Caracterul algebric al inegalitatilor Blundon - Universitatea din ...
Caracterul algebric al inegalitatilor Blundon - Universitatea din ...
Caracterul algebric al inegalitatilor Blundon - Universitatea din ...
You also want an ePaper? Increase the reach of your titles
YUMPU automatically turns print PDFs into web optimized ePapers that Google loves.
3Cantitatea D care apare în enunţul Lemei 1 poart¼a numele de discriminant (<strong>al</strong>polinomului x 3 a 1 x 2 + a 2 x a 3 a‡at în atenţie). Leg¼atura cu Teorema A esteimediat¼a, observând c¼a00D = det @@ 1 1 1 1 0x 1 x 2 x 3A @ 1 x 111 x 2 11 x 2 x 2 AA x 2 1 x 2 2 x 2 2 =3x 3 x 2 30= det @ 3 P P 1xk x2P P P kxk x2kx3P kAP P=x2kx3kx4k= 18a 1 a 2 a 3 + a 2 1a 2 2 4a 3 1a 3 4a 3 2 27a 2 3ultima eg<strong>al</strong>itate …ind motivat¼a de relaţiile lui Viète.Demonstraţia <strong><strong>al</strong>gebric</strong>¼a a Lemei 1. Dac¼a r¼ad¼acinile x 1 ; x 2 ; x 3 sunt re<strong>al</strong>e, atuncieste evident c¼a D 0; în plus, D = 0 dac¼a şi numai dac¼a x 1 = x 2 = x 3 :Dac¼a ecuaţia în atenţie nu are toate r¼ad¼acinile re<strong>al</strong>e, atunci în mod necesar dou¼a<strong>din</strong> ele ar … complex conjugate, iar a treia ar … re<strong>al</strong>¼a, spre exemplu,x 1 = a + bi; x 2 = aunde a; b; c 2 R şi b 6= 0. În acest caz,bi; x 3 = cD = b 2 [(a c) 2 + b 2 ] < 0:Demonstraţia an<strong>al</strong>itic¼a a Lemei 1. Ecuaţia (E) are toate r¼ad¼acinile re<strong>al</strong>e dac¼a şinumai dac¼a ecuaţia redus¼a,y 3 py + q = 0;care se obţine utilizând schimbarea de variabil¼a x = y + a 1 =3;are toate r¼ad¼acinilere<strong>al</strong>e; s¼a not¼am c¼ap = 1 3 a2 1 a 2 şi q = 1 3 a 21a 2 a 327 a3 1 :Or, tehnica şirului lui Rolle ne arat¼a c¼a ecuaţia redus¼a are toate r¼ad¼acinile re<strong>al</strong>edac¼a şi numai dac¼a p 3 q 2 :3 2Înlocuind expresiile lui p şi q g¼asim condiţia D 0 în forma(NN) 18a 1 a 2 a 3 + a 2 1a 2 2 4a 3 1a 3 4a 3 2 27a 2 3 0: 3. Ineg<strong>al</strong>it¼aţile lui Newton. O binecunoscut¼a consecinţ¼a a teoremei lui Rolle(datorat¼a lui C. Maclaurin [7] şi menţionat¼a şi în manu<strong>al</strong>ele şcolare de an<strong>al</strong>iz¼amatematic¼a) a…rm¼a c¼a dac¼a un polinom are toate r¼ad¼acinile re<strong>al</strong>e, atunci derivat<strong>al</strong>ui are de asemenea toate r¼ad¼acinile re<strong>al</strong>e.Dac¼a polinomul cu coe…cienţi re<strong>al</strong>i P (x) = x 3 a 1 x 2 +a 2 x a 3 are toate r¼ad¼acinilere<strong>al</strong>e, atunci şi derivata sa 3x 2 2a 1 x + a 2 are aceast¼a proprietate. Prin urmarea 2 1 3a 2 :Procedând asem¼an¼ator asupra num¼ar¼atorului lui P (1=x); ajungem la ineg<strong>al</strong>itateaa 2 2 3a 1 a 3 : Ineg<strong>al</strong>it¼aţile(N) a 2 1 3a 2 şi a 2 2 3a 1 a 3