Caracterul algebric al inegalitatilor Blundon - Universitatea din ...

More documents

Recommendations

Info

4 CONSTANTIN P. NICULESCUau fost remarcate pentru prima dat¼a de Newton [8] şi îi poart¼a numele. Maclaurin[7], c¼aruia i se datoreaz¼a raţionamentul de mai sus, a observat c¼a ele implic¼a(a 1 =3) 3 a 3echivalent,x1+ x 2 + x 33 3 x 1 x 2 x 3 pentru orice x 1 ; x 2 ; x 3 2 R;fapt care reprezint¼a inegalitatea mediilor pentru familiile formate din 3 numerereale. Urmând ideea dezvoltat¼a mai sus, el a demonstrat inegalitatea mediilor întoat¼a generalitatea, tratând şi cazul de egalitate. Un secol mai târziu, A.-L. Cauchya indicat binecunoscuta sa demonstraţie inductiv¼a a inegalit¼aţii mediilor, care esteast¼azi reprodus¼a în multe c¼arţi. Vezi, de exemplu, [5].În acord cu discuţia de mai sus, inegalitatea (NN) implic¼a inegalit¼aţile lui Newton(N). Pentru un argument direct, s¼a observ¼am c¼a inegalitatea (NN) se maiscrie4(a 2 2 3a 1 a 3 )(a 2 1 3a 2 ) (a 1 a 2 9a 3 ) 2şi deci a 2 2 3a 1 a 3 şi a 2 1 3a 2 sunt simultan 0 sau 0. Or, a 2 1 3a 2 0 esteechivalent¼a cu(x 1 + x 2 + x 3 ) 2 3 (x 1 x 2 + x 2 x 3 + x 3 x 1 ) ;adic¼a cu (x 1 x 2 ) 2 + (x 2 x 3 ) 2 + (x 3 x 1 ) 2 0; ceea ce evident are loc pentruorice x 1 ; x 2 ; x 3 2 R: Deci şi a 2 2 3a 1 a 3 0:Inegalitatea a 2 2 3a 1 a 3 0 conduce (pentru x 1 = p a; y = p b şi z = p c)la o binecunoscut¼a inegalitate în triunghi:a 2 + b 2 + c 2 (a b) 2 + (b c) 2 + (c a) 2 + 4 p 3 S:Acest fapt este detaliat în [1] şi [4], împreun¼a cu o suit¼a de aplicaţii.Exemple 2 . În general (N) nu implic¼a (NN): Un prim exemplu ni-l ofer¼a cazulecuaţieix 3 8:9x 2 + 26x 24 = 0;caz în care a 1 = 8:9; a 2 = 26; a 3 = 24: Aceast¼a ecuaţie are (aproximativ) r¼ad¼acinilex 1 = 1: 8587; x 2 = 3: 5207 0: 71933i; x 3 = 3: 5207 + 0: 71933i:Interesant de observat c¼a ea reprezint¼a o ”mic¼a”perturbare a unei ecuaţii ”foartecuminţi”,x 3 9x 2 + 26x 24 = (x 2)(x 3)(x 4) = 0:Inegalit¼aţile lui Newton funcţioneaz¼a deoarecea 2 1 3a 2 = (8:9) 2 3 26 = 1: 21 şi a 2 2 3a 1 a 3 = (26) 2 3 8:9 24 = 35: 2dar inegalitatea (NN) nu este veri…cat¼a.Al doilea exemplu este legat de ecuaţiax 3 2px 2 + (p 2 + 4Rr + r 2 )x 4pRr = 0;considerat¼a în Introducere. Dup¼a cum este relatat în [14], pag. 103, inegalit¼aţilelui Newton conduc în acest caz la9r(4R + r) 3p 2 (4R + r) 22 Peste tot, în scrierea zecimal¼a a numerelor reale vom folosi punctul în locul tradiţionaleivirgule.
5relaţii mai slabe ca inegalit¼aţile lui Blundon, observate de G. Colombier şi T. Doucetîn 1872.4. Cazul ecuaţiilor de ordin superior. Putem introduce noţiunea de discriminantşi pentru polinoamele de grad superior. Anume, dat …ind polinomul cucoe…cienţi reali P (x) = x n a 1 x n 1 +:::+( 1) n a n , ale c¼arui r¼ad¼acini sunt x 1 ; :::; x n ;discriminantul s¼au se de…neşte prin formulaD(1; a 1 ; :::; a n ) = Y i < j(x i x j ) 2 :Pentru n 4; evidenţierea naturii r¼ad¼acinilor nu mai este posibil¼a utilizând doarsemnul discriminantului. Vezi cazul unei ecuaţii de gradul 4 cu dou¼a perechi der¼ad¼acini complexe conjugate. Locul lui îl iau familiile discriminante. În acestmod, generalizarea Teoremei A o constituie urm¼atorul rezultat demonstrat de J. J.Sylvester [13] în 1853:Teorema B. Pentru …ecare num¼ar natural n 2 exist¼a un set de cel mult n 1polinoame cu coe…cienţi întregiR 1 (x 1 ; :::; x n ); ::: ; R k(n) (x 1 ; :::; x n )cu proprietatea c¼a polinomele cu coe…cienţi reali,P (x) = x n a 1 x n 1 + ::: + ( 1) n a n ;care au r¼ad¼acinile reale sunt precis acelea pentru careR 1 (a 1 ; :::; a n ) 0; ::: ; R k(n) (a 1 ; :::; a n ) 0 :Procedeul algoritmic evidenţiat de demonstraţia acestui rezultat permite s¼aalegem ca polinom R 1 (x 1 ; :::; x n ) tocmai discriminantul de ordinul n. Din p¼acate,inegalit¼aţile care se obţin implic¼a foarte mulţi termeni. De exemplu, discriminantulde ordinul 8 are nu mai puţin de 26095 termeni! Vezi [11].O variant¼a evident¼a a Teoremei B este aceea când se cere ca r¼ad¼acinile s¼a …e nunumai reale ci chiar nenegative. Atunci, pe lâng¼a inegalit¼aţile indicate, mai trebuieveri…cate şi urm¼atoarele:a 1 0; ::: ; a n 0:Inegalit¼aţile (implicând funcţiile simetrice elementare) pe care le evidenţiaz¼aTeorema B reprezint¼a un uriaş potenţial, pe care cititorii Gazetei matematice suntîndemnaţi s¼a-l pun¼a în valoare.Bibliogra…e[1] M. Becheanu, Algebraic methods in triangle geometry, Romanian MathematicsMagazine 1 (1999), sub tipar.[2] W. J. Blundon, Inequalities associated with the triangle, Canad. Math. Bull. 8(1965), 615-626.[3] V. Cârtoaje, Extensions of Blundon-type inequalities, Romanian MathematicsMagazine 1 (1999), sub tipar.[4] A. Engel, Problem-Solving Strategies, Springer-Verlag, 1998.[5] G. Hardy, J. E. Littewood and G. Polya, Inequalities, Cambridge MathematicalLibrary, 2nd ed., 1952.[6] Al. Lupaş, Asupra unor inegalit¼aţi geometrice, Revista de matematic¼a a elevilordin Timişoara, XV (1984), no. 1, pp. 21-23.[7] C. Maclaurin, A second letter to Martin Folkes, Esq.; concerning the roots of
Page 1 and 2: CARACTERUL ALGEBRIC AL INEGALIT ¼A
Page 3: 3Cantitatea D care apare în enunţ

Caracterul algebric al inegalitatilor Blundon - Universitatea din ...

Create successful ePaper yourself

Delete template?

Save as template?