Asupra unor inegalităţi în tetraedru - Marius OLTEANU

f)g) X m2Ar 2 AX m2Ar A≥ X h 2 Ar 2 A≥ 1 16≥ X h 2 A≥ 1 µ Xµ Xh2 1r A 4 Ar A⎛≥ 1 ³X 2hA´216r ≥ 1 16⎝ X 18r≥ 1 4µ Xµ Xh2 1ArA2 ≥⎛µ X 2 1≥ 1 ⎝r A 64h A≥⎞⎠2=32r³X 161hA´2P 1 ⎠44rh 2 =16.A1) Inegalitatea a) generalizează inegalitatea 5) din [1] precum şiObservaţii.problema 83-a) din [2].2) Inegalitatea b) extinde la un tetraedru oarecare (nu neapărat ortocentric) relaţia7) din [1] şi problema 129-d) din [2].3) La punctele a) - g) egalităţile au loc numai dacă [ABCD] este tetraedru echifacial.4) Inegalitatea c) extinde la un tetraedru oarecare (nu neapărat ortocentric) inegalitatea10) din [1].5) Inegalitatea d) generalizează inegalitatea 11) din [1] şi problema 83-b) din [2].6) Inegalitatea e) extinde la un tetraedru oarecare (nu neapărat ortocentric) problema129-e) din [2].Având în vedere cele expuse mai înainte, propunem cititorului interesat sădemonstrezecă, în orice tetraedru [ABCD] au loc şi inegalităţile:m2 Ah Ag 0 ) + m2 B+ m2 C+ m2 D≥ 16r;h B h C h Dg 00 1) + 1 + 1 + 1 ≤ 1m A r A m B r B m C r C m D r D 2r 2 .Propoziţia 2. În orice tetraedru [ABCD] ortocentric în punctul H ∈ int (ABCD)au loc inegalităţile:h)i)rAmm n ASAmm n ArAm+ rm Bm n + rm CBm n + rm DCm n D+ Sm Bm n + Sm CBm n + Sm DCm n D≥ 2 2+m−2n · 3 n · rm, m, n ∈ {0} ∪ [1, ∞),Rn µ n 3≥ S m · · 4 1−n−m , m, n ∈ {0} ∪ [1, ∞),Rj)h m A m + rm BA h m B m + rm CB h m C m + rm DC h m D m ≥ 3D 2 m R .Demonstraţie. Presupunem că S A ≥ S B ≥ S C ≥ S D .Atunci1m A ≤ m B ≤ m C ≤ m D , + 1 + 1 + 1 ≥ 3 m A m B m C m D R . (11)Demonstraţiile afirmaţiilor (11) pot fi găsite în [2] pag.24şi 32 sau în [3].h) Deoarece rA m ≥ rm B ≥ rm C ≥ rm D şi 1m n ≥ 1Am n ≥ 1Bm n ≥ 1Cm n , se poate aplicaDinegalitatea lui Cebâşev obţinând107⎞2