Exista functii continue pe multimea numerelor rationale si ...

Exista funcţii continue pe multimea numerelorraţionale şi discontinue pe mulţimea numereloriraţionale?Constantin P. Niculescu Un recent articol al domnului C. Chiteş ([2]) aduce în discuţie problemadin titlu. Unele observaţii, în special de ordin bibliogra…c, cred c¼a se impunpentru mai buna informare a cititorilor Gazetei matematice.Problema a fost soluţionat¼a (negativ) de Vito Volterra ([7]) în anul 1881,student …ind la Scuola Normale Superiore di Pisa. Raţionamentul s¼au (cutotul elementar) privea un rezultat general, mult mai cuprinz¼ator. Îl red¼amîn formularea lui W. Dunham ([3]):Teorema lui Volterra. Fie f; g : [0; 1] ! R dou¼a funcţii astfel c¼a,mulţimile lor de continuitate (C f şi respectiv C g ) sunt …ecare dense în intervalul[0; 1]. Atunci f şi g au un punct de continuitate în comun.Demonstraţie. Not¼am I 0 = [0; 1] şi alegem un punct p 0 2 C f \ Int I 0(Int I 0 …ind interiorul lui I 0 ). Existenţa lui p 0 este asigurat¼a de faptul c¼aC f este dens¼a în I 0 .Din proprietatea de continuitate a lui f în punctul p 0 deducem (viade…niţia cu " şi ) existenţa unui subinterval închis J 0 I 0 (centrat în p 0 ,de lungime nenul¼a), pentru carex; y 2 J 0 ) jf(x) f(y)j < 1:Similar, putem alege un punct q 0 2 C g \ Int J 0 . Utilizând proprietateade continuitate a lui g în punctul q 0 , deducem existenţa unui subintervalînchis I 1 J 0 (centrat în q 0 , de lungime nenul¼a), pentru care :x; y 2 I 1 ) jg(x) g(y)j < 1=2:Procedând inductiv, vom construi un şir descresc¼ator (I n ) n de intervaleînchise şi m¼arginite, …ecare de lungime nenul¼a şi astfel c¼a:(C) jf(x) f(y)j < 1=2 n 1 , jg(x) g(y)j < 1=2 n ,oricare ar …x; y 2 I n şi oricare ar …n 2 N . Conform principiului intervalelorincluse (vezi de exemplu [6], p. 77), exist¼a un punct z în intersecţia tuturor Publicat în Gazeta matematic¼a, revist¼a de cultur¼a matematic¼a, XIX (XCVII), no. 1,2001, pp. 40-42.1

acestor intervale. Din relaţiile (C) rezult¼a cu uşurinţ¼a c¼a z este un punct decontinuitate atât pentru f cât şi pentru g.Observaţie. Aşa cum remarca D. Gould [5], raţionamentul demonstraţieilui Volterra se poate adapta uşor pentru a se trage o concluzie maiputernic¼a:C f \ C g este o mulţime nenumarabil¼a şi dens¼a în [0; 1].Lucrarea lui Volterra a fost motivat¼a de exemplul funcţiei luiRiemann, g : (0; 1] ! R: 0 dac¼a x este irationalg(x) =1=q dac¼a x = p=q; p; q 2 N ? ; (p; q) = 1care este continu¼a în punctele iraţionale şi discontinu¼a în punctele raţionaleale lui (0; 1]; vezi faptul c¼a lim x!a g(x) = 0 pentru orice a 2 (0; 1]. Prelungindaceast¼a funcţie prin periodicitate, obţinem o funcţie G : R ! Rcontinu¼a în punctele iraţionale şi discontinu¼a în punctele raţionale ale lui R.Cum atât Q cât şi RnQ sunt dense în R, teorema lui Volterra nu permiteexistenţa funcţiilor F : R ! R continue în punctele raţionale şi discontinueîn punctele iraţionale ale lui R.În articolul domnului Chiteş [2] inexistenţa funcţiilor F de tipul de maisus este motivat¼a cu ajutorul teoremei lui Baire, de categorie. Deşi nu apareca referinţ¼a, abordarea sa o reproduce practic pe aceea din binecunoscutacarte de Contraexemple în analiz¼a, a lui B. R. Gelbaum şi J. M. H. Olmsted([4], pp. 142-144). Cititorul trebuie avizat, de asemenea, c¼a esenţa soluţieiproblemei pe care o discut¼am în aceast¼a not¼a nu este densitatea lui Q în R(cum eronat ar putea sugera titlul lucr¼arii [2]) ci simultaneitatea densit¼aţiilui Q şi a lui RnQ în R!Profesorul W. Dunham (de la Muhlenberg College, USA) îmi menţionaîntr-un mesaj e-mail c¼a demonstraţia teoremei de categorie dat¼a deRené Baire ([1]) în 1899 prezint¼a similarit¼aţi izbitoare cu demonstraţia luiVolterra, amintit¼a mai sus. Este de inţeles, c¼aci Baire a fost un discipol allui Volterra.Bibliogra…e[1] R. Baire: Sur les fonctions de variables réelles, Annali di matematicapura ed applicata 3 (1899), 1-122.[2] C. Chiteş: Aplicaţii ale teoremei de densitate a lui Q în R, GazetaMatematic¼a (seria pentru informare ştiinţi…c¼a şi perfeţionare metodic¼a)IV (1996), nr. 1, pp. 15 –22.[3] W. Dunham: A Historical Gem from Vito Volterra, Math. Magazine63 (1990), nr. 4, pp. 234-237.[4] B. R. Gelbaum şi J. M. H. Olmsted: Contraexemple în analiz¼a, Ed.Ştiinţi…c¼a, Bucureşti, 1973.2

[5] D. Gould: Did the young Volterra know about Cantor ?, Math. Magazine66 (1993), pp. 246-247.[6] C. P. Niculescu: Fundamentele analizei matematice, vol. 1: Analiza pedreapta real¼a, Ed. Academiei române, Bucureşti, 1996.[7] V. Volterra: Alcune osservasioni sulle funzioni punteggiate discontinue,Giornale di Matematiche 19 (1881), pp. 76-86. Apare de asemeneaîn: Opere Matematiche di Vito Volterra, vol. 1, pp. 7-15, AccademiaNazionale dei Lincei, Roma, 1954.Universitatea din Craiovastr. Al. I. Cuza, nr. 13,1100 Craiova3