Asupra unor inegalităţi în tetraedru - Marius OLTEANU

(inegalitatea lui Jensen pentru funcţia convexă f :(0, ∞) → (0, ∞), f (x) =x p ,p ∈ {0} ∪ [1, ∞) ).Dacă în(4) luăm p = m, x 1 = r A , x 2 = r B , x 3 = r C , x 4 = r D şi apoi p = n,x 1 = 1 , x 2 = 1 , x 3 = 1 , x 4 = 1 ,obţinem:h A h B h C h D1³X ´rm4 A ≥µPrA4 m,X 1h n A≥ 4Ã X 1h A4P 1Dar, = 1 şih A rPrA ≥ X 16 =8r. Ţinând seama de aceste relaţii, rezultă că1r Aµ1 Xµ Xrm 14 Ah n ADin (3) şi (6) rezultă în final inegalitatea dorită.b)X mAr A≥ X h Ar A≥ 1 4c) Avem P m AS A r A≥ P! n. (5)P 1= 2 . În plus, din inegalitatea mediilor avemr A r≥µ m µ n 8r 1· 4 · =2 2+m−2n · r m−n . (6)4 4r³XhA´ µX 1r A≥ 1 4 ·h AS A r A.Dar h AS A≤ h BS B≤ h CS C≤ h DS Dşi16P· X 1=8.1 r Ah A1≤ 1 ≤ 1 ≤r A r B r C≤ 1 . Aplicând din nou inegalitatea Cebâşev, obţinemr DX hA≥ 1 µ XµhA X 1= 1 µ XhA, (7)S A r A 4 S A r A 2r S AX hA≥ 1 µ Xµ X 1hA . (8)S A 4S AÎnsă, din inegalitatea mediilor, avemXhA ≥ 16P 1h A=16r şiX 1S A≥ 16 PSA= 16S . (9)Din relaţiile (8) şi (9) se obţine căX hA≥ 1 16 · 16r ·S A 4 S = 64rS . (10)Din inegalităţile (7) şi (10), obţinem în final P h ≥ 1 S A r A 2r · 64 · rS = 32S ,q.e.d.d) S A = 3V (şi analoagele) ⇒ P µ P rSA n mh rm A =(3V A)nA h n ≥ 2 2+m−2n r m−n (3V ) n ,Aconform punctului a).e) P m AS A≥ P h AS A≥ 64 r S(conform inegalităţii (10)).106