πx d. LDacǎ într-un punct y funcţia g este continuǎ atunci:∞g(y) = a(g) 02 + ∑iar dacǎ g este discontinuǎ în y, atunci:unde:(a (g)nn=1∞12 [g(y+ ) + g(y − )] = a(g) 02 + ∑a (g)nb (g)n= 1 π= 1 π∫ π−π∫ π−πPrin schimbarea de variabilǎ y = πxLa (g)nb (g)n= 1 π= 1 π∫ π−π∫ π−πşi astfel avem:a (g)02 + ∞∑g(y) · cos ny dy = 1 π · πLg(y) · sin ny dy = 1 π · πL(a (g)nn=1· cos ny + b (g)n(a n(g)n=1· sin ny)· cos ny + b (g)ng(y) · cos ny dy n = 0, 1, 2, ...g(y) · sin ny dy n = 1, 2, 3, ...pentru a(g) n∫ L−L∫ L−L· cos ny + b (g)n · sin ny) = a 0şi b (g)nobţinem:· sin ny)g( πx nπx) · cosL Ldx = 1 ∫ Lf(x) · cos nπxLLdx−Lg( πx nπx) · sinL Ldx = 1 ∫ Lf(x) · sin nπxLLdx−L∞2 + ∑(a n · cos nπxLn=1+ b n · sin nπxL )Dacǎ x este punct de continuitate pentru f atunci f(x) = g( πx ) = g(y) şi dacǎ x esteLpunct de discontinuitate pentru f atunci:12 [f(x+ ) + f(x − )] = 1 2 [g(y+ ) + g(y − )]106

cu y + = πx+L , y− = πx−L .Rezultǎ în acest fel egalitǎţile din enunţ.Remarca 48.2. Dacǎ f : [−π, π] → R 1 este o funcţie parǎ (f(−x) = f(x)) atunci funcţiaf(x)·cos nx este funcţie parǎ şi funcţia f(x)·sin nx este funcţie imparǎ. Coeficienţii Fouriera n , b n în acest caz sunt:a n = 2 π∫ π0f(x) · cos nx dx n = 0, 1, 2, ...b n = 0 n = 1, 2, 3, ...Prin urmare, dacǎ funcţia f este parǎ atunci dezvoltarea ei în serie Fourier conţine doarfuncţia cosinus:f(x) = a ∞02 + ∑a n · cos nx x ∈ [−π, π]n=1Aceastǎ dezvoltare se numeşte dezvoltare Fourier în serie de cosinusuri a funcţiei paref(x).Remarca 48.3. Dacǎ f : [−π, π] → R 1 este o funcţie imparǎ (f(−x) = −f(x)) atuncifuncţia f(x)·cos nx este funcţie imparǎ şi funcţia f(x)·sin nx este funcţie parǎ. CoeficienţiiFourier a n , b n în acest caz sunt:b n = 2 π∫ π0a n = 0 n = 0, 1, 2, ...f(x) · sin nx dx n = 1, 2, 3, ...Prin urmare, dacǎ funcţia f este imparǎ atunci dezvoltarea ei în serie Fourier conţinedoar funcţia sinus:∞∑f(x) = b n · sin nx x ∈ [−π, π]n=1Aceastǎ dezvoltare se numeşte dezvoltare Fourier în serie de sinusuri a funcţiei imparef(x).Remarca 48.4. Aceste rezultate pot fi folosite pentru o funcţie oarecare f(x) care trebuiedezvoltatǎ în serie Fourier pe intervalul [0, π]. Definind o funcţie nouǎ g(x) cu regula:{ f(−x), pentru −π ≤ x < 0g(x) =f(x), pentru 0 ≤ x ≤ πobţinem o funcţie parǎ care coincide cu funcţia iniţialǎ f pe intervalul [0, π].Funcţia g se dezvoltǎ în serie Fourier de cosinusuri:g(x) = a ∞02 + ∑a n · cos nxn=1107

şi coeficienţii a n se obţin cu formula:a n = 2 π∫ π0f(x) · cos nx dx n = 0, 1, 2, ..Astfel se obţine o dezvoltare în serie de cosinusuri a funcţiei f pe [0, π]:cu:a n = 2 πf(x) = a ∞02 + ∑a n · cos nx∫ π0n=1f(x) · cos nx dx n = 0, 1, 2, ..Remarca 48.5. Aceeaşi funcţie f : [0, π] → R 1 care trebuie dezvoltatǎ poate fi extinsǎpe [−π, π] prin imparitate:{ −f(−x), pentru −π ≤ x < 0h(x) =f(x), pentru 0 ≤ x ≤ πFuncţia h fiind imparǎ se dezvoltǎ în serie de sinusuri pe [−π, π]:∞∑h(x) = b n · sin nxcub n = 2 π∫ π0n=1f(x) · sin nx dx n = 1, 2, 3, ...De aici rezultǎ dezvoltarea lui f în serie de sinusuri pe intervalul [0, π]:∞∑f(x) = b n · sin nxcub n = 2 π∫ πAm obţinut astfel urmǎtorul rezultat:0n=1f(x) · sin nx dx n = 1, 2, 3, ...Teorema 48.3. Dacǎ f : [0, π] → R 1 este continuǎ pe porţiuni, atunci funcţia f poate fidezvoltatǎ pe [0, π] în serie de cosinusuri sau în serie de sinusuri:f(x) = a ∞02 + ∑∞∑a n · cos nx sau f(x) = b n · sin nxunde:n=1a n = 2 πb n = 2 π∫ π0∫ π0n=1f(x) · cos nx dx n = 0, 1, 2, ...f(x) · sin nx dx n = 1, 2, 3, ...108

Partea IIICalcul diferenţial şi integral pentrufuncţii de n variabile reale49 Elemente de topologie în R n .Definiţia 49.1. Mulţimea R n este prin definiţie mulţimea tuturor sistemelor ordonatex = (x 1 , x 2 , . . . , x n ) de n numere reale.R n = {(x 1 , x 2 , . . . , x n ) | x i ∈ R 1 }Definiţia 49.2. O funcţie realǎ de n variabile reale este o funcţie f : A ⊂ R n → R 1 .Exemplu 49.1. Funcţia f : R 2 → R 1 definitǎ prin f(x 1 , x 2 ) = x 2 1 + x 2 2 este o funcţierealǎ de douǎ variabile.Definiţia 49.3. O funcţie vectorialǎ de n variabile reale este o funcţie f : A ⊂ R n → R m .Exemplu 49.2. Funcţia f : R 3 → R 2 definitǎ prineste o funcţie vectorialǎ de trei variabile.f(x 1 , x 2 , x 3 ) = (x 1 + x 2 + x 3 , x 1 · x 2 · x 3 )O funcţie vectorialǎ de n variabile f : A ⊂ R n → R m poate fi scrisǎ sub forma:f(x 1 , x 2 , . . . , x n ) = (f 1 (x 1 , x 2 , . . . , x n ), . . . , f m (x 1 , x 2 , . . . , x n ))Funcţiile reale de n variabile f i : A ⊂ R n → R 1 care apar în aceastǎ reprezentare a lui fse numesc componentele scalare ale funcţiei f.La investigarea funcţiilor reale de o singurǎ variabilǎ realǎ s-au considerat numere x caresunt aproape de numǎrul a. Aceasta a condus la considerarea modulului |x − a|, carereprezintǎ distanţa dintre x şi a.O distanţǎ analoagǎ poate fi introdusǎ în R n în felul urmǎtor:Cu operaţiile:(x 1 , x 2 , . . . , x n ) + (y 1 , y 2 , . . . , y n ) = (x 1 + y 1 , x 2 + y 2 , . . . , x n + y n )(x 1 , x 2 , . . . , x n ) şi (y 1 , y 2 , . . . , y n ) ∈ R nk · (x 1 , x 2 , . . . , x n ) = (kx 1 , kx 2 , . . . , kx n ), k ∈ R 1 , (x 1 , x 2 , . . . , x n ) ∈ R nmulţimea R n se structureazǎ ca spaţiu vectorial real n-dimensional.Pentru vectorul x = (x 1 , . . . , x n ) ∈ R n se defineşte norma (sau lungimea) lui x prin‖x‖ =( n∑i=1x 2 i) 1/2=√x 2 1 + x 2 2 + . . . + x 2 n.109

Pentru doi vectori x = (x 1 , x 2 , . . . , x n ) şi a = (a 1 , a 2 , . . . , a n ) ∈ R n se defineşte distanţacu formula:[ n∑] 1/2‖x − a‖ = (x i − a i ) 2 = √ (x 1 − a 1 ) 2 + (x 2 − a 2 ) 2 + . . . + (x n − a n ) 2 .i=1Definiţia 49.4. O vecinǎtate a vectorului a ∈ R n este o mulţime V ⊂ R n cu urmǎtoareaproprietate:∃ r > 0 a.î. mulţimea S r (a) = {x ∈ R n | ‖x − a‖ < r} este inclusǎ în V : S r (a) ⊂ V .Definiţia 49.5. Mulţimea S r (a) definitǎ prinS r (a) = {x ∈ R n | ‖x − a‖ < r}se numeşte sferǎ deschisǎ centratǎ în punctul a.Definiţia 49.6. O funcţie f : N → R n se numeşte şir de puncte din R n .Ca şi în cazul şirurilor de numere reale f(k) = a k se numeşte termenul de rang k al şiruluide vectori din R n şi tot şirul se noteazǎ cu (a k ).Definiţia 49.7. Şirul de puncte (a k ), a k ∈ R n converge la punctul a ∈ R n dacǎ∀ ε > 0, ∃ N = N(ε) > 0 a.î. ∀ k > N ⇒ ‖a k − a‖ < ε.Faptul cǎ şirul de puncte (a k ), a k ∈ R n converge la punctul a ∈ R n se noteazǎ cu:iar numǎrul a este limita şirului.lim a k = a sau a k −−−→ ak→∞ k→∞Propoziţia 49.1. Dacǎ un şir de puncte (a k ) din R n este convergent atunci limita esteunicǎ.Demonstraţie. Ca şi pentru şiruri de numere reale.Propoziţia 49.2. Dacǎ un şir de puncte (a k ) din R n este convergent atunci şirul (a k )este mǎrginit. Adicǎ: ∃ M > 0 a.î. ‖a k ‖ < M ∀ k ∈ N.Demonstraţie. Ca şi pentru şiruri de numere reale.Propoziţia 49.3. Dacǎ şirul (a k ), a k ∈ R n converge la a ∈ R n atunci orice subşir alşirului (a k ) converge la a.Demonstraţie. Ca şi pentru şiruri de numere reale.Propoziţia 49.4. Şirul de puncte (a k ), a k ∈ R n converge la a ∈ R n dacǎ şi numai dacǎşirurile de numere reale (a i,k ) converg la numerele a i , i = 1, n. Unde a k = (a 1k , . . . , a nk ).110

Demonstraţie. Dacǎ a k −−−→ a atunci ∀ ε > 0, ∃ N = N(ε) > 0 a.î. ‖a k − a‖ N(ε). Rezultǎ de aici cǎ |a ik − a i | < ε ∀ k > N(ε), i = 1, n. Prin urmarea ik −−−→ a i, i = 1, n.k→∞Dacǎ a ik −−−→ a i, i = 1, n atunci ∀ ε > 0, ∃ N i = N i (ε) a.î. |a ik − a i | < ε , ∀ k > Nk→∞n i.Rezultǎ de aici cǎ pentru orice k > max{N 1 , . . . , N n } avem ‖a k − a‖ < ε. Adicǎa k −−−→ a.k→∞Propoziţia 49.5. (Weierstrass-Bolzano) Dacǎ şirul de puncte (a k ) din R n ; (a k ) ∈ R n ;este mǎrginit atunci conţine un subşir convergent.Demonstraţie. Dacǎ şirul (a k ) este mǎrginit atunci şirurile de coordonate (a ik ) suntmǎrginite şi se aplicǎ Weierstrass-Bolzano pentru şiruri de numere reale.Criteriul de convergenţǎ Cauchy. Şirul de puncte (a k ) din R n este convergent dacǎşi numai dacǎ ∀ ε > 0, ∃ N = N(ε) a.î. ∀ p, q > N ⇒ ‖a p − a q ‖ < ε.Demonstraţie. Se aplicǎ criteriul lui Cauchy pentru şirurile de coordonate (a ik ).Definiţia 49.8. Un punct x ∈ R n este punct interior al mulţimii A dacǎ existǎ o sferǎdeschisǎ S r (x) cu proprietatea S r (x) ⊂ A.Un punct y din sfera deschisǎ S r (x) este punct interior al mulţimii S r (x).Definiţia 49.9. Interiorul unei mulţimi A ⊂ R n este mulţimea formatǎ cu toate puncteleinterioare ale lui A. Tradiţional interiorul mulţimii A se noteazǎ cu Å sau cu Int(A).Dacǎ mulţimea A este o sferǎ deschisǎ S r (a), atunci Å = A.Definiţia 49.10. O mulţime A ⊂ R n este deschisǎ dacǎ Å = A.O sferǎ deschisǎ S r (x) este o mulţime deschisǎ.O mulţime A ⊂ R n este deschisǎ dacǎ şi numai dacǎ orice element al mulţimii A îiaparţine cu o întreagǎ vecinǎtate.Reuniunea unei familii de mulţimi deschise este o mulţime deschisǎ.Intersecţia unui numǎr finit de mulţimi deschise este o mulţime deschisǎ.Mulţimile R n şi ∅ sunt deschise.Definiţia 49.11. O mulţime A ⊂ R n este închisǎ dacǎ mulţimea C R nA este deschisǎ.Intersecţia unei familii oarecare de mulţimi închise este o mulţime închisǎ.Reuniunea unui numǎr finit de mulţimi închise este mulţime închisǎ.Mulţimile R n şi ∅ sunt închise.Sfera închisǎ de razǎ r, S r (a), centratǎ în a ∈ R n este definitǎ prin:S r (a) = {x ∈ R n | ‖x − a‖ ≤ r}111

Definiţia 49.12. Un punct a ∈ R n este punct limitǎ (sau punct de acumulare) al mulţimiiA ⊂ R n dacǎ orice vecinǎtate redusǎ V 0 = V − {a} a lui a intersecteazǎ mulţimea A.Definiţia 49.13. Închiderea A a mulţimii A ⊂ Rn este intersecţia tuturor mulţimilorînchise care conţin mulţimea A.Mulţimea punctelor din A care nu sunt în interiorul mulţimii A este frontiera mulţimii Aşi se noteazǎ tradiţional cu ∂A sau Front (A); ∂A = A − ÅOperaţia de închidere a mulţimilor are urmǎtoarele proprietǎţi::• A ∪ B = A ∪ B;• A ⊃ A;• A = A;• A = A⇔ A este închisǎ;• x ∈ A ⇐⇒ ∀ V x , V x ∩ A ≠ φ.Definiţia 49.14. Mulţimea A ⊂ R nA ⊂ S r (0).este mǎrginitǎ dacǎ existǎ r > 0 astfel încâtAltfel spus: ‖a‖ < r, ∀ a ∈ ADefiniţia 49.15. Mulţimea A ⊂ R n este compactǎ dacǎ este mǎrginitǎ şi închisǎ.O sferǎ închisǎ S a (r) este compactǎ.Exemplu 49.3. Mulţimea D definitǎ prin:D = {(x, y) | x + y ≤ 1 şi x ≥ 0 şi y ≥ 0}este compactǎ.Soluţie: În adevǎr, mulţimea D este mǎrginitǎ pentru cǎ este inclusǎ în sferaS 2 (0) = {(x, y) | x 2 + y 2 < 4}.Pe de altǎ parte, dacǎ a ∈ C R 2D, atunci a se aflǎ la o distanţǎ r > 0 de cel puţin una dindreptele x + y = 1, x = 0, y = 0. Rezultǎ cǎ sfera deschisǎ S r (a) este inclusǎ în una dinregiunile x + y > 1, x < 0 sau y < 0. Deci S r (a) ⊂ C R 2D, şi prin urmare mulţimea C R 2Deste deschisǎ. Rezultǎ astfel cǎ mulţimea D este închisǎ.Remarca 49.1. Dacǎ mulţimea A ⊂ R n este compactǎ, atunci orice şir (x k ) de elementedin A (x k ∈ A) conţine un subşir (x kl ) care converge la un punct x 0 ∈ A.Definiţia 49.16. O mulţime A ⊂ R n este conexǎ dacǎ nu existǎ douǎ mulţimi deschiseG 1 , G 2 care sǎ aibe urmǎtoarele proprietǎţi:A ⊂ G 1 ∪ G 2 , A ∩ G 1 ≠ ∅, A ∩ G 2 ≠ ∅, şi (A ∩ G 1 ) ∩ (A ∩ G 2 ) = ∅.112

50 Limita într-un punct a unei funcţii de n variabile.Fie f : A ⊂ R n → R 1 o funcţie realǎ de n variabile şi a ∈ R n un punct de acumularepentru mulţimea A (orice vecinǎtate V a punctului a conţine cel puţin punctul x ′ cuurmǎtoarele proprietǎţi: x ′ ≠ a şi x ′ ∈ V ∩ A).Definiţia 50.1. Funcţia f are limita L ∈ R 1 în punctul a dacǎ ∀ ε > 0, ∃ δ = δ(ε) > 0a.î. 0 < ‖x − a‖ < δ ⇒ |f(x) − L| < ε.Faptul cǎ funcţia f are limita L în a se noteazǎ tradiţional în felul urmǎtor:lim f(x) = L sau f(x) −−→ Lx→a x→aCa şi în cazul funcţiilor reale de o singurǎ variabilǎ verificarea faptului cǎ funcţia f arelimita L în a, pe baza definiţiei 50.1 este anevoioasǎ. De aceea se folosesc de obicei regulireferitoare la sumǎ, produs, cât etc care se obţin pe o cale asemǎnǎtoare cu cea de lafuncţii de o singurǎ variabilǎ. Utilizarea acestor reguli este ilustratǎ în exemplul urmǎtor:Exemplu 50.1. Sǎ se determine lim f(x, y) unde f(x, y) = x2 − y 2x→2y→1Soluţie: x → 2 şi y → 1 ⇒ x 2 − y 2 → 3 şi x 2 + y 2 → 5 ⇒ x2 − y 2; (x, y) ≠ (0, 0).x 2 + y2 x 2 + y −−−−−−→2 (x,y)→(2,1)Definiţia 50.2. Funcţia f : A ⊂ R n → R m are limita L ∈ R m în punctul de acumularea al lui A dacǎ ∀ ε > 0 ∃ δ = δ(ε) > 0 a.î. ‖x − a‖ < δ ⇒ ‖f(x) − L‖ < ε. Faptul cǎfuncţia f are limita L în a se noteazǎ tradiţional în felul urmǎtor:L = lim f(x) sau f(x) −−→ Lx→a x→aDacǎ f(x 1 , . . . , x n ) = (f 1 (x 1 , . . . , x n ), . . . , f m (x 1 , . . . , x n )) şi L = (L 1 , . . . , L m ) atunci areloc:Propoziţia 50.1.35 .lim f(x) = Lx→a⇔ limx→a f i(x) = L i i = 1, m.Demonstraţie. imediatǎExemplu 50.2. Sǎ se determine limita lim f(x, y) unde f(x, y) =(x, y) ≠ (0, 0).x→2y→1( xyx 2 + y 2 , x − y );Soluţie:xyx 2 + y −−→ 2 x→2y→135 ; x − y −−→x→2y→11 ⇒ f(x, y) −−−−−−→(x,y)→(2,1)( 25 , 1) .113

Criteriul lui Heine pentru limite:Funcţia f : A ⊂ R n → R 1 are limitǎ în punctul de acumulare x = a dacǎ şi numai dacǎpentru orice şir (x k ) având proprietǎţile: x k ∈ A, x k ≠ a, şi x k −−−→ a şirul (f(x k)) estek→∞convergent.Demonstraţie. Aceeaşi ca pentru funcţii de o singurǎ variabilǎ.Funcţia f : A ⊂ R n → R m are limitǎ în punctul de acumulare x = a dacǎ şi numai dacǎpentru orice şir (x k ) având proprietǎţile: x k ∈ A, x k ≠ a, şi x k −−−→ a pentru k → ∞k→∞şirul (f(x k )) este convergent.Demonstraţie. Se aplicǎ acelaşi criteriu valabil pentru componentele f 1 , . . . , f mf.ale luiCriteriul Cauchy-Bolzano pentru limite:Funcţia f : A ⊂ R n → R m are limitǎ pentru x → a dacǎ şi numai dacǎ ∀ ε > 0, ∃ δ =δ(ε) > 0 a.î. 0 < ‖x ′ − a‖ < δ şi 0 < ‖x ′′ − a‖ < δ ⇒ ‖f(x ′ ) − f(x ′′ )‖ < ε.Demonstraţie. Pentru m = 1 criteriul se demonstreazǎ la fel ca pentru funcţii de o singurǎvariabilǎ.Pentru m > 1 criteriul se demonstreazǎ aplicând acelaşi criteriu pentru componentelef 1 , . . . , f m ale lui f.51 Continuitatea funcţiilor de n variabile.Definiţia 51.1. Funcţia realǎ de n variabile reale f : A ⊂ R n → R 1 este continuǎ îna ∈ A dacǎ limx→af(x) = f(a).În aceastǎ definiţie se cere ca: limx→af(x) sǎ existe; f(a) sǎ fie definitǎ şi cele douǎ valori sǎcoincidǎ.În termeni de ε, δ aceastǎ definiţie este echivalentǎ cu urmǎtoarea:Definiţia 51.2. Funcţia f : A ⊂ R n → R 1 este continuǎ în a ∈ A dacǎ pentru oriceε > 0 existǎ δ = δ(ε) > 0 cu urmǎtoarea proprietate:‖x − a‖ < δ ⇒ |f(x) − f(a)| < ε.Definiţia 51.3. Funcţia vectorialǎ de n variabile reale f : A ⊂ R n → R m este continuǎîn a ∈ A dacǎ pentru orice ε > 0 existǎ δ = δ(ε) > 0 cu urmǎtoarea proprietate:x ∈ A şi ‖x − a‖ < δ ⇒ ‖f(x) − f(a)‖ < ε.114

Teorema 51.1. Funcţia f : A ⊂ R n → R m , f(x 1 , . . . , x n ) = (f 1 (x 1 , . . . , x n ), . . . , f m (x 1 , . . . , x n ))este continuǎ în a ∈ A dacǎ şi numai dacǎ funcţiile f i : A ⊂ R n → R 1 sunt continue îna.Exemplu 51.1. Folosind condiţia de continuitate formulatǎ în termeni de ε, δ arǎtaţi cǎfuncţiile urmǎtoare sunt continue în punctele menţionate:a) f(x, y) = x 2 + y 2 în x = y = 0;b) f(x, y) = (x 2 − y 2 , x · y) în x = 1, y = 1;c) f(x, y, z) = x + y + z în x = y = z = 0;d) f(x, y, z) = (x 2 + y 2 + z 2 , x + y + z) în x = y = z = 1.Regulile de continuitate formulate pentru funcţii reale de o singurǎ variabilǎ pot fitranspuse cu uşurinţǎ la funcţii de n variabile. Aceste reguli sunt formulate în urmǎtoareleteoreme.Teorema 51.2. Dacǎ funcţiile f, g : A ⊂ R n → R 1 sunt continue în a ∈ A atunci:i) funcţia f + g este continuǎ în a;ii) funcţia f · g este continuǎ în a;iii) dacǎ f(x) ≠ 0 ∀x ∈ A atunci funcţia 1 f : A → R1 este continuǎ în a.Teorema 51.3. Dacǎ funcţia f : A ⊂ R n → B ⊂ R m este continuǎ în a ∈ A şig : B ⊂ R m → R p este continuǎ în b = f(a) ∈ R p atunci funcţia compusǎ g ◦ f : A → R peste continuǎ în a ∈ A.Exemplu 51.2. Funcţia f : R 2 → R 1 defiinitǎ prin f(x, y) = x 2 + y 2 este continuǎ înorice punct (x, y) ∈ R 2 .Exemplu 51.3. Examinaţi continuitatea în (0, 0) a funcţiei f : R 2 → R 1 definitǎ prin⎧ xy⎪⎨ dacǎ (x, y) ≠ (0, 0)xf(x, y) =2 + y 2 .⎪⎩0 dacǎ (x, y) = (0, 0)Soluţie: Deoarecef(x, mx) =mx 2x 2 + m 2 x 2 =m1 + m −−→ 2 x→0m1 + m 2funcţia f nu are limitǎ în (0, 0). Rezultǎ cǎ funcţia f nu este continuǎ în (0, 0).Exemplu 51.4. Analizaţi continuitatea în (0, 0) a funcţiei f : R 2 → R 1 definitǎ prin⎧xy ⎪⎨3pentru (x, y) ≠ (0, 0)f(x, y) =x 2 + y 6 .⎪⎩0 pentru (x, y) = (0, 0)115

Soluţie: Pentru orice m ∈ R 1 avemf(x, mx) = m3 x 21 + m 6 x 4 −−→x→0 0.Cu toate acestea funcţia f nu este continuǎ în (0, 0) pentru cǎDe fapt, f nu are limitǎ în (0, 0).f(x, 3√ x) = x22x −−→ 2 x→012≠ f(0, 0).Teorema 51.4. [Criteriul de continuitate a lui Heine] Funcţia f : A ⊂ R n → R meste continuǎ în a ∈ A dacǎ pentru orice şir de puncte (x k ) cu proprietǎţile x k ∈ A,x k −−−→ a, şirul de puncte (f(x k)) converge la f(a).k→∞Teorema 51.5. [Criteriul de continuitate Cauchy-Bolzano] Funcţia f : A ⊂ R n →R m este continuǎ în a ∈ A dacǎ şi numai dacǎ pentru orice ε > 0 existǎ δ > 0 cuurmǎtoarea proprietate:x ′ , x ′′ ∈ A, ‖x ′ − a‖ < δ şi ‖x ′′ − a‖ < δ ⇒ ‖f(x ′ ) − f(x ′′ )‖ < ε.Observaţia 51.1. Dacǎ funcţia f : A ⊂ R n → R m este continuǎ în a ∈ A atunci funcţia‖f‖ : A ⊂ R n → R 1 + definitǎ prin ‖f‖(x) = ‖f(x)‖ este continuǎ în a.Observaţia 51.2. Generalizarea teoremelor stabilite pentru funcţii continue de o singurǎvariabilǎ apeleazǎ la consideraţii topologice n dimensionale.52 Proprietǎţi remarcabile ale funcţiilor continue den variabile.Teorema 52.1. [mǎrginirea] Dacǎ funcţia f : A ⊂ R n → R m este continuǎ pe mulţimeacompactǎ A, atunci:a) mulţimea f(A) este mǎrginitǎ.b) existǎ a ∈ A astfel încât ‖f(a)‖ = sup ‖f(x)‖.x∈ADemonstraţie. a) Sǎ presupunem prin absurd cǎ mulţimea f(A) este nemǎrginitǎ. Înaceastǎ ipotezǎ pentru orice k ∈ N existǎ x k ∈ A astfel încât ‖f(x k )‖ > k. Şirul (x k )este mǎrginit şi prin urmare existǎ un subşir (x kl ) al şirului (x k ) convergent la un punctx 0 ∈ A, x kl −−−→ x 0. Rezultǎ de aici cǎ f(x kl ) −−−→ f(x 0).k l →∞k l →∞Prin urmare existǎ N astfel încât pentru k l > N avem: ‖f(x kl )‖ ≤ ‖f(x 0 )‖ + 1. Absurd.b) Considerǎm R = sup ‖f(A)‖ şi observǎm cǎ pentru orice k ∈ N existǎ x k ∈ A astfelîncâtR − 1 k < ‖f(x k)‖ ≤ R.116

Pentru şirul (x k ) existǎ un subşir x kl convergent la x 0 ∈ A: x kl −−−→k l →∞ x 0. Rezultǎf(x kl ) −−−→ 0) şi deci ‖f(x kl )‖ −−−→ 0)‖. Din inegalitateak l →∞k l →∞rezultǎ cǎ ‖f(x 0 )‖ = R.R − 1 k l< ‖f(x kl )‖ ≤ R.Consecinţa 52.1. Dacǎ f : A ⊂ R n → R 1 este funcţie continuǎ şi A este mulţimecompactǎ, atunci:a) existǎ m, M ∈ R 1 astfel încâtm = inf{f(x) | x ∈ A} M = sup{f(x) | x ∈ A}b) existǎ c şi d în A astfel încât f(c) = m şi f(d) = M.Definiţia 52.1. Funcţia f : A ⊂ R n → R 1 este uniform continuǎ pe A dacǎ pentru oriceε > 0 existǎ δ = δ(ε) > 0 astfel încât pentru x ′ , x ′′ ∈ A avem:‖x ′ − x ′′ ‖ < δ ⇒ ‖f(x ′ ) − f(x ′′ )‖ < ε.Teorema 52.2. Funcţia f : A ⊂ R n → R m este uniform continuǎ pe A dacǎ şi numaidacǎ componentele scalare f 1 , f 2 , . . . , f m ale lui f sunt uniform continue.Teorema 52.3. Dacǎ funcţia f : A ⊂ R n → R m este uniform continuǎ pe A şi A este omulţime compactǎ, atunci f este uniform continuǎ pe A.Teorema 52.4. Fie A ⊂ R n , A ′ ⊂ R m şi f : A → A ′ surjectivǎ. Funcţia f este continuǎpe A dacǎ şi numai dacǎ pentru orice mulţime deschisǎ G ′ ⊂ R m existǎ o mulţime deschisǎG ⊂ R n cu proprietatea:G ∩ A = f −1 (G ′ ∩ A ′ ).Consecinţa 52.2. Funcţia f este continuǎ pe A dacǎ şi numai dacǎ pentru orice mulţimeînchisǎ F ′ ⊂ R m , existǎ o mulţime închisǎ F ⊂ R n astfel încât:F ∩ A = f −1 (F ′ ∩ A ′ ).Teorema 52.5. Dacǎ mulţimea A ⊂ R n este conexǎ şi funcţia f : A ⊂ R n → R m estecontinuǎ, atunci mulţimea f(A) este conexǎ.Consecinţa 52.3. Dacǎ A ⊂ R n este o mulţime compactǎ şi conexǎ şi funcţiaf : A ⊂ R n → R 1 este continuǎ, atunci f(A) este un interval închis.53 Diferenţiabilitatea funcţiilor de n variabile.În aceastǎ secţiune vom defini ce înţelegem prin aceea cǎ o funcţie de n variabile estediferenţiabilǎ. Vom începe cu analiza conceptului de de derivabilitate (diferenţiabilitate)parţialǎ.117

Definiţia 53.1. Funcţia f : A ⊂ R n → R 1 are derivata parţialǎ în raport cu variabila x iîntr-un punct a ∈ Å dacǎ existǎ limitaşi este finitǎ.f(a 1 , ..., a i−1 , a i + h, a i+1 , ..., a n ) − f(a 1 , ..., a i , ..., a n )limh→0hValoarea acestei limite se noteazǎ tradiţional cu ∂f∂x i(a) şi se numeşte derivata parţialǎ afuncţiei f în raport cu variabila x i , în punctul a.Definiţia 53.2. Dacǎ funcţia f are derivatǎ parţialǎ în raport cu variabila x i într-ovecinǎtate V a punctului a atunci funcţia x ↦→ ∂f∂x i(x) definitǎ pentru x ∈ V se numeştederivata parţialǎ a funcţiei f în raport cu x i .Observaţia 53.1. Pentru a calcula derivata parţialǎ în raport cu x i se deriveazǎ în modobişnuit în raport cu x i considerând celelalte variabile constante. În acest scop se folosescregulile obişnuite de derivare a sumei, produsului şi a câtului de la funcţii de o singurǎvariabilǎ.Exemplu 53.1. În cazul funcţiei f(x, y, z) = x2 y + x · sin y + y ; z ≠ 0 derivatele parţialezsunt:∂f∂x= 2xy + sin y ;∂fÎn cazul funcţiei f(x 1 , ..., x n ) =n∑i=1∂y = x2 + x cos y + 1 z ; ∂f∂z = − y z 2n∑a ij x i x j , (x 1 , ..., x n ) ∈ R n derivatele parţiale sunt:j=1∂f∂x k=n∑(a kj + a jk )x j .j=1Definiţia 53.3. Funcţia f : A ⊂ R n → R m are derivatǎ parţialǎ în raport cu variabilax i într-un punct a ∈ Å dacǎ componentele ( scalare f 1 , . . . , f m ale funcţiei f au derivate∂f1parţiale în raport cu x i în a. Vectorul (a), . . . , ∂f )m(a) se numeşte derivata parţialǎ∂x i ∂x ia lui f în raport cu x i în a şi se noteazǎ cu ∂f∂x i(a)(∂f ∂f1(a) = (a), . . . , ∂f )m(a) .∂x i ∂x i ∂x iDacǎ funcţia f = (f 1 , ..., f m ) are derivatǎ parţialǎ în raport cu variabila x i pe o vecinǎtateV a lui a atunci funcţia V ∋ x ↦→ ∂f (x) se numeşte derivata parţialǎ a lui f în raport∂x icu x i :V ∋ x ↦→ ∂f ( ∂f1(x) = (x), . . . , ∂f )m(x) .∂x i ∂x i ∂x i118

Exemplu 53.2. În cazul funcţiei f(x, y, z) = (x + y + z, xy + xz + yz, xyz), derivateleparţiale sunt:∂f∂x= (1, y + z, yz) ;∂f∂y= (1, x + z, xz) ;∂f∂z= (1, x + y, xy).Definiţia 53.4. Funcţia f : A ⊂ R n → R 1 este derivabilǎ dupǎ direcţia u ∈ R n (‖u‖ = 1)într-un punct a ∈ Å dacǎ existǎ limita:şi este finitǎ.f(a + t · u) − f(a)limt→0 tValoarea acestei limite se notezǎ tradiţional cu ∇ u f(a) sau ∂f (a) şi se numeşte derivata∂udupǎ u a lui f în a.Observaţia 53.2. Fie e i = (0, ..., 0, }{{} 1 , 0, ..., 0), i = 1, n. Derivata funcţiei f dupǎdirecţia e i în a este:i∇ ei f(a) = ∂f (a) = ∂f (a) ,∂e i ∂x ii = 1, n.Prin urmare derivatele parţiale sunt cazuri particulare de derivate dupǎ direcţie.Exemplu 53.3. Dacǎ u = (u x , u y ) şi f(x, y) = x · y atunci∇ u f(x, y) = ∂f∂x · u x + ∂f∂y · u y = y · u x + x · u y .Definiţia 53.5. Funcţia f = (f 1 , . . . , f m ) este derivabilǎ dupǎ direcţia u ∈ R n (‖u‖ = 1)într-un punct a ∈ Å dacǎ existǎ limita:f(a + t · u) − f(a)limt→0 tAceastǎ limitǎ se numeşte derivata dupǎ u a lui f în a şi se notezǎ cu ∇ u f(a) sau ∂f∂u (a).Se vede uşor cǎ are loc egalitatea:∇ u f(a) = (∇ u f 1 (a), . . . , ∇ u f m (a)).Observaţia 53.3. Derivata dupǎ direcţia u: ∇ u f(a) existǎ dacǎ şi numai dacǎ derivatelecomponentelor scalare f 1 , . . . , f m ale lui f dupǎ direcţia u: ∇ u f 1 (a), . . . , ∇ u f m (a) existǎ.Exemplu 53.4. Derivata dupǎ direcţia u = (u x , u y , u z ) a funcţiei f(x, y, z) = (xy + xz +yz, xyz) în (x, y, z) este:∇ u f(x, y, z) = ((y + z)u x + (x + z)u y + (x + y)u z , yz · u x + xz · u y + xy · u z ).119

Teorema 53.1. Dacǎ derivatele parţiale ∂f , i = 1, n ale funcţiei f : A ⊂ R n → R 1∂x iexistǎ pe o vecinǎtate V a punctului a ∈ Å şi sunt funcţii continue în punctul a(V ∋ x ↦→ ∂f), i = 1, n funcţii continue atunci are loc urmǎtoarea egalitate:∂x ilimh→01‖h‖[f(a + h) − f(a) −n∑i=1]∂f(a) · h i = 0.∂x iDemonstraţie. Se considerǎ punctele v j = (a 1 , a 2 , . . . , a j + h j , a j+1 + h j+1 , . . . , a n + h n )pentru j = 1, n precum şi v n+1 = a şi se reprezintǎ diferenţa f(a + h) − f(a) sub forma:f(a + h) − f(a) ==n∑[f(v j ) − f(v j+1 )] =j=1n∑j=1cu θ j ∈ [0, 1], i = 1, n şi e j = (0, ..., 0, }{{} 1 , 0, ..., 0).jDe aici rezultǎ:[1f(a + h) − f(a) −‖h‖n∑i=1]∂f(a) · h i = 1∂x i ‖h‖∂f∂x j(v j+1 + θ j · h j · e j ) · h jn∑i=1[ ∂f(v i+1 + θ i · h i · e i ) − ∂f ](a) · h i .∂x i ∂x iObservǎm acum cǎ ‖v i+1 + θ i · h i · e i − a‖ ≤ ‖h‖, i = 1, n şi de aici rezultǎ cǎ dacǎ pentruorice ε > 0, existǎ δ = δ(ε) > 0 cu proprietatea‖h‖ < δ ⇒∂f∣ (v i+1 + θ i · h i · e i ) − ∂f(a)∂x i ∂x i∣ < ε n , i = 1, natunci‖h‖ < δ ⇒ 1‖h‖n∑∣ f(a + h) − f(a) −i=1∂f∂x i(a) · h i∣ ∣∣∣∣< ε.Comentariu: În condiţiile teoremei 53.1 funcţia f este derivabilǎ dupǎ orice direcţieu∑ ∂fu = (u 1 , . . . , u n ) în a şi are loc egalitatea ∇ u f(a) = (a) · u i , iar pe o vecinǎtate a∂xi=1 ipunctului a funcţia f se poate aproxima cu un polinom de n variabile de gradul întâi:n∑ ∂ff(a + h) ≈ f(a) + (a) · h i .∂x iDefiniţia 53.6. Funcţia f : A ⊂ R n → R 1 este diferenţiabilǎ în a ∈ Å dacǎ are derivateparţiale în raport cu fiecare variabilǎ x i în punctul a şi[]1n∑ ∂flim f(a + h) − f(a) − (a) · h i = 0.h→0 ‖h‖∂x i120i=1i=1

Funcţia d a f : R n → R 1 definitǎ prind a f(h) =n∑i=1∂f∂x i(a) · h ih ∈ R nse numeşte diferenţiala Fréchet (derivata Fréchet) a lui f în a.Observaţia 53.4. Diferenţiala Fréchet a lui f în a este un polinom omogen de gradulîntâi în variabilele h 1 , h 2 , . . . , h n . Pentru orice h ∈ R n cu ‖h‖ = 1 are loc egalitatead a (h) = ∇ h f(a).Exemplu 53.5. Urmǎtoarele funcţii sunt diferenţiabile Fréchet şi diferenţialele lorFréchet sunt:a) f(x, y) = x 2 + y 2 , d (x,y) f(h x , h y ) = 2x · h x + 2y · h yb) f(x, y) = x · y, d (x,y) f(h x , h y ) = y · h x + x · h yc) f(x, y, z) = x·y+x·z+y·z, d (x,y,z) f(h x , h y , h z ) = (y+z)·h x +(x+z)·h y +(x+y)·h z .Observaţia 53.5. Dacǎ funcţia f :⊂ R n → R 1 este diferenţiabilǎ în a ∈ Å atunci f estecontinuǎ în a.Definiţia 53.7. Funcţia f : A ⊂ R n → R m este diferenţiabilǎ în a ∈ Å dacǎ fiecarecomponentǎ scalarǎ f 1 , . . . , f m : A ⊂ R n → R m a lui f este diferenţiabilǎ în a.Funcţia d a f : R n → R m definitǎ cu egalitatea:d a f(h) =m∑j=1( n∑i=1)∂f j(a) · h i · e j h ∈ R n∂x ieste diferenţiala (derivata) Fréchet a lui f în a. Unde e j = (0, . . . , 0, }{{} 1 , 0, . . . , 0) ∈ R m .jDiferenţiala Fréchet a lui f în a este un sistem ordonat de m polinoame omogene de gradulîntâi în variabilele h 1 , h 2 , . . . , h n care sunt diferenţialele Fréchet ale componenetelor scalarea lui f.Exemplu 53.6. Funcţia f : R 3 → R 2 definitǎ cu formulaf(x 1 , x 2 , x 3 ) = (x 1 x 2 x 3 , x 2 1 + x 2 2 + x 2 3)este diferenţiabilǎ Fréchet în orice punct (x 1 , x 2 , x 3 ) ∈ R 3 şi are loc egalitatead x1 ,x 2 ,x 3f(h 1 , h 2 , h 3 ) = (x 2 x 3 h 1 +x 1 x 3 h 2 +x 1 x 2 h 3 , 2x 1 h 1 +2x 2 h 2 +2x 3 h 3 ), ∀ (h 1 , h 2 , h 3 ) ∈ R 3Definiţia 53.8. Matricea aplicaţiei liniare d a f : R n → R m se numeşte matricea Jacobi alui f în a. Aceasta este o matrice m × n şi elementele sale sunt date de:( ) ∂fiJ a (f) = (a)∂x jd a f(h) = J a (f) · h.121m×n

Exemplu 53.7. Funcţia f : R n → R m definitǎ cu formula:)m∑f(x 1 , . . . , x n ) = a ij x j · e ii=1( n∑j=1este diferenţiabilǎ Fréchet în orice x ∈ R n şi au loc urmǎtoarele egalitǎţi:)m∑d x f(h) = a ij h j · e i( n∑i=1 j=1( ) ∂fiJ a (f) = (a)∂x jm×n= (a ij ) m×n .Observaţia 53.6. Dacǎ funcţia f : A ⊂ R n → R m este diferenţiabilǎ în a ∈ Å atunci feste continuǎ în a.Teorema 53.2. Dacǎ f : A ⊂ R n → B ⊂ R m este diferenţiabilǎ în a ∈ Å şig : B ⊂ R m → R p este diferenţiabilǎ în b = f(a) ∈ ◦ B atunci h = g ◦ f este diferenţiabilǎîn a şi are loc egalitatea:d a h = d b g ◦ d a f.Demonstraţie. f este diferenţiabilǎ în a ∈ Å ⇒f(x) − f(a) = d a f(x − a) + ε 1 (x) · ‖x − a‖ cu ε 1 (x) −−→x→a0g este diferenţiabilǎ în b = f(a) ⇒De aici rezultǎ:g(y) − g(b) = d b g(y − b) + ε 2 (y) · ‖y − b‖ cu ε 2 (y) −−→y→b0h(x) − h(a) =g(f(x)) − g(f(a)) = d b g(f(x) − f(a)) + ε 2 (f(x)) · ‖f(x) − f(a)‖Prin urmare avem:şi astfel:=d b g(d a f(x − a) + ε 1 (x) · ‖x − a‖) + ε 2 (f(x)) · ‖d a f(x − a) + ε 1 (x) · ‖x − a‖‖=d b g ◦ d a f(x − a) + ‖x − a‖d b g(ε 1 (x)) + ‖d a f(x − a) + ε 1 (x)‖x − a‖‖) · ε 2 (f(x)).De aici rezultǎ egalitatea:ε 3 (x) = h(x) − h(a) − d bg ◦ d a f(x − a)‖x − a‖=d b g(ε 1 (x)) + ‖d af(x − a) + ε 1 (x) · ‖x − a‖‖‖x − a‖· ε 2 (f(x))‖ε 3 (x)‖ ≤ ‖d b g‖ · ‖ε 1 (x)‖ + (‖d a f‖ + ‖ε 1 (x)‖) · ‖ε 2 (f(x))‖lim ε 3(x) = 0.x→a122

Observaţia 53.7. Matricea Jacobi a funcţiei h în a este produsul matricei Jacobi a luig în b şi a lui f în a:∂h im∑ ∂g i(a) = (b) · ∂f k(a), i = 1, p , j = 1, n.∂x j ∂y k ∂x jk=1Exemplu 53.8. Se considerǎ f : R 2 → R 2 definitǎ cu formula f(x 1 , x 2 ) = (x 1 +x 2 , x 1·x 2 )şi g : R 2 → R 2 definitǎ cu formula g(ρ, θ) = (ρ cos θ, ρ sin θ). Sǎ se determine h(ρ, θ) =(f ◦ g)(ρ, θ) şi ∂h∂ρ , ∂h∂θ .Consecinţa 53.1. Dacǎ bijecţia f : A ⊂ R n → B ⊂ R n de la mulţimea deschisǎ A lamulţimea deschisǎ B este diferenţiabilǎ în a ∈ A şi f −1 : B → A este diferenţiabilǎ înb = f(a) atunci d a f : R n → R n este un izomorfism şi(d a f) −1 = d f(a) f −1 .Aceastǎ afirmaţie rezultǎ din egalitatea f −1 ◦ f = I A folosind regula de diferenţiere afuncţiilor compuse.54 Proprietǎţi fundamentale ale funcţiilor diferenţiabile.Teorema de medie (Lagrange) (creşterilor finite) Fie x, h ∈ R n şi mulţimea[x, x + h] definitǎ prin:[x, x + h] = {x + th ∈ R n | 0 ≤ t ≤ 1}Aceastǎ mulţime se numeşte segment închis care uneşte x cu x + h.Considerǎm o funcţie f : A ⊂ R n → R 1 , A = Å şi x, x + h ∈ A.Teorema 54.1. Dacǎ sunt îndeplinite urmǎtoarele condiţii:a) [x, x + h] ⊂ Ab) f este diferenţiabilǎ în toate punctele segmentului [x, x + h]atunci existǎ t 0 ∈ (0, 1) cu urmǎtoarea proprietate:f(x + h) − f(x) = d x+t0 hf(h) =n∑i=1∂f∂x i(x + t 0 h) · h iDemonstraţie. Se considerǎ funcţia ϕ(t) = f(x + th) pentru t ∈ [0, 1]. Funcţia ϕ estederivabilǎ în orice punct t ∈ (0, 1) şi ϕ ′ (t) = d x+th f(h). Deoarece f(x + h) − f(x) =ϕ(1) − ϕ(0) aplicǎm teorema Lagrange (creşterilor finite) funcţiei ϕ pe segmentul [0, 1] şiobţinem cǎ existǎ t 0 ∈ (0, 1) cu proprietatea:ϕ(1) − ϕ(0) = ϕ ′ (t 0 ) = d x+t0 hf(h) =n∑i=1∂f∂x i(x + t 0 h) · h i123

Observaţia 54.1. Dacǎ funcţia de n variabile este vectorialǎ; f : A ⊂ R n → R m , m > 1atunci teorema precedentǎ nu mai este adevǎratǎ. Astfel de exemplu pentru funcţiaf(t) = (cos t, sin t), t ∈ [0, 2π] (n = 1, m = 2) teorema nu este adevǎratǎ pentru cǎf(2π) − f(0) ≠ f ′ (t 0 ) · 2π pentru orice t 0 ∈ [0, 2π].În cazul funcţiilor vectoriale de n variabile, f : A ⊂ R n → R m , m ≥ 1 teorema luiLagrange (a creşterilor finite) este urmǎtoarea:Teorema 54.2. Dacǎ sunt îndeplinite urmǎtoarele condiţii:a) [x, x + h] ⊂ Ab) f este diferenţiabilǎ în toate punctele segmentului [x, x + h]c) ‖d x+th f‖ ≤ M, ∀ t ∈ [0, 1]atunci ‖f(x + h) − f(x)‖ ≤ M · ‖h‖ .i=1Demonstraţie. Se considerǎ din nou funcţia ϕ(t) = f(x + th), t ∈ [0, 1] şin∑ψ(t) = (ϕ i (1) − ϕ i (0)) · ϕ i (t), t ∈ [0, 1]. Pentru funcţia ψ existǎ t 0 ∈ [0, 1] cu proprietatea:ψ(1) − ψ(0) = ψ ′ (t 0 ). De aici rezultǎ:m∑m∑[ϕ i (1) − ϕ i (0)] 2 = [ϕ i (1) − ϕ i (0)] · ϕ ′ i(t 0 ) ≤i=1i=1i=1[ m] 1 [2∑m] 12∑≤ [ϕ i (1) − ϕ i (0)] 2 · [ϕ ′ i(t 0 )] 2 ≤ M · ‖h‖ · ‖ϕ(1) − ϕ(0)‖Rezultǎ în acest fel inegalitatea:i=1‖ϕ(1) − ϕ(0)‖ ≤ M · ‖h‖Extreme locale (Teorema Fermat; punct staţionar)Definiţia 54.1. Funcţia f : A ⊂ R n → R 1 are un maxim local în a ∈ Å dacǎ existǎ ovecinǎtate deschisǎ V a ⊂ A a punctului a cu proprietatea: f(x) ≤ f(a), ∀ x ∈ V a . Dacǎf(x) ≥ f(a), ∀ x ∈ V a , atunci f are în a un minim local.Teorema 54.3. Dacǎ funcţia f este diferenţiabilǎ într-un punct a ∈ Å şi punctul a esteun extrem local pentru f atunci ∂f∂x i(c) = 0 pentru i = 1, n.Demonstraţie. Pentru h ∈ R n şi t ∈ R 1 suficient de aproape de 0 considerǎm funcţiaϕ(t) = f(a + th). Funcţia f are în t = 0 un maxim sau un minim local şi este funcţiederivabilǎ. Rezultǎ cǎ ϕ ′ (0) = 0 adicǎϕ ′ (0) =n∑i=1∂f∂x i(a) · h i = 0 ∀ h ∈ R n .124

Rezultǎ de aici egalitǎţile:∂f∂x i(a) = 0 , i = 1, n.Condiţiile ∂f∂x i(a) = 0, i = 1, n nu sunt suficiente pentru ca punctul a sǎ fie punct demaxim sau minim local pentru f.Exemplu 54.1. Dacǎ f(x, y) = xy atunci ∂f ∂f= y şi = x. De aici rezultǎ cǎ punctul∂x ∂y0 = (0, 0) este singurul punct care ar putea fi punct de extrem local pentru f. Pe de altǎparte pentru orice δ > 0 avem f(δ, δ) = δ 2 şi f(−δ, δ) = −δ 2 < 0. Prin urmare în oricevecinǎtate a lui 0, f are valori pozitive şi negative. Rezultǎ de aici cǎ (0, 0) nu este nicimaxim nici minim local pentru f.Definiţia 54.2. Un punct c este staţionar pentru f dacǎ ∂f∂x i(c) = 0 pentru i = 1, n.Ca şi în cazul funcţiilor de o singurǎ variabilǎ punctele staţionare se clasificǎ cu ajutorulaproximǎrii Taylor.Definiţia 54.3. Dacǎ derivatele parţiale A ∋ x ↦→ ∂f i∂x j, i = 1, m, j = 1, n ale funcţieif : A ⊂ R n → R m sunt continue atunci funcţia f este de clasǎ C 1 pe A.Teorema 54.4 (de inversare localǎ). Dacǎ funcţia f : A ⊂ R n → R n este de clasǎ C( 1∂fi)pe mulţimea deschisǎ A şi matricea Jacobi J a (f) = (a) este nesingularǎ (adicǎ∂x j n×n( ∂fi)det (a) ≠ 0), atunci existǎ o vecinǎtate deschisǎ U a a punctului a şi o vecinǎtate∂x jdeschisǎ V b a punctului b = f(a) cu proprietatea: f : U a → V b este bijectivǎ. Mai mult,funcţia inversǎ f −1 : V b → U a este diferenţiabilǎ în b = f(a) şi are loc egalitatea:d b f −1 = (d a f) −1 .Demonstraţie. demonstraţia este tehnicǎ şi va fi omisǎ.Exemplu 54.2. Funcţia f(ρ, θ) = (ρ cos θ, ρ sin θ) definitǎ pentru (ρ, θ) ∈ R 2 , ρ ≠ 0 estelocal inversabilǎ.Funcţia f(ρ, θ, ϕ) = (ρ sin θ cos ϕ, ρ sin θ sin ϕ, ρ cos θ) definitǎ pentru (ρ, θ, ϕ) ∈ R 3 , ρ ≠ 0este local inversabilǎ.Funcţii implicite: Fie A ⊂ R n şi B ⊂ R m douǎ mulţimi deschise şi f : A × B → R m ofuncţie. Notǎm cu f 1 , f 2 , ... , f m componentele scalare ale funcţiei f : f = (f 1 , f 2 , ..., f m )şi considerǎm sistemul de ecuaţii:⎧f 1 (x 1 , x 2 , ..., x n , y 1 , y 2 , ..., y m ) = 0⎪⎨f(∗) 2 (x 1 , x 2 , ..., x n , y 1 , y 2 , ..., y m ) = 0· · · · · · · · · · · · · · · · · ·⎪⎩f m (x 1 , x 2 , ..., x n , y 1 , y 2 , ..., y m ) = 0125

Definiţia 54.4. O funcţie ϕ : A ′ ⊂ A → B, ϕ = (ϕ 1 , ϕ 2 , ..., ϕ m ) care verificǎ egalitǎţile:⎧f 1 (x 1 , x 2 , ..., x n , ϕ 1 (x 1 , x 2 , ..., x n ), ..., ϕ m (x 1 , x 2 , ..., x n )) = 0⎪⎨f(∗∗) 2 (x 1 , x 2 , ..., x n , ϕ 1 (x 1 , x 2 , ..., x n ), ..., ϕ m (x 1 , x 2 , ..., x n )) = 0· · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · ·⎪⎩f m (x 1 , x 2 , ..., x n , ϕ 1 (x 1 , x 2 , ..., x n ), ..., ϕ m (x 1 , x 2 , ..., x n )) = 0pentru orice (x 1 , x 2 , ..., x n ) ∈ A ′ se numeşte funcţie definitǎ implicit de sistemul de ecuaţii(∗).Sistemul de ecuaţii (∗) poate fi scris sub formaf(x, y) = 0unde x = (x 1 , x 2 , ..., x n ) şi y = (y 1 , y 2 , ..., y n ).Teorema 54.5 (de existenţǎ şi unicitate a funcţiei implicite). Dacǎ funcţia f areurmǎtoarele proprietǎţi:1) ∃ a ∈ A şi b ∈ B a.î. f(a, b) = 02) f este de clasǎ C 1 pe A × B3) diferenţiala Fréchet d b f a : R m → R m este izomorfism (unde f a : B → R m estedefinitǎ prin f a (y) = f(a, y)), atunci existǎ o vecinǎtate deschisǎ U a a lui a, ovecinǎtate deschisǎ V b a lui ”b” şi o funcţie ϕ : U a → V b care are urmǎtoareleproprietǎţi:i) ϕ(a) = bii) f(x, ϕ(x)) = 0∀x ∈ U aiii) ϕ este de clasǎ C 1 pe U a şi diferenţiala lui ϕ este datǎ de:d x ϕ = −(d y f x ) −1 ◦ (d x f y )unde: f x (y) = f(x, y), f y (x) = f(x, y) şi y = ϕ(x).Trebuie subliniat faptul cǎ funcţia ϕ definitǎ implicit, în general, nu poate fi exprimatǎîn mod explicit.Aplicaţie 54.1a) Gǎsiţi funcţia y = ϕ(x) definitǎ implicit de ecuaţia x 2 + y 2 = 1.b) Arǎtaţi cǎ ecuaţia y 5 + y − x = 0 defineşte implicit o funcţie y = ϕ(x).126

55 Diferenţialǎ de ordin superior.Fie funcţia f : A ⊂ R n → R m o funcţie care are derivate parţiale pe mulţimea deschisǎA, în raport cu fiecare variabilǎ x j , j = 1, n .Definiţia 55.1. Funcţia f are derivate parţiale de ordinul al doilea în a în raport cufiecare variabilǎ x k dacǎ fiecare derivata parţialǎ x ↦→ ∂f∂x jeste derivabilǎ parţial în a ∈ Aîn raport cu fiecare variabilǎ x k ,Derivata parţialǎ în raport cu variabila x k a derivatei parţiale ∂f ise noteazǎ cu∂x j∂ 2 f∂(a), i.e. ( ∂f )(a) =∂2 f(a) şi se numeşte derivata parţialǎ de ordinul∂x k ∂x j ∂x k ∂x j ∂x k ∂x jal doilea al funcţiei f.Existǎ n 2 derivate parţiale de ordinul al doilea.Exemplu 55.1. Considerǎm funcţia f(x, y) = x 2 + y 2 + e x cos y, pentru care existǎderivatele parţiale de ordinul întâi în fiecare punct (x, y) ∈ R 2 şi sunt date de:∂f∂x = 2x + ex cos y∂f∂y = 2y − ex sin yDerivatele parţiale de ordinul întâi ale lui f au la rândul lor derivate parţiale şi în fiecarepunct (x, y) ∈ R 2 avem:∂∂x (∂f ∂x ) = ∂2 f∂x 2 = 2 + ex cos y∂∂x (∂f ∂y ) = ∂2 f∂x∂y = −ex sin y∂∂y (∂f ∂x ) = ∂2 f∂y∂x = −ex sin y∂∂y (∂f ∂y ) = ∂2 f∂y 2 = 2 − ex cos yAceste derivate parţiale sunt derivatele parţiale de ordinul al doilea.Definiţia 55.2. În general, funcţia f are derivate parţiale de ordin k în a ∈ A în raportcu toate variabilele, dacǎ f are derivate parţiale de ordin (k − 1) în raport cu toatevariabilele pe o vecinǎtate deschisǎ a punctului a şi fiecare derivatǎ parţialǎ de ordinul∂ k−1 f(k − 1):are derivate parţiale în a prin raport cu toate variabilele x jk .∂x jk−1 · · · ∂x j1∂ ∂ k−1 fDerivata parţialǎ ()(a) va fi numitǎ derivatǎ parţialǎ de ordinul k a∂x jk ∂x jk−1 · · · ∂x j1lui f şi va fi notatǎ cu:∂ k f∂x jk ∂x jk−1 · · · ∂x j1(a) =∂ ∂ k−1 f()(a)∂x jk ∂x jk−1 · · · ∂x j1Exemplu 55.2. Sǎ se determine derivatele parţiale de ordinul 4 ale funcţiei f(x, y) =x 2 + y 2 + e x cos y.Definiţia 55.3. Dacǎ derivatele parţiale x ↦→ ∂f isunt diferenţiabile în punctul a ∈ A∂x jatunci f este diferenţiabilǎ de douǎ ori în punctul a.127

Definiţia 55.4. Derivata (diferenţiala) Fréchet de ordinul al doilea a funcţiei f în punctula este prin definiţie funcţia d 2 af : R n × R n → R m definitǎ cu formula:(m∑ n∑)n∑d 2 ∂ 2 f iaf(u)(v) =(a) · u j · v k e i∂xi=1 j=1 j ∂x ku, v ∈ R n , e i = (0, ..., 0, 1, 0, ..., 0), i = 1, m.k=1d 2 af este un sistem ordonat de m forme biliniare în variabilele u 1 , u 2 , . . . , u n , v 1 , v 2 , . . . , v n .Teorema 55.1. Derivata (diferenţiala) Fréchet de ordinul al doilea are proprietatea:limu→01‖u‖ ‖d a+uf(v) − d a f(v) − d 2 af(u)(v)‖ = 0, v ∈ R n .Demonstraţie. Demonstraţia este tehnicǎ şi este omisǎ.Polinomul d a+u f se poate aproxima cu polinomul d a f + d 2 af(u).Teorema 55.2. [de intervertire a ordinii de derivare; Schwarz.]este diferenţiabilǎ de douǎ ori în a, atunci au loc urmǎtoarele egalitǎţi:Dacǎ funcţia f∂ 2 f i∂x j ∂x k(a) =∂2 f i∂x k ∂x j(a) i = 1, m j, k = 1, nDemonstraţie. Demonstraţia este tehnicǎ şi este omisǎ.Exemplu 55.3.În cazul funcţiei f(x, y, z) = (xy + xz + yz, xyz) verificaţi egalitǎţile:∂ 2 f∂x∂y = ∂2 f∂y∂x∂ 2 f∂x∂z = ∂2 f∂z∂x∂ 2 f∂y∂z = ∂2 f∂z∂yTeorema 55.3. [Criteriu de diferenţiabilitate de ordinul al doilea.] Dacǎ∂ 2 f iderivatele parţiale de ordinul al doilea existǎ pe o vecinǎtate deschisǎ a punctului∂x j ∂x ka şi dacǎ acestea sunt funcţii continue în a, atunci f este diferenţiabilǎ de douǎ ori în a.Demonstraţie. Demonstraţia este tehnicǎ şi este omisǎ.∂ k−1 f iDefiniţia 55.5. Dacǎ derivatele parţiale de ordinul k − 1: x →sunt∂x jk−1 · · · ∂x j1diferenţiabile în a ∈ A, atunci zicem cǎ f este diferenţiabilǎ de k ori în a şi derivataFréchet de ordinul k a lui f în a este prin definiţie funcţia d k af : R n × · · · × R n → R m ,(m∑ n∑)n∑ n∑d k af(u 1 )(u 2 ) · · · (u k ∂ k f i) =· · ·(a) · u 1 j∂xi=1 j 1 =1 j 2 =1 j k =1 jk · · · ∂x 1u 2 j 2 · · · u k j ke ij1Teorema 55.4. Derivata Fréchet de ordinul k are urmǎtoarea proprietate:lim‖u k ‖→01‖u k ‖ ‖dk−1 a+u k f(u 1 )(u 2 ) · · · (u k−1 )−d k−1a f(u 1 )(u 2 ) · · · (u k−1 )−d k af(u 1 )(u 2 ) · · · (u k )‖ = 0128

Demonstraţie. Demonstraţia este tehnicǎ şi este omisǎ.Teorema 55.5. [de permutare a ordinii de derivare]diferenţiabilǎ de k-ori în a, atunci au loc urmǎtoarele egalitǎţi:Dacǎ funcţia f este∂ k f i∂x j1 ∂x j2 · · · ∂x jk(a) =Demonstraţie. Demonstraţia este tehnicǎ şi este omisǎ.∂ k f i(a)∂x σ(j1 )∂x σ(j2 ) · · · ∂x σ(jk )Teorema 55.6. [Criteriu de diferenţiabilitate de ordin k.] Dacǎ funcţia fare derivate parţiale de ordinul k într-o vecinǎtate a punctului a şi acestea sunt funcţiicontinue în a, atunci f este diferenţiabilǎ de k-ori în a.Demonstraţie. Demonstraţia este tehnicǎ şi este omisǎ.56 Teoremele lui Taylor.Teorema 56.1. [formula lui Taylor cu rest integral] Dacǎ funcţia f : A ⊂ R n → R pare derivate parţiale de ordinul m + 1 continue pe mulţimea deschisǎ A (A = Å) şisegmentul închis [x, x + h] este inclus în A, atunci:f(x + h) = f(x) + 1 1! d xf(h) + 1 2! d2 xf(h)(h) + · · · + 1 m! dm x f+ 1 m!∫ 10(1 − t) m · d m+1{ }} {(h) · · · (h) dtx+th f m+1Demonstraţie. Funcţia g(t) = f(x + th) pentru t ∈ [0, 1] verificǎ relaţiile:d k gdt k= g(k) (l) = d k x+thfPe de altǎ parte ea verificǎ şi relaţiile:ddt [g(t) + 1 − t g ′ (t) + · · · +1!k{ }} {(h) · · · (h) k = 1, m + 1(1 − t)mg m (t)] =m!g(1) − [g(0) + 1 1! g′ (0) + · · · + 1 m! gm (0)] = 1 m!De aici rezultǎ egalitatea:∫ 10m{ }} {(h) · · · (h) +(1 − t)mg m+1 (t)m!f(x + h) = f(x) + 1 1! d xf(h) + 1 2! d2 xf(h)(h) + · · · + 1 m! dm x f+ 1 m!∫ 10(1 − t) m · d m+1{ }} {(h) · · · (h) dtx+th f m+1(1 − t) m · g m+1 (t) dtm{ }} {(h) · · · (h) +129

Teorema 56.2. [formula lui Taylor cu restul lui Lagrange] Dacǎ funcţia estediferenţiabilǎ de m + 1 ori pe mulţimea deschisǎ A: f : A ⊂ R n → R p şi ‖d m+1x f‖ ≤ Mpe segmentul [x, x + h] ⊂ A atunci are loc inegalitatea:‖f(x + h) − f(x) − 1 1! d xf(h) − · · · − 1 m! dm x fDemonstraţie. Demonstraţia este tehnicǎ şi este omisǎ.m{ }} {(h) · · · (h) ‖ ≤ M · ‖h‖m+1(m + 1)!Teorema 56.3. [formula lui Taylor cu restul 0 (‖h‖ m ).] Dacǎ funcţia f estediferenţiabilǎ de (m − 1) ori pe mulţimea deschisǎ A, este diferenţiabilǎ de m-ori înx ∈ A şi segmentul [x, x + h] este inclus în A, atunci are loc inegalitatea:‖f(x + h) − f(x) − 1 1! d xf(h) − · · · − 1 m! dm x fDemonstraţie. Prin inducţie dupǎ m.m{ }} {(h) · · · (h) ‖ = O(‖h‖ m )57 Teoreme de clasificare a extremelor locale.Teorema 57.1. Dacǎ funcţia f : A ⊂ R n → R 1 are derivate parţiale continue de ordinulal doilea pe mulţimea deschisǎ A şi d a f = 0 în punctul a ∈ A, atunci:i) dacǎ f are în a un minim local, atunci d 2 af(h)(h) ≥ 0ii) dacǎ f are în a un maxim local, atunci d 2 af(h)(h) ≤ 0Demonstraţie. Considerǎm formula lui Taylor:şi o scriem sub forma:f(a + h) = f(a) + 1 1! d af(h) + 1 2! d2 af(h)(h) + O(‖h‖ 2 )f(a + h) − f(a) = 1 2! d2 af(h)(h) + O(‖h‖ 2 )i) dacǎ a este un punct de minim local pentru f, atunci existǎ r > 0 cu proprietatea:‖r‖ < h =⇒ f(a + h) − f(a) = 1 2! d2 af(h)(h) + O(‖h‖ 2 ) ≥ 0pentru h ∈ R n (h ≠ 0) şi t ∈ R 1 cu proprietatea |t|

ii) Cea de-a doua afirmaţie se demonstreazǎ analog.Teorema 57.2. [condiţie suficientǎ de extrem local] Presupunem cǎ funcţiaf : A ⊂ R n → R 1 are derivate parţiale continue de ordinul al doilea pe mulţimea deschisǎA şi d a f = 0 într-un punct a ∈ A.i) Dacǎ d 2 af(h)(h) ≥ 0, ∀h ∈ R n ∂ 2 f şi det( (a)) ≠ 0, atunci f are în a un minim∂x i ∂x jlocal;ii) Dacǎ d 2 af(h)(h) ≤ 0, ∀h ∈ R n ∂ 2 f şi det( (a)) ≠ 0, atunci f are în a un maxim∂x i ∂x jlocal.Demonstraţie. Demonstraţia este tehnicǎ şi este omisǎ.Exemplu 57.1. Determinaţi şi clasificaţi punctele staţionare ale funcţiei:f(x, y) = x 4 − y 4 − 2(x 2 − y 2 )Exemplu 57.2. Determinaţi valorile lui k pentru care funcţiaare minim local în O = (0, 0).f(x, y) = k(e y − 1) sin x − cos x cos 2y + 1Exemplu 57.3. Determinaţi şi gǎsiţi natura punctelor staţionare ale funcţiilor urmǎtoare:a) f(x, y) = x 2 + y 2 + 2x + 4y + 10;b) f(x, y) = x 3 + y 3 + 3xy;c) f(x, y) = sin 2 x · cos y + sin 2 y · cos x, 0 < x < π, 0 < y < π.58 Extreme condiţionate.Fie funcţia f : A ⊂ R n → R 1 , definitǎ pe mulţimea deschisǎ A şi Γ ⊂ A mulţimea::Γ = {x ∈ A | g i (x) = 0 i = 1, p}unde g i sunt funcţii g i : A → R 1 , p < n .Presupunem cǎ f şi g i , i = 1, p, (p < n) au derivate parţiale continue pe A.Definiţia 58.1. Dacǎ restricţia f / Γ are extrem local într-un punct a ∈ Γ, zicem cǎ acestextrem este un extrem condiţionat (legat) (de ecuaţiile g i (x) = 0 i = 1, p).131

Teorema 58.1. Dacǎ diferenţialele d a g 1 , · · · , d a g p : R n → R 1 sunt liniar independenteşi f are în punctul a un extrem legat, atunci existǎ p constante λ 1 , · · · , λ p cu urmǎtoareaproprietate:p∑d a f = λ i d a g isau echivalent∂f∂x k(a) =p∑i=1i=1λ i∂g i∂x k(a)Demonstraţie. Demonstraţia este tehnicǎ şi este omisǎ.k = 1, nExemplu 58.1. Determinaţi extremele legate în urmǎtoarele cazuri:a) f(x, y) = x 3 , g(x, y) = x 2 + 6xy + y 2 − 1b) f(x, y) = xy, g(x, y) = 2x + 3y − 1c) f(x, y, z) = x 2 + y 2 + z 2 , g(x, y, z) = x + y + z − 159 Integrala Riemann-Darboux dublǎ pe un intervalbidimensional.Integrala Riemann-Darboux pe un segment [a, b] prezentatǎ pentru funcţii reale de ovariabilǎ realǎ poate fi generalizatǎ cu uşurinţǎ la integrala Riemann-Darboux dublǎ peun interval bidimensional pentru funcţii reale de douǎ variabile reale.Definiţia 59.1. Se numeşte interval bidimensional real o mulţime ∆ ⊂ R 2 care areproprietatea:∆ = [a, b] × [c, d]unde [a, b] şi [c, d] sunt segmente pe axa realǎ.Definiţia 59.2. O partiţie P a intervalului bidimensional ∆ este o mulţime finitǎ deintervale bidimensionale ∆ ij , i = 1, 2, ..., m; j = 1, 2, ..., n, de forma:∆ ij = [x i−1 , x i ] × [y j−1 , y j ]unde:a = x 0 < x 1 < ... < x m = b şi c = y 0 < y 1 < ... < y n = dFie f o funcţie f : ∆ → R mǎrginitǎ pe ∆ şi m, M astfel încât:m ≤ f(x, y) ≤ M∀(x, y) ∈ ∆Funcţia f este mǎrginitǎ pe fiecare subinterval ∆ ij şi notǎm cu:m ij = inf{f(x, y)|(x, y) ∈ ∆ ij }M ij = sup{f(x, y)|(x, y) ∈ ∆ ij }132

Definiţia 59.3. Suma superioarǎ Darboux corespunzǎtoare partiţiei P este prin definiţienumǎrul:m∑ n∑U f (P ) = M ij (x i − x i−1 )(y j − y j−1 )i=1 j=1Definiţia 59.4. Suma inferioarǎ Darboux corespunzǎtoare partiţiei P este prin definiţienumǎrul:m∑ n∑L f (P ) = m ij (x i − x i−1 )(y j − y j−1 )i=1 j=1Propoziţia 59.1. Oricare ar fi partiţia P a intervalului bidimensional ∆ au locurmǎtoarele inegalitǎţi:m(b − a)(d − c) ≤ L f (P ) ≤ U f (P ) ≤ M(b − a)(d − c)Demonstraţie. analoagǎ cu cea din cazul unidimensional.Remarca 59.1. Propoziţia 59.1 aratǎ cǎ mulţimileL f = {L f (P )|P partiţie a intervalului ∆}sunt mǎrginite.U f = {U f (P )|P partiţie a intervalului ∆}Fie L f = sup L f şi U f = inf U f .Propoziţia 59.2. Are loc inegalitatea:L f ≤ U fDemonstraţie. asemǎnǎtoare cu cea din cazul unidimensional.Definiţia 59.5. O funcţie mǎrginitǎ f : ∆ → R este integrabilǎ Riemann-Darboux pe ∆dacǎ L f = U f . Aceastǎ valoare comunǎ se noteazǎ cu:∫∫f(x, y) dx dy = L f = U f∆şi se numeşte integrala dublǎ Riemann-Darboux a funcţiei f pe intervalul ∆.Teorema 59.1. Dacǎ funcţiile mǎrginite f, g : ∆ → R sunt integrabile Riemann-Darboux pe ∆ atunci toate integralele care apar în relaţiile urmǎtoare existǎ şi relaţiilesunt adevǎrate:(1)∫∫∫∫(αf + βg) dx dy = α∫∫f dx dy + βg dx dy(2)∆∆∫∫ ∫∫ ∫∫f dx dy = f dx dy + f dx dy∆∆ 1 ∆ 2pentru orice descompunere ∆ = ∆ 1 ∪ ∆ 2 , ∆ 1 , ∆ 2 intervale cu ˚∆ 1 ∩ ˚∆ 2 = ∅∆133

∫∫(3) dacǎ f(x, y) ≤ g(x, y), ∀(x, y) ∈ ∆ atunci∫∫f(x, y) dx dy ≤g(x, y) dx dy∫∫(4) |∫∫f(x, y) dx dy| ≤|f(x, y)| dx dy∆∆∆∆Demonstraţie. analoagǎ cu cea din cazul unidimensional.Remarca 59.2. Dacǎ f : ∆ → R este mǎrginitǎ şi integrabilǎ pe ∆ atunci f esteintegrabilǎ pe orice subinterval ∆ ′ ⊂ ∆. Mai mult, dacǎ ∆ = ∆ 1 ∪ ∆ 2 ∪ ... ∪ ∆ n , unde ∆ isunt intervale cu proprietatea ∆ ◦ i ∩ ∆ ◦ j = ∅, ∀i ≠ j atunci:∫∫∆f(x, y) dx dy =n∑∫∫i=1∆ if(x, y) dx dyTeorema 59.2. Dacǎ f : ∆ → R este o funcţie continuǎ pe ∆ atunci f este integrabilǎRiemann-Darboux pe ∆.Demonstraţie. analoagǎ cu cea din cazul unidimensional.Definiţia 59.6. O funcţie f : ∆ → R se zice continuǎ pe porţiuni dacǎ existǎ o partiţieP = {∆ 1 , ..., ∆ n } a intervalului ∆ şi funcţiile continue f i : ∆ i → R, i = 1, 2, ..., n astfelîncât f(x, y) = f i (x, y), ∀(x, y) ∈ ˚∆ i .Teorema 59.3. O funcţie continuǎ pe porţiuni este integrabilǎ Riemann-Darboux şi areloc egalitatea:∫∫n∑∫∫f(x, y) dx dy = f i (x, y) dx dy∆Demonstraţie. analoagǎ cu cea din cazul unidimensional.i=1Teorema 59.4 (Teorema de medie in cazul bidimensional). Dacǎ funcţiile f, g : ∆ → Rsunt continue şi g(x, y) ≥ 0 oricare ar fi (x, y) ∈ ∆ atunci existǎ (ξ, η) ∈ ∆ astfel încât:∫∫∫∫f(x, y) · g(x, y) dx dy = f(ξ, η) · g(x, y) dx dy∆ i∆∆Demonstraţie. analoagǎ cu cea din cazul unidimensional.Consecinţa 59.1. Dacǎ f este continuǎ pe ∆ atunci existǎ (ξ, η) ∈ ∆ astfel încât:∫∫f(x, y) dx dy = f(ξ, η)(b − a)(d − c)∆134

60 Calculul integralei Riemann-Darboux duble pe uninterval bidimensional.Dorim sǎ arǎtǎm cǎ în anumite condiţii calculul integralei duble pe un interval bidimensionalse reduce la calcularea succesivǎ a integralelor unor funcţii de o singurǎ variabilǎ.Fie ∆ = [a, b] × [c, d] un interval bidimensional şi f : ∆ → R.Teorema 60.1. Dacǎ funcţia f este integrabilǎ pe ∆ şi dacǎ pentru orice x ∈ [a, b](x - fixat) funcţia f x (y) = f(x, y) este integrabilǎ pe [c, d], adicǎ:I(x) =∫ df x (y) dy =∫ df(x, y) dyccexistǎ, atunci integrala succesivǎ:∫ bI(x) dx =∫ b∫ d(f(x, y) dy) dxexistǎ de asemenea şi are loc egalitatea:aac∫∫f(x, y) dx dy =∫ b∫ d(f(x, y) dy) dx∆acDemonstraţie. Se considerǎ partiţiile:şiP x = {a = x 0 < x 1 < ... < x m = b} a lui [a, b]P y = {c = y 0 < y 1 < ... < y n = d} a lui [c, d]Mulţimea de intervale bidimensionale P = {∆ ij }, unde ∆ ij = [x i−1 , x i ] × [y j−1 , y j ], i =1, 2, ..., m; j = 1, 2, ..., n, este o partiţie a lui ∆.Notǎm:m ij = inf{f(x, y)|(x, y) ∈ ∆ ij }M ij = sup{f(x, y)|(x, y) ∈ ∆ ij }Pentru (x, y) ∈ ∆ ij avem m ij ≤ f(x, y) ≤ M ij , i = 1, 2, ..., m; j = 1, 2, ..., n.Rezultǎ:m ij · (y j − y j−1 ) ≤∫ y ji = 1, 2, ..., m; j = 1, 2, ..., n, x ∈ [x i−1 , x i ].y j−1f(x, y) dy ≤ M ij · (y j − y j−1 )135

Deducem de aici inegalitǎţile:∫y jm ij · (y j − y j−1 ) ≤ inf {xy j−1f(x, y) dy|x ∈ [x i−1 , x i ]} ≤≤∫ y jy j−1f(x, y) dy ≤ supx≤ M ij · (y j − y j−1 ){∫ y jy j−1f(x, y) dy|x ∈ [x i−1 , x i ]} ≤şi înmulţind cu (x i − x i−1 ) obţinem:∫y jm ij · (y j − y j−1 )(x i − x i−1 ) ≤ (x i − x i−1 ) · inf {xy j−1f(x, y) dy|x ∈ [x i−1 , x i ]} ≤≤ (x i − x i−1 )∫ y jf(x, y) dy ≤≤y j−1(x i − x i−1 ) · supx{∫ y jy j−1≤ M ij · (y j − y j−1 )(x i − x i−1 ).f(x, y) dy|x ∈ [x i−1 , x i ]} ≤Prin însumare dupǎ i, j rezultǎ:L f (P ) ≤ L I(x) (P x ) ≤m∑ n∑(x i − x i−1 )i=1 j=1∫ y jy j−1f(x, y) dy ≤ U I(x) (P x ) ≤ U f (P )Întrucât:rezultǎ cǎ:∫∫sup L f (P ) = inf U f (P ) =sup L I(x) (P x ) = inf U I(x) (P x ) =∆∫ bf(x, y) dx dy∫ d(f(x, y) dy) dxşi obţinem egalitatea:ac∫∫f(x, y) dx dy =∫ b∫ d(f(x, y) dy) dx∆acRemarca 60.1. Schimbând rolul lui x cu rolul lui y obţinem urmǎtoarea afirmaţie:Dacǎ f este integrabilǎ Riemann-Darboux pe ∆ şi dacǎ pentru orice y fixat funcţia136

f y (x) = f(x, y) este integrabilǎ pe [a, b] atunci integrala succesivǎ∫ d∫ b(f(x, y) dx) dyexistǎ şi are loc egalitatea:ca∫∫f(x, y) dx dy =∫ d∫ b(f(x, y) dx) dy∆caTeorema 60.2. Dacǎ f : ∆ → R este continuǎ atunci funcţia:∫∫F (x, y) = f(u, v) du dv[a,x]×[c,y]definitǎ pentru (x, y) ∈ ∆ este de clasǎ C 1 pe ∆.În plus, derivata parţialǎ de ordinul al doilea ∂2 F∂x∂yexistǎ şi are loc egalitatea:∂ 2 F∂x∂y= f(x, y)∀(x, y) ∈ ∆Demonstraţie. Funcţia F (x, y) se reprezintǎ sub forma:F (x, y) =∫ x ∫ yf(u, v) du dv =∫ x∫ y(f(u, v) dv) du =∫ y∫ x(f(u, v) du) dvacaccaTeorema 60.3. Dacǎ existǎ o funcţie Φ : ∆ → R astfel încât:∂ 2 Φ∂x∂y= f(x, y)atunci are loc egalitatea:∫∫f(x, y) dx dy = Φ(a, c) − Φ(b, c) + Φ(b, d) − Φ(a, d)∆Demonstraţie. Se considerǎ partiţiile:şiP x = {a = x 0 < x 1 < ... < x m = b} a lui [a, b]P y = {c = y 0 < y 1 < ... < y n = d} a lui [c, d]şi apoi partiţia P = {∆ ij }, ∆ ij = [x i−1 , x i ] × [y j−1 , y j ], i = 1, 2, ..., m; j = 1, 2, ..., n.Pentru evaluarea expresiei:E = Φ(x i , y j ) − Φ(x i , y j−1 ) − Φ(x i−1 , y j ) + Φ(x i−1 , y j−1 )137

se aplicǎ de douǎ ori Teorema de medie şi se obţine:E = ∂2 Φ∂x∂y (ξ ij, η ij )(x i − x i−1 )(y j − y j−1 ) = f(ξ ij , η ij )(x i − x i−1 )(y j − y j−1 )unde x i−1 ≤ ξ ij ≤ x i şi y j−1 ≤ η ij ≤ y j .De aici rezultǎ:m∑ n∑f(ξ ij , η ij )(x i − x i−1 )(y j − y j−1 ) = Φ(a, c) − Φ(b, c) + Φ(b, d) − Φ(a, d)i=1j=1şi egalitatea:∫∫∆f(x, y) dx dy = Φ(a, c) − Φ(b, c) + Φ(b, d) − Φ(a, d)61 Integrala Riemann-Darboux dublǎ pe o mulţimemǎsurabilǎ Jordan.Vom prezenta o cale de extindere a conceptului de integralǎ Riemann-Darboux dublǎpe mulţimi care nu sunt neapǎrat intervale bidimensionale. Întrucât acest concept (dejacreionat în cazul intervalelor bidimensionale) utilizeazǎ aria dreptunghiului (intervaluluibidimensional) va trebui sǎ luǎm în considerare submulţimi ale lui R 2 care au arie şipartiţii ale cǎror elemente au arie. Vom identifica o clasǎ de submulţimi ale lui R 2 careau aceastǎ proprietate şi le vom numi mulţimi mǎsurabile Jordan.Considerǎm mulţimea intervalelor unidimensionale mǎrginite deschise (forma (a, b)),închise (forma [a, b]), deschise la stânga şi închise la dreapta (forma (a, b]), închise lastânga şi deschise la dreapta (forma [a, b)). Produsul cartezian ∆ = I 1 × I 2 a douǎintervale I 1 , I 2 de acest fel va fi numit interval bidimensional sau dreptunghi. Astfel,mulţimile ∆ 1 = (a, b) × [c, d], ∆ 2 = [a, b) × (c, d], ∆ 3 = (a, b) × (c, d), ∆ 4 = [a, b) × [c, d)etc sunt dreptunghiuri în R 2 . Aria dreptunghiului ∆ = I 1 × I 2 este prin definiţieAria∆=lungimeaI 1· lungimeaI 2 , Aria∆ 1 = (b − a) · (d − c); Aria∆ 2 = (b − a) · (d − c).Considerǎm mulţimea C a reuniunilor finite de intervale bidimensionale ∆:n⋃C = {C | C = ∆ i , ∆ i − interval bidimensional }.Propoziţia 61.1. Mulţimea C are urmǎtoarele proprietǎţi:a) C 1 , C 2 ∈ C ⇒ C 1 ∪ C 2 ∈ C;b) C 1 , C 2 ∈ C ⇒ C 1 \ C 2 ∈ C;i=1c) ∀ C ∈ C existǎ un numǎr finit de intervale bidimensionale ∆ 1 , ..., ∆ n astfel can⋃C = ∆ i şi ∆ i ∩ ∆ j = ∅, ∀i ≠ j.i=1138

Demonstraţie.a) Este evidentǎ;b) Se reduce la a arǎta cǎ diferenţa a douǎ intervale bidimensionale este o reuniunefinitǎ de intervale bidimensionale.c) este tehnicǎ şi este omisǎ.Definiţia 61.1. Pentru C ∈ C definim aria cu formula:aria(C) =n∑aria(∆ i ) =i=1n∑(b i − a i ) · (d i − c i )i=1unde C =n⋃∆ i şi ∆ i ∩ ∆ j = ∅, ∀i ≠ ji=1Aceastǎ definiţie a ariei nu depinde de reprezentarea lui C sub formǎ de reuniune finitǎde intervale bidimensionale disjuncte.Propoziţia 61.2. Aria definitǎ în acest fel pentru orice C ∈ C are urmǎtoarele proprietǎţi:1) aria(C) > 0 pentru orice C ∈ C;2) dacǎ C 1 , C 2 ∈ C şi C 1 ∩ C 2 = ∅ atunci aria(C 1 ∪ C 2 ) = aria(C 1 ) + aria(C 2 )Demonstraţie. ImediatǎDefiniţia 61.2. Pentru o mulţime mǎrginitǎ A ⊂ R 2 definim aria interioarǎ aria i (A) şiaria exterioarǎ aria e (A) astfel:aria i (A) = sup{aria(C) | C ⊂ A} şi aria e (A) = inf {aria(C) | C ⊃ A} .C∈ CC∈ CDefiniţia 61.3. O mulţime mǎrginitǎ A ⊂ R 2 este mǎsurabilǎ Jordan dacǎ:aria i (A) = aria e (A)Definiţia 61.4. Dacǎ mulţimea mǎrginitǎ A ⊂ R 2 este mǎsurabilǎ Jordan atunci ariamulţimii A, aria(A), este prin definiţie numǎrul:aria(A) = aria i (A) = aria e (A)Propoziţia 61.3. Fie A ⊂ R 2 o mulţime mǎrginitǎ. Urmǎtoarele afirmaţii suntechivalente:1) A este mǎsurabilǎ Jordan.2) ∀ ε > 0 existǎ C 1 ε , C 2 ε ∈ C astfel încât C 1 ε ⊂ A ⊂ C 2 ε şiaria(C 2 ε ) − aria(C 1 ε ) < ε.139

3) existǎ douǎ şiruri (C 1 n), (C 2 n), C 1 n, C 2 n ∈ C astfel încât C 1 n ⊂ A ⊂ C 2 n şi4) aria(F r A) = 0limn→∞ aria(C1 n) = lim aria(C 2n→∞n)5) ∀ ε > 0 existǎ A ε , B ε mǎsurabile Jordan astfel încât A ε ⊂ A ⊂ B ε şiaria(B ε ) − aria(A ε ) < ε6) existǎ douǎ şiruri (A n ), (B n ) de mulţimi mǎsurabile Jordan astfel încât A n ⊂ A ⊂B n şilim aria(A n) = lim aria(B n )n→∞ n→∞Demonstraţie. Aceste echivalenţe au demonstraţie tehnicǎ.Propoziţia 61.4. Dacǎ mulţimile A 1 şi A 2 sunt mǎsurabile Jordan, atunci mulţimileA 1 ∪ A 2 , A 1 \ A 2 şi A 1 ∩ A 2 sunt mǎsurabile Jordan şi dacǎ A 1 ∩ A 2 = ∅, atunci:Demonstraţie. Este demonstraţie tehnicǎ.aria(A 1 ∪ A 2 ) = aria(A 1 ) + aria(A 2 )Fie A ⊂ R 2 o mulţime mǎrginitǎ, mǎsurabilǎ Jordan.Definiţia 61.5. O partiţie P a mulţimii A este o mulţime finitǎ de submulţimi A i ,i = 1, 2, ..., n a mulţimii A care satisface urmǎtoarele condiţii:⋃1) A = n A i ;i=12) fiecare mulţime A i este mǎsurabilǎ Jordan;3) dacǎ i ≠ j atunci A i ∩ A j = ∅ .Norma partiţiei P este numǎrul ν(P ) = max{d 1 , . . . , d n }, unde d i = supx,y∈A i‖x − y‖.Fie f : A −→ R o funcţie mǎrginitǎ şi m, M astfel încât:m ≤ f(x, y) ≤ M∀(x, y) ∈ AFuncţia f este mǎrginitǎ pe fiecare mulţime A i ∈ P şi fiem i = inf{f(x, y) | (x, y) ∈ A i }, M i = sup{f(x, y) | (x, y) ∈ A i }140

Definiţia 61.6. Suma superioarǎ Darboux a funcţiei f corespunzǎtoare partiţiei P este:U f (P ) =n∑M i · aria(A i )Suma inferioarǎ Darboux a funcţiei f corespunzǎtoare partiţiei P este:L f (P ) =i=1n∑m i · aria(A i )i=1Definiţia 61.7. Suma Riemann a funcţiei f corespunzǎtoare partiţiei P este numǎrul:σ f (P ) =m∑f(ξ i , y i ) · aria(A i ).i=1Remarca 61.1. Suma Riemann σ f (P ) depinde şi de alegerea punctelor (ξ i , η i ) ∈ A i .Indiferent însǎ de alegerea acestor puncte avem:m · aria(A) ≤ L f (P ) ≤ σ f (P ) ≤ U f (P ) ≤ M · aria(A)Rezultǎ din aceste inegalitǎţi cǎ mulţimile:sunt mǎrginite.Fie L f = sup L f şi U f = inf U f .Propoziţia 61.5. Are loc inegalitatea:L f = {L f (P ) | P este partiţie a lui A}U f = {U f (P ) | P este partiţie a lui A}L f ≤ U fDemonstraţie. Fie P o partiţie a lui A şi P ′ partiţia P ′ = P ∪ {A i ′ , A i ′′ }, undeA i ′ ∪ A i ′′ = A i pentru un anumit i fixat, A i ′ , A i ′′ sunt mǎsurabile Jordan şi A i ′ ∩ A i ′′ = ∅.Vom arǎta cǎ au loc urmǎtoarele inegalitǎţi:Considerǎm în acest scop numerele:L f (P ) ≤ L f (P ′ ) şi U f (P ) ≥ U f (P ′ )M i ′ = sup{f(x, y) | (x, y) ∈ A i ′ } M i ′′ = sup{f(x, y) | (x, y) ∈ A i ′ }şi remarcǎm cǎ M i ′ ≤ M i , M i ′′ ≤ M i . Rezultǎ:U f (P ′ ) =≤=∑i−1n∑M j · aria(A j ) + M i′ · aria(A ′ ′′ i ) + M i · aria(A ′′ i ) + M j · aria(A j )j=1∑i−1M j · aria(A j ) + M i · aria(A ′ i ) + M i · aria(A ′′ i ) +j=1n∑M j · aria(A j ) = U f (P )j=1j=i+1n∑j=i+1M j · aria(A j )141

Asemǎnator se aratǎ cǎ are loc:L f (P ) ≤ L f (P ′ )Rezultǎ pe aceastǎ bazǎ cǎ dacǎ P ′′ = P ∪ {A i1 ′′ , ..., A im ′′ }, atunci:Dacǎ P 1 şi P 2 sunt douǎ partiţii ale lui A:atunci considerǎm partiţia:RezultǎL f (P ) ≤ L f (P ′′ ) şi U f (P ′′ ) ≤ U f (P )P 1 = {A 1 , A 2 , ..., A m } şi P 2 = {B 1 , B 2 , ..., B n }P 3 = {A i ∩ B j | i = 1, m, j = 1, n}L f (P 1 ) ≤ L f (P 3 ) ≤ U f (P 3 ) ≤ U f (P 2 )Cu alte cuvinte, suma inferioarǎ corespunzǎtoare unei partiţii a lui A nu poate depǎşisuma superioarǎ corespunzǎtoare la orice partiţie a lui A. Orice sumǎ inferioarǎ estemargine inferioarǎ pentru mulţimea sumelor superioare.Astfel, L f (P ) ≤ U f pentru orice partiţie P . De aici rezultǎ:L f ≤ U fDefiniţia 61.8. Funcţia mǎrginitǎ f : A → R este integrabilǎ Riemann-Darboux pe AdacǎL f = U fAceastǎ valoare comunǎ se numeşte integrala Riemann-Darboux dublǎ a lui f şi se noteazǎcu∫∫f(x, y) dx dy = L f = U fATeorema 61.1. Funcţia f : A → R este integrabilǎ Riemann-Darboux pe A dacǎ şinumai dacǎ pentru orice ε > 0 existǎ o partiţie P astfel încât sǎ avem:U f (P ) − L f (P ) < εDemonstraţie. Rezultǎ imediat în baza Propoziţiei 61.5Teorema 61.2. Funcţia f : A → R este integrabilǎ Riemann-Darboux pe A dacǎ şinumai dacǎ existǎ un numǎr I cu proprietatea cǎ pentru orice ε > 0 existǎ δ = δ(ε) > 0atfel încât pentru orice partiţie P cu ν(P ) < δ rezultǎ cǎ suma Riemann σ f (P ) areproprietatea:|σ f (P ) − I| < εDemonstraţie. Afirmaţia rezultǎ în baza teoremei precedente şi a inegalitǎţiiL f (P ) ≤ σ f (P ) ≤ U f (P )142

Remarca 61.2. Funcţia constantǎ f(x, y) = 1 este integrabilǎ Riemann-Darboux pe omulţime mǎsurabilǎ Jordan A şi are loc:∫∫dx dy = aria(A)ATeorema 61.3. Dacǎ funcţiile f şi g sunt integrabile Riemann-Darboux pe mulţimeamǎsurabilǎ Jordan A, atunci toate integralele care apar în relaţiile de mai jos existǎ şirelaţiile sunt adevǎrate:(1)(2)∫∫A∫∫A∫∫(α · f + β · g) = α∫∫ ∫∫f = f +A 1A 2A∫∫f + βAgf, unde A 1 ∪ A 2 = A şi A 1 ∩ A 2 = ∅(3) dacǎ f(x, y) ≤ g(x, y) ∀(x, y) ∈ A atunci∫∫∫∫f(x, y) dx dy ≤g(x, y) dx dy∫∫(4) |A∫∫f(x, y) dx dy| ≤ |f(x, y)| dx dyAAADemonstraţie. Analoagǎ cu cea fǎcutǎ pentru integrale pe interval bidimensional.Remarca 61.3. Dacǎ f este integrabilǎ Riemann-Darboux pe A şi mulţimea A 1 ⊆ Aeste mǎsurabilǎ Jordan, atunci f este integrabilǎ Riemann-Darboux pe A 1 .n⋃Mai mult, dacǎ A = A i şi A i ∩ A j = ∅ ∀i ≠ j, atunci:i=1∫∫Af =n∑∫∫Teorema 61.4. Dacǎ f : A → R este continuǎ şi A este mǎsurabilǎ Jordan atunci f esteintegrabilǎ Riemann-Darboux pe A.Demonstraţie. Analoagǎ cu cea fǎcutǎ pentru intervale bidimensionale.Definiţia 61.9. O funcţie f : A → R se zice continuǎ pe porţiuni dacǎ existǎ o partiţieP = {A 1 , A 2 , ..., A n } a lui A şi funcţiile continue f i : A i → R i = 1, 2, ..., n, astfel încât:f(x, y) = f i (x, y)i=1A if∀(x, y) ∈ ÅiTeorema 61.5. O funcţie f : A → R continuǎ pe porţiuni este integrabilǎ Riemann-Darboux pe mulţimea mǎsurabilǎ Jordan A şi are loc egalitatea:∫∫ n∑∫∫f =Ai=1143A if i

Demonstraţie. Analoagǎ cu cea pentru integrala pe intervale bidimensionale.Teorema 61.6. Dacǎ f : A → R este integrabilǎ Riemann-Darboux pe A, atunci:∫∫m · aria(A) ≤ f ≤ M · aria(A)Aunde:m = inf{f(x, y) | (x, y) ∈ A} M = sup{f(x, y) | (x, y) ∈ A}Demonstraţie. Imediatǎ.Remarca 61.4. Teorema de medie enunţatǎ pentru integrala dublǎ pe un interval bidimensionalnu mai este adevǎratǎ.De exemplu, fie A = [0, 1] × [0, 1] ∪ [2, 4] × [2, 4] şi funcţia f(x, y) = 1 pentru(x, y) ∈ [0, 1] × [0, 1] şi f(x, y) = 2 pentru (x, y) ∈ [2, 4] × [2, 4]. Avem:∫∫∫∫ ∫∫f(x, y) dx dy = f + f = 1 + 8 = 9A[0,1]×[0,1][2,4]×[2,4]iar aria(A) ∫∫ = 1 + 4 = 5.Egalitatea f = f(ξ, η) · aria(A) ar însemnaA9 = f(ξ, η) · 5 adicǎ f(ξ, η) = 9 5,imposibil.62 Calculul integralei Riemann-Darboux duble pe omulţime mǎsurabilǎ Jordan.Dorim sǎ arǎtǎm cǎ în anumite condiţii calculul integralei duble pe o mulţime mǎsurabilǎJordan se reduce la calcularea sucesivǎ a integralelor unor funcţii de o singurǎ variabilǎ.Fie A o mulţime mǎsurabilǎ Jordan cu proprietatea urmǎtoare: existǎ g, h : [a, b] → Rfuncţii continue astfel încât g(x) ≤ h(x) ∀x ∈ [a, b] şiA = {(x, y) | x ∈ [a, b] şi g(x) ≤ y ≤ h(x)}Teorema 62.1. Dacǎ funcţia f : A → R este integrabilǎ Riemann-Darboux pe A şi dacǎpentru orice x ∈ [a, b], x - fixat, funcţia f x (y) = f(x, y) este integrabilǎ Riemann-Darbouxpe [g(x), h(x)], adicǎ existǎI(x) =∫h(x)g(x)f x (y) dy =144∫h(x)g(x)f(x, y) dy

atunci integrala succesivǎ:∫ b ∫ b∫I(x) dx = (h(x)f(x, y) dy) dxexistǎ de asemenea şi are loc egalitatea:aag(x)∫∫∫ b ∫f(x, y) dx dy = (h(x)f(x, y) dy) dxAag(x)Demonstraţie. Putem demonstra aceastǎ afirmaţie reducând-o la cazul intervalelor bidimensionalepentru care am vǎzut cǎ ea este adevǎratǎ. Iatǎ cum procedǎm:Considerǎmm = inf{g(x) | x ∈ [a, b]} şi M = sup{h(x) | x ∈ [a, b]}şi intervalul bidimensional [a, b] × [m, M] = ∆.Pe acest interval ∆ considerǎm funcţia F : ∆ → R definitǎ astfel:{ f(x, y), dacǎ (x, y) ∈ AF (x, y) =0, dacǎ (x, y) ∈ ∆ \ AFuncţia F este integrabilǎ Riemann-Darboux pe ∆ şi avem:∫∫ ∫∫ ∫∫F = F + F∆A∆\AÎn continuare pentru funcţia F aplicǎm teorema de integrare succesivǎ stabilitǎ în cazulintervalelor bidimensionale şi gǎsim:∫∫F (x, y) dx dy =∫ b ∫ M( F (x, y) dy) dx∆=a m∫ b ∫g(x)( F (x, y) dy +∫h(x)F (x, y) dy +∫ MF (x, y) dy) dx=a mg(x)∫ b∫(h(x)f(x, y) dy) dxh(x)ag(x)Rezultǎ în acest fel egalitatea:∫∫∫ b ∫f(x, y) dx dy = (h(x)f(x, y) dy) dx∆ag(x)145

Remarca 62.1. Fie A o mulţime mǎsurabilǎ Jordan cu urmǎtoarea proprietate: existǎg, h : [c, d] → R funcţii continue astfel încât g(y) ≤ h(y) ∀y ∈ [c, d] şiA = {(x, y) | y ∈ [c, d] şi g(y) ≤ x ≤ h(y)}.Dacǎ o funcţie f : A → R este integrabilǎ Riemann-Darboux pe A şi are proprietatea cǎpentru orice y ∈ [c, d], y - fixat, funcţia f y (x) = f(x, y) este integrabilǎ Riemann-Darbouxpe [g(y), h(y)], adicǎ existǎI(y) =∫h(y)g(y)f y (x) dx =∫h(y)g(y)f(x, y) dxatunci integrala succesivǎ:∫ d ∫ d∫I(y) dy = (h(y)f(x, y) dx) dyexistǎ de asemenea şi are loc egalitatea:ccg(y)∫∫∫ d∫f(x, y) dx dy = (h(y)f(x, y) dx) dyAcg(y)Remarca 62.2. Fie A o mulţime mǎsurabilǎ Jordan cu urmǎtoarele proprietǎţi:- existǎ g, h : [a, b] → R funcţii continue astfel încât g(x) ≤ h(x) ∀x ∈ [a, b] şiA = {(x, y) | x ∈ [a, b] şi g(x) ≤ y ≤ h(x)}- existǎ l, k : [c, d] → R funcţii continue astfel încât l(y) ≤ k(y) ∀y ∈ [c, d] şiA = {(x, y) | y ∈ [c, d] şi l(y) ≤ x ≤ k(y)}Oricare ar fi funcţia f : A → R integrabilǎ Riemann-Darboux pe A cu proprietatea cǎpentru orice x ∈ [a, b], x - fixat, funcţia f x (y) = f(x, y) este integrabilǎ Riemann-Darbouxpe [g(x), h(x)] şi pentru orice y ∈ [c, d], y - fixat, funcţia f y (x) = f(x, y) este integrabilǎRiemann-Darboux pe [l(y), k(y)], integralele succesive∫ b∫(h(x)f(x, y) dy) dxşi∫ d∫(k(y)f(x, y) dx) dyag(x)cl(y)existǎ şi au loc egalitǎţile:∫∫∫ b ∫f(x, y) dx dy = (h(x)∫ d ∫f(x, y) dy) dx = (k(y)f(x, y) dx) dyAag(x)cl(y)146

Teorema 62.2 (Calculul ariei lui g(A)). Fie A ⊂ R 2 o mulţime deschisǎ mǎsurabilǎJordan şi g : A → g(A) = B ⊂ R 2 o funcţie bijectivǎ g de clasǎ C 1 şi cu inversa de clasǎC 1 . Mulţimea deschisǎ B este mǎsurabilǎ Jordan şi are loc egalitatea:∫∫aria(B) =AD(g x , g y )∣ D(x, y)∣ dx dyDemonstraţie. Notǎm cu g x , g y componentele scalare ale difeomorfismului g, g(x, y) =(g x (x, y), g y (x, y)) şi considerǎm determinantul matricii Jacobi a difeomorfismului g, adicǎdeterminantul:⎡⎤D(g x , g y )D(x, y)∂g x⎢= det∂x⎣ ∂g y∂x∂g x∂y∂g y∂yDacǎ P A = {A 1 , ..., A n } este o partiţie a lui A, atunci P B = {B 1 , ..., B n }, B i = g(A i ), esteo partiţie a mulţimii B = g(A). În plus, pentru orice ε > 0 existǎ o partiţie P A (suficientde finǎ) astfel încât sǎ avem:n∑n∑aria(B i ) −D(g x , g y )∣∣ D(x, y) (ξ i, η i )∣ aria(A i)∣ < εi=1unde (ξ i , η i ) ∈ A i . Rezultǎ de aici egalitatea din enunţ.i=1⎥⎦Teorema 62.3 (Schimbarea de variabilǎ). Fie A ⊂ R 2 o mulţime deschisǎ mǎsurabilǎJordan şi g : A → g(A) = B ⊂ R 2 o funcţie bijectivǎ g de clasǎ C 1 şi cu inversa de clasǎC 1 . Dacǎ funcţia f : B → R este integrabilǎ Riemann-Darboux pe B, atunci funcţia(f ◦ g) · | D(gx ,g y )| : A → R este integrabilǎ Riemann-Darboux pe A şi are loc egalitatea:D(x,y)∫∫B∫∫f(X, Y ) dX dY =Demonstraţie. Asemǎnǎtoare cu cea a Teoremei 62.2.Af(g x (x, y), g y (x, y)) ·D(g x , g y )∣ D(x, y)∣ dx dy63 Integrala Riemann-Darboux pe o mulţimen-dimensionalǎ mǎsurabilǎ Jordan.Vom prezenta o cale de extindere a conceptului de integralǎ pe o mulţime bidimensionalǎmǎsurabilǎ Jordan pe mulţimi n-dimensionale. Întrucât în dimensiunea doi conceptul deintegralǎ Riemann-Darboux utilizeazǎ conceptul de arie va trebui sǎ luǎm în consideraresubmulţimi ale lui R n care au ”volum” şi partiţii ale cǎror elemente au ”volum”. Laînceput vom identifica o clasǎ de asemenea mulţimi şi le vom numi mulţimi n-dimensionalemǎsurabile Jordan.147

Considerǎm mulţimea intervalelor unidimensionale mǎrginite deschise (forma (a, b)),închise (forma [a, b]), deschise la stânga şi închise la dreapta (forma (a, b]), închise lastânga şi deschise la dreapta (forma [a, b)). Produsul cartezian ∆ = I 1 × I 2 × . . . × I n an intervale I 1 , I 2 , . . . , I n de acest fel va fi numit interval n dimensional sau paralelipiped.Astfel mulţimile ∆ 1 = (a 1 , b 1 )×(a 2 , b 2 )×. . .×(a n , b n ), ∆ 2 = (a 1 , b 1 )×[a 2 , b 2 ]×. . .×[a n , b n )etc. sunt paralelipipezi în R n . Volumul paralelipipedului ∆ = I 1 × I 2 × . . . × I n este prindefiniţie vol(∆) = lung(I 1 )·lung(I 2 ) . . .·lung(I n ), vol(∆ 1 ) = (b 1 −a 1 )·(b 2 −a 2 )·...·(b n −a n ),vol(∆ 2 ) = (b 1 − a 1 ) · (b 2 − a 2 ) · ... · (b n − a n ).Notǎm cu C mulţimea reuniunilor finite de intervale n-dimensionale ∆:m⋃C = {C | C = ∆ i , ∆ i − interval n dimensional}Propoziţia 63.1. Mulţimea C are urmǎtoarele proprietǎţi:a) C 1 , C 2 ∈ C ⇒ C 1 ∪ C 2 ∈ C;b) C 1 , C 2 ∈ C ⇒ C 1 \ C 2 ∈ C;i=1c) ∀ C ∈ C existǎ un numǎr finit de intervale n-dimensionale ∆ 1 , ..., ∆ m astfel cam⋃C = ∆ i şi ∆ i ∩ ∆ j = ∅, ∀i ≠ j.i=1Demonstraţie.a) Este evidentǎ.b) Revine la a arǎta cǎ diferenţa a douǎ intervale n-dimensionale este o reuniune finitǎde intervale n-dimensionale.c) este tehnicǎ şi este omisǎ.Definiţia 63.1. Pentru C ∈ C definim volumul cu formulaunde C =vol(C) =m⋃∆ i şi ∆ i ∩ ∆ j = ∅ pentru i ≠ j.i=1m∑vol(∆ i )i=1Acest concept de volum nu depinde de reprezentarea lui C sub formǎ de reuniune finitǎde intervale n-dimensionale disjuncte.Propoziţia 63.2. Volumul definit în acest fel pentru orice C ∈ C are urmǎtoareleproprietǎţi:1) vol(C) > 0 ∀C ∈ C;2) dacǎ C 1 , C 2 ∈ C şi C 1 ∩ C 2 = ∅ atuncivol(C 1 ∪ C 2 ) = vol(C 1 ) + vol(C 2 )148

Demonstraţie. Imediatǎ.Definiţia 63.2. Pentru o mulţime mǎrginitǎ A ⊂ R n definim volumul interior vol i (A) şivolumul exterior vol e (A) astfelvol i (A) =sup vol(C) vol e (A) = inf vol(C)C∈C, C⊂AC∈C, C⊃ADefiniţia 63.3. O mulţime mǎrginitǎ A ⊂ R n este mǎsurabilǎ Jordan dacǎvol i (A) = vol e (A)Definiţia 63.4. Dacǎ mulţimea mǎrginitǎ A ⊂ R n este mǎsurabilǎ Jordan, atunci”volumul” mulţimii A, vol(A) este ,prin definiţie, numǎrulvol(A) = vol i (A) = vol e (A)Propoziţia 63.3. Fie A ⊂ R n o mulţime mǎrginitǎ. Urmǎtoarele afirmaţii suntechivalente:1) A este mǎsurabilǎ Jordan.2) ∀ ε > 0 existǎ C 1 ε , C 2 ε ∈ C astfel încât C 1 ε ⊂ A ⊂ C 2 ε şivol(C 2 ε ) − vol(C 1 ε ) < ε.3) existǎ douǎ şiruri (C 1 k ), (C2 k ), C1 k , C2 k ∈ C astfel încât C1 k ⊂ A ⊂ C2 k şi4) vol(F r A) = 0limk→∞ vol(C1 k) = lim vol(C 2k→∞k)5) ∀ ε > 0 existǎ A ε , B ε mǎsurabile Jordan astfel încât A ε ⊂ A ⊂ B ε şivol(B ε ) − vol(A ε ) < ε6) existǎ douǎ şiruri (A k ), (B k ) de mulţimi mǎsurabile Jordan astfel încât A k ⊂ A ⊂B k şilim vol(A k) = lim vol(B k )k→∞ k→∞Propoziţia 63.4. Dacǎ mulţimile A 1 , A 2 ⊂ R n sunt mǎsurabile Jordan, atunci mulţimileA 1 ∪ A 2 , A 1 \ A 2 , A 1 ∩ A 2 sunt mǎsurabile Jordan şi, dacǎ A 1 ∩ A 2 = ∅, atunci:vol(A 1 ∪ A 2 ) = vol(A 1 ) + vol(A 2 )Fie A ⊂ R n o mulţime mǎrginitǎ şi mǎsurabilǎ Jordan.Definiţia 63.5. O partiţie P a mulţimii A este o mulţime finitǎ de submulţimi A i ,i = 1, 2, ..., m ale mulţimii A care satisfac urmǎtoarele condiţii:1) A =m⋃A i ;i=1149

2) fiecare mulţime A i este mǎsurabilǎ Jordan;3) dacǎ i ≠ j atunci A i ∩ A j = ∅.Norma partiţiei P este numǎrul ν(P ) = max{d 1 , d 2 , . . . , d n } unde d i = supx,y∈A i‖x − y‖.Fie f : A → R o funcţie mǎrginitǎ şim = inf{f(x) | x ∈ A} M = sup{f(x) | x ∈ A}Funcţia f este mǎrginitǎ pe fiecare mulţime A i ∈ P şi fie:m i = inf{f(x) | x ∈ A i } M i = sup{f(x) | x ∈ A i }Definiţia 63.6. Suma superioarǎ Darboux a funcţiei f corespunzǎtoare partiţiei P este:U f (P ) =m∑M i · vol(A i )i=1Suma inferioarǎ Darboux a funcţiei f corespunzǎtoare partiţiei P este:L f (P ) =m∑m i · vol(A i )i=1Definiţia 63.7. Suma Riemann a funcţiei f corespunzǎtoare partiţiei P este numǎrul:σ f (P ) =m∑f(ξ i ) · vol(A i )i=1unde ξ i ∈ A i .Remarca 63.1. Suma Riemann σ f (P ) depinde şi de alegerea punctelor ξ i ∈ A i . Indiferentînsǎ de alegerea acestor puncte avem:m · vol(A) ≤ L f (P ) ≤ σ f (P ) ≤ U f (P ) ≤ M · vol(A)Rezultǎ din aceste inegalitǎţi cǎ mulţimile:sunt mǎrginite.Fie L f = sup L f şi U f = inf U f .Propoziţia 63.5. Are loc inegalitatea:L f = {L f (P ) | P este partiţie a lui A}U f = {U f (P ) | P este partiţie a lui A}L f ≤ U fDemonstraţie. Analoagǎ cu cea fǎcutǎ în dimensiunea doi.150

Definiţia 63.8. Funcţia mǎrginitǎ f : A → R este integrabilǎ Riemann-Darboux pe AdacǎL f = U fAceastǎ valoare comunǎ se numeşte integrala Riemann-Darboux n-dimensionalǎ a lui fpe A şi se noteazǎ cu∫ ∫· · · f(x 1 , ..., x m ) dx 1 ... dx m = L f = U f} {{ }noriTeorema 63.1. Funcţia f : A → R este integrabilǎ Riemann-Darboux pe A dacǎ şinumai dacǎ pentru orice ε > 0 existǎ o partiţie P astfel încât sǎ avem:U f (P ) − L f (P ) < εDemonstraţie. Rezultǎ imediat în baza Propoziţiei 63.5.Teorema 63.2. Funcţia f : A → R este integrabilǎ Riemann-Darboux pe A dacǎ şinumai dacǎ existǎ un numǎr I cu proprietatea cǎ pentru orice ε > 0 existǎ δ = δ(ε) > 0astfel încât pentru orice partiţie P şi cu ν(P ) < δ suma Riemann σ f (P ) verificǎ:|σ f (P ) − I| < εDemonstraţie. Afirmaţia rezultǎ în baza teoremeii precedente şi a inegalitǎţiiL f (P ) ≤ σ f (P ) ≤ U f (P )Remarca 63.2. Funcţia constantǎ f(x 1 , ..., x m ) = 1 este integrabilǎ Riemann-Darbouxpe o mulţime mǎsurabilǎ Jordan A şi are loc:∫ ∫· · · dx 1 ... dx m = vol(A)} {{ }noriTeorema 63.3. Dacǎ funcţiile f şi g sunt integrabile Riemann-Darboux pe mulţimeamǎsurabilǎ Jordan A, atunci toate integralele care apar în relaţiile de mai jos existǎ şirelaţiile sunt adevǎrate:(1)(2)∫∫· · ·} {{ }A∫ ∫∫(α · f + β · g) = α∫ ∫ ∫· · · f = · · · f +} {{ } } {{ }AA 1∫· · ·} {{ }A∫· · ·} {{ }A 2∫f + β(3) dacǎ f ≤ g pe A atunci ∫ ∫ ∫· · · f ≤} {{ }A∫· · ·} {{ }Agf, unde A 1 ∪ A 2 = A şi A 1 ∩ A 2 = ∅151∫· · ·} {{ }Ag

∫(4) |∫· · ·} {{ }A∫f| ≤∫· · ·} {{ }A|f|Demonstraţie. Analoagǎ cu cea fǎcuta pentru integrale duble.Remarca 63.3. Dacǎ f este integrabilǎ Riemann-Darboux pe A şi mulţimea A 1 ⊆ Aeste mǎsurabilǎ Jordan, atunci f este integrabilǎ Riemann-Darboux pe A 1 .m⋃Mai mult, dacǎ A = A i şi A i ∩ A j = ∅ ∀i ≠ j, atunci:i=1∫ ∫· · · f =} {{ }Am∑∫i=1∫· · ·} {{ }A iTeorema 63.4. Dacǎ f : A → R este continuǎ şi A este mǎsurabilǎ Jordan, atunci feste integrabilǎ Riemann-Darboux pe A.Demonstraţie. Analoagǎ cu cea fǎcutǎ pentru integrale duble.Definiţia 63.9. O funcţie f : A → R se zice continuǎ pe porţiuni dacǎ existǎ o partiţieP = {A 1 , A 2 , ..., A m } a lui A şi funcţiile continue f i : A i → R i = 1, 2, ..., m, astfelîncât:f(x 1 , ..., x m ) = f i (x 1 , ..., x m ) ∀(x 1 , ..., x m ) ∈ ÅiTeorema 63.5. O funcţie f : A → R continuǎ pe porţiuni este integrabilǎ Riemann-Darboux pe mulţimea mǎsurabilǎ Jordan A şi are loc egalitatea:∫ ∫· · · f =} {{ }Am∑∫i=1∫· · ·} {{ }ADemonstraţie. Analoagǎ cu cea pentru integrala pentru integrale duble.Teorema 63.6. Dacǎ f : A → R este integrabilǎ Riemann-Darboux pe A, atunci:∫ ∫m · vol(A) ≤ · · · f ≤ M · vol(A)} {{ }Aunde:m = inf{f(x 1 , ..., x m ) | (x 1 , ..., x m ) ∈ A} M = sup{f(x 1 , ..., x m ) | (x 1 , ..., x m ) ∈ A}Demonstraţie. Imediatǎ.ff i152

64 Calculul integralei Riemann-Darboux pe o mulţimen-dimensionalǎ mǎsurabilǎ Jordan.Dorim sǎ arǎtǎm cǎ în anumite condiţii calculul integralei Riemann-Darboux pe o mulţimen-dimensionalǎ mǎsurabilǎ Jordan se reduce la calcularea succesivǎ a unor integraleRiemann-Darboux pentru funcţii de o singurǎ variabilǎ.Considerǎm la început cazul în care mulţimea A este un interval n-dimensional de forma:A = [a 1 , b 1 ] × [a 2 , b 2 ] × ... × [a n , b n ]Teorema 64.1. Dacǎ funcţia f : A → R este integrabilǎ Riemann-Darboux pe A şi dacǎpentru orice x 1 ∈ [a 1 , b 1 ], funcţia f x1 defintǎ prin f x1 (x 2 , ..., x n ) = f(x 1 , x 2 , ..., x n ) esteintegrabilǎ Riemann-Darboux pe A 1 = [a 2 , b 2 ] × ... × [a n , b n ], adicǎ integrala∫I(x 1 ) =∫· · ·existǎ, atunci integrala iteratǎA 1f x1 (x 2 , ..., x n ) dx 2 ... dx n =∫ b 1a 1I(x 1 ) dx 1 =∫ b 1 ∫ b 2a 1(a 2...existǎ de asemenea şi are loc egalitatea:∫∫· · ·A∫ b nf(x 1 , x 2 , ..., x n ) dx 1 ... dx n =∫ b 2a 2...∫ b na nf(x 1 , x 2 , ..., x n ) dx 2 ... dx na nf(x 1 , x 2 , ..., x n ) dx 2 ... dx n ) dx 1∫ b 1 ∫ b 2a 1(a 2...Demonstraţie. Este similarǎ cu cea fǎcutǎ pentru integrale duble.∫ b na nf(x 1 , x 2 , ..., x n ) dx 2 ... dx n ) dx 1∫Remarca 64.1. Aceastǎ teoremǎ reduce calculul integralei∫· · ·f(x 1 , x 2 , ..., x n ) dx 1 ... dx nla calculul succesiv a n integrale Riemann-Darboux pentru funcţii de o singurǎ variabilǎ:∫ b 1∫a 1b 2a 2...∫ b na nf(x 1 , x 2 , ..., x n ) dx 1 dx 2 ... dx n =∫ b 1 ∫ b 2a 1(a 2(...∫ b nAa nf(x 1 , x 2 , ..., x n ) dx n ) dx n−1 ) ... dx 1Remarca 64.2. Teorema 64.1 este adevǎratǎ şi în cazul unor mulţimi n-dimensionale Amai complicate, ca şi în cazul bidimensional.Fie A ⊂ R n o mulţime mǎsurabilǎ Jordan cu proprietatea cǎ are loc egalitatea:A =⋃{x 1 } × Ω x1x 1 ∈[a 1 ,b 1 ]unde Ω x1 ⊂ R n−1 este o mulţime mǎsurabilǎ Jordan pentru orice x 1 ∈ [a 1 , b 1 ].153

Teorema 64.2. Dacǎ funcţia f : A → R este integrabilǎ Riemann-Darboux pe A şidacǎ pentru orice x 1 ∈ [a 1 , b 1 ], funcţia f x1 : Ω x1 → R defintǎ prin f x1 (x 2 , ..., x n ) =f(x 1 , x 2 , ..., x n ) este integrabilǎ Riemann-Darboux pe Ω x1 , adicǎ integrala∫ ∫I(x 1 ) = · · · f(x 1 , x 2 , ..., x n ) dx 2 ... dx nexistǎ, atunci integrala iteratǎ∫ b 1a 1I(x 1 ) dx 1 =∫ b 1a 1(Ω x1∫∫· · ·existǎ de asemenea şi are loc egalitatea:∫∫· · ·Af(x 1 , x 2 , ..., x n ) dx 1 ... dx n =Ω x1f(x 1 , x 2 , ..., x n ) dx 2 ... dx n ) dx 1∫ b 1a 1(∫∫· · ·Ω x1f(x 1 , x 2 , ..., x n ) dx 2 ... dx n ) dx 1Demonstraţie. Este similarǎ cu cea fǎcutǎ pentru integrale duble.Teorema 64.3. Fie A ⊂ R n o mulţime deschisǎ, mǎsurabilǎ Jordan şi g : A → g(A) =B ⊂ R n o funcţie bijectivǎ de clasǎ C 1 definitǎ pe A având inversa de clasǎ C 1 . MulţimeaB este mǎsurabilǎ Jordan şi are loc egalitatea:∫vol(B) =∫· · ·A| D(g 1, ..., g n )D(x 1 , ..., x n ) | dx 1 ... dx nDemonstraţie. Este similarǎ cu cea din cazul bidimensional.Teorema 64.4 (Schimbarea de variabilǎ). Fie A o mulţime deschisǎ, mǎsurabilǎ Jordanşi g : A → g(A) = B ⊂ R n o bijecţie de clasǎ C 1 definitǎ pe A cu inversa de clasǎC 1 . Dacǎ funcţia f : B → R este integrabilǎ Riemann-Darboux pe B, atunci funcţiaf ◦ g ·D(g 1 , ..., g n )∣D(x 1 , ..., x n ) ∣ : A → R este integrabilǎ Riemann-Darboux pe A şi are loc egalitatea:∫ ∫∫ ∫· · · f(y 1 , ..., y n ) dy 1 ... dy n = · · · f(g(x 1 , ..., x n )) ·D(g 1 , ..., g n )∣D(x 1 , ..., x n ) ∣ dx 1 ... dx nBDemonstraţie. Este similarǎ cu cea din cazul bidimensional.A65 Curbe simple şi curbe simple închise.Integralele curbilinii pot fi definite asemǎnǎtor cu integralele definite. Pentru a face acestlucru este însǎ nevoie sǎ introducem conceptul de curbǎ şi cel de lungime a unui arc decurbǎ. Vom prezenta aceste concepte într-un cadru particular care poate fi extins într-unmod natural la unul mai general.154

Definiţia 65.1. Curba simplǎ (arc simplu) este o mulţime de puncte C ⊂ R 3 cuproprietatea cǎ existǎ un segment [a, b] ⊂ R şi o funcţie ϕ : [a, b] → C care are urmǎtoareleproprietǎţi:a) ϕ este bijectivǎ;b) ϕ este de clasǎ C 1 şi ϕ ′ (t) ≠ 0, ∀t ∈ [a, b] .Punctele A = ϕ(a) şi B = ϕ(b) de pe curbǎ se numesc extremitǎţi sau capete, iar ϕ senumeşte reprezentarea parametricǎ a curbei simple C. Vectorul ϕ′(t) este tangent la curbǎîn punctul ϕ(t).Figura 65.1:Definiţia 65.2. Curba simplǎ închisǎ este o mulţime de puncte C ⊂ R 3 cu proprietateacǎ existǎ un segment [a, b] ⊂ R şi o funcţie ϕ : [a, b] → C care are urmǎtoarele proprietǎţi:a) ϕ este bijectivǎ de la [a, b) la C şi ϕ(a) = ϕ(b) ;b) ϕ este de clasǎ C 1 şi ϕ ′ (t) ≠ 0, ∀t ∈ [a, b] .Figura 65.2:Funcţia ϕ se numeşte reprezentarea parametricǎ a curbei închise C. Vectorul ϕ′(t) estetangent la curbǎ în punctul ϕ(t).155

Exemplu 65.1. Dacǎ x 0 = (x 0 1, x 0 2, x 0 3) şi h = (h 1 , h 2 , h 3 ) sunt douǎ puncte din R 3 , atuncisegmentul [x 0 , x 0 + h] care uneşte punctele x 0 , x 0 + h este o curbǎ simplǎ C. În acest caz,segmentul [a, b] este [0, 1], iar funcţia ϕ : [0, 1] → C este:Exemplu 65.2. Cercul C definit prin:este o curbǎ simplǎ închisǎ.ϕ : [0, 2π] → C este:ϕ(t) = (x 0 1 + th 1 , x 0 2 + th 2 , x 0 3 + th 3 )C = {(x 1 , x 2 , x 3 ) ∈ R 3 | x 2 1 + x 2 2 = 1, x 3 = 0}În acest caz, segmentul [a, b] este [0, 2π], iar funcţiaϕ(t) = (cos t, sin t, 0)Remarca 65.1. Orice curbǎ simplǎ sau curbǎ simplǎ închisǎ are o infinitate dereprezentǎri parametrice.Remarca 65.2. Punctele A, B, numite extremitǎţile curbei simple, nu depind dereprezentarea parametricǎ a curbei. Prin aceasta înţelegem cǎ dacǎ ψ : [c, d] → C este oaltǎ reprezentare parametricǎ a curbei simple C, atunci mulţimea de puncte {ψ(c), ψ(d)}coincide cu mulţimea {ϕ(a), ϕ(b)} = {A, B}. Acest fapt poate fi demonstrat prin reducerela absurd. Presupunând, de exemplu, cǎ ψ(c) /∈ {A, B}, se poate arǎta cǎ existǎ τ 1 ∈ [c, d]astfel încât ψ ′ (τ 1 ) = 0.Astfel, oricare ar fi reprezentarea parametricǎ a segmentului [x 0 , x 0 + h] ce leagǎ puncteleA = x 0 şi B = x 0 + h, capetele sunt punctele A şi B: de exemplu: ψ(τ) = x 0 + (2 − τ)h,τ ∈ [1, 2], ψ(1) = x 0 + h = B; ψ(2) = x 0 = A.Folosind o reprezentare parametricǎ, putem defini lungimea curbei simple şi a curbeisimple închise.Definiţia 65.3. Lungimea curbei simple (a curbei simple închise) este, prin definiţie,numǎrul l, definit prin:l =∫ b||ϕ ′ (t)‖ dt =∫ b√˙ϕ 2 1(t) + ˙ϕ 2 2(t) + ˙ϕ 2 3(t) dtaaunde ϕ(t) = (ϕ 1 (t), ϕ 2 (t), ϕ 3 (t)) şi ϕ˙i (t) = dϕ i(t), i = 1, 2, 3.dtRemarca 65.3. Aceastǎ definiţie este independentǎ de reprezentarea parametricǎ acurbei C. Altfel spus, dacǎ ψ : [c, d] → C este o a doua reprezentare parametricǎ acurbei C, atunci numǎrul∫ d‖ψ ′ (τ)‖ dτeste egal cu numǎrulc∫ b‖ϕ ′ (t)‖ dtaEgalitatea rezultǎ din teorema de schimbare de variabilǎ pentru funcţii de o singurǎ variabilǎ,care se poate aplica ţinând seama de faptul cǎ ϕ ′ (t) ≠ 0 şi ψ ′ (τ) ≠ 0 pentru orice tşi pentru orice τ.156

Exemplu 65.3. Lungimea segmentului [x 0 , x 0 + h] estel =∫ 10√h 2 1 + h 2 2 + h 2 3 dt = ‖h‖iar lungimea cercului C = {(x 1 , x 2 , x 3 ) ∈ R 3 | x 2 1 + x 2 2 = 1, x 3 = 0} estel =∫ 2π0√sin 2 t + cos 2 t dt = 2πExemplu 65.4 (Ilustreazǎ independenţa lungimii de reprezentarea parametricǎ). Pentrucercul C = {(x 1 , x 2 , x 3 ) ∈ R 3 | x 2 1 + x 2 2 = 1, x 3 = 0} alegem ϕ : [0, π] → C definitǎ astfelUtilizând aceastǎ reprezentare obţinem:l =∫ π0ϕ(t) = (cos 2t, sin 2t, 0)√2 sin 2 2t + cos 2 2t dt = 2πaceeaşi valoare ca şi cea obţinutǎ în cazul reprezentǎriiϕ(t) = (cos t, sin t, 0) t ∈ [0, 2π]Remarca 65.4. Condiţia ϕ ′ (t) ≠ 0, ∀t ∈ [a, b] asigurǎ faptul cǎ o curbǎ simplǎ are doardouǎ capete, acestea nedepinzând de reprezentarea parametricǎ. Altfel spus, existǎ douǎpuncte A, B ∈ C astfel încât oricare ar fi reprezentarea parametricǎ ψ : [c, d] → C a luiC avem: {ψ(c), ψ(d)} = {A, B}.În cazul ψ(c) = A şi ψ(d) = B dacǎ τ parcurge segmentul [c, d] de la c la d, atunci ψ(τ)parcurge curba C de la A la B.În cazul ψ(c) = B şi ψ(d) = A dacǎ τ parcurge segmentul [c, d] de la c la d, atunci ψ(τ)parcurge curba C de la B la A.Cele douǎ sensuri de parcurs pe C, de la A la B sau de la B la A se numesc orientǎripe curba simplǎ şi din cele arǎtate pânǎ acum rezultǎ cǎ pe o curbǎ simplǎ existǎ douǎorietǎri şi oricare ar fi reprezentarea parametricǎ sensul de parcurs dat de ϕ este una dincele douǎ orientǎri. Altfel spus mulţimea reprezentǎrilor parametrice ale curbei simplese descompune în douǎ clase (submulţimi) disjuncte. Pentru toate reprezentǎrile dintr-oclasǎ avem un sens de parcurs (o orientare) pentru toate reprezentǎrile de cealaltǎ clasǎavem sensul de parcurs opus (cealaltǎ orientare).Considerǎm o curbǎ simplǎ C având reprezentarea ϕ : [a, b] → C a lui C pentru caresensul de parcurs este de la A la B (ϕ(a) = A, ϕ(b) = B).Dacǎ în formula lungimii curbeil =∫ ba‖ϕ ′ (τ)‖ dτ157

Figura 65.3:înlocuim limita superioarǎ b cu t obţinem o funcţie care depinde de t, s A (t), datǎ de∫ ts A (t) = ‖ϕ ′ (τ)‖ dτaValoarea s A (t) reprezintǎ lungimea arcului de curbǎ AA ′ ⊂ C, unde A ′ = ϕ(t) ( AA′ estedoar o parte a curbei C).Funcţia s A este definitǎ pe intervalul închis [a, b] şi este o bijecţie de la [a, b] la [0, l],s A (a) = 0 şi s A (b) = l. Mai mult, s A şi s −1A sunt funcţii de clasǎ C1 .Funcţia s −1Apoate fi folositǎ pentru a construi o reprezentare parametricǎ remarcabilǎ acurbei simple: anume ˜x A : [0, l] → C, ˜x A = ϕ ◦ s −1A. În aceastǎ reprezentare parametricǎa lui C, s ∈ [0, l] este parametrul şi ˜x A (0) = A, ˜x A (l) = B, iar dacǎ s parcurge [0, l] dela 0 la l, atunci ˜x A (s) parcurge C de la A la B. Reprezentarea ˜x A este canonicǎ în cazulorientǎrii de la A la B. Parametrul s este lungimea arcului de curbǎ A˜x A (s). Nu maiexistǎ o altǎ reprezentare parametricǎ cu aceste proprietǎţi.Dacǎ pentru aceeaşi curbǎ simplǎ C cu capetele A, B se considerǎ o reprezentareψ : [c, d] → C pentru care sensul de parcurs este de la B la A (ψ(c) = B şi ψ(d) = A) şidacǎ în formula lungimii curbeil =∫ dc‖ψ ′ (τ)‖ dτînlocuim limita superioarǎ d cu t, obţinem o funcţie care depinde de t, s B (t), datǎ des B (t) =∫ tc‖ψ ′ (τ)‖ dτValoarea s B (t) reprezintǎ de data aceasta lungimea arcului de curbǎ BB ′B ′ = ψ(t).⊂ C, undeFuncţia s B : [c, d] → [0, l] este bijectivǎ, s B (c) = 0, s B (d) = l şi s B , s −1Bsunt funcţii declasǎ C 1 . Reprezentarea parametricǎ ˜x B = ψ ◦ s −1Ba curbei simple C are proprietatea˜x B (0) = B, ˜x B (l) = A şi dacǎ s parcurge [0, l] de la 0 la l, atunci ˜x B (s) parcurge C dela B la A. Reprezentarea ˜x B este canonicǎ în cazul orientǎrii de la B la A, parametrul s158

fiind în acest caz lungimea arcului B˜x B (s) (este unica reprezentare parametricǎ cu acesteproprietǎţi).Exemplu 65.5. În cazul segmentului [x0 , x 0 + h] ce leagǎ punctele A = x 0 şi B = x 0 + h,dacǎ se considerǎ reprezentarea parametricǎ ϕ(t) = x 0 +th, t ∈ [0, 1], atunci sensul de parcurseste de la A la B, iar dacǎ se considerǎ reprezentarea parametricǎ ψ(τ) = x 0 +(2−τ)h,τ ∈ [1, 2], atunci sensul de parcurs este de la B = x 0 + h la A = x 0 .Cu reprezentarea ϕ, lungimea arcului de curbǎ AA ′ este datǎ des A (t) =∫ t0√h 2 1 + h 2 2 + h 2 3 dτ = t · ‖h‖cu s A (0) = 0 şi s A (1) = ‖h‖.Funcţia s −1A: [0, ‖h‖] → [0, 1] este datǎ de s−1A (s) =˜x A : [0, ‖h‖] → C estes , iar reprezentarea canonicǎ‖h‖˜x A (s) = (ϕ ◦ s −1A )(s) = x0 + 1‖h‖ · s · h.Cu reprezentarea ψ, lungimea arcului de curbǎ BB ′ este datǎ des B (t) =∫ t‖ψ ′ (τ)‖ dτ =∫ t√h 2 1 + h 2 2 + h 2 3 dτ = (t − 1) · ‖h‖11cu s B (1) = 0 şi s B (2) = ‖h‖.Funcţia s −1B: [0, ‖h‖] → [1, 2] este datǎ de s−1B (s) = 1 +˜x B : [0, ‖h‖] → C este˜x B (s) = (ψ ◦ s −1B )(s) = x0 + (2 − 1 −s , iar reprezentarea canonicǎ‖h‖s‖h‖ ) · h = x0 + (1 −s‖h‖ ) · hReprezentarea ˜x A (s) = x 0 + 1 · s · h este canonicǎ în cazul orientǎrii de la A la B, iar‖h‖reprezentarea ˜x B (s) = x 0 + (1 − s ) · h este canonicǎ în cazul orientǎrii de la B la A. În‖h‖ambele reprezentǎri, parametrul s parcurge segmentul [0, l].La o curbǎ simplǎ închisǎ C nu mai avem douǎ capete A şi B, ca sǎ putem vorbi deparcurgerea curbei de la A la B sau de la B la A. Cu toate acestea, şi în cazul uneicurbe simple închise, putem introduce douǎ orientǎri care corespund la douǎ sensuri deparcurgere a curbei. Calea este urmǎtoarea:Pentru curba simplǎ închisǎ C considerǎm o reprezentare parametricǎ ϕ : [a, b] → C şipunctul A = ϕ(a) de pe C.Deoarece ϕ ′ (t) ≠ 0 dacǎ t creşte de la a la b atunci ϕ(t) descrie curba parcurgǎnd-oîntr-un sens. Aceastǎ mişcare a lui ϕ(t) este o orientare pe curbǎ. Mişcarea opusǎ pe Ceste orientarea opusǎ. Dacǎ ψ : [c, d] → C este o reprezentare parametricǎ oarecare a lui159

C atunci dacǎ t creşte de la c la d mişcarea lui ψ(t) se face conform uneia din cele douǎorientǎri: dacǎd (ϕ ◦ ψ −1 (τ) ) = dt > 0 atunci ϕ(t) şi ψ(τ) se mişcǎ în acelaşi sensdτdτdacǎ t creşte de la a la b şi τ creşte de la c la d; dacǎ d (ϕ ◦ ψ −1 (τ) ) = dtdτdτ < 0 atunciϕ(t) şi ψ(τ) se mişcǎ în sensuri opuse când t creşte de la a la b şi τ creşte de la c la d.Şi în cazul curbei simple închise C putem considera funcţia s A : [a, b] → [0, l] definitǎprin:s A (t) =∫ ta‖ ϕ ′ (τ) ‖ dτs A (t) este lungimea arcului Aϕ(t) descris de ϕ(τ) când τ creşte de la a la t.Figura 65.4:Funcţia s A : [a, b] → [0, l] e o bijecţie şi poate fi folositǎ pentru a defini o nouǎ reprezentarea lui C: ˜x : [0, l] → C, ˜x A = ϕ ◦ s −1A. În aceasta reprezentare a lui C, s ∈ [0, l] esteparametrul şi ˜x A (0) = ˜x A (l) = A, iar dacǎ s creşte de la 0 la l atunci ˜x A (s) se mişcǎpe C şi descrie curba C mişcându-se în acelaşi sens ca ϕ(t). aceastǎ reprezentare estecanonicǎ modulo punctul A (unicǎ modulo A). Funcţia ˜x A : [0, l] → C definitǎ prin˜x A (s) = ˜x A (l − s) este reprezentarea parametricǎ canonicǎ care corespunde orientǎriiopuse.De exemplu în cazul cercului:C = {(x 1 , x 2 , x 3 )|x 2 1 + x 2 2 = 1, x 3 = 0}pentru reprezentarea parametricǎ ϕ(t) = (cos t, sin t, 0) cu t ∈ [0, 2π] avem: ϕ(0) =(1, 0, 0) = A, s A (t) =∫ t0dτ = t; ˜x A (s) = (cos s, sin s, 0), s ∈ [0, π]; ˜x A (0) = (1, 0, 0) =A; ˜x A (s) se mişcǎ pe cerc ca în figura 65.4, iar ˜x A (s) = (cos(2π − s), sin(2π − s), 0) şi semişcǎ pe cerc ca în figura 65.5:Figura 65.5:160

Rezultǎ cǎ o curbǎ simplǎ şi o curbǎ simplǎ închisǎ poate fi reprezentatǎ parametric astfel:x(s) = (x 1 (s), x 2 (s), x 3 (s)), 0 ≤ s ≤ lunde l este lungimea curbei şi s ∈ [0, l] este lungimea arcului de curbǎ x(0)x(s) ⊂ C.Pentru o curbǎ simplǎ C existǎ douǎ reprezentǎri de acest fel ce corespund la cele douǎorientǎri ale lui C. Pentru o curbǎ simplǎ închisǎ C dacǎ se fixeazǎ un punct A pe Catunci avem de asemenea douǎ reprezentǎri corespunzǎtoare la cele douǎ orientǎri alecurbei.66 Integrala curbilinie de speţa întâi.Fie C o curbǎ simplǎ şi x(s) = (x 1 (s), x 2 (s), x 3 (s)) una din reprezentǎrile parametrice aleei în funcţie de arcul s ∈ [0, l]. Existǎ doar douǎ reprezentǎri de acest fel care corespundla cele douǎ orientǎri ale lui C. Pentru a face o alegere sǎ presupunem cǎ reprezentareaconsideratǎ ¯x(s) este cea corespunzǎtoare parcurgerii lui C de la A la B.Fie acum f o funcţie realǎ de trei variabile, f : Ω ⊂ R 3 → R, definitǎ pe mulţimea deschisǎΩ care include curba simplǎ, f continuǎ în punctele curbei, adicǎ f(x 1 (s), x 2 (s), x 3 (s))este continuǎ.Considerǎm o partiţie P = {A = Q 0 , Q 1 , ..., Q m = B} a curbei C (A şi B sunt capetelelui C)Figura 66.1:şi valorile corespunzǎtoare ale lungimilor arcelor determinate de punctele partiţiei: s i =lungimea arcului AQ i :0 = s 0 < s 1 < s 2 < ... < s m = lAlegem un punct oarecare pe fiecare porţiune de curbǎ:R 1 între Q 0 , Q 1 , R 2 între Q 1 , Q 2 , ... , R m între Q m−1 , Q mR i = (x 1 (s ′ i), x 2 (s ′ i), x 3 (s ′ i)); s ′ i ∈ [s i−1 , s i ], i = 1, dots, mşi considerǎm sumam∑I m = f(R i ) · (s i − s i−1 ) =i=1m∑f(x 1 (s ′ i), x 2 (s ′ i), x 3 (s ′ i)) · (s i − s i−1 )i=1161

Aceastǎ sumǎ I m depinde de partiţia consideratǎ şi de alegerea punctelor R i . Dacǎ însǎnorma partiţiei∆P = max{s i − s i−1 | i = 1, 2, ..., m}tinde la zero, atunci indiferent de alegerea punctelor intermediare R i , suma I m tinde laun numǎr real I care se numeşte integrala curbilinie de speţa întâi a lui f pe curba C şise noteazǎ cu∫f dsCAcest fapt este imediat dacǎ observǎm cǎ funcţia s → f(x 1 (s), x 2 (s), x 3 (s)) este continuǎşi suma I m este suma Riemann a acestei funcţii continue.Din aceastǎ observaţie rezultǎ şi egalitatea:∫Cf ds =∫ l0f(x 1 (s), x 2 (s), x 3 (s)) dsDe aici rezultǎ în continuare cǎ dacǎ ϕ : [a, b] → C este o reprezentare parametricǎoarecare a curbei C, atunci are loc egalitatea:∫f ds =∫ bf(ϕ(t)) · ‖ϕ ′ (t)‖ dtCaDe aici rezultǎ şi independenţa de orientare a integralei curbilinii de speţa întâi.Prin urmare, integrala curbilinie este egalǎ cu o integralǎ Riemann obişnuitǎ într-o singurǎdimensiune şi are proprietǎţi similare cu aceasta.Propoziţia 66.1. Au loc urmǎtoarele egalitǎţi:a)∫∫k · f ds = k ·f dsb)C∫C∫(f + g) ds =∫f ds +g dsc)C∫CC∫ ∫f ds = f ds +C 1C 2Cf dsunde curba C este reuniunea arcelor disjuncte C 1 , C 2 .Toate aceste integrale sunt independente de orientarea curbei C.Integralele curbilinii de speţa întâi pe curbe simple închise se definesc în mod analog.Pentru integrale curbilinii pe curbe închise C se foloseşte adesea şi simbolul∮f dsCPentru a calcula integrala curbilinie de speţa întâi a unei funcţii f pe o curbǎ simplǎ saupe o curbǎ simplǎ închisǎ C se alege o reprezentare parametricǎ a curbei.162

- Dacǎ aceastǎ reprezentare este una canonicǎ (în funcţie de elementul de arc s)x(s) = (x 1 (s), x 2 (s), x 3 (s))0 ≤ s ≤ latunci avem:∫f ds =∫ lf(x 1 (s), x 2 (s), x 3 (s)) dsC0- Dacǎ reprezentarea este datǎ de funcţia ϕ : [a, b] → C, atunci:∫f ds =∫ bf(ϕ(t)) · ‖ϕ ′ (t)‖ dtCaRemarca 66.1. Integralele curbilinii ale funcţiilor care sunt date numeric sau care conducla integrale definite complicate se calculeazǎ numeric.67 Integrala curbilinie de speţa a doua.În diferite domenii ale fizicii (mecanicǎ, electricitate etc.) şi ale chimiei, se considerǎintegrale curbilinii de speţa întâi pe curbe orientate din funcţii care depind de curbǎ deorientarea acesteia şi sunt de forma:f · dx 1ds, g · dx 2ds, h · dx 3dsunde dx 1ds , dx 2ds , dx 3sunt derivatele funcţiilor care apar în reprezentarea parametricǎ îndsfuncţie de lungimea arcului s.x(s) = (x 1 (s), x 2 (s), x 3 (s))a curbei orientate.Aceste integrale curbilinii se numesc integrale curbilinii de speţa a doua şi se noteazǎastfel:∫f dx ∫1ds ds = f dx 1C∫C∫CCg dx 2ds ds = ∫Ch dx 3ds ds = ∫Cg dx 2h dx 3În termenii reprezentǎrii parametrice considerate aceste integrale de speţa a doua suntegale cu urmǎtoarele integrale Riemann:∫Cfdx 1 =∫ l0f(x 1 (s), x 2 (s), x 3 (s)) dx 1ds ds =163∫l0f(x 1 (s), x 2 (s), x 3 (s)) · cos α(s)ds

∫C∫Cgdx 2 =hdx 3 =∫ l0∫ l0g(x 1 (s), x 2 (s), x 3 (s)) dx 2ds ds =h(x 1 (s), x 2 (s), x 3 (s)) dx 3ds ds =∫l0∫l0g(x 1 (s), x 2 (s), x 3 (s)) · cos β(s)dsh(x 1 (s), x 2 (s), x 3 (s)) · cos γ(s)dsunde α(s), β(s), γ(s) sunt unghiurile tangentei la curbǎ cu axele de coordonate Ox 1 , Ox 2 ,Ox 3 .În termenii unei reprezentǎri parametrice oarecare ϕ : [a, b] → C care corespunde aceleaşiorientǎri a curbei aceste integrale de speţa a doua sunt egale cu urmǎtoarele integraleRiemann:∫fdx 1 =∫ bf(ϕ(t)) ·˙ϕ 1 (t)√˙ϕ21 (t) + ˙ϕ 2 2(t) + ˙ϕ 2 3(t) dtC∫C∫Cgdx 2 =hdx 3 =a∫ ba∫ bag(ϕ(t)) ·h(ϕ(t)) ·˙ϕ 2 (t)√˙ϕ21 (t) + ˙ϕ 2 2(t) + ˙ϕ 2 3(t) dt˙ϕ 3 (t)√˙ϕ21 (t) + ˙ϕ 2 2(t) + ˙ϕ 2 3(t) dtToate aceste integrale depind de orientarea curbei C. Dacǎ orientarea curbei se schimbǎvaloarea integralei schimbǎ semnul.Pentru suma celor trei integrale de speţa a doua adesea se foloseşte notaţia simplificatǎ:∮f dx 1 + g dx 2 + h dx 3şi aceasta în termeni de integralǎ Riemann esteC∫ l[f(x 1 (s), x 2 (s), x 3 (s)) · cos α(s) + g(x 1 (s), x 2 (s), x 3 (s)) · cos β(s) + h(x 1 (s), x 2 (s), x 3 (s)) · cos γ(s)] ds068 Transformarea integralelor duble în integrale curbilinii.Integrala dublǎ pe un domeniu plan poate fi transformatǎ în integralǎ curbilinie pefrontiera domeniului şi reciproc. Aceastǎ transformare are atât importanţǎ teoreticǎ câtşi importanţǎ practicǎ şi se bazeazǎ pe teorema urmǎtoare.Teorema 68.1 (Teorema lui Green în plan). Fie D un domeniu mǎrginit în R 2 a cǎruifrontierǎ ∂D este o reuniune finitǎ de curbe simple închise. Fie f, g : Ω → R funcţii de164

clasǎ C 1 , definite pe un domeniu Ω care conţine D, D ⊂ Ω. În aceste ipoteze, are locegalitatea:∫∫( ∂g∂x − ∂f ∮∮∂y ) dx dy = f dx + g dy = (f · cos α + g · cos β)ds.DCunde C este frontiera domeniului D şi pe fiecare componentǎ a lui C (care, prin ipotezǎ,este o curbǎ simplǎ închisǎ) orientarea este aleasǎ astfel încât domeniul D este în stângaatunci când parcurgem aceastǎ componentǎ în sensul orientǎrii alese.CDemonstraţie. Facem demonstraţia teoremei în cazul particular în care domeniul D poatefi reprezentat sub forma:D = {(x, y) | x ∈ [a, b] şi y ∈ [u(x), v(x)]}şiD = {(x, y) | y ∈ [c, d] şi x ∈ [p(y), q(y)]}165

În acest caz, avem:∫∫D∫b∫∂f∂y dx dy = [av(x)u(x)∫ b= −∫b∂fdy] dx =∂yf(x, u(x)) dx −a∫ a[f(x, v(x)) − f(x, u(x))] dx∫f(x, v(x)) dx = −f(x, y) dy −∫f(x, y) dxa∮= −f(x, y) dxbC ∗C ∗∗Cdeoarece y = u(x), x = x este reprezentarea parametricǎ a curbei orientate C ∗ şi y = v(x),x = x este reprezentarea parametricǎ a curbei orientate C ∗∗ .În cazul în care domeniul D nu are proprietatea menţionatǎ la începutul demonstraţiei,dar poate fi descompus într-o reuniune de subdomenii cu proprietatea menţionatǎ, seaplicǎ egalitatea stabilitǎ pe subdomenii şi apoi se adunǎ aceste egalitǎţii. Membruldrept al egalitǎţii obţinute în acest fel conţine integrala curbilinie pe C şi integrale pecurbe introduse pentru a partiţiona D în subdomenii. Fiecare din aceste integrale dinurmǎ apare de douǎ ori: o datǎ într-un sens de parcurs şi o datǎ în sensul opus. Prinurmare, aceste integrale curbilinii se reduc şi rǎmâne integrala curbilinie pe C.Acum prezentǎm o a doua teoremǎ a lui Green, care se referǎ la transformarea integraleiduble a Laplacianului unei funcţii în integrala curbilinie a derivatei normale a funcţiei.Fie w(x, y) o funcţie de clasǎ C 2 într-un domeniu Ω.Definiţia 68.1. Laplacianul funcţiei w este, prin definiţie, funcţia ∆w : Ω → R, definitǎastfel:∆w(x, y) = ∂2 w∂x + ∂2 w2 ∂y 2Sǎ presupunem acum cǎ Ω conţine un domeniu D de tipul celui considerat în teorema luiGreen.Teorema 68.2. Are loc urmǎtoarea egalitate:∫∫∮ ∮∂w∆w dx dy =∂n ds =D=C∮CC( ∂w∂x 1· n 1 + ∂w∂x 2· n 2)ds( ∂w∂x 1· cos α 1 + ∂w∂x 2· cos α 2)dsDemonstraţie.În egalitǎţile de mai sus, expresiile∂w· n 1 + ∂w · n 2 = ∂w · cos α 1 + ∂w · cos α 2∂x 1 ∂x 2 ∂x 1 ∂x 2166

sunt diferite exprimǎri ale derivatei normale.Pentru demonstraţie, considerǎm f = − ∂w∂y , g = ∂w∂x∆w = ∂g∂x − ∂f∂yAplicǎm teorema lui Green şi obţinem:∫∫∮∆w dx dy = − ∂w∮∂wdx +∂y ∂x dy =DCC∮= grad w · n dsunde:grad w =C( ∂w∂x , ∂w )∂yşi n =şi remarcǎm egalitatea[− ∂w∂y · dxds + ∂w∂x · dy ]dsds( ) dyds , −dx dsVectorul ( n este versorul normalei exterioare la C. Aceasta pentru cǎ vectorul τ =dxds , dy )este versorul tangentei la C şi τ · n = 0.dsProdusul scalar grad w · n este derivata normalǎ ∂w . Am obţinut astfel egalitatea:∂n∫∫∮∂w∆w dx dy =∂n dsDCFie v = v(x, y) = (f(x, y), g(x, y)) o funcţie vectorialǎ de douǎ variabile reale x, y, definitǎpe un domeniu Ω ⊂ R 2 de clasǎ C 1 .Definiţia 68.2. Divergenţa lui v este, prin definiţie, funcţia realǎ div v : Ω → R, definitǎastfel:div v = ∂f∂x + ∂g∂yTeorema 68.3. Dacǎ Ω conţine un domeniu D de tipul celui considerat în teorema luiGreen, atunci are loc egalitatea:∫∫∮div v dx dy =v · n dsunde n este versorul normalei exterioare la C.DCDemonstraţie. Aplicând Teorema 68.1, obţinem:∫∫∫∫ ( ∂fdiv v dx dy =∂x + ∂g ) ∮dx dy =∂yDDC∮= v · n ds−g dx + f dyC167

69 Suprafeţe simple.Pentru a prezenta integralele de suprafaţǎ este nevoie sǎ prezentǎm în prealabil câtevaelemente de bazǎ privind suprafeţele.Definiţia 69.1. O mulţime S ⊂ R 3 se numeşte suprafaţǎ simplǎ dacǎ existǎ o mulţimemǎrginitǎ D ⊂ R 2 deschisǎ şi simplu conexǎ şi o funcţie ϕ : D → S cu urmǎtoareleproprietǎţi:a) ϕ este bijectivǎ;b) ϕ este de clasǎ C 1 şi vectorul∂ϕ∂u × ∂ϕ∂v = N ϕ = ( ∂ϕ 2∂u · ∂ϕ 3∂v − ∂ϕ 3∂u · ∂ϕ 2∂v , ∂ϕ 3∂u · ∂ϕ 1∂v − ∂ϕ 1∂u · ∂ϕ 3∂v , ∂ϕ 1∂u · ∂ϕ 2∂v − ∂ϕ 2∂u · ∂ϕ 1∂v )este nenul pentru orice (u, v) ∈ D.Funcţia ϕ se numeşte reprezentare parametricǎ a suprafeţei simple S. Vectorii ∂ϕ∂u , ∂ϕ∂vsunt tangenţi la S în punctul ϕ(u, v).Vectorul N ϕ este vector normal la suprafaţǎ şi vectorul n ϕ =vectorului normal N ˙ϕ .N ϕ‖N ϕ ‖se numeşte versorulExemplu 69.1. Mulţimea S = {(x 1 , x 2 , 1) ∈ R 3 | 0 < x 1 < 1 , 0 < x 2 < 1} este osuprafaţǎ simplǎ. O mulţime mǎrginitǎ D ⊂ R 2 deschisǎ şi simplu conexǎ şi o funcţieϕ : D → S care are proprietǎţile a) şi b) sunt:D = {(u, v) ∈ R 2 | 0 < u < 1 , 0 < v < 1} şi ϕ(u, v) = (u, v, 1)Vectorul N ϕ = (0, 0, 1) este normal la suprafaţa simplǎ S şi versorul vectorului normalN ϕ este n ϕ = (0, 0, 1).Exemplu 69.2. Mulţimea S = {(x 1 , x 2 , x 3 ) ∈ R 3 | x 2 1 + x 2 2 = 1 , x 1 > 0 , x 2 > 0 , 0 0 , x 2 >0 , x 3 > 0} este o suprafaţǎ simplǎ. O mulţime mǎrginitǎ D ⊂ R 2 deschisǎ şi simpluconexǎ şi o funcţie ϕ : D → S care are proprietǎţile a) şi b) sunt:D = {(u, v) ∈ R 2 | 0 < u < π 2 , 0 < v < π } şi ϕ(u, v) = (cos · sin v, sin u · sin v, cos v).2Vectorul N ϕ = − sin v · (cos u · sin v, sin u · sin v, cos v) este normal la suprafaţa simplǎ Sşi versorul vectorului normal N ϕ este n ϕ = −(cos u · sin v, sin u · sin v, cos v).168

Remarca 69.1. O suprafaţǎ simplǎ S are o infinitate de reprezentǎri parametrice.• Direcţia vectorului normal N nu depinde de reprezentarea parametricǎ, dar sensulvectorului normal N depinde de reprezentarea parametricǎ a suprafeţei S. Dacǎ înlocul reprezentǎrii parametrice x = ϕ(u, v), cu (u, v) ∈ D se considerǎ reprezentareaparametricǎ x = ψ(u ′ , v ′ ), unde x = ψ(u ′ , v ′ ) = ϕ(−u ′ , v ′ ) cu (u ′ , v ′ ) ∈ D ′ obţinutdin D prin transformarea T : D → D ′ definitǎ prin T (u, v) = (−u, v), atunci sensulvectorului normal N ϕ construit cu reprezentarea parametricǎ ϕ este contrar sensuluivectorului normal N ψ construit cu reprezentarea parametricǎ ψ.• În general, dacǎ x = ϕ(u, v) cu (u, v) ∈ D şi x = ψ(u′ , v ′ ) cu (u ′ , v ′ ) ∈ D ′ sunt douǎreprezentǎri parametrice ale suprafeţei S, atunci:- dacǎ Jacobianul transformǎrii T = ψ −1 ◦ ϕ, T : D → D ′ , T (u, v) = (u ′ , v ′ ) estepozitiv, atunci vectorii normalei N ϕ şi N ψ au acelaşi sens;- dacǎ Jacobianul transformǎrii T = ψ −1 ◦ ϕ, T : D → D ′ , T (u, v) = (u ′ , v ′ ) estenegativ, atunci vectorii normalei N ϕ şi N ψ sunt de sens contrar.Remarca 69.2. Fie o suprafaţǎ simplǎ S datǎ prin reprezentarea parametricǎϕ : D ⊂ R 2 → S, x = ϕ(u, v). O curbǎ simplǎ C situatǎ pe S (C ⊂ S) poate fiobţinutǎ din curba simplǎ C ′ = ϕ −1 (C), C ′ ⊂ D. O reprezentare parametricǎ u = g(t),v = h(t) cu t ∈ [a, b] şi (u, v) ∈ D a curbei C ′ , genereazǎ reprezentarea parametricǎx = ϕ(g(t), h(t)) a curbei C.Exemplu 69.4.În cazul suprafeţei simpleS = {(x 1 , x 2 , 1) ∈ R 3 | 0 < x 1 < 1 , 0 < x 2 < 1}reprezentatǎ parametric prin ϕ(u, v) = (u, v, 1), unde (u, v) ∈ (0, 1)×(0, 1) = D, mulţimea{[ 1C = (x 1 , x 2 , x 3 ) ∈ R 3 | x 1 = x 2 , x 3 = 1 , x 1 ∈3 , 2 3]}este o curbǎ simplǎ situatǎ pe suprafaţa S. Aceastǎ curbǎ simplǎ se obţine din[ curba1simplǎ C ′ = ϕ −1 (C) ⊂ D având reprezentarea parametricǎ: u = t, v = t, t ∈3 , 2 .3]Reprezentarea parametricǎ a curbei C obţinutǎ pe aceastǎ cale este x(t) = (t, t, 1).Exemplu 69.5.În cazul suprafeţei simpleS = {(x 1 , x 2 , x 3 ) ∈ R 3 | x 2 1 + x 2 2 = 1 , x 1 > 0 , x 2 > 0 , 0 < x 3 < 1}reprezentatǎ parametric prin ϕ(u, v) = (cos u, sin u, v), unde (u, v) ∈ D = {(u, v) ∈R 2 | 0 < u < π , 0 < v < 1}, mulţimea2{C = (x 1 , x 2 , x 3 ) ∈ R 3 | x 2 1 + x 2 2 = 1 , x 3 = 1 √ √ }2 , 1 3 32 < x 1

Remarca 69.3. Din formula de reprezentare parametricǎ x = ϕ(u(t), v(t)) a lui C ⊂ S,rezultǎ cǎ tangenta la curba C este datǎ de:(dxdt = ∂ϕ1∂u · dudt + ∂ϕ 1∂v · dvdt , ∂ϕ 2∂u · dudt + ∂ϕ 2∂v · dvdt , ∂ϕ 3∂u · dudt + ∂ϕ 3∂v · dv )dtVectorii:(∂ϕ∂u = ∂ϕ1∂u , ∂ϕ 2∂u , ∂ϕ )3∂uşi(∂ϕ∂v = ∂ϕ1∂v , ∂ϕ 2∂v , ∂ϕ )3∂vsunt vectori tangenţi la suprafaţa S, ei sunt liniar independenţi şi dxdt = ∂ϕ∂u · dudt + ∂ϕ∂v · dvdt .În cazul din Exemplul 69.4, tangenta la curbǎ este vectorul dxdttangenţi la suprafaţǎ ∂ϕ∂u , ∂ϕ∂ϕ∂ϕsunt vectorii = (1, 0, 0),∂v ∂u ∂vÎn cazul din Exemplul 69.5, tangenta la curbǎ este vectorul dxdtvectorii tangenţi la suprafaţǎ ∂ϕ∂u , ∂ϕ∂ϕsunt vectorii∂v ∂u= (1, 1, 0) iar vectorii= (0, 1, 0).= (− sin u, cos u, 0),∂ϕ∂v= (− sin t, cos t, 0) iar= (0, 0, 1).Vectorul normal la suprafaţǎ N ⃗ considerat în Definiţia 69.1 este de fapt produsul vectorialal vectorilor tangenţi ∂ϕ ∂ϕ şi∂u ∂v , adicǎ:N = ∂ϕ∂u × ∂ϕ∂vşi este perpendicular pe toţi vectorii din planul tangent în punctul x = ϕ(u, v) la suprafaţaS.Dacǎ suprafaţa S este datǎ prin reprezentarea parametricǎ x = ϕ(u, v) cu (u, v) ∈ D şicurba C situatǎ pe S (C ⊂ S) este datǎ prin reprezentarea parametricǎ x = ϕ(u(t), v(t)),t ∈ [a, b], atunci lungimea l a curbei C este datǎ de formula:în care:l =∫ b∥ E =∂ϕ ∥∥∥2∥ ∂u (u(t), v(t)) ∥ G =∂ϕ ∥∥∥2∥ ∂v (u(t), v(t))a√E · ˙u2 + 2F · ˙u · ˙v + G · ˙v 2 dtF = ∂ϕ∂u∂ϕ(u(t), v(t)) · (u(t), v(t))∂v˙u = dudt˙v = dvdtExpresia E · ˙u 2 + 2F · ˙u · ˙v + G · ˙v 2 de sub radical se numeşte prima formǎ fundamentalǎa suprafeţei S. Importanţa ei rezidǎ în faptul cǎ permite calcularea lungimii curbelorsituate pe S şi a unghiului dintre douǎ curbe situate pe S.Am vǎzut deja cum se calculeazǎ lungimea curbei C situatǎ pe S. Pentru a vedea cum secalculeazǎ unghiul dintre douǎ curbe situate pe S (curbe care se intersecteazǎ) considerǎmcurbele C 1 şi C 2 situate pe S date prin reprezentǎrile parametrice:C 1 : x = ϕ(g(t), h(t)) C 2 : x = ϕ(p(t), q(t))170

cu t ∈ [a, b] şi presupunem cǎ aceste curbe se intersecteazǎ într-un punct P ∈ S,P = ϕ(g(t 0 ), h(t 0 )) = ϕ(p(t 0 ), q(t 0 )).Vectorul tangent în P la curba C 1 este T 1 şi vectorul tangent în P la curba C 2 este T 2 :T 1 = ( ∂ϕ 1∂u · ġ + ∂ϕ 1∂v · ḣ, ∂ϕ 2∂u · ġ + ∂ϕ 2∂v · ḣ, ∂ϕ 3∂u · ġ + ∂ϕ 3∂v · ḣ)T 2 = ( ∂ϕ 1∂u · ṗ + ∂ϕ 1∂v · ˙q, ∂ϕ 2∂u · ṗ + ∂ϕ 2∂v · ˙q, ∂ϕ 3∂u · ṗ + ∂ϕ 3∂v · ˙q)Unghiul în punctul de intersecţie P dintre C 1 şi C 2 este, prin definiţie, unghiul γ dintreT 1 şi T 2 în P şi astfel:Întrucât:cos γ = T 1 · T 2‖T 1 ‖ · ‖T 2 ‖T 1 · T 2 = E · ġ · ṗ + F (ġ · ˙q + ḣ · ṗ) + G · ḣ · ˙q√‖T 1 ‖ = E · ġ 2 + 2F · ġ · ḣ + G · ḣ2‖T 2 ‖ = √ E · ṗ 2 + 2F · ṗ · ˙q + G · ˙q 2obţinem cǎ unghiul dintre cele douǎ curbe se exprimǎ în termeni de E, F , G şi derivatelefuncţiilor care reprezintǎ curbele.Vom arǎta în continuare cum se calculeazǎ aria unei porţiuni de pe suprafaţa S.Aria A a unei porţiuni S ′ de pe suprafaţa simplǎ S, reprezentatǎ parametric prinx = ϕ(u, v) cu (u, v) ∈ D, este datǎ de:∫∫√A = EG − F 2du dvunde R este partea din D ce corespunde porţiunii A.Formula aceasta a ariei provine din egalitatea:R∆A = √ EG − F 2 · ∆u · ∆vîn care ∆A reprezintǎ aria unui paralelogram având laturile∂x∂u · ∆u şi ∂x∂v · ∆vAceastǎ din urmǎ egalitate provine din definiţia produsului vectorial:∆A = | ∂x ∂x · ∆u × · ∆v| = |∂x∂u ∂v ∂u × ∂x∂v | · ∆u · ∆v = √ EG − F 2 · ∆u · ∆vAria porţiunii S ′ se obţine împǎrţind S ′ în pǎrţi mici S 1 , S 2 , ..., S n şi aproximând ariafiecǎrei pǎrţi S k prin aria paralelogramului din planul tangent la S într-un punct din S k şifǎcând suma ariilor aproximative. Aceasta se face pentru n = 1, 2, ... astfel ca dimensiunile171

celui mai mare S k sǎ tindǎ la zero atunci când n → ∞. Limita acestor sume este integrala.În diverse aplicaţii apar integrale de suprafaţǎ pentru care conceptul de orientare asuprafeţei este esenţial.În cazul unei suprafeţe simple S pentru versorul normal n existǎ douǎ sensuri posibile şi lafiecare din aceste sensuri asociem o orientare a suprafeţei, aşa cum am fǎcut la orientareacurbelor cu ajutorul sensului de parcurs.Mulţimea reprezentǎrilor parametrice ale suprafeţei simple se descompune în douǎ clase(submulţimi) disjuncte. Pentru toate reprezentǎrile dintr-o clasǎ avem una din cele douǎsensuri ale normalei (o orientare) pentru toate reprezentǎrile din cealaltǎ clasǎ avem orientareaopusǎ a normalei (cealaltǎ orientare).Dacǎ frontiera lui S este o curbǎ simplǎ închisǎ C, atunci putem asocia celor douǎorientǎri posibile ale suprafeţei simple S câte o orientare a lui C, aşa cum este reprezentatpe figura urmǎtoare:Regula este urmǎtoarea: privind din vârful versorului normalei, sensul de parcurs pecurbǎ este contrar acelor de ceasornic.Folosind acest concept putem extinde conceptul de orientare la suprafeţe care pot fi descompuseîn suprafeţe simple (sunt suprafeţe simple pe porţiuni).O suprafaţǎ S care se descompune în suprafeţe simple este orientabilǎ dacǎ putem orientafiecare parte simplǎ astfel încât de-a lungul curbelor C ∗ , care sunt frontiere comunea douǎ pǎrţi S 1 , S 2 , direcţia pozitivǎ pe C ∗ relativ la S 1 sǎ fie contrarǎ direcţiei pozitivepe C ∗ relativ la S 2 .172

Exemplu 69.6. Suprafaţa unui paralelipiped este o suprafaţǎ netedǎ pe porţiuni,orientabilǎ.Definiţia 69.2. O suprafaţǎ S este orientabilǎ dacǎ pentru orice P 0 ∈ S şi orice curbǎsimplǎ închisǎ C ⊂ S care trece prin P 0 sensul normalei nu se inverseazǎ atunci cândaceasta se deplaseazǎ pe C de la P 0 şi revine în P 0 .Remarca 69.4. O suprafaţǎ simplǎ S este întotdeauna orientabilǎ. Existǎ însǎ suprafeţecare nu sunt orientabile, cum este banda lui Mőbius.70 Integrale de suprafaţǎ de speţa întâi.Fie S o suprafaţǎ simplǎ de arie finitǎ datǎ prin reprezentarea parametricǎ x = ϕ(u, v)cu (u, v) ∈ D şi f : Ω ⊂ R 3 → R o funcţie continuǎ cu proprietatea Ω ⊂ S.Împǎrţim suprafaţa S în n suprafeţe mai mici S 1 , S 2 , ..., S n , având ariile A 1 , A 2 , ..., A n . Înfiecare parte S k alegem un punct oarecare P k şi considerǎm suma:n∑I n = f(P k ) · A kk=1Definiţia 70.1. Dacǎ n creşte şi S 1 , S 2 , ..., S n sunt astfel încât cel mai mare S k tinde laun punct pentru n → ∞, atunci şirul de numere I 1 , I 2 , ..., I n , ... tinde la un numǎr carenu depinde de diviziune şi de alegerea punctelor P k . Aceastǎ limitǎ se numeşte integralade suprafaţǎ de speţa întâi a funcţiei f pe S şi se noteazǎ cu∫∫f(x 1 , x 2 , x 3 ) dSDe fapt, şirul I 1 , I 2 , ..., I n , ... tinde la integrala dublǎ∫∫f(ϕ(u, v)) √ EG − F 2 du dvDSşi valoarea acestei integrale duble este integrala de suprafaţǎ de speţa întâi a lui f pe S:∫∫∫∫f(x 1 , x 2 , x 3 ) dS = f(ϕ(u, v)) √ EG − F 2 du dvSD173

Valoarea integralei de suprafaţǎ de speţa întâi nu depinde de reprezentarea parametricǎa suprafeţei.71 Integrale de suprafaţǎ de speţa a doua.Fie S o suprafaţǎ simplǎ având reprezentarea parametricǎ x = ϕ(u, v), (u, v) ∈ D.Orientǎm S cu versorul normalei n, n = N , dat de aceastǎ reprezentare.‖N‖N = ( ∂ϕ 3∂u · ∂ϕ 2∂v − ∂ϕ 2∂u · ∂ϕ 3∂v , ∂ϕ 1∂u · ∂ϕ 3∂v − ∂ϕ 3∂u · ∂ϕ 1∂v , ∂ϕ 2∂u · ∂ϕ 1∂v − ∂ϕ 1∂u · ∂ϕ 2∂v )(u, v) ∈ DNotǎm cu α 1 , α 2 , α 3 unghiurile dintre n şi direcţiile pozitive ale axelor de coordonateOx 1 , Ox 2 , Ox 3 şi avem:n = (cos α 1 , cos α 2 , cos α 3 )Fie acum funcţiile W 1 = W 1 (x 1 , x 2 , x 3 ), W 2 = W 2 (x 1 , x 2 , x 3 ), W 3 = W 3 (x 1 , x 2 , x 3 ) definiteşi continue în orice punct din S.Definiţia 71.1. Integralele de suprafaţǎ notate cu∫∫∫∫∫∫W 1 dx 2 dx 3W 2 dx 3 dx 1W 3 dx 1 dx 2SSSdefinite prin:∫∫∫∫W 1 dx 2 dx 3 =W 1 · cos α 1 dSS∫∫S∫∫W 2 dx 3 dx 1 =W 2 · cos α 2 dSS∫∫S∫∫W 3 dx 1 dx 2 =W 3 · cos α 3 dSse numesc integrale de suprafaţǎ de speţa a doua.SSIntegralele de suprafaţǎ de speţa a doua sunt integrale de suprafaţǎ de speţa întâi dinfuncţii care depind de suprafaţǎ şi de orientarea suprafeţei.Este clar cǎ valoarea unei asemenea integrale depinde de n (de reprezentarea parametricǎ)care defineşte o orientare a lui S. Trecerea la orientarea opusǎ corespunde înmulţiriicu −1 a integralei, deoarece componentele cos α 1 , cos α 2 , cos α 3 ale lui n se înmulţesc cu−1.Suma celor trei integrale de suprafaţǎ de speţa a doua poate fi scrisǎ într-o formǎ simplǎalegând o notaţie vectorialǎ:W = (W 1 (x 1 , x 2 , x 3 ), W 2 (x 1 , x 2 , x 3 ), W 3 (x 1 , x 2 , x 3 ))174

şi obţinem:∫∫W 1 dx 2 dx 3 + W 2 dx 3 dx 1 + W 3 dx 1 dx 2 =∫∫(W 1 · cos α 1 + W 2 · cos α 2 + W 3 · cos α 3 ) dSS=S∫∫W · n dSSFiecare integralǎ de suprafaţǎ de speţa a doua se exprimǎ ca o integralǎ dublǎ în termeniireprezentǎrii parametrice:∫∫∫∫W 1 dx 2 dx 3 = W 1 (ϕ(u, v)) · D(ϕ 2, ϕ 3 )du dvD(u, v)S∫∫S∫∫SD∫∫W 2 dx 3 dx 1 =D∫∫W 3 dx 1 dx 2 =DW 2 (ϕ(u, v)) · D(ϕ 3, ϕ 1 )D(u, v)W 3 (ϕ(u, v)) · D(ϕ 1, ϕ 2 )D(u, v)du dvdu dv72 Proprietǎţi ale integralelor de suprafaţǎ.Integralele de suprafaţǎ de speţa întâi şi cele de speţa a doua sunt liniare şi aditive.Aceasta întrucât ele se reduc la integrale duble care au aceste proprietǎţi.Astfel avem:∫∫∫∫a) k · f dS = k · f dSb)S∫∫S∫∫(f + g) dS =∫∫f dS +g dSc)S∫∫S∫∫ ∫∫f dS = f dS +S 1SS 2Sf dSPe lângǎ aceste proprietǎţi, integralele de suprafaţǎ au urmǎtoarele proprietǎţi importante.Fie A o mulţime mǎrginitǎ şi închisǎ în R 3 a cǎrei frontierǎ este o suprafaţǎ orientabilǎS, simplǎ pe porţiuni.Teorema 72.1 (teorema de divergenţǎ a lui Gauss). Dacǎ funcţia vectorialǎ u este declasǎ C 1 pe un domeniu care conţine mulţimea A, atunci are loc egalitatea:∫∫∫∫∫div u dx 1 dx 2 dx 3 = u · n dSunde n este versorul normalei exterioare la S.AS175

Demonstraţie. Demonstraţia este tehnicǎ.Consecinţa 72.1. Dacǎ u = grad f, atunci:∫∫∫ ∫∫∆f dV =AS∂f∂n dSşi pentru ∆f = 0 avem:∫∫S∂f∂n dS = 0Consecinţa 72.2. Dacǎ u = f · grad g, atunci:şi∫∫∫Adiv u = f · ∆g + grad f · grad gu · n = f · (n · grad g) = f · ∂g∂n∫∫(f · ∆g + grad f · grad g) dV =Aceastǎ egalitate poartǎ numele de prima formulǎ a lui Green.Sf · ∂g∂n dSSchimbând rolurile lui f şi g şi scǎzând se obţine egalitatea:∫∫∫∫∫(f · ∆g − g · ∆f) dV = (f · ∂g∂n − g · ∂f∂n ) dSAcare poartǎ denumirea de cea de a doua formulǎ a lui Green.SFie S o suprafaţǎ simplǎ orientatǎ, a cǎrei frontierǎ este o curbǎ simplǎ închisǎ C orientatǎconform regulii descrise dupǎ Remarca 69.4Teorema 72.2 (Stokes). Dacǎ funcţia vectorialǎ v = v(x 1 , , x 2 , x 3 ) este de clasǎ C 1 întrundomeniu care conţine suprafaţa S, atunci:∫∫∫(rot v) · n dS = v · t dsSCunde: rot v = ( ∂v 3− ∂v 2, ∂v 1− ∂v 3, ∂v 2− ∂v 1), n este versorul normalei la S, iar t∂x 2 ∂x 3 ∂x 3 ∂x 1 ∂x 1 ∂x 2este versorul tangentei la C.Demonstraţie. Demonstraţia este tehnicǎ.176

73 Derivarea integralelor cu parametru.Existǎ situaţii în care funcţia care se integreazǎ depinde nu numai de variabila de integrarex, ci şi de un parametru real t (de exemplu, timpul). Mai mult, domeniul pe care secalculeazǎ integrala depinde şi el de timpul t. În aceste cazuri valoarea integralei depindeşi ea de parametrul real t.În aceastǎ secţiune vom prezenta condiţii suficiente de derivabilitate în raport cu parametrult a unei asemenea integrale.Mai întâi considerǎm cazul 1-dimensional:I(t) =∫ψ(t)ϕ(t)f(t, x) dxTeorema 73.1. Dacǎ funcţiile ϕ, ψ : [c, d] → R sunt derivabile pe [c, d] (ϕ(t) < ψ(t),∀t ∈ [c, d]) şi funcţia f(t, x) este continuǎ în raport cu x pe intervalul [ϕ(t), ψ(t)] şi estede clasǎ C 1 în raport cu t, atunci funcţia I(t) este derivabilǎ şi avem:∫ddtψ(t)ϕ(t)f(t, x) dx = ψ ′ (t) · f(t, ψ(t)) − ϕ ′ (t) · f(t, ϕ(t)) +Demonstraţie. Demonstraţia este tehnicǎ.∫ψ(t)ϕ(t)∂f(t, x) dx∂tConsecinţa 73.1. Dacǎ funcţia f(t, x) este continuǎ în raport cu x pe intervalul [a, b] şieste de clasǎ C 1 în raport cu t, atunci:∫db∫ bf(t, x) dx =dtaa∂f(t, x) dx∂tFie acum D ⊂ R 3 un domeniu şi (a, b) ⊂ R un interval deschis. Considerǎmm o funcţiex : (a, b) × D → R 3 de clasǎ C 1 şi o submulţime mǎrginitǎ ω 0 ⊂ D a cǎrei frontierǎ S 0este o suprafaţǎ simplǎ pe porţiuni.Pentru un t arbitrar, dar fixat, notǎm cu ω(t) multimea:şi presupunemm cǎ jacobianulx t (ξ) = x(t, ξ) este nenul.ω(t) = {x(t, ξ) | ξ ∈ ω 0 }D(x 1 , x 2 , x 3 )D(ξ 1 , ξ 2 , ξ 3 )funcţiei x t : ω 0 → ω(t) definitǎ prinConsiderǎm acum o funcţie F : (a, b) × R 3 → R de clasǎ C 1 şi integrala:∫∫∫I(t) = F (t, x) dx 1 dx 2 dx 3ω(t)177

Teorema 73.2. Funcţia I(t) este de clasǎ C 1 şi are loc egalitatea:∫∫∫∫∫dIdt = ∂F∂t dx 1 dx 2 dx 3 + F · v · n dSω(t)S(t)unde S(t) este frontiera lui ω(t), v = ∂x∂tşi n este versorul normalei exterioare a lui S(t).Demonstraţie. Demonstraţia este tehnicǎ.BIBLIOGRAFIE[1] R. Haggarty, Fundamentals of Mathematical Analysis; Addison-Wesley, 1989, Oxford[2] A. B. Israel, R. Gilbert, Computer-Supported Calculus; Springer Wien New York,2001, RISC Johannes Kepler University, Linz, Austria[3] C. Lanczos, Applied Analysis; Sir Isaac Pitman, 1967, London[4] F. Ayres, J. Cault, Differential and Integral Calculus in Simetric Units; Mc.Grow-Hill, 1988[5] A. Jeffrey, Mathematics for engineers ad scientists; Van Nostrand, 1961[6] E. Kreiszig, Advanced engineering mathematics; Wiley & Sons, 1967[7] O. V. Manturov, N. M. Matveev, A course of higher mathematics; Mir, 1989178