O generalizare a teoremelor Stolz-Cesaro - Sorin PUŞPANĂ

O generalizare a teoremelor Stolz-CesaroSorin PUŞPANĂ 11. Rezultate clasice. Vom prezenta în această primă parte bine-cunoscuteleteoreme Stolz-Cesaro şi o reciprocă alor,omiţând demonstraţiile (pentru care pot ficonsultate [2] şi [3]).Teorema 1. Dacă (a n ) n≥1 şi (b n ) n≥1sunt două şiruri de numere reale astfela n+1 − a nîncât: i) şirul (b n ) n≥1este strict crescător şi nemărginit, ii) lim=n→∞ b n+1 − b na nl ∈ R, atunci lim = l.n→∞ b nTeorema 2. Dacă (a n ) n≥1 şi (b n ) n≥1sunt două şiruri de numere reale astfelîncât: i) lim a n = lim b a n+1 − a nn =0, ii) lim= l ∈ R, iii) şirul (b n )n→∞ n→∞ n→∞ b n+1 − b n≥1neste strict descrescător, atunci limn→∞a nb n= l.Teorema 3. Dacă (a n ) n≥1 şi (b n ) n≥1sunt două şiruri de numere reale astfelb n+1a na n+1 − a nîncât: i) lim ∈ R\{1}, ii) lim = l ∈ R, atunci lim= l.n→∞ b n n→∞ b n n→∞ b n+1 − b n2. Generalizări. Teorema1admiteurmătoarea generalizarea (cu pierdereacazului limitei infinite):Teorema 4. Dacă (a n ) n≥1 şi (b n ) n≥1sunt două şiruri de numere reale ast-µfel încât:a n+1 − a nlimn→∞i) limn→∞ |b n| = ∞,ii) şirul1|b n |a nb n= l.P|b i+1 − b i |n−1i=1este mărginit,n≥1= l ∈ R, atunci limb n+1 − b n n→∞Demonstraţie. Dacă ε>0 şi M este un majorant pentru şirul de la ii), atunciexistă m ∈ N astfel încât ∀n ≥ m să avema n+1 − a n¯ − lb n+1 − b n¯

Corolarul 1. Dacă (a n ) n≥1 şi (b n ) n≥1sunt două şiruri de numere reale astfelµ |bn+1 −b n |încât: i) şirul (|b n |) n≥1este strict crescător şi nemărginit, ii) şirul|b n+1 |−|b n |a n+1 − a na neste mărginit, iii) lim= l ∈ R, atunci lim = l.n→∞ b n+1 − b n n→∞ b nÎntr-adevar, ipotezele i) şi ii) implică primeledouă ipoteze ale Teoremei 4.Teorema2admiteurmătoarea generalizare (cu pierderea cazului limitei infinite):Teorema 5. Dacă (a n ) n≥1 şi (b n ) n≥1sunt două şiruri de numere reale astfelµ 1încât: i) lim a n = lim b n−1 Pn =0, ii) şirul |b i+1 − b i | este mărginit,n→∞ n→∞ |b n | i=1n≥1a n+1 − a na niii) lim= l ∈ R, atunci lim = l.n→∞ b n+1 − b n n→∞ b nDemonstraţie. Dacă ε>0 şi M este un majorant pentru şirul de la ii), atunciexistă m ∈ N astfel încât ∀n ≥ m să avema n+1 − a n¯ − lb n+1 − b n¯ < ε M ⇔ |a n+1 − a n − l (b n+1 − b n )| < ε M |b n+1 − b n | ⇒|a n+p − a n − l (b n+p − b n )| < ε Mn+p−1Xi=1|b i+1 − b i |

iii) Din demonstraţiile date, şi din enunţurile teoremelor şi corolarelor, este evidentcă elerămân valabile şi în ipoteza că (a n ) n≥1 şi (b n ) n≥1sunt şiruri de numerecomplexe. De fapt rezultatele pot fi extinse şi în cadru mult mai larg al algebrelornormate cu unitate; enunţurile rezultatelor de mai sus se adaptează cuuşurinţă, iardemonstraţiile se fac cu aceleaşi argumente.3. Aplicaţii.Problema 1. Fie (x n ) n≥1 şi (u n ) n≥1două şiruri de numere reale astfel încâtlim u n = u ∈ (1, ∞). Atunci şirul (x n )n→∞ n≥1are limită dacă şi numai dacă şirul(u n x n+1 − x n ) n≥1are limită, caz în care avem lim x n = 1n→∞ u − 1 lim (u nx n+1 − x n ).n→∞Indicaţie. Se aplică Teoremele1şi 3 şirurilor a n = u 1 u 2 ···u n−1 x n şi b n =u 1 u 2 ···u n−1 .Folosind Corolarul 1 putem extindeacestrezultatşi pentru valori negative ale luiu, pierzândînsă cazul limitelor infinite, ca mai jos:Problema 2. Fie (x n ) n≥1 şi (u n ) n≥1două şiruri de numere reale astfel încâtlim u n = u, |u| > 1. Atuncişirul (x n )n→∞ n≥1este convergnt dacă şi numai dacă şirul(u n x n+1 −x n ) n≥1este convergent, caz în care avem lim x n = 1n→∞ u−1 lim (u nx n+1 −x n ).n→∞Observaţie. Rezultatul ramâne valabil dacă şirurile ce intervin în enunţ suntşiruri de numere complexe. Următoarea problemăneprezintăîncecondiţii rezultatulanterior rămâne valabil în cazul |u| < 1.Problema 3. Fie (x n ) n≥1 şi (u n ) n≥1două şiruri de numere reale astfel încât(x n ) n≥1să fie mărginit iar lim u n = u, |u| < 1. Atuncişirul (x n )n→∞ n≥1este convergentdacă şi numai dacă şirul (u n x n+1 − x n ) n≥1este convergent, caz în care avemlim x n = 1n→∞ u − 1 lim (u nx n+1 − x n ).n→∞Indicaţie. Se aplică Corolarul 2 şirurilor a n =u 1 u 2 ···u n−1 x n şi b n =u 1 u 2 ···u n−1 .Din nou facem observaţia că rezultatulrămâne valabil şi pentru şiruri de numerecomplexe. Este evident că ţinând seama de observaţia i) rezultatele anterioare rămânvalabile dacă înlocuimu n x n+1 − x n cu u n x n+1 + x n şi u − 1 cu u +1.Toate acestea pot fi restrânse înProblema 4. Fie (x n ) n≥1un şir mărginitdenumerecomplexe,iar(u n ) n≥1şi (v n ) n≥1două şiruri convergente de numere complexe astfel încât ¯ lim u n¯ 6=n→∞ ¯ lim v ¯n¯. Atunci şirul (x n )n→∞ n≥1este convergent dacă şi numai dacă şirul(u n x n+1 + v n x n ) n≥1este convergent, caz în care avemlim (u nx n+1 + v n x n )lim x n→∞n =n→∞ lim u n + lim v .nn→∞ n→∞Problema următoare este demonstrată în[4] şi generalizează Problema2.18