Academos 3 2011 pentru PDF - Akademos - Academia de Ştiinţe a ...

MatematicăMETODEDE PRELUCRAREA DATELOREXPERIMENTALEMembru corespondent al AŞMEvgheni LVOVSCHIMETHODS FOR PROCESSING THE EXPERI-MENTAL DATAThe following articles describemethod confl uenteof processing mathematic-statistic data, alsowith thehelp of the computer.În nr. 1 – 2 (9), 2008 al revistei Akademos a fostpublicat un articol cu titlul de mai sus. Textul dateste o continuare a materialului anterior.Se ştie că există trei situaţii experimentale:1. Funcţia y şi factorul x sunt măsurate exact(fără greşeli).2. Funcţia y este măsurată cu greşeli, iar factorulx – fără.3. Şi funcţia y, şi factorul x se măsoară cu greşeli.Primele două situaţii au fost discutate în articolulprecedent.S-a evidenţiat că în primele două situaţii poatefi aplicată metoda pătratelor minime. Spre deosebirede acestea, în cea de-a treia situaţie metoda pătratelorminime nu poate fi aplicată direct. Este utilizatun caz particular al metodei verosimilităţii maxime,şi anume analiza confl uentă, termen ce provine dela cuvântul francez confl uer – contopire.Metoda verosimiliăţii maxime în condiţii specialepoate să fie redusă la metoda pătratelor minimecu rezolvarea prin iteraţii. Aşa dar, problema analizeiconfluente se reduce la metoda pătratelor minimecu utilizarea unei aproximaţii consecvente.Aici se discută cel mai simplu caz de dependenţă-pereche,şi anume y=f(x). De fapt, despărţireaacestor două variabile în variabilă dependentă şi variabilăindependentă îşi pierde sensul, atunci cândambele variabele sunt supuse oscilaţiei aleatoare.Probabilitatea faptului că această funcţie în populaţiastatistică generală se va găsi lângă xi şi y i,când repartizarea este dublu normală:P(x iy i; ,)=P ( x ) P(y )i221 1 1 expxi yii 2 22xi yi xi (1)yi idacă centrul populaţiei statistice generale este ,.Probabilitatea de a găsi evenimentul în punctulx y este proporţională lungimii curbei teoretice şii ia unei funcţii ( ).Gradul maxim privind probabilitatea găsiriievenimentului în punctul x y i ise determină prinintegrarea pe arcul curbei:P ( x y ) dSP(x y ; ,() ( )((2)iiunde elementul arcului curbei:22 2 xi2dS d d2yiii(3)are aceeaşi măsură ca şi d .Funcţia ( ) reprezintă intensitatea punctelorobţinute prin observaţie şi poate fi determinată prinanaliza amănunţită a sensului fizic al gradului deprobabilitate:P ( x y ) dP(x y ; , ( )). (4)iiFuncţia verosimilităţii este egală cu probabilitateade a găsi sincronic toate punctele în acele locuriunde ele sunt observate. De aceea, fiindcă observaţiilesunt independente la diferite xi , acestea auînfăţişarea produsului integralelor (2), luat pe toateevenimentele observate.În unele condiţii, care de regulă sunt îndepliniteîn experiment, problema confluentă poate fi redusăla o succesiune de probleme de regresie obişnuită(discutată anterior). Dacă pe o porţiune de curbă,care se găseşte în intervalul de la până laii xi xişi de la yipână la yiînclinaţia şicurbura variază puţin (curba este destul de netedă),atunci la calculul integralului (2) în caz de repartizarenormală se poate limita numai la porţiunea curbeilângă punctul x y i i. Altă condiţie, care permite de areduce problema confluentă la o succesiune de problemede regresie simplă, este cerinţa ca punctulx y i i să nu se găsească mai aproape de sfârşitulcurbei decât xi. În astfel de condiţii, pe o porţiunemică de curbă în apropierea punctului x y i i curbateoretică poate fi exprimată prin primii trei membriai seriei lui Teilor ( ) ( x)2( x )( x ) ( x )i2 ''ii(5) '( x ) i(5)unde caracteristicele curbei () sunt înlocuite cu3(22), septembrie 2011 - 103