Asupra unor inegalităţi în tetraedru - Marius OLTEANU

(inegalitatea lui Jensen pentru funcţia convexă f :(0, ∞) → (0, ∞), f (x) =x p ,p ∈ {0} ∪ [1, ∞) ).Dacă în(4) luăm p = m, x 1 = r A , x 2 = r B , x 3 = r C , x 4 = r D şi apoi p = n,x 1 = 1 , x 2 = 1 , x 3 = 1 , x 4 = 1 ,obţinem:h A h B h C h D1³X ´rm4 A ≥µPrA4 m,X 1h n A≥ 4Ã X 1h A4P 1Dar, = 1 şih A rPrA ≥ X 16 =8r. Ţinând seama de aceste relaţii, rezultă că1r Aµ1 Xµ Xrm 14 Ah n ADin (3) şi (6) rezultă în final inegalitatea dorită.b)X mAr A≥ X h Ar A≥ 1 4c) Avem P m AS A r A≥ P! n. (5)P 1= 2 . În plus, din inegalitatea mediilor avemr A r≥µ m µ n 8r 1· 4 · =2 2+m−2n · r m−n . (6)4 4r³XhA´ µX 1r A≥ 1 4 ·h AS A r A.Dar h AS A≤ h BS B≤ h CS C≤ h DS Dşi16P· X 1=8.1 r Ah A1≤ 1 ≤ 1 ≤r A r B r C≤ 1 . Aplicând din nou inegalitatea Cebâşev, obţinemr DX hA≥ 1 µ XµhA X 1= 1 µ XhA, (7)S A r A 4 S A r A 2r S AX hA≥ 1 µ Xµ X 1hA . (8)S A 4S AÎnsă, din inegalitatea mediilor, avemXhA ≥ 16P 1h A=16r şiX 1S A≥ 16 PSA= 16S . (9)Din relaţiile (8) şi (9) se obţine căX hA≥ 1 16 · 16r ·S A 4 S = 64rS . (10)Din inegalităţile (7) şi (10), obţinem în final P h ≥ 1 S A r A 2r · 64 · rS = 32S ,q.e.d.d) S A = 3V (şi analoagele) ⇒ P µ P rSA n mh rm A =(3V A)nA h n ≥ 2 2+m−2n r m−n (3V ) n ,Aconform punctului a).e) P m AS A≥ P h AS A≥ 64 r S(conform inegalităţii (10)).106

f)g) X m2Ar 2 AX m2Ar A≥ X h 2 Ar 2 A≥ 1 16≥ X h 2 A≥ 1 µ Xµ Xh2 1r A 4 Ar A⎛≥ 1 ³X 2hA´216r ≥ 1 16⎝ X 18r≥ 1 4µ Xµ Xh2 1ArA2 ≥⎛µ X 2 1≥ 1 ⎝r A 64h A≥⎞⎠2=32r³X 161hA´2P 1 ⎠44rh 2 =16.A1) Inegalitatea a) generalizează inegalitatea 5) din [1] precum şiObservaţii.problema 83-a) din [2].2) Inegalitatea b) extinde la un tetraedru oarecare (nu neapărat ortocentric) relaţia7) din [1] şi problema 129-d) din [2].3) La punctele a) - g) egalităţile au loc numai dacă [ABCD] este tetraedru echifacial.4) Inegalitatea c) extinde la un tetraedru oarecare (nu neapărat ortocentric) inegalitatea10) din [1].5) Inegalitatea d) generalizează inegalitatea 11) din [1] şi problema 83-b) din [2].6) Inegalitatea e) extinde la un tetraedru oarecare (nu neapărat ortocentric) problema129-e) din [2].Având în vedere cele expuse mai înainte, propunem cititorului interesat sădemonstrezecă, în orice tetraedru [ABCD] au loc şi inegalităţile:m2 Ah Ag 0 ) + m2 B+ m2 C+ m2 D≥ 16r;h B h C h Dg 00 1) + 1 + 1 + 1 ≤ 1m A r A m B r B m C r C m D r D 2r 2 .Propoziţia 2. În orice tetraedru [ABCD] ortocentric în punctul H ∈ int (ABCD)au loc inegalităţile:h)i)rAmm n ASAmm n ArAm+ rm Bm n + rm CBm n + rm DCm n D+ Sm Bm n + Sm CBm n + Sm DCm n D≥ 2 2+m−2n · 3 n · rm, m, n ∈ {0} ∪ [1, ∞),Rn µ n 3≥ S m · · 4 1−n−m , m, n ∈ {0} ∪ [1, ∞),Rj)h m A m + rm BA h m B m + rm CB h m C m + rm DC h m D m ≥ 3D 2 m R .Demonstraţie. Presupunem că S A ≥ S B ≥ S C ≥ S D .Atunci1m A ≤ m B ≤ m C ≤ m D , + 1 + 1 + 1 ≥ 3 m A m B m C m D R . (11)Demonstraţiile afirmaţiilor (11) pot fi găsite în [2] pag.24şi 32 sau în [3].h) Deoarece rA m ≥ rm B ≥ rm C ≥ rm D şi 1m n ≥ 1Am n ≥ 1Bm n ≥ 1Cm n , se poate aplicaDinegalitatea lui Cebâşev obţinând107⎞2

≥µPrA4X rmAm n ≥ 1 µ Xµ Xrm 1A4 Am n ≥A m µ X 1· 4 · · 1 n µ m µ n 8r 3≥ · 4 · =2 2+m−2n · 3 n · rmm A 4 4 4RR n(s-a aplicat şi inegalitatea lui Jensen).i) X SAmm n ≥ 1 ³X ´ µX Sm 1A4 Am n ≥A4µ n≥ 4 Sm 31−m−n 3n4 m =44RR n Sm .r Bh Bj) r Ah A=≥ r Cavem şih CS A≥S − 2S A≥ r D; decih D1≥ 1m AXr Ah AS BS − 2S B≥ r Bh BµPSA= r Bh B, de unde r A≥ r Ch C≥ r Dh Dşi m· 4 ·Ã X 1m A4h ArAmh m A! n≥≥ r Bh B. Analog se arată că≥ rm Bh m B≥ rm Ch m C≥ rm Dh m . CumD≥ 1 ≥ 1 , aplicând inegalitatea lui Cebâşev se obţinem B m C m Dµ rm XA1≥ 1 m A 4 · 22−m · 3R = 32 m Rh m A m ≥ 1 µ X rmAA 4 h m A(s-a utilizat şi inegalitatea a) pentru cazul m = n).Observaţii. 1) Inegalităţile h) şi i) generalizează problemele 129-a) şi 129-b)din [2].2) Inegalităţile b), e), f), g) şi g 0 ) constituie fondul problemei PP.5174 din [4].3) Inegalitatea j) generalizează inegalitatea 8) din [1].4) Pentru punctele h), i), j) egalităţile au loc numai dacă [ABCD] este regulat.În final menţionăm faptul că inegalităţile 5), 7), 11) din [1] şi modul de obţinereainegalităţilor de tipul celor prezentate în [1], pot fi găsite şi în [5], [6].Bibliografie1. R. Bairac, I. Popov - Unele proprietăţi pentru sferele exînscrise ale tetraedrului,G.M. 10/2004, 369-373.2. M. Olteanu - Inegalităţi în tetraedru, Editura Universitară Conspress, Bucureşti,2003.3. M. Olteanu - Obţinerea unor inegalităţi într-un tetraedru cu ajutorul inegalităţilorde tip Cebâşev şi Jensen (I), revista Panmatematica, Rm. Vâlcea, 1994, nr.1.4. M. Olteanu - PP.5174, Octogon Mathematical Magazine, Braşov (Romania), vol.12 (2004), nr. 1, p. 401.5. M. Olteanu - Obţinerea unor inegalităţi remarcabile într-un tetraedru cu ajutorulinegalităţilor de tip Cebâşev şi Jensen, (depusălaGazetaMatematică, 1993).6. M. Olteanu - Obţinerea unor inegalităţi într-un tetraedru cu ajutorul inegalităţilorde tip Cebâşev şi Jensen (II), (depusă la Panmatematica, Rm. Vâlcea).108