Simularea sistemelor mecanice

IntroducereCAPITOLUL 1

SIMULAREA SISTEMELOR MECANICEmetrul, kilogramul ]i secunda. Acest sistem a devenit obligatoriu în \aranoastr` începând cu cea de-a XI Conferin\` Interna\ional` de M`suri ]iGreut`\i (Paris 1960). {n tabelul 1.1. se prezint` aceste unit`\i derivate ]icu denumiri speciale. {n acest sistem se pot folosi multipli ]i submultiplizecimali care se exprim` folosind prefixe ]i simboluri corespunz`toare.2. Sisteme tehnice, care au la baz` ca unit`\i fundamentale cele pentrulungime, timp ]i for\`. Un astfel de sistem a func\ionat ]i în \ara noastr`pân` în anul 1960 ]i care a avut la baz` metrul, kilogramul for\` ]isecunda, ]i este notat cu MKfS. Un sistem similar se folose]te ]i azi în\`rile anglo-saxone, având ca unit`\i fundamentale piciorul (0,3048 m),livra (4,45 N) ]i secunda.Defini\iile unit`\ilor fundamentale SI date de Conferin\a General` de M`suri]i Greut`\i (CGPM), sunt:1. Metrul este lungimea egal` cu 1650763,73 lungimi de und` în vid aradia\iei corespunz`toare tranzi\iei între nivelele de energie 2p 10 ]i 5d 5 ale atomuluide kripton 86 (a XI conf. 1960).2. Kilogramul este unitatea de mas`, el este egal cu masa prototipuluiinterna\ional al kilogramului, realizat din platin` iradiat` ce se p`streaz` la BiroulInterna\ional (CGPM 1889).3. Secunda este durata a 9192631770 perioade ale radia\iei care corespundetranzi\iei între cele dou` nivele de energie hiperfine ale st`rii fundamentale aleatomului de cesiu 133 (CGPM 1967).Pentru multipli ]i submultipli se pot folosi urm`toarele câteva simboluri ]iprefixe:MULTIPLIISubmultiplii10 1 deca da 10 -1 deci d10 2 hecto h 10 -2 centi c10 3 kilo k 10 -3 mili m10 6 mega M 10 -6 micro 10 9 Giga G 10 -9 nano n10 12 Tera T 10 -12 pico p101.2. Aspectul geometric al leg`turilorDac` un punct material este ac\ionat de un sistem de for\e F i este limitat[n mobilitatea sa (i se mic]oreaz` num`rul gradelor de libertate) spunem c` acestpunct material este supus la leg`turi. Aceste limite pot fi introduse prin obligareapunctului material de a r`m@ne [n contact cu o suprafa\`, cu o curb`, sau plasat[ntr-un punct geometric fix din spa\iu. Punctul material liber are 3 grade delibertate (sunt necesari 3 parametri scalari pentru a cunoa]te pozi\ia sa). {n

SIMULAREA SISTEMELOR MECANICEDomeniile de valori ale coordonatelor sferice sunt:0 a 0 2 z (1.4)z'M0M 0'M0OaM0xrpMzM'ya MzM'2 aM0pa) b)Fig. 1.2.Dac` punctul material este obligat s` r`m@n` [n contact cu o suprafa\` fix`din spa\iu, punctul material are 2 grade de libertate. Dac` punctul material esteobligat s` r`m@n` [n contact cu o curb` fix` din spa\iu, atunci el va avea unsingur grad de libertate (fig. 1.2. - elicea cilindrica).x a cosy a sinz p / 2 .z a asemanare : (1.5)p 2 a1.3. Aspectul mecanic al leg`turilorDac` un punct material este supus la leg`turi, acestea ac\ioneaz` asupra sacu ni]te for\e care se numesc for\e de leg`tur` sau reac\iuni. {n cazul punctuluimaterial legat exist` axioma leg`turilor: “Unui punct material supus la leg`turii se pot suprima leg`turile cu condi\ia ca [n locul lor s` se introduc` reac\iunisau for\e de leg`tur` care s` aib` acela]i efect mecanic cu cel pe care l-au avutleg`turile”.12

Statica solidului rigidCAPITOLUL 2

SIMULAREA SISTEMELOR MECANICE2. STATICA SOLIDULUI RIGID2.1. Solidul rigid liber2.1.1. Probleme ale staticii solidului rigid liber{n general solidul rigid [n realitatea obiectiv` se afl` supus la leg`turi,adic` [n interac\iune cu alte corpuri. Totu]i, pentru a utiliza rela\iile matematice,solidul rigid se idealizeaz` consider@nd existen\a solidului rigid [n stare liber`.Solidul rigid liber este un corp care poate ocupa orice pozi\ie [n spa\iu (nu i seimpune nici o restric\ie geometric`), pozi\ia sa depinz@nd numai de for\ele care-lac\ioneaz`.Condi\ia necesar` ]i suficient` ca un solid rigid liber s` r`m@n` [nechilibru, este ca torsorul sistemului de for\e aplicate acestuia, calculat [nraport cu un punct oarecare O din spa\iu, s` se anuleze:R 0O (Fi) (2.1)MO 0Rela\iile (2.1) permit rezolvarea urm`toarelor dou` categorii de probleme:a) Cunosc@nd for\ele care ac\ioneaz` asupra unui solid liber, cafunc\ii de coordonatele punctelor lor de aplica\ie, s` se determinepozi\ia de echilibru a solidului.b) Cunosc@nd pozi\ia solidului rigid liber, s` se g`seasc` sistemulde for\e care aplicatt asupra sa s`-l men\in` [n aceast` pozi\ie.Prima categorie de probleme are solu\ie unic` iar a doua categorie nuadmite [n general solu\ie unic`. {ntr-adev`r, dac` s-a g`sit o solu\ie, adic` unsistem de for\e [n echilibru, din acesta se pot deduce prin aplicarea reguliiparalelogramului, o infinitate de sisteme cu efect nul, fiecare reprezent@nd osolu\ie a problemei. Uneori natura datelor problemei asigur` unicitatea solu\iei.2.1.2. Condi\iile de echilibru ale solidului rigid liber2.1.2.1. Sisteme de for\e oarecare [n spa\iuProiect@nd ecua\iile vectoriale (2.1) pe axele sistemului de coordonatecarteziene Oxyz, ob\inem urm`toarele ]ase ecua\ii scalare de echilibru pentrucazul sistemului de for\e spa\iale oarecare ce ac\ioneaz` solidul rigid:15

SIMULAREA SISTEMELOR MECANICEni1ni1ni1ni1ni1ni1FFFixiyizx 0 0 0y Fiz Fiiizix Fiy zi Fiy x Fi yiiz Fix 0 0 0(2.2){n unele cazuri practice, sistemele de for\e aflate [n echilibru, constaunumai din trei for\e. Cunoa]terea propriet`\ilor specifice acestor sisteme c@t ]i aaltor sisteme particulare de for\e, u]ureaz` rezolvarea problemelor de staticasolidului rigid prin reducerea num`rului de ecua\ii scalare, particulariz`ri ce vorrezulta din ecua\iile (2.2).2.1.2.2. Sisteme compuse din trei for\eO 13Presupunem un sistem de trei for\e F i (i 1, 2, 3)ac\ion@nd asupra unuisolid rigid (fig. 2.1) [n trei puncte necoliniare O 1, O 2 ]i O 3.Condi\ia necesar` ]i suficient`pentru ca acest sistem de for\e s`fie [n echilibru, este ca torsorul deO 12reducere calculat [n raport cu unF 2 punct oarecare s` fie nul. {n cazula trei for\e aceast` condi\ie poate 12O 2fi substituit` astfel: sistemul deO 1trei for\e aplicate [n trei puncteF321 13necoliniare, este [n echilibru,dac` cele trei for\e suntcoplanare ]i cu supor\iiO 3concuren\i [n acela]i punct sauF3paraleli cu o direc\ie comun`.Pentru a demonstra c` for\eletrebuie s` fie coplanare seFig. 2.1.procedeaz` astfel:Torsorul [n punctul O 1 trebuies` fie nul, adic`:16

SIMULAREA SISTEMELOR MECANICER 0O (F ) 1 i, (2.3)MO 01unde vectorul moment rezultantM O 1este:MO 1 O 2 O 3 M (F ) M (F ) M (F ) 0 ,O1 111[ns` M O 1(F 1) 0, deoarece F 1 este aplicat` [n O 1 .DeciMO (F2)MO(F3) 0 1 112 , (F ) M (F ) 0. (2.4)12MO2 12 O131Dar momentul for\ei F 2 [n raport cu axa O 1 O 2 este nul deoarece esteaplicat` pe aceast` ax`, 12 M O (F2) 0 .1Din rela\ia (2.4) rezult` c` (F ) 0 , respectiv momentul for\ei12 M O13F 3 [n raport cu axa O 1 O 2 este nul. Pentru a fi nul, aceast` for\` ( F 3 ) trebuie s`fie situat` [n planul definit de cele trei puncte necoliniare O 1, O 2 ]i O 3. Prinra\ionamente analoge se concluzioneaz` c` ]i for\ele F 1 ]i F 2 sunt situate [nacela]i plan definit de punctele O 1, O 2 ]i O 3.Pentru a demonstra c` suporturile for\elor sunt concurente sau paralele seprocedeaz` astfel:a) Presupunem c` for\ele F 1 ]i F 2 sunt concurente [ntr-un punct O 12(fig. 2.1) ]i scriind rela\ia momentului rezultant calculat [n raport cu acest punct,ca sum` de momente ale for\elor sistemului F 1, F 2 ]i F 3 , se ob\ine:MO 12(F3) 0,dar F 3 0 de unde rezult` c` suportul for\ei F 3 trebuie s` treac` prin O 12 .Deci cele trei for\e au suporturile concurente [n O 12 .b) Presupunem c` for\ele F 1 ]i F 2 sunt paralele iar for\a F 3 nu-iparalel` cu acestea, fapt care ar conduce la concuren\a lui F 3 cu suportul luiF 1. Conform celor de la punctul a) ar trebui ca ]i suportul lui F 2 s` fie17

SIMULAREA SISTEMELOR MECANICEconcurent [n acela]i punct cea ce contrazice ipoteza (paralelism [ntre F 1 ]i F 2),deci ]i F 3 este paralel` cu direc\ia comun` a for\elor F 1 ]i F 2.2.1.2.3. Sisteme de for\e concurenteConsider`m punctul de concuren\` al for\elor chiar punctul ce coincide cuoriginea sistemului de axe O. Deoarece momentele axiale ale tuturor for\elorsunt nule [n raport cu axele sistemului de referin\`, din cele ]ase condi\ii (2.2),r`m@n ca ]i condi\ii scalare de echilibru numai urm`toarele trei rela\ii:ni1ni1ni1FFFixiyiz 0 0 0(2.5)2.1.2.4. Sisteme de cupluri{ntruc@t pentru sistemele de cupluri ecua\iile de proiec\ii sunt identicsatisf`cute, r`m@n distincte, ca ]i condi\ii scalare de echilibru, numai cele treiecua\ii de momente, adic`:ni1ni1ni1y Fz Fxiiiizix Fiy zi Fiy x Fi yiiz Fix 0 0 0(2.6)2.1.2.5. Sisteme de for\e coplanareDeoarece alegerea sistemului de referin\` este arbitrar` se consider`planul de ac\iune al sistemului de for\e ce ac\ioneaz` asupra rigidului suprapuscu planul xOy al triedrului de referin\`. Aceast` alegere impune F ix 0 ]iz i 0 ]i ecua\iile scalare de echilibru (2.2) se reduc la urm`toarele:18

SIMULAREA SISTEMELOR MECANICEnFix 0i1nFiy 0(2.7)i1nxi Fiy yi Fix0 i1Se poate afirma a]adar c` pentru un sistem de for\e coplanare exist`numai trei ecua\ii scalare de echilibru: dou` ecua\ii de proiec\ii ]i o ecua\ie demomente.2.1.2.6. Sisteme de for\e paraleleAleg@nd judicios sistemul de referin\`, adic` axa Oz dup` direc\ia comun`a for\elor (aceast` alegere nu diminueaz` din generalitatea problemei), caz [ncare F ix 0 ]i F iy 0 , ecua\iile scalare de echilibru de forma (2.2) se reduc laurm`toarele trei:nFiz 0i1nyi Fi0(2.8)i1nxi Fi0 i1Deci pentru un sistem de for\e paralele exist` trei ecua\ii scalare deechilibru, o ecua\ie de proiec\ii ]i dou` ecua\ii de momente.2.2. Echilibrul solidului rigid supus la leg`turiidealeLeg`turile pot fi suprimate introduc@nd [n locul acestora reac\iunile,for\ele de leg`tur` care, din punct de vedere mecanic sunt echivalente culeg`turile. Se elibereaz` solidul de leg`turi, transform@ndu-l [ntr-unul liber, doarac\ionat de for\ele efectiv aplicate ]i cele de leg`tur`. {n acest caz, condi\ianecesar` ]i suficient` ca solidul rigid sa fie [n echilibru este ca torsorul tuturorfor\elor efective ]i de leg`tur` calculat [ntr-un punct oarecare s` fie nul.Leg`turile ideale ale solidului rigid:• reazemul simplu (fig. 2.2): un corp care este obligat s` r`m@n` [npermanen\` [n contact cu un alt corp printr-un punct A, atunci el este rezematsimplu. Aceast` leg`tur` mic]oreaz` num`rul gradelor de libertate cu ounitate iar din punct de vedere mecanic introduce o singur` necunoscut`scalar` (m`rimea interac\iunii).19

SIMULAREA SISTEMELOR MECANICEF nnFiNAF 1F 2C 2C 1SimbolulreazemuluisimpluSimbolularticulatieicilindriceOVyRF1FinHF nxFig. 2.2. Fig. 2.3.• articula\ii:• articula\ia sferic` (fig. 2.4): se [nt@lne]te la corpurile ac\ionate defor\ele spa\iale ]i este realizat` prin imobilizarea unui punct al solidului rigid[ntr-un punct geometric din spa\iu. Geometric acest lucru mic]oreaz` num`rulgradelor de libertate cu trei, iar mecanic introduce trei necunoscute.F nF1F izRyR zOR xzRR yyxOFig. 2.4.x• articula\ia cilindric` (fig. 2.3): reduce din punct de vederegeometric num`rul gradelor de libertate cu dou` unit`\i, iar din punct de vederemecanic introduce dou` necunoscute. Dac` corpul este prin obligarea unui punctal s`u sa se suprapun` cu un punct fix din spa\iu se realizeaz` articula\iacilindric`.• [ncastrarea (fig. 2.5): leg`tura solidului rigid care [l imobilizeaz` [ntotalitate. Deci, geometric aceasta reduce num`rul gradelor de libertate la 0, iarmecanic introduce 6 necunoscute R x, Ry, Rz; MOx, MOy,MOz.Cap`tul [ncastrat [n perete este ac\ionat de o infinitate de for\e p ale caror legi20

SIMULAREA SISTEMELOR MECANICEde distributie sunt necunoscute. Av@nd [n vedere c` sistemul ecuatiilor dezM OzR zRM OpOR yF 1yxM OxM OyF iR xF jF nFig. 2.5.echilibru are 6 ecua\ii, nu putem rezolva problema reac\iunii din [ncastrare,determin@nd fiecare din cele o infinitate de for\e p . Putem însă calcula torsorulsistemului de for\e de legatura p , [n centrul de greutate O al sec\iunii de [ncastrare,care va fi constituit din vectorul rezultant R ]i vectorul moment rezul-tant M .2.a. STATICA SISTEMELOR DE CORPURISistemul de corpuri este construit dintr-o mul\ime de corpuri aflate [ninterac\iune mecanic` permanent`. Problemele de sisteme de corpuri se potrezolva prin metode bazate pe dou` teoreme:Teorema solidific`rii:Dac` un sistem deformabil de corpuri rigide este [n echilibru subac\iunea unui sistem de for\e efectiv aplicate, el va r`m@ne [n echilibru ]i dac`se solidific` corpurile [ntre ele, p`str@nd leg`turile exterioare.Teorema echilibrului p`r\ilor:Dac` un sistem de corpuri este [n echilibru, ac\ionat fiind de un sistem defor\e efectiv aplicate, orice subsistem din componen\a sa este [n echilibru subac\iunea for\elor aferente corespunz`toare, care pot fi [n cazul cel mai general,for\e efectiv aplicate, for\e de leg`tur` interioare sau for\e de leg`tur`exterioare.21

SIMULAREA SISTEMELOR MECANICEAPLICA|II LA CAPITOLELE 2 ]i 2.aA0,6 m 0,6 mF 10CkN1,2 mDp 1060 o CBkN /mApl. 2.1S` sedeterminereac\iuniledin capeteleA ]i B alebarei cotiteACDB,supus`ac\iuniisistemului defor\e dinfigura Apl-2.1.Fig. Apl-2.10,6 m 0,6 mCDAN AF 100,8 m1,2 m60 oFig. Apl-2.1.asistemul de referin\` cartezian cu originea [n B, sunt:kNB O 1P101,2 6 2CyH BV BkN xRezolvare:Dup`eliberarea deleg`turi(reazem simplu[n A ]iarticula\iecilindric` [n B)se ob\ine unsolid rigid liberdar ac\ionat defor\ele efectivaplicate ]i decele deleg`tur` (fig.Apl-2.1.a).Ecua\iile deechilibru, [n22

SIMULAREA SISTEMELOR MECANICEoHB P sin 60 0,VB NA F P cos60Fo 0,oo0,61,2 cos60 P 0,4 N 1,21,2 cos60 A 0.(1)N AHVBB11 F1,2 P 0,4 101,2 6 0,48 kN; 1,81,8oo P sin60 6 sin60 5,196 kN ; o F P cos60 N 10 6 cos60 8 5 kN . AoApl. 2.2m este men\inut` [n pozi\iaorizontal`, indicat` [n fig. Apl-2.2, prin articula\ia cilindric` din A ]i cablulBCD trecut peste un scripete [n C. Dac` tensiunea maxim` suportat` de cablulBCD esteaCS 800 N(altfelp 2,5 kN / mse rupe) s` se60 odetermine lungimeaAmaxim` a max , cuDoriginea de2 mBm`surare cap`tul A,10 mpe care estedistribuit` sarcinauniform`Fig. Apl-2.2p 2,5 kN / m.Apoi s` sedetermine componentele orizontal` ]i vertical` ale reac\iunii din A la limita derupere a cablului.Bara omogen` AB av@nd masa 100 kgRezolvare:Dup` eliberarea de leg`turile - articula\ie cilindric` [n A ]i leg`turi cu fir[n B ]i D - se ob\ine un solid rigid liber dar ac\ionat de for\ele efectiv aplicate ]ide cele de leg`tur` (fig. Apl-2.2.a).p 2,5 kN / m care seFor\` efectiv` este numai sarcina uniform` 23

SIMULAREA SISTEMELOR MECANICEyP pakNS' SSHAVA60 oOA D BG2 ma5 m10 mFig. Apl-2.2.ax[nlocuie]te cu rezultanta corespunz`toare, adic`:P p a 2,5 a kNEcua\iile de echilibru, [n sistemul de referin\` cartezian sunt:oScos60 HA 0,oVA S' sin 60 S G P 0,oaS'sin 60 8 S10 G 5 P 0.2(1)Tensiunea maxim` suportat` de cablul BCD este S S' 800 N astfel c`[n sistem sunt numai trei necunoscute: H A , V A ]i a.Din ecua\ia(1 3 ), dup` [nlocuirea expresiei for\ei P [n func\ie de a, seob\ine:a 2p S' sin 6022,5o8 S10 G 5o0,8 sin 60 8100,9815; a 2,63 m ; HAookN400 N Scos60 0,8 cos60 0,4; 24

SIMULAREA SISTEMELOR MECANICEVA G P S 0,9812,5 2,63 0,8 sin 60o1osin 60 16,063 kN.Apl. 2.3S` se determine componentele for\elor de leg`tur` din [ncastrareaAP 45kN60 o BCp 30DkN /m1,2 m 0,6 m1,8 mFig. Apl-2.3A, pentru bara AD supus` ac\iunii sistemului de for\e din figura Apl-2.3.Rezolvare:Dup` eliberarea de leg`tura [ncastrare plan` se ob\ine un solid rigid liberyMAF 45kN60 o BCP 12 30 1,8 27kN p 30xkN /mHAVAAO1,2 m1,2 m 0,6 m1,8 mDFig. Apl-2.3.adar ac\ionat de for\ele efectiv aplicate ]i de cele de leg`tur` (fig. Apl-2.3.a).Ecua\iile de echilibru, [n sistemul de referin\` cartezian cu originea [n A,sunt:25

SIMULAREA SISTEMELOR MECANICEoFcos60 HA 0,oVA Fsin 60 P 0,oMA Fsin 60 1,2 P 3 0.(1)ooHA Fcos60 45cos60 22,5 kNooVA Fsin 60 P 45sin 60 27 65,97; kN; ooMA Fsin 60 1,2 P 3 45sin 60 1,2 27 3 127,77 kN.Apl. 2.4A=30 o0,75 m1,5 mFig. Apl-2.4reac\iunii din B.F 1200 NB30 op 80N / mF 2 300 NCM 60 N m3 mBara ABCarticulat` cilindric [n B]i rezemat` prin rola Ape suprafa\a [nclinat`cu 30 o fa\` deorizontal` (fig. Apl-2.4), este supus`ac\iunii for\eidistribuite liniarp 80 N / m]i unuimomentM 60 N m.S` sedetermine m`rimeaR`spuns:R B 214,07 N . A3 mApl. 2.5265 mB5 m45 oFig. Apl-2.545 oCS` se determinereac\iuniledin punctele A, B]i C, pentru baracotit` ABC,rezemat` [n celetrei puncte (fig.Apl-2.5), dac` se

SIMULAREA SISTEMELOR MECANICEneglijeaz` frec`rile [n toate punctele de rezemare.R`spuns: 190 N 303,26 NN A ; N B ; 85,56 NN C .Cp=150 N/mBA30 o3 m6 mFig. Apl-2.630 o D3 mEFApl. 2.6S` se determinefor\ele de leg`tur`exterioare din punctele A]i F, pentru sistemul debare sudate [ntre ele, dinfigura Apl-2.6. Sistemul defor\e efective este constituitdin sarcina distribuit`uniform p 150 N/m.Se neglijeaz` greut`\ileproprii ale barelor.R`spuns:R A 1258,44 N ;NN F 802,2 .Apl. 2.7p=150 N/mR`spuns:2 m 2 mF 1 1000NFig. Apl-2.7F 3 10001 mS` se determinefor\ele de leg`tur`exterioare (reac\iunile)din [ncastrare, pentrubara cotit` din figuraApl-2.7. Sistemul defor\e efective esteconstituit din sarcinadistribuit` uniformp 150 N/m]i treisarcini concentrate(dou` verticale ]i unaorizontal`). Seneglijeaz` greutateaproprie barei. 2300 N m .R [ x 1000 N; R [ y 1550 N; F 2 250NxNM [ z27

SIMULAREA SISTEMELOR MECANICEA L OMTBBD45 oFig. Apl-2.8R`spuns: M 86,177 N m .Apl. 2.8{n figura Apl-2.8,placa omogen`(triunghi echilateralav@nd laturile egale cu0,3m) are masam 80 kg]i estesus\inut` de c`tre baraAO ]i de piatra deculis` (reazem simpluf`r` frecare) [n punctulB. S` se determinem`rimea momentuluiM, dac` placa este [nechilibru [n pozi\iaindicat` [n figur`, subac\iunea acestuimoment ]i a greut`\iiproprii.ALODTPFig. Apl-2.9BB45 oApl. 2.9{n problema Apl.2.8 se [nlocuie]temomen-tul M cu o for\`vertical` P aplicat` [npunctul D (fig. Apl-2.9). S` se determinem`rimea for\ei P, dac`placa este men\inut` [nechilibru sub ac\iuneagreut`\ii proprii ]i aacestei for\e.R`spuns:NP 2144,11 .28

SIMULAREA SISTEMELOR MECANICEDAo 35CApl. 2.101,5 mo 25F 900NBS` se determine for\acu care bol\ul articula\ieicilindrice din A ac\ioneaz`asupra pl`cii dreptunghiularede greutate neglijabil` (fig.Apl-2.10), dac` [n C placaeste suspendat` la plafon [nD printr-un fir.1,2 mFig. Apl-2.101,2 mR`spuns:R A 1843 N.1,5 maplicat` P ca [n figur`.Ao 25600 NP600NApl. 2.11Repetarea[ntreb`rii dino 50 problemaBDprecedent`-Apl. 2.10, dac`asupra pl`ciiac\ioneaz` uncuplu1,2 m 1,2 mM 300 N mF 900Nca [n fig. Apl-2.11 ]i dac`cablul esteFig. Apl-2.11[nlocuit de c`treo for\` efectiv. De asemenea, placa [n acest caz se sprijin` pe o rol` [n DR`spuns: 569,6 NR A .M 300N mC29

SIMULAREA SISTEMELOR MECANICEApl. 2.12Un mecanismde amortizare0,6m(men\inere) este1,8 mreprezentat [n figuraApl-2.12. Greutateacuvei [mpreun` cu aGcon\inutului s`u esteC1,8 mG 5.500 N. CuvaBQeste [n echilibru [npozi\ia indicat` [nA0,9 mfigur`, centrul deD0,9 m greutate fiind [npunctul C. S` se1,8 m1,2 mdetermine m`rimeafor\ei S AB din tijaFig. Apl-2.12AB a sistemului careconst` din cilindrulhidraulic cu tija corespunz`toare, pentru men\inerea ]i cobor@rea cuvei.R`spuns:NS AB 4427,41 .ADr=0,15mER=0,9mO’Fig. Apl-2.13CB1,05mApl. 2.13Discul neted(se neglijeaz`frecarea) din figuraApl-2.13 estearticulat cilindric [nD ]i are greutateaG 90N. Dac` seneglijeaz` greut`\ilebarelor s` sedeterminereac\iunile din B ]iD.Rezolvare:Metoda I -a . Se utilizeaz` teorema echilibrului p`r\ilor aplicat` fiec`rui30

corp din componen\a sistemului.SIMULAREA SISTEMELOR MECANICEyO DyVDHDH DDV D0,9 mCNC1,05mGNExO BHBxVBFig. Apl-2.13.aFig. Apl-2.13.bAEcua\iile de echilibru pentru discul de greutate G 90 N (fig. Apl-2.13.a) eliberat deyleg`turi (teoremaechilibrului p`r\ilor),NE[n sistemul de referin\`Ecartezian cu originea [nOD situat [n centruldiscului, sunt:R=0,9m HD 0,(1)NE VD G 0.H AO’B x Ecua\iile deVAV Bechilibru pentru baracotit` BCD (fig. Apl-Fig. Apl-2.13.c2.13.b) de greutateneglijabil`, eliberat` deleg`turi (teoremaechilibrului p`r\ilor),[n sistemul de referin\` cartezian cu originea [n B O, sunt:H B31

SIMULAREA SISTEMELOR MECANICEHVNDBC N VDC H 0,1,05 VDB 0,0,9 HD1,05 0.(2)Ecua\iile de echilibru pentru bara semicircular` AEB (fig. Apl-2.13.c) degreutate neglijabil`, eliberat` de leg`turi (teorema echilibrului p`r\ilor), [nsistemul de referin\` cartezian cu originea [n OO’, sunt:HB HA 0,VA VB NVB0,9 VEA 0,0,9 0.(3)Rezolv@nd sistemul de 8 ecua\ii liniare constituit din grupurile de ecua\ii(1), (2) ]i (3) ob\inem:din ec. (1 1 ) H D 0; (1 1 ’)din ec. (3 1 ) H ; (3 1 ’)A H Bdin ec. (3 3 ) V ; (3 3 ’)din ec. (2 2 )A V B V ; (2 2 ’)B V Ddin ec. (2 1 ) N ; (2 1 ’)C H Bdin ec. (3 2 ) ]i (3 3 ’) N V V 2 V 2 V ; (3 2 ’)EABABdin ec. (1 2 )32

SIMULAREA SISTEMELOR MECANICE N G ; (1 2 ’)E V Ddin rel. (3 2 ’) , (1 2 ’) ]i (2 2 ’) G V 2 ]i V V G 90N; din ec. (2 3 )B V B0,9 0,9 NC VD 90 77,143 N; (2 3 ’) 1,05 1,05din rel. (3 1 ’) , (2 1 ’) ]i (2 3 ’)BN H H N 77,143; (2 3 ’) Adin rel. (3 2 ’)BCN N 2 V 2 90 180 . EARezolvarea sistemului constituit din grupurile (1), (2) ]i (3), av@nd 8ecua\ii ]i 8 necunoscute, cu ajutorul procedurilor din MATHCAD. {n tabel suntintrodu]i coeficien\ii necunoscutelor sistemului ]i termenii liberi.Nec. Nr. ec.H D V D N E H B V B N C H A V A Term.liber1 1 -1 0 0 0 0 0 0 0 01 2 0 -1 1 0 0 0 0 0 902 1 1 0 0 -1 0 -1 0 0 02 2 0 1 0 0 1 0 0 0 02 3 -1,05 -0,9 0 0 0 1,05 0 0 03 1 0 0 0 1 0 0 -1 0 03 2 0 0 -1 0 -1 0 0 1 03 3 0 0 0 0 -0,9 0 0 -0,9 0D33

SIMULAREA SISTEMELOR MECANICEEnter a non-singular matrix corresponding to the n equations in n unknowns:M 10101.0500001010.9000010000100010010000010010.900101.05000000001000 000 0 01 0.9Enter a vector of n constants: 0 90N 00v 0 0 0 0soln lsolve( M v)Solution:soln 0 90 180 77.14286 N9077.1428677.1428690Deci rezultatele ob\inute pe cele dou` c`i sunt identice.AV AyDGR=0,9mH AO’Fig. Apl-2.13.dCN C1,05mxBMetoda II -a .Se utilizeaz` teoremasolidific`rii pentru [ntregsistemul de corpuri (fig.Apl-2.13.d) la care seadaug` teoremaechilibrului p`r\ilorpentru subsistemulconstituit din disc ]i tijaBCD (fig. Apl-2.13.e).Ecua\iile deechilibru pentru [ntregsistemul de corpurisolidificat (fig. Apl-2.13.d), [n sistemul de34

SIMULAREA SISTEMELOR MECANICEGDE0,9 mNEO ByVBCFig. Apl-2.13.eN C1,05mH Bxreferin\` cartezian cu originea [n O’,sunt:HA NC 0,VA G 0,NC1,05 VA 0,9 0.(4)Ecua\iile de echilibru pentrusubsistemul solidificat, constituit dinbara cotit` BCD de greutateneglijabil` ]i discul de greutateNG 90 (teorema echilibruluip`r\ilor + teorema solidific`rii), [nsistemul de referin\` cartezian cuoriginea [n B O (fig. Apl-2.13.e),sunt:HNNBEC NC 0, G VB 0,1,05 G 0,9 NE 0,9 0.(5)Rezolv@nd sistemul de 6 ecua\ii liniare constituit din grupurile de ecua\ii(4) ]i (5) ob\inem:din ec. (4 1 ) ]i (5 1 ) H H N; (4 1 ’)ABCdin ec. (4 2 )N G 90 ; (4 2 ’) V Adin ec. (4 3 ) ]i (4 2 ’)0,9 0,9 NC VA 90 77,143 N; (4 3 ’) 1,05 1,05din ec. (4 1 ’) ]i (4 3 ’)N H H 77,143; (4 1 ’)ABdin ec. (5 2 ) ]i (5 3 )35

din ec. (5 2 ) ]i (5 2 ’)SIMULAREA SISTEMELOR MECANICE1,05 G VB G N C ]i V B 90 N; (5 2 ’) 0,9N N G V 90 90 180 . EBApoi din figura (fig. Apl-2.13.a) se determin` componentele reac\iunilordin articula\ia cilindric` D, astfel c`: HD 0,V N G 180 90 90 N.DEDeci reac\iunile din articula\iile cilindrice B ]i D rezult` prin aplicarearegulii paralelogramului, adic`:RB2 22 2H V 77,143 90 118,537 N BB2 2 2 2]i R H V 0 90 90 ND . DDApl. 2.140,4m1,6 m0,8mBDCA1,6 m 0,4mEm 100kgFS` se determinecomponentele orizontal`]i vertical` ale for\ei cucare ]tiftul din articula\iacilindric` din D (leg`tur`interioar`) ac\ioneaz`asupra barei ACDB ]i alereac\iunii din A pentrusistemul de corpurireprezentat [n figura Apl-2.14, supus ac\iunii uneisarcini de mas`m 100 kgaplicat` [npunctul F. Se neglijeaz`greut`\ile barelorsistemului.Fig. Apl-2.14Rezolvare:Se utilizeaz`teorema solidific`riipentru [ntreg sistemul de36

SIMULAREA SISTEMELOR MECANICEcorpuri (fig. Apl-2.14.a) la care se adaug` teorema echilibrului p`r\ilor pentrubara curb` CE (fig. Apl-2.14.b), respectiv bara dreapt` DEF (fig. Apl-2.14.c).y2,0 mBNB0,4mDF1,6mE2,4 mG 1009,81N1,6mR EC=45 oA OxR CHAVAFig. Apl-2.14.bFig. Apl-2.14.aEcua\iile de echilibru pentru [ntreg sistemul de corpuri solidificat (fig.Apl-2.14.a), [n sistemul de referin\` cartezian cu originea [n O A, sunt:HVNAAB NB 0, G 0, 2,8 G 2 0.(1) G2 1009,812NB 700,71 N ;2,8 2,8 HA NB700,71 N ;VAG 981 N .Din figura (fig. Apl-2.14.b) se stabile]te direc\ia reac\iunii R E dinarticula\ia cilindric` E, care apoi se utilizeaz` [n figura (fig. Apl- 2.14.c).37

SIMULAREA SISTEMELOR MECANICEEcua\iile de echilibru pentru subsistemul constituit numai din bara DEFde greutate neglijabil` (teorema echilibrului p`r\ilor), [n sistemul de referin\`cartezian cu originea [n D O(fig. Apl- 2.14.c), sunt:HDy RD OG 2 9812 1734,18oosin 45 1,6sin 45 1,6RRR(2)EEE cos 45sin 45sin 45ooo H VDD 0, G 0,1,6 G 2 0.Rezolv@nd sistemul de 3ecua\ii liniare (2) ob\inem:NE;oN H R cos 45 1734,18cos 45 1226,25 ; DEooN V R sin 45 G 1226,25 981 245,25 . DVD1,6 m 0,4mEEFig. Apl-2.14.cF=45 o R E Gx38A1,5 mp 400N /m1,0 mFCDB=60 oApl. 2.15{nc`rcareapentru sistemul decorpuri din figuraApl-2.15 esterealizat` printr-ofor\` distibuit` pebara dreapt` ACde intensitatep 400N / m]io for\` concentrat`F orizontal`aplicat` [n punctulD.Pentru F 0Fig. Apl-2.15s` se determinem`rimile componentelor orizontale ]i verticale ale reac\iunilor din A ]i B.1,0 m

SIMULAREA SISTEMELOR MECANICERezolvare:Se aplic` teorema echilibrului p`r\ilor pentru bara AC (fig. Apl-2.15.a)av@ndu-se [n vedere c` [ntre punctele C ]i B este o leg`tur` cu tij` rigid`y[nc`rcat` numaiprin for\ele deleg`tur` din1,0 mP400 1,5Narticula\iilecilindrice B0,75m(for\` deR Cleg`tur`1,0 mexterioar`)respectiv C(for\` de0,75mleg`tur`interioar`)astfel c`4VA=60 o HAdirec\iileacestora suntcunoscute –direc\ia drepteiCB ]i m`rimilenecunoscute.Fig. Apl-2.15.a{nainte descrierea ecua\iilor de echilibru se [nlocuie]te for\a distribuit` [n lungul barei AC- p 400N / mcu for\a echivalent` - P p 1,5 400N / m1,5m 600 Naplicat` la jum`tatea distan\ei dintre A ]i C.Ecua\iile de echilibru pentru bara AC, [n sistemul de referin\` cartezian cuoriginea [n A, sunt:xooHA RCcos 45 P cos30 0,ooVA RCsin 45 P sin 30 0,oRCsin 75 1,5 P 0,75 0.(1)Rezolv@nd sistemul de trei ecua\ii liniare (1) ob\inem:- din ec. (1 3 )P 0,75 600 0,75 R C 310,583 N; (1oo3 ’)1,5 sin 75 1,5 sin 75- din ec. (1 1 )39

SIMULAREA SISTEMELOR MECANICEHA P cos30o RC 600 cos30 cos 45oo 310,583cos 45o 300N;(1 1 ’)- din ec. (1 2 )VA P sin 30o RC 600 sin 30sin 45oo 310,583sin 45o 80,385N.(1 2 ’)yP 400 1,5N0,75m0,75m=75 oAFig. Apl-2.15.bxC=75 o N NR C 310,583R A 310,583Deci, reac\iunea dinarticula\ia cilindric` C(leg`tur` interioar`) estedeja determinat` rel. (1 3 ’)astfel c` este determinat` ]icea din articula\ia cilindric`B (leg`tur` exterioar`):RBN R 310,583 ,Ciar cea din A rezult` prinaplicarea reguliiparalelogramului, adic`:RA2 222H V 300 80,385 310,583 N . AAVerificarea rezultatului (vezi fig. Apl-2.15.b):ooRC cos75 RAcos75 0,ooP RCsin 75 RAsin 75 0,ooRCsin 75 0,75 RAsin 75 0,75 0.apoi prin [nlocuirea valorilor determinate mai sus, se ob\ine:oo310,583cos75 310,583cos75 0,oo600 310,583sin 75 310,583sin 75 0,oo310,583sin 75 0,75 310,583sin 75 0,75 0.40

SIMULAREA SISTEMELOR MECANICEApl. 2.16{nc`rcarea pentru sistemul de corpuri din figura Apl-2.15 din problemaApl. 2.15, este realizat` printr-o for\` distibuit` pe bara dreapt` AC de400 N / mF 500 N orizontal` aplicat`intensitate p ]i o for\` concentrat` P 400 1,5yN1,0 mDF 500N0,75mC1,0 m0,75mHB=60 o HABAOxV BV AFig. Apl-2.16.a[n punctul D (fig. Apl-2.16.a). S` se determine m`rimile componentelororizontale ]i verticale aleyreac\iunilor din A ]i B.HCCVC1,0 mV BBFig. Apl-2.16.bF 500D x1,0 mNH BRezolvare:Se utilizeaz`teorema solidific`riipentru [ntreg sistemul decorpuri (fig. Apl-2.16.a) lacare se adaug` teoremaechilibrului p`r\ilor pentrubara cotit` BDC (fig. Apl-2.16.b).Ecua\iile deechilibru pentru [ntregsistemul de corpurisolidificat (fig. Apl-2.16.a), [n sistemul de41

SIMULAREA SISTEMELOR MECANICEreferin\` cartezian cu originea [n O A, sunt:HAHBFPcos30 0,VAVBPsin30 0,HB1,3 1VB1 0,75F1,3 P 0,75 0.(1)Ecua\iile de echilibru pentru subsistemul constituit numai din bara cotit`BDC (fig. Apl-2.16.b) de greutate neglijabil` (teorema echilibrului p`r\ilor), [nsistemul de referin\` cartezian cu originea [n C O, sunt:HB HVB VVB1HCCB F 0, 0,1 0.(2)Rezolv@nd sistemul de 6 ecua\ii liniare constituit din grupurile de ecua\ii(1) ]i (2) ob\inem:din ec. (2 3 ) V H ; (2 3 ’)BBdin ec. (2 2 ) cu (2 3 ’)din ec. (1 1 )42 VC VB HB; (2 2 ’)din ec. (1 3 ) cu (2 3 ’)din ec. (1 2 )1 VBHB F1,3P0,752,051 500 1,3 600 0,75536,585 N ;2,05 V Psin30 VAB600 sin30 536,585 236,585 N ;

ASIMULAREA SISTEMELOR MECANICE H FPcos30 H500 600 cos30 536,585 483,032 N .BDeci, reac\iunile din articula\iile cilindrice A ]i B rezult` prin aplicarearegulii paralelogramului, adic`:]i 2 2R H V A A A2 2 483,032 236,585 537,86 N ; 2 2R H V B B B2 2 536,585 536,585 758,85 N .Apl. 2.17Structura reprezentat` [n figura Apl-2.17 este compus` din dou` bare dezDcablu2 mArticula\iecilindric`spa\ial`Articula\iecilindric`spa\ial`Articula\iesferic`CyOF1 mAE1 mx1,5 m1,5 mBP ( 100 N)Fig. Apl-2.17greut`\i neglijabile ]i un cablu ED. S` se determine tensiunea din cablu,43

SIMULAREA SISTEMELOR MECANICEreac\iunile exterioare din A ]i C, ]i for\ele de leg`tur` interioare din punctul B,P 100 N .dac` structura este supus` ac\iunii unei sarcini exterioare de Rezolvare:Se utilizeaz` teorema solidific`rii pentru [ntreg sistemul de corpuri (fig.Apl-2.17.a) la care se adaug` teorema echilibrului p`r\ilor pentru subsistemulconstituit numai din tija BFC (fig. Apl-2.17.b).Expresia vectorului tensiune (efort) din cablul DE se stabile]te [n func\iede direc\ia cablului definit` de c`tre versorul acestei, cu expresia:zD2 mM CzC zM CxA yA zATEDEOFC1 mC x1 myxA x1,5 m1,5 mBFig. Apl-2.17.aP ( 100 N)uDE 2 i 1,5 j 2 k 0,625i 0,469 j 0,625k .2 2 22 1,5 2Din condi\ia de coliniaritate a versorului u DE cu vectorul tensiune T DE ,rezult` expresia vectorului tensiune (efort) din cablul DE:T T u ;DE DE DE44 TDE 0,625TDE i 0,469 TDE j 0,625TDE k .Ecua\iile de echilibru pentru [ntreg sistemul de corpuri solidificat (fig.Apl-2.17.a), [n sistemul de referin\` cartezian cu originea [n O, sunt:

SIMULAREA SISTEMELOR MECANICEAx 0,625TDE Cx 0,Ay 0,469 TDE 0,Az P Cz 0,M C 3 P 3 0,625T 1,5 0,Cx zDEA 2 0,625T 2 P 1 0,zDEMCz Cx3 Ay 2 0.(1){n continuare se aplic` teorema echilibrului p`r\ilor pentru subsistemulconstituit numai dinztija BFC (fig. Apl-2.17.b) av@ndu-se [nM Cz M Cx vedere c` [npunctele C (leg`tur`C zC xexterioar`) respectivB (leg`tur`MBzCOinterioar`) sunt1 m y articula\ii cilindriceMBzByByspa\iale f`r` frecare,F 1 madic` introduc for\e]i momente deB P ( 100 N)leg`tur` de direc\iixcunoscute ]i m`-riminecunoscute.Ecua\iile deFig. Apl-2.17.bechilibru pentrusubsistemulconstituit numai dintija BFC, [n sistemul de referin\` cartezian cu originea [n C (fig. Apl- 2.17.b)sunt:Cx 0,By 0,Cz P Bz 0,MCx 0,MBy P 1Bz 2 0,MCz MBz By 2 0.(2)Rezolv@nd sistemul de 12 ecua\ii liniare constituit din grupurile de ecua\ii(1) ]i (2) ob\inem reac\iunile din punctele A ]i C (for\e de leg`tur` exterioare),respectiv B (for\e de leg`tur` interioare):45

SIMULAREA SISTEMELOR MECANICE- din ecua\iile (1 3 )- (1 4 /3)+ (1 5 /2)T DE1 1 1 1 P 100 53,33 N;0,3125 0,625 2 0,3125 0,625 2- din ecua\iile (2 1 ), (2 2 ) ]i (2 4 ) C 0; B 0 ]i M 0;x- din ecua\iile (1 1 ) ]i (1 2 )AAxy 0,625T 0,469TDEDEyCx 0,62553,33 33,33 N ; 0,469 53,33 25,013 N;- din ecua\ia (1 4 )Cz11 P 0,625TDE1,5100 0,62553,331,5 83,33N;33- din ecua\iile (1 3 ) ]i (2 3 )ABzz P C P Czz 100 83,33 16,67 100 83,33 16,67 N ;N;- din ecua\iile (1 6 ), (2 5 ) ]i (2 6 )MMMCzByBz 2 A 2 B MzCzy P 225,013 50,026N m ; 216,67100 66,67N m ;50,026N m50,026 N m.Rezolvarea sistemului (1)+(2) cu ajutorul procedurilor din MATHCAD.{n tabel sunt introdu]i coeficien\ii necunoscutelor sistemului ]i termenii liberi.46A x A y A z B z C z M By M Bz M Cz T DE Membr. 21. 1 0 0 0 0 0 0 0 -0,625 02. 0 1 0 0 0 0 0 0 -0,469 03. 0 1 0 1 0 0 0 0 1004. 0 0 0 0 3 0 0 0 0,9375 3005. 0 0 -2 0 0 0 0 0 -1,25 -100

SIMULAREA SISTEMELOR MECANICE6. 0 2 0 0 0 0 0 1 0 07. 0 0 0 1 1 0 0 0 0 1008. 0 0 0 -2 0 1 0 0 0 -1009. 0 0 0 0 0 0 1 1 0 0REZ. 33,33N25,01N16,67N16,67N83,33N-66,67Nm50,02Nm-50,02Nm53,33NEnter a vector of n constan- 100000000.6250 010000000.4690001010000100000030000.9375300M 002000001.25v 10002000001000001100001000002010001000000001100 33.33333 25.01333 16.66667 16.66667 soln lsolve( Mv)Solution: soln 83.33333 66.66667 50.02667 50.02667 53.33333A x A yA z B z "elem sol"C zM By M BzM CzT DEApl. 2.18S` se determine reac\iunile din articula\iile cilindrice B ]i C (leg`turiinterioare) pentru sistemul de corpuri reprezentat [n figura Apl-2.18, supusac\iunii unei sarcini de mas` m 100 kg. Se neglijeaz` greut`\ile barelorsistemului.Rezolvare:Metoda I - aSe aplic` teorema echilibrului p`r\ilor dublat` de teorema solidific`riipentru subsistemul constituit din corpurile: barele DC ]i BD, ]i discul de raz`r 0,1 m. Se are [n vedere c` articula\iile cilindrice C ]i D sunt conectate [ntreele printr-o bar` astfel c` direc\ia reac\iunii din C este cunoscut` ]i anume [n47

SIMULAREA SISTEMELOR MECANICElungul barei DC (fig. Apl-2.18.a).Ecua\iile de echilibru pentru acest subsistem de corpuri, solidificat [ntr-unCyR C0,9 mCDEr =0,1m 100kgBDr =0,1T 981NBO0,9 mx0,3m1 mEV BH B0,9 mA0,3mG 9810,9 mNFig. Apl-2.18Fig. Apl-2.18.asolid rigid virtual raportat la sistemul de axe carteziene cu originea [n punctul B,sunt:oRCcos 45 HB T 0,oRCsin 45 G VB 0,G0,9 0,3 0,1T 0,1 RC cos 45o0,9 0.(1)Rezolv@nd sistemul de trei ecua\ii liniare (1) ob\inem:din ec. (1 3 )RC1o0,9 cos 4510,9 G 0,7 T 0,1 229810,6 924,896N; (1 3 ’)48

SIMULAREA SISTEMELOR MECANICEdin ec. (1 1 )HB22 R C T 924,896 981 1635 N; (1 1 ’)22din ec. (1 2 )yyRCVET 981NDHEB OxrxE0,3m0,9 mV BH BEOVEG 981H ENFig. Apl-2.18.bFig. Apl-2.18.cVB22 G R C 981924,896 327 N. (1 2 ’)22Deci, reac\iunea din articula\ia cilindric` C este deja determinat` rel.(1 3 ’) iar cea din B rezult` prin aplicarea regulii paralelogramului, adic`:RB2 22 2H V 1635 327 1667,379 NBB. Metoda II - aSe aplic` teorema echilibrului p`r\ilor pentru fiecare din corpurile: baraBD (fig. Apl- 2.18.b) ]i discul de raz` r 0,1 m(fig. Apl-2.18.c). Se are [nvedere c` articula\iile cilindrice C ]i D sunt conectate [ntre ele printr-o bar`astfel c` direc\ia reac\iunii din D este cunoscut` ]i anume [n lungul barei DC.Ecua\iile de echilibru pentru fiecare din corpurile eliberate de leg`turi, [nraport cu sistemele de axe carteziene indicate [n figurile corespunz`toare, sunt:• pentru bara DBoHB T RC cos 45 0,oVB RCsin 45 G 0,oG0,6 RC cos 45 0,9 0.(2)49

• pentru discSIMULAREA SISTEMELOR MECANICET HE 0,VE G 0,G0,1 T 0,1 0.(3)Rezolv@nd sistemele de ecua\ii liniare (2) respectiv (3) ob\inem:din sistemul de ec. (3)din ec. (2 3 )din ec. (2 1 )NNT H G 981 ]i V G 981 ;EE0,60,6 R C G 981 924,896 N; o0,9 cos 4520,9 2HB22 R C T 924,896 981 1635 N;22din ec. (2 2 )VB22 G RC 981924,896 327 N.22Deci, reac\iunea din articula\ia cilindric` C este deja determinat` iarcea din B rezult` prin aplicarea regulii paralelogramului, adic`:RB2 22 2H V 1635 327 1667,379 NBB. AM 80 N mCDD900 1200Fig. Apl-2.19BE150Apl. 2.19S` se determinefor\a exercitat` de c`trediscul D asupra bareiAB (fig. Apl- 2.19).Deasemeni s` sedetermine componenteleorizontal` ]ivertical` ale reac\iunii50

SIMULAREA SISTEMELOR MECANICEdin A. Se neglijeaz` greut`\ile barelor sistemului.Rezolvare:Se utilizeaz` teorema solidific`rii pentru [ntreg sistemul de corpuri (fig.Apl-2.19.a) la care se adaug` teorema echilibrului p`r\ilor pentru subsistemulconstituit dinydisc ]i tijaBEC (fig.M 80N mApl-2.19.b).DN Ecua\iileE Ede echilibruA O150 x pentru [ntregH AV Acartezian cu originea [n O A, sunt:HA NE 0,VA 0,NE 0,15 M 0.]i rezolv@nd, ob\inem:900 1200Fig. Apl-2.19.aBsistemul decorpurisolidificat(fig. Apl-2.19.a), [nsistemul dereferin\`NHVEAA N 0.M0,15E80 533,33N ,0,15 533,33 N ,CN DDH B1200Fig. Apl-2.19.byEB OV BN E150xEcua\iile de echilibru pentrusubsistemul solidificat,constituit din bara cotit` BEC]i discul D de greut`\ineglijabile (teoremaechilibrului p`r\ilor +teorema solidific`rii), [nsistemul de referin\` carteziancu originea [n B O (fig. Apl-51

2.19.b), sunt:HNNBDESIMULAREA SISTEMELOR MECANICE N VEB 0, 0,0,15 ND1,2 0;NE533,330,15 N66,67ND . 0,15 1,2Apl. 2.20S` se determine m`rimile componentelor orizontale ]i verticale aleA1500CE300p 30kN /m300B600300D1800Freac\iunilor din A ]i F, pentru sistemul de corpuri din figura Apl-2.20.{nc`rcarea este realizat` printr-o for\` distibuit` liniar pe tronsonul DF al bareiorizontale BF.52Rezolvare:METODA I -aSe aplic` teorema echilibrului p`r\ilor pentru barele ACE (fig. Apl-2.20.a) respectiv BDFH AV AyA O3001500BR BCC600Fig. Apl-2.20.aFig. Apl-2.20E300300DxR DE(fig. Apl-2.20.b)av@ndu-se [n vedere c`[ntre punctele C ]i Brespectiv D ]i E suntleg`turi cu tije rigide,adic` introduc for\e deleg`tur` interioaresistemului de corpuri, dedirec\ii cunoscute ]im`rimi necunoscute.Ecua\iile deechilibru pentru baraACE, [n sistemul de

SIMULAREA SISTEMELOR MECANICEreferin\` cartezian cu originea [n A, sunt:RRRBCBCBCcos RDEsin HA 0,sin RDEcos VA 0,sin 1,5 R cos 1,5 RDEDEsin 0,3 0.(1)300R DER BCB600CEP 1/230 1,8kN300D1800600F OyV FH FxFa\` desistemul dereferin\`cartezian cuoriginea [n F,ecua\iile deechilibrupentru baraBDF sunt:Fig. Apl-2.20.bHF RBCcos RDEsin 0,RBCsin RDEcos VF P 0,RBCsin 2,7 RDEcos 1,8 P 0,6 0.(2)RR300o 1 1 arctg 26,565 ; P p 1,8 30kN / m1,8 m27 kN.6002 2Din ecua\iile (1 3 ) ]i (2 3 ) se determin` reac\iunile R ]i R :BCBCsin 26,56sin 26,56oo1,59 R 2,7 5 RDEDEcos 26,56ocos 26,56o1,59 RDEBCsin 26,561,85 P 0,6 5 0.oDE 0,3 9 0;RDEP 0,65 ,ooo cos 26,56 1,59 sin 26,56 0,39 cos 26,56 1,85270000,6 5RDE ,ooo cos 26,56 1,59 sin 26,56 0,39 cos 26,56 1,85 R DE 15.487,9 N ,53

SIMULAREA SISTEMELOR MECANICERBCoRDE cos 26,56 1,8 P 0,6 ,osin 26,56 2,7RBCo15487,9 cos 26,56 1,8 27000 0,6 34073,35N,osin 26,56 2,7R BC 34073,35 N .Din ecua\iile (1 1 ) ]i (1 2 ) se determin` componentele reac\iunilor dinarticula\ia A ( H ]i V ):AAH Rcos RsinA BCDE ,]i V Rsin R cosA BCDE .34073,3 0,89415487,9 0, 37.385 NH A 447; V A34073,30,447 15487,90,894 1.385N . Din ecua\iile (2 1 ) ]i (2 2 ) se determin` componentele reac\iunilor dinarticula\ia F ( H F ]i VF): H F RBC cos R DE sin ,]iV P R sin R cosF BCDE . 34073,3 0,894 15487,9 0,447 37.385 NH F; V F34073,3 0,447 15487,90,894 25615N 27000 .METODA II -a{n prima etap` se aplic` teorema solidific`rii [ntregului sistem de corpurip`str@nd leg`turile exterioare care se [nlocuiesc cu for\ele de leg`tur`corespunz`toare, [n conformitate cu axioma leg`turilor (fig. Apl-2.20.c).Ecua\iile de echilibru pentru rigidul ob\inut [n urma aplic`rii teoremeisolidific`rii, [n sistemul de referin\` cu originea [n A, sunt:HA HF 0,VA VF P 0,(3)VF3,6 P 3 HF0,3 0.54

SIMULAREA SISTEMELOR MECANICEyH AV AA O3001500BCE300DP 27kNx1800600FH FV F{n etapa doua se aplic` teorema echilibrului p`r\ilor pentru bara ACE(fig. Apl-2.20.d) pentru a scrie o a patra ecua\ie care grupat` cu ecua\iile (3) s`formeze un sistem de patru ecua\ii cu patru necunoscute.Ecua\iile de echilibruypentru bara ACE sunt [n120num`r de trei dar [n1500ecua\iile de proiec\ii peH AV AA300axele Ox ]i Oy apar ]inecunoscutele R BC ]i R DEcare nu sunt cerute prin[ntreb`rile problemei.Deoarece avemnevoie de [nc` o ecua\ie pel@ng` cele trei din sistemul(3) dar care s` nu introduc`Fig. Apl-2.20. dnecunoscute suplimentarevom determina pozi\iapunctului de intersec\ie al reac\iunilor interioare sistemului de corpuri (eforturiledin barele BC ]i DE) pe care [l alegem origine a sistemului de axe (fig. Apl-2.20.d) ]i scriem numai ecua\ia de momente (4), astfel:H 0.06V 1,62 0. (4)ABR BCCAFig. Apl-2.20.cCu proceduri ale programului MATHCAD 14 rezolv`m matricial sistemulde patru ecua\ii constituit din grupurile (3) ]i (4), astfel: 1 0 10 0 1 0 1M : ; 0 0 0,3 3,60,061,620 0 E600O300D60R DEx55

SIMULAREA SISTEMELOR MECANICE- se introduce vectorul celor 4 constante (termeni liberi [n ecua\iilesistemului) : 0 27000V : N;3270000 - se aplic` func\ia lsolve(M,v) ]i se ob\ine vectorul cu valorilenecunoscutelor:HVH VAAFF 37.385 1.385 37.38525.615N.Apl. 2.21Pentru sistemul de corpuri (bare rectilinii de greut`\i neglijabile, articulatecilindric [ntre ele ]i la sistemul fix) din figura Apl-2.21 s` se determine:a) reac\iunile din A ]i E;b) componentele for\elor din B ]i C de pe bara ABC.Rezolvare:a) Se aplic` teorema solidific`rii pentru [ntreg sistemul de corpuri (fig.Apl-2.21.a) astfel c` ecua\iile de echilibru pentru solidul rigid rezultat dinsolidificare sunt:HA F20,VA NE F3 F10,(1) 4,8NE 1,8 F2 3F3 2,4 F10.Din ecua\ia (1 3 ) se ob\ine:1NE 3F3 2,4F11,8F24,81 3800 2,4 1600 1,8 800;4,856

ESIMULAREA SISTEMELOR MECANICE N 1000 N . A0,9 m1,8 mF3 800 NE0,9 mBF2D 800 N1,2 mC1,2 m 1,2 m 1,2 mF1 1600 NFig. Apl-2.21yHAA Ox0,9 mVA1,8 mF3 800NE0,9 mBDF2 800N1,2 mCN1,2 m 1,2 m 1,2 mEF1 1600 NDin ecua\ia (1 1 ) se ob\ine:A 2 H F 800 N . Din ecua\ia (1 2 ) se ob\ine:Fig. Apl-2.21.a57

SIMULAREA SISTEMELOR MECANICEV F F N 1600 800 1000 N ,A 1 3 EA V 1400 N . HBVBByB O1,8 mCFig. Apl-2.21.bF3R D 800 ND2,4 m 1,2 mN EExb) Se aplic`teoremaechilibruluip`r\ilorpentru baraBE (fig. Apl-2.21.b) astfelc` ecua\iilede echilibrucorespunz`toare sunt:HBRDcos0,VB RDsinNE F30,(2) 3,6 N E2,4 R Dsin 1,8 F30.Din ecua\ia (2 3 ) se ob\ine:1 1R D3,6 NE 1,8 F33,6 1000 1,8 8002,4 sin 3 2,4 5 ;D R 1500 N . Din ecua\ia (2 1 ) se ob\ine:4HBR Dcos1500 1200 N. 5Din ecua\ia (2 2 ) se ob\ine:3VB R Dsin NE F31500 1000 800 700 N. 5Se aplic` teorema echilibrului p`r\ilor pentru bara AC (fig. Apl-2.21.c).58

SIMULAREA SISTEMELOR MECANICEHA0,9 m0,9 mA 800 NVBVA 700 NB1400 NHB1200 NRCRCC1500 NF2 800 NDR D1,2 m1,2 mCF11600 NRCtotal2000i 700j NFig. Apl-2.21.cFor\ele [n B H B,V Bce ac\ioneaz` asupra barei AC sunt opuse celorcalculate din echilibrul barei BE.For\a total` [n C, ce ac\ioneaz` asupra barei AC, este:RCtotalRCcosF2 i RCsinF1 j ; 4 3 RCtotal1500 800 i 1500 1600 j 5 5 2000 i 700 j N .DeciR A 800 i 1400j N; 1000j NN E ; R B 1200 i 700 j N; 2000 i 700 j NR C . Apl. 2.22S` se determine for\a exercitat` de c`tre ]tiftul din C asupra barei ABC(fig. Apl-2.22). Se neglijeaz` greut`\ile barelor. }tiftul B este ata]at solidar labara BD ]i se reazem` [n canalul neted al barei ABC.59

SIMULAREA SISTEMELOR MECANICERezolvare:a) Se aplic` teorema solidific`rii pentru [ntreg sistemul de corpuri (fig.Apl-2.22.a).1200CDE900600F600BG=350 NA34Fig. Apl-2.22yC1200DEOx900600HEFVE600BG 350 NAVA34HA90060Fig. Apl-2.22.aDin aplicarea teoremei solidific`rii se utilizeaz` numai ecua\ia demomente scris` [n raport cu articula\ia cilindric` E, care are forma (1):

SIMULAREA SISTEMELOR MECANICE4G1,2 HA1,5 VA2,1 0. (1)5Direc\ia canalului dintija ACB34NBF43G6001140yDO 350 NFig. Apl-2.22.bH DV D720xApoi se aplic`teorema echilibruluip`r\ilor pentru baraBFD (fig. Apl-2.22.b) ]i seutilizeaz` numaiecua\ia de momentescris` [n raport cuarticula\ia cilindric`D, de forma (2) ]idin care sedetermin` m`rimeareac\iunii din B :4 3G0,6NB 0,72NB 1,14 0, (2)5 5B N 0,6/1,26 G 0,6/1,26 350 166,67 N .HAVANB600A3900B4900Fig. Apl-2.22.cyCOV CH CxPentru aajunge lanecunoscutacerut` [n[ntrebare, seaplic` teoremaechilibruluip`r\ilor pentrubara ABC (fig.Apl-2.22.c).Ecua\iile deechilibrucorespunz`toare,scrise [n raport cuun sistem dereferin\` cuoriginea [n C,sunt:61

SIMULAREA SISTEMELOR MECANICEHC HA NB 4/5 0,VC VA NB3/50,NB0,9HA1,54/5VA0,9 0.Din diferen\a ecua\iilor (1) - (3 3 ) se ob\ine:(3)1,2 G 2,1VA 0,9 VA 0,9 NB 0 . (4)Din ecua\iile (4) respectiv (1) se ob\in m`rimile componentelor reac\iuniidin articula\ia cilindric` A:1VA 1,2 350 0,9 166,67 225 N;1, 21HA 1,2 225 1,2 350 43,75 N.1, 2Din ecua\iile (3 1 ) respectiv (3 2 ) se ob\in m`rimile componentelorreac\iunii din articula\ia cilindric` C:4 4HC HA NB 43,75 166,67 177 N;5 5V V N 3/5 225166,67 3/5 125 N .C A B Deci, for\a exercitat` de c`tre ]tiftul din C asupra barei ABC este:C R 177 i 125 j N .Apl. 2.23S` se determine for\a exercitat` de c`tre ]tiftul din C asupra barei ABC(fig. Apl-2.23). Se neglijeaz` greut`\ile barelor. }tiftul B este ata]at solidar labara ABC ]i se reazem` [n canalul neted al barei BD.Rezolvare:a) Se aplic` teorema solidific`rii pentru [ntreg sistemul de corpuri (fig.Apl-2.23.a).Determin`m mai [nt[i unghiurile ]i (fig. Apl-2.23.a), astfel:720720arctg 32,276 ; arctg 53,13 .1200 600 54054062

SIMULAREA SISTEMELOR MECANICEDin aplicarea teoremei solidific`rii (fig. Apl-2.23.a) se utilizeaz` numaiecua\ia de momente scris` [n raport cu articula\ia E, care are forma (1):G1,2 H 1,2V 2,1 0. (1)AA1200 mmCDE900 mm600 mmF600 mmBG=350 NA34Fig. Apl-2.23yB’C1200DEOx720900F600V EH E1200VAA60034HAB900540G 350 NFig. Apl-2.23.a63

SIMULAREA SISTEMELOR MECANICEyDOH DApoi se aplic`x teorema echilibruluip`r\ilor pentru baraV D BFD (fig. Apl-2.23.b)BF720 ]i se utilizeaz`, pentruG 350Ndeterminareareac\iunii dinreazemul B (N B ),N600Bnumai ecua\ia de1140momente scris` [nraport cu articula\iaFig. Apl-2.23.bcilindric` D, care areforma (2):G0,6NB1,348 0; (2)0,6 0,6NB G 350 155,75 N.1,348 1,348yPentru aH C ajunge laCO x necunoscuta cerut`[n [ntrebare, seN B 900aplic` teoremaechilibrului p`r\ilorV Cpentru bara ABC600 BDirec\ia canaluluidin tija BD(fig. Apl-2.23.c).Ecua\iile deechilibru4corespunz`toare,scrise [n raport cu3Aun sistem de900V Areferin\` cu originea[n C, sunt:H AFig. Apl-2.23.cHC HA NBsin0,VC VA NBcos0,HA1,2 NBcos0,9 VA0,9 0.Din diferen\a ecua\iilor (1) - (3 3 ) se ob\ine:1,2 G 2,1V 0,9 V 0,9 cos N 0 . (4)A A B(3)64

SIMULAREA SISTEMELOR MECANICEDin ecua\iile (4) respectiv (1) se ob\in m`rimile componentelor reac\iuniidin articula\ia cilindric` A:1V A1,2 350 0,9 155,75 cos20,85 240,84 N1, 2 ;1HA 1,2 240,84 1,2 350 71,47 N.1, 2Din ecua\iile (3 1 ) respectiv (3 2 ) se ob\in m`rimile componentelorreac\iunii din articula\ia cilindric` C:H H N sinC A B71,47 155,75 sin32,28 154,64 N ;V V N cosC A B240,84 155,75cos32,28 109,156 N .Deci, for\a exercitat` de c`tre ]tiftul din C asupra barei ABC este: R 154,64 i 109,156 j N .CApl. 2.24Sarcinile G 1 ]i G 2 din figura Apl-2.24 sunt fiecare de c@te NDA3 m2 m5 m4 mC 1G 1G 2FG 3C 3EFig. Apl-2.24BRol`C 22,25 m2,25 m1250 , cucentrele de greutate [n C 1]i C 2 . Platforma pe careacestea se afl` [n repaus are800 cucentrul de mas` [n C 3 ]ieste suportat` de c`tre dou`perechi de bare de formaunei cruci (o pereche - sevede [n figur`). Neglij@ndgreut`\ile perechilor debare s` se determine for\atransmis` de c`tre ]tiftul ceconecteaz` aceste dou`bare [n punctul F.Consider`m c` jum`tatedin sarcin` este suportat`de fiecare pereche de bare(sistemul este simetric).greutatea de NRezolvare:Se aplic` teorema65

SIMULAREA SISTEMELOR MECANICEsolidific`rii pentru [ntreg sistemul de corpuri (fig. Apl-2.24.a).Din aplicarea teoremei solidific`rii, pentru determinarea componenteiverticale V A a reac\iunii din A, se utilizeaz` numai ecua\ia de momente scris` [nraport cu articula\ia cilindric` B, care are forma (1): 4 G 2 G 1G 1 0; (1)VA1 2 3141 G1 2 G21G412501250 2 1 2 2VA3180021256,25 N.HADVAA2 mG13 mFG35 m4 mC 1C 3EyFig. Apl-2.24.aRol`BOVBC 2HBG 22,25 m2,25 mxSarcinile G 1 , G 2]i G 3 , [n rela\ia de maisus, sunt introdusenumai pe jum`tatedeoarece suntdistribuite [n raportul1/2 pe cele dou`perechi de bare.Apoi se aplic`teorema echilibruluip`r\ilor (dublat` deteorema solidific`rii)pentru platform` (G 3 ) ]icele dou` sarcini egale(G 1 ]i G 2 ) (fig. Apl-2.24.b) ]i se utilizeaz`,pentru determinareareac-\iunii din reazemulE (N E ), numai ecua\iade momente scris` [nraport cu articula\iacilindric` D, care areforma (2): 4 G 2 G 5 G 3 0; (2)NE1 2 314141250 28002G 2 G 1G 1 7 31393,75N.NE1 2 366

SIMULAREA SISTEMELOR MECANICEHDyG 2G 2 m1G 3VDDO3 mG14 m5 mC 1G 3C 3EFig. Apl-2.24.bN EG 2C 2xSarcinile G 1 ,G 2 ]i G 3 , [n rela\iade mai sus, suntintroduse numai pejum`tate deoarecesunt distribuite [nraportul ½ pe celedou` perechi debare. Pentru aajunge lanecunoscuta cerut`[n [ntrebare, seaplic` teoremaechilibrului p`r\ilorpentru bara AFE(fig. Apl-2.24.c).H AV AyHFAOF4 mV FN EE2,25 m2,25 mxEcua\iile de echilibrucorespunz`toare, scrise [n raport cuun sistem de referin\` cu originea[n A, sunt:HA HF 0,VA VF NE 0, (3)VF 2 HF 2,25 NE 4 0.Din ecua\iile (3 2 ) respectiv(3 3 ) se ob\in m`rimilecomponentelor reac\iunii dinarticula\ia cilindric` F: VF NE VA 1393,75 256,25 1137,5NFig. Apl-2.24.c H1F2,251 2,25VF 2 NE 41137,5 2 1393,7541466,67N.Deci, for\a transmis` de c`tre ]tiftul ce conecteaz` cele dou` bare [npunctul F, este:2 222H V 1466,67 1137,5 1856 N R .FFF67

SIMULAREA SISTEMELOR MECANICEApl. 2.25Sistemul de corpuri din figura Apl-2.25 este constituit din bara rectilinieAC, bara curb` CD (sfert de cerc) ]i scripetele S . Stabili\i dac` sistemul de bareAC ]i CD300este [nSechilibru prinOlipsa bloculuiT 2minim` aB bloculuiA60 o 3pentrumen\inereaCR = 600B. {n cazcontrar s` seG =225NdetermineT 1greutatea2 0,6Fig. Apl-2.25D 1 0, 5echilibrului[ntreguluisistem decorpuri.Consider`mc` for\eleexercitateaspra bareiCD de c`tre planul orizontal ]i blocul B sunt concurente [n acela]i punct D.Desemenea, s` se determine for\a exercitat` de c`tre ]tiftul C asupra barei AC [ncazul echilibrului sistemului.Rezolvare:Este [n echilibru sistemul de bare AC ]i CD prin lipsa blocului B ?Se determin` for\a R (fig. Apl-2.25.c) de interac\iune dintre scripetele S]i ]tiftul C de conexiune a barelor AC ]i CD:R'C G S 2 G 2 225 450 N'C .Se utilizeaz` teorema solidific`rii pentru [ntreg sistemul de corpuri'introduc@nd for\a R C [n locul scripetelui (fig. Apl-2.25.a).Ecua\iile de echilibru pentru [ntreg sistemul de corpuri solidificat (fig.Apl-2.25.a), [n sistemul de referin\` cartezian cu originea [n Q, sunt:HVNa2a2a2 Ta2a2 N 0, R'C0,9465 R 0,'C0,3465 0.(1)68

SIMULAREA SISTEMELOR MECANICECy'R CN 3yBx600T 1N 1G BFig. Apl-2.25.bH AAAQ60 o DV 346,5600aT 2aN 2xFig. Apl-2.25.ay'R CC'R CSCS300600G 225NH AAAQ60 o DV 346,5600T 2N 2N 3xFig. Apl-2.25.cFig. Apl-2.25.dDin ecua\ia (1 3 )a 0,3465 ' 0,3465 N2 RC 450 164,74 N.0,9465 0,9465For\a de frecare:aaT . (2)2 2 N269

SIMULAREA SISTEMELOR MECANICEDin ecua\ia de echilibru (numai ecua\ia de momente [n raport cuarticula\ia cilindric` C) a barei AC – considerat` eliberat` de leg`turi conform cuteorema echilibrului p`r\ilor, rezult`:H 0.6 V 0.3465 0 ,aAaAa 0,6 a VA HA. (3)0,3465Cu rela\ia (3) [nlocuit` [n ecua\ia (1 2 ) ob\inem:0,60,3465 HaA HaA N0,34650,6a2 R 0;0,34650,6' aR N 450164,74164,74N.C'C2Din ecua\ia (1 1 ) se ob\ine valoarea for\ei de frecare -men\inerii echilibrului [ntregului sistem de corpuri, adic`:aT H 164,74 N .a2nec2Ta 2nec- necesar`a2max2 2Compar@nd cele dou` valori ale for\ei de frecare, adic`:aT 164,74 N T 98,84 N , a2nec2maxDin ecua\ia (2) se ob\ine valoarea maxim` a for\ei de frecare-TaT N 0,6 164,7498,84 N .a2 max, adic`:rezult` c` pentru echilibrul sistemului este necesar` existen\a blocului B .{n continuare se aplic` teorema echilibrului p`r\ilor pentru subsistemulconstituit din bara rectilinie AC ]i bara curb` CD (sfert de cerc) ca [n figura (fig.Apl-2.25.d) la care se adaug` teorema echilibrului p`r\ilor pentru subsistemulconstituit numai din blocul B (fig. Apl-2.25.b).Ecua\iile de echilibru pentru subsistemul constituit din bara rectilinie AC]i bara curb` CD (sfert de cerc) ca [n figura (fig. Apl-2.25.d) sunt:HNNA22 T2 VA N R 0,6 VA3'C 0, 0, 0,3465 0.(4)Ecua\iile de echilibru pentru subsistemul constituit numai din blocul B(fig. Apl-2.25.b) sunt:70

SIMULAREA SISTEMELOR MECANICENN31 T1 G 0,B 0.(5)Pentru echilibrul la limit` exist` tendin\` de mi]care at@t [ntre cap`tul D albarei curbe ]i planul orizontal c@t ]i [ntre blocul B ]i planul orizontal, astfel c`for\ele de frecare corespunz`toare sunt:T1 T2 12 N ,1 N .2(6)Direc\ia reac\iunii din articula\ia cilindric` A are direc\ia tijei (60 o cuorizontala) deoarece [ntre A ]i C este leg`tur` cu tij` rigid`. Astfel, [ntrecomponentele H A ]i V A este rela\ia:VoA HA tg60 . (7)Introduc@nd rela\iile for\elor de frecare (6) ]i rela\ia (7) [n rela\iile (4) ]i(5) se ob\ine sistemul de cinci ecua\ii de forma (8), adic`:HNNNNA2231 H0,6 H N1 G2AB N tg6012A 0. No tg60 0,3 0, Ro'C 0,0,3465 0,(8)Rezolvarea sistemului (8) se face cu ajutorul procedurilor dinMATHCAD. {n tabel sunt introdu]i coeficien\ii necunoscutelor sistemului ]itermenii liberi.N 1 N 2 N 3 H A G B Membr. 21. 0 -0,6 -1 1 0 02. 0 1 0 3 0 4503. 0 0,6 0 - 3 x0,3465 0 04. -0,5 0 1 0 0 05. 1 0 0 0 -1 0REZ. 131,705N164,739N65,853N164,696N131,705N-71

SIMULAREA SISTEMELOR MECANICEEnter a non-singular matrix corresponding to the n equations in n unknowns: 0 0M 0 0.5 1soln 0.610.600lsolve( M v)1001013 30.346500Enter a vector of n constants:0 0 0450 0v 0 00 1 0 N 131.705 1 N164.7392 soln 65.853 "elem sol"N 3164.696H A 131.705 G B 2 V A 2H A 164.696 V A H A 3 R A H A R A 329.392Deci, greutatea minim` a blocului B este:G minNB 131,705 , Niar for\a exercitat` de c`tre ]tiftul C asupra barei AC este:RC R 329,392 N . A72Apl. 2.263,6 mSistemul de bare dinfigura Apl-2.26 este men\inut [npozi\ia indicat` prin intermediularticula\ilor B ]i C, ]i akN reazemului simplu cu frecaredin A. S` se determine:a) valoarea minim` acoeficientului de frecare din Acare poate asigura echilibrulsistemului;b) for\ele exercitate de c`tre]tifturile articula\iilor B ]i Casupra barei BC.R`spuns:a) 0, 417 ; 833i 680 j N .b) 467 i 1.120 j N; R AA1,5 mB4,5 mDFig. Apl-2.26F 1 1,8kNF 2 1,3C1,8 mR C

SIMULAREA SISTEMELOR MECANICE0,2 mCFig. Apl-2.27F 400 N0,5 m0,2 mBAD0,1mApl. 2.27P@rghia ABC este articulat` [npunctul A ]i conectat` la sistemul fix[n D prin intermediul barei BD [nform` de L (fig. Apl-2.27). Dac` seneglijeaz` greut`\ile proprii alebarelor ]i asupra m@neruluilevierului [n C se ac\ioneaz` cu for\aF 400 N, s` se determine for\aexercitat` asupra ]tiftului din A dec`tre levier.R`spuns:R A 1074,976 N ;o 60,255 . 4 mA1,5 mB1,5 mF ( 150 N)C60 oApl. 2.28Sistemulde barearticulate dinfig. Apl-2.28este supusac\iunii for\eiorizontale deintensitate150N. S` sedetermine for\ace ac\ioneaz`asupra bol\uluidin A ]i for\a cucare sistemul debare ac\ioneaz`prin punctul Casupra planului[nclinat.R`spuns: R 280,32 N; N 400 NAFig. Apl-2.28C .73

SIMULAREA SISTEMELOR MECANICEApl. 2.29S` se80 [Nm] D determine reac\iunile din A ]i B(articula\iicilindrice) dac` asupra barei curbe ADac\ioneaz` un cuplu M 80 N m(fig. Apl-2.29).Fiecare bar` are forma de sfert de cerc ]iambele augreut`\i neglijabile.Sferturi decercAB0,6 m0,6 mFig. Apl-2.29R`spuns:R Ax 66,67 N ; 66,67 N R Ay ; 94,28 NR B .Apl. 2.30{n figura Apl-2.30 discul D este articulat cilindric [n centrul s`u A la baraomogen` B . Masele corpurilor sunt: m D 150 kgpentru discul D ]im B 200 kg pentru bara omogen` B. {n ambele puncte de rezemare ser = 1 mDBCR=2 mPSuprfa\`neted`ASuprfa\`neted`R=2 mB4 mFig. Apl-2.30neglijeaz` frecarea cu planul orizontal (discul) respectiv cu suprafa\a cilindric`(bara omogen`). S` se determine m`rimea for\ei orizontale, P, necesar`men\inerii [n echilibru a sistemului corpurilor D ]i B.74R`spuns:NP 1698,46 .

SIMULAREA SISTEMELOR MECANICEApl. 2.313 m 3 mHI JC D EFP 40 kNAB7,2 m 7,2 mG3 m7,2 mGrinda cuz`brele din figuraApl-2.31 este[nc`rcat` cu sarcinaconcentrat`P 40 kNaplicat` [n punctul(nodul) E.S` sedetermineeforturile [n toatebarele grinzii cuz`brele din figur`.Fig. Apl-2.31RezolvareGrinda cu z`brele este static determinat` deoarece este [ndeplinit`condi\ia:b 2 n 3, 17 2 10 3.Unghiurile din figura 5.1.a sunt:3o3 o arctg 22,62 ; arctg 45 .7,23HIJCDEFP 40 kNG7,2 mH AABNBVA7,2 m 7,2 mFig. Apl-2.31.aSe determin` reac\iunile utiliz@nd teorema solidific`rii pentru [ntreagagrind` cu z`brele (fig. Apl-2.31.a):75

SIMULAREA SISTEMELOR MECANICEHNNABB 0, VA P 0,14,4 P 7,2 0;(1)HNVABA 0;1 P 2 P NB1 402 4 104kN2 10 4 2104N ; 2 10Grinda cu z`brele fiind simetric` se determin` eforturile numai din barelep`r\ii din st@nga planului de simetrie vertical ce con\ine ]i bara IE ]i se atribuie]i celor simetrice astfel: SAC SBG, SAD SBF, SCD SFG, SCH SJG,SDE S EF ]i SHI SIJ.Pentru partea din st@nga planului de simetrie vertical se determin`eforturile din barele grinzii cu z`brele aplic@nd metoda izol`rii nodurilor pornindde la nodul A ]i continu@nd, [n ordinea urm`toare, cu nodurile C, H ]i I.Ecua\iile de echilibru pentru nodul A (fig. Apl-2.31.b):4N.HVAA S S SSACADACADsin 0, S cos 0;AC1 HA 0 ,sin 4 V 210AN.Ecua\iile de echilibru pentru nodul C (fig. Apl-2.31.c): SCHcos SCD SAC cos 0, 2 SCHsin SACsin 0; 2 SSCHCD 0; 0.Ecua\iile de echilibru pentru nodul D (fig. Apl-2.31.d):SSDEHD S SCDAD 0, 0;(2)(3)(4)76

SIMULAREA SISTEMELOR MECANICE SSDEHD S SCDAD 0; 2104N.Ecua\iile de echilibru pentru nodul H (fig. Apl-2.31.e):SACyS ADynodul CS CHyS HDSHDnodul DA OS CDS CDS DEH AV Anodul AxC O(/2) - xS ADD OxS ACb) c) d)ynodul HyH OS HIS HIS IJS HExnodul II OxS CHS HDS IEe) f)Fig. Apl-2.31. b,c,d,e,fS S cos Ssin 0,HI HECHSHEsin SHDSCHcos 0;(5)41 2 104 S S 5,2 10N; HEHDosin sin 22,62SHI4o45,210cos 22,62 4,810N Scos . HE77

SIMULAREA SISTEMELOR MECANICEEcua\iile de echilibru pentru nodul I (fig. Apl-2.31.f):SSIJIE SHI 0; 0,(6)N S 0 ]i S S 4,810. IEIJHI{n figura 5.1.g (nota\ia nodurilor nu coincide-alegerea este facut` prinprogram; eforturile se echivaleaz` compar@nd cu nota\iile din figura cu datele4Fig. Apl-2.31.g (reac\iunile ]i eforturile sunt indicate [n kN)ini\iale) este reprezentat grafic rezultatul prelucr`rii datelor problemei cuajutorul modulului “Truss Analysis” al programului MDSolids 3.0. Observa\ie:toate for\ele din figur` ([nc`rcare, reac\iuni ]i eforturi din bare) sunt date [n kN.Deci se verific` rezultatele ob\inute prin cele trei metode.78

SIMULAREA SISTEMELOR MECANICEApl. 2.32Grinda cu z`brele din figura Apl-2.32 este [nc`rcat` cu sarcina distribuit`p 4 kN / mpe bara rezemat` pegrind` prinintermediul celorCtrei role dinFpunctele C, D ]i F,Dde intensitate2 mp 4 kN / m. S`se determineEBeforturile [n barele1 mACB, CD, DB, BA ]iGAC ale grinzii cuz`brele din figur`.HA2 m1 mA1 m 2 m 2 m 1 mCB1 m 2 m 2 m 1 mV AFig. Apl-2.32DFig. Apl-2.32.aRezolvare:Metoda I -aGrinda cuz`brele este staticdeterminat` deoareceeste [ndeplinit`condi\ia:b 2 n 3, 11 2 7 3.Unghiurile dinfigura Apl-2.32.asunt:3 o arctg 45 ;33 o arctg 71,561.Se determin`reac\iunileexterioare utiliz@ndteorema solidific`rii pentru [ntreaga grind` cu z`brele (fig. Apl-2.32.a):P p 4 16FEkNGN GHNNAGG 0, VA P 0,6 P 3 0;(1)79

SIMULAREA SISTEMELOR MECANICESACyAOSAB xS AGS BCS AByBOS BDx1 P4COS ACySBCSCDxVA90 o - HNVAGAb) c) d)Fig. Apl-2.32.b,c,d 0;3 P 6 P NG1216 16 103kN810 3 8103N ; 810Grinda cu z`brele fiind simetric` se determin` eforturile numai din barelep`r\ii din st@nga planului de simetrie vertical ce con\ine ]i nodul D ]i se atribuie]i celor simetrice astfel: SAC SGF, SAB SEG, SCB SEF, SCD SDF]iSDB S ED .Pentru partea din st@nga planului de simetrie vertical se determin`eforturile din barele grinzii cu z`brele aplic@nd metoda izol`rii nodurilorpornind de la nodul A ]i continu@nd, [n ordinea urm`toare, cu nodurile B ]i C.Ecua\iile de echilibru pentru nodul A (fig. Apl-2.32.b):3N.SVAGA S SACABcos Ssin SABAC cos 0,sin 0.(2)Ecua\iile de echilibru pentru nodul B (fig. Apl-2.32.c):SSDBBCcos S SABABsin Scos 0,DBsin 0.Ecua\iile de echilibru pentru nodul C (fig. Apl-2.32.d):S CD SP / 4AC Ssin90BC SoAC 0,cos90o 0.(3)(4)80

SIMULAREA SISTEMELOR MECANICERezolvarea sistemului constituit din grupurile de ecua\ii de echilibrucorespunz`toare celor trei noduri - rel. (2), (3) ]i (4), av@nd 6 ecua\ii ]i 6necunoscute, se face cu ajutorul procedurilor din MATHCAD. {n tabel suntintrodu]i coeficien\ii necunoscutelor sistemului ]i termenii liberi.Nec. Nr. ec.S AG S AC S AB S BC S DB S CDTerm.liber2 1 1 cos cos 0 0 0 02 2 0 sin sin 0 0 0 -V A3 1 0 0 -cos 0 cos 0 03 2 0 0 -sin 1 sin 0 04 1 0 -sin(90 o -) 0 0 0 1 04 2 0 cos(90 o -) 0 1 0 0 -P/4V A 810 3 N P 1610 3 N atan 3 45deg atan 3 71.565deg 3 1Enter a non-singular matrix corresponding to n equations the in n unknowns:Enter a vector of n constants 1 cos cos0 0 0 00 sin sin 0 0 0 V 0 0 cos0 cos0 A M 0 0 sin 1 sin 0 0 v 0 0 sin90deg0 0 0 1 0 0 cos90deg 0 1 0 0 P solnlsolveM ( v) 45.33310 3 S AG Solution:soln4.21610 35.65710 37.46110 145.65710 31.33310 3NsolnS ACS ABS BCS DBS CD81

SIMULAREA SISTEMELOR MECANICEMetoda II -a(]i cu scop de verificare al rezultatelor ob\inute prin metoda I -a )Se determin` eforturile din barele AG, DB ]i CD ale grinzii cu z`breleaplic@nd metoda sec\iunilor (fig. Apl-2.32.e):y2 mCP1IP4 4 103N S CDS DBSVSAGACD SCD SDBcos 0,P SDBsin 0,4P1 21 0.4(5)1 mAO1 mV ABIFig. Apl-2.32.eS AGxdin ecua\ia (5 2 )1 P SDB VA sin 4 31 16.10 8.10osin 45 4 5,657 1033N;din ecua\ia (5 3 )4P 1,6 103S CD 1,33310N; 12 12din ecua\ia (5 1 )SAG SCD SDBcos 3 3 2 23 1,33310410 5,33310N.2 2Pentru determinarea eforturilor din barele AC, CD ]i AD se aplic` metodaizol`rii nodurilor pentru nodurile A ]i respectiv D (fig. Apl-2.32.b ]i c),ecua\iile (2) ]i (3), din care rezult` direct (numai dou` eforturi necunoscute [nfiecare grup de c@te dou` ecua\ii) eforturile necunoscute:din ecua\ia (2)82

Sdin ecua\ia (3 1 )ACSdin ecua\ia (3 2 )SSIMULAREA SISTEMELOR MECANICESAGsin VA cosSsin cos sin cosABBC S S5,33310DBABsin371,56 810 5,65710sin SoDB3 453oN;22sin 0.AGosin 45 VAcos 45sin -4,217103N;{n figura Apl-2.32.f este reprezentat grafic rezultatul prelucr`rii dateloroFig. Apl-2.32.f (reac\iunile ]i eforturile sunt indicate [n kN)problemei cu ajutorul modulului “Truss Analysis” al programului MDSolids 3.0.Observa\ie: toate for\ele din figura Apl-2.32.f ([nc`rcare, reac\iuni ]i eforturi dinbare) sunt date [n kN.Deci se verific` rezultatele ob\inute prin cele trei metode.83

SIMULAREA SISTEMELOR MECANICEApl. 2.33S` se determine eforturile [n toate barele grinzii cu z`brele din figura Apl-2.33.p 15 kN / mR`spuns:S AB 48 kN- {;BS CD 36kN- C;D F GS EF 0 ;ES AC 124,8 kN-C;S CE 93,6 kN- C;CAS EG 93,6 kN- C;2,4 m 2,4 m 2,4 m S BD 86,4 kN- {;S DF 86,4 kN- {;S FG 86,4 kN- {;Fig. Apl-2.33S 0 .3 mDEFig. Apl-2.33.a (reac\iunile ]i eforturile sunt indicate [n kN)84

SIMULAREA SISTEMELOR MECANICE2.b. ANALIZA STATIC~ - SolidWorks1. Deschidem piesa BATIU-exercitiu (fig. 2.6).2. Click st@nga pe iconita ceFig. 2.6reprezinta COSMOS AnalysisManager]i rezultatul actiunii este reprezentat [nfigura 2.7.Fig. 2.73. Click dreapta pe BATIU- exercitiu, apoi click st@nga pe Study (fig.2.8), rezultatul actiunii este reprezentat [n figura 2.10.3’. La rezultatul din figura 2.10 se ajunge si prin actiunile: click dreapta peStudy din COSMOSWorks de pe bara cu meniuri (fig. 2.9).85

SIMULAREA SISTEMELOR MECANICEFig. 2.8 Fig. 2.94. Se selecteaza din Type studiul Static (sau alte tipuri). Click OK sirezultatul este reprezentat [n figura 2.11.Fig. 2.10 Fig. 2.11 Fig. 2.12 Fig. 2.1386

SIMULAREA SISTEMELOR MECANICE5. Click dreapta pe iconita si rezultatul este reprezentat[n figura 2.12.6. Click st@nga pe iconita pentru a realiza legatura la sistemulfix (restric\ii [n mobilitate), si rezultatul este reprezentat [n figura 2.13.6’. Acela]i rezultat se ob\ine si daca se face click st@nga pe iconita[n figura 2.13.de pe bara cu instrumente ]i rezultatul este reprezentat tot7. Selectam fata 2, indicat` [n dreptunghiul albastru prin Face 2 ]irezultatul ac\iunii este reprezentat [n figura 2.14. Click OK.8. Click dreapta pe iconita si rezultatul este reprezentat [nfigura 2.12.Fig. 2.149. Click st@nga pe iconi\apentru [nc`rcarea piesei cu for\e ]irezultatul este reprezentat [nfigura 2.15. {n aceast` etap` sealege tipul de for\` ]i punctual deaplica\ie al acesteia (prima casu\`din zona Type). {n c`su\a a douase selecteaz` directia (paralel` cuo muchie sau perpendicular` peun plan; sunt ]i alte posibilit`\i).Click OK.87

SIMULAREA SISTEMELOR MECANICEFig. 2.15Fig. 2.1610. Click dreapta pe iconita (vezi figura 2.16).11. Click dreapta pe iconita (vezi figura 2.16).88

SIMULAREA SISTEMELOR MECANICEDupa click dreapta din etapa 11 se deschidecasu\a Mesh Parameters (vezi figura 2.17) [ncare se stabilesc dimensiunile si tolerantelediscretizarilor ]i dupa click OK aparediscretizarea (mesh-area) din figura 2.16.{n loc de click dr. pe iconitase face click dr. pe iconita]i result` at@t mesh-area c@t ]i deplas`rile ]itensiunile. {n primul caz este necesar sa separcurga etapa 12.Fig. 2.17Fig. 2.18Fig. 2.1912. Click dreapta pe iconita ]i se deschide fereastrareprezentat` [n figura 2.18.Click st@nga pe iconita ]i rezult` deplas`rile ]itensiunile, ca in cazul parcurgerii etapei 11. Rezulta pe ecran reprezentarea dinfigura 2.19, adica rezultatele analizei statice cuprinse [n Report ]i Results.13. Click Results (fig. 2.19) ]i se ob\in [n trei imagini deplas`rile ]ideforma\iile piesei supusa solicit`rii.14. Click Report ]i ob\ine rezultatul analizei de forma general` de mai jos.89

SIMULAREA SISTEMELOR MECANICEStress analysis of BATIU-exercitiuNote:Do not base your design decisions solely on the data presented in this report. Use this information inconjunction with experimental data and practical experience. Field testing is mandatory to validate your finaldesign. COSMOSWorks helps you reduce your time-to-market by reducing but not eliminating field tests.Table of ContentsTable of Contents .................................................................................................................................. 90List of Figures ....................................................................................................................................... 90Imobilizarea este facuta prin fixarea fetei din stinga-jos (incastrare). Incarcarea este facuta cu o fortaconcentrata in virful de jos dreapta-fata. ............................................................................................... 90Assumptions .......................................................................................................................................... 90Model Information................................................................................................................................. 90Study Properties .................................................................................................................................... 91SI ........................................................................................................................................................... 91Proprietatile materialului ....................................................................................................................... 91Forta concentrata. Incastrarea face imobilizarea. .................................................................................. 92Restraint ............................................................................................................................................ 92Load .................................................................................................................................................. 92Connector Definitions ........................................................................................................................... 92Contact................................................................................................................................................... 92Mesh Information .................................................................................................................................. 92Design Scenario Results ........................................................................................................................ 92Sensor Results ....................................................................................................................................... 92Reaction Forces ..................................................................................................................................... 92Free-Body Forces .................................................................................................................................. 92Free-body Moments .......................................................................................................................... 92Bolt Forces ............................................................................................................................................ 93Pin Forces .............................................................................................................................................. 93Study Results......................................................................................................................................... 93Conclusion............................................................................................................................................. 94List of FiguresBATIU-Study 1-Stress-Stress1 ............................................................................................................. 93BATIU-Study 1-Displacement-Displacement1..................................................................................... 94BATIU-Study 1-Strain-Strain1 ............................................................................................................. 94Imobilizarea este facuta prin fixarea fetei din stinga-jos (incastrare). Incarcarea este facuta cu o fortaconcentrata in virful de jos dreapta-fata.Summarize the FEM analysis on BATIUAssumptionsModel InformationDocument Name Configuration Document Path Date ModifiedBATIU Default D:\geo-probl\PROBL - Thu Feb 04 10:55:18SolidWorks\BATIU.SLDPRT 201090

Study PropertiesSIMULAREA SISTEMELOR MECANICEStudy name Study 1Analysis typeMesh Type:Solver typeInplane Effect:Soft Spring:Inertial Relief:Thermal Effect:StaticSolid MeshFFEPlusOffOffOffInput TemperatureZero strain temperature 298.000000UnitsInclude fluid pressure effects fromCOSMOSFloWorksFriction:Ignore clearance for surface contactUse Adaptive Method:SIUnit system:Length/DisplacementTemperatureAngular velocityKelvinOffOffOffOffSImKelvinrad/sStress/PressureN/m^2Proprietatile materialuluiNo. Body Name Material Mass Volume1 BATIU [SW]AISI 304 0.82763 kg 0.000103454 m^3Material name: [SW]AISI 304Description:Material Source:Used SolidWorks materialMaterial Library Name:solidworks materialsMaterial Model Type:Linear Elastic IsotropicProperty Name Value Units Value TypeElastic modulus 1.9e+011 N/m^2 ConstantPoisson's ratio 0.29 NA ConstantShear modulus 7.5e+010 N/m^2 ConstantMass density 8000 kg/m^3 ConstantTensile strength 5.1702e+008 N/m^2 ConstantYield strength 2.0681e+008 N/m^2 ConstantThermal expansion 1.8e-005 /Kelvin ConstantcoefficientThermal conductivity 16 W/(m.K) Constant91

SIMULAREA SISTEMELOR MECANICESpecific heat 500 J/(kg.K) ConstantForta concentrata. Incastrarea face imobilizarea.RestraintRestraint name Selection set DescriptionRestraint-1 on 1 Face(s) fixed.LoadLoad name Selection set Loading type DescriptionForce-1 on 1 Vertex(s) applyforce 50 N normal toSequential Loadingreference plane withrespect to selectedreference Edge< 1 >usinguniformdistributionNo Connectors were definedContact state: Touching faces - BondedMesh Type:CONNECTOR DEFINITIONSCONTACTMESH INFORMATIONSolid MeshMesher Used:Automatic Transition:Smooth Surface:Jacobian Check:Element Size:Tolerance:Quality:StandardOffOn4 Points4.6959 mm0.23479 mmHighNumber of elements: 8396Number of nodes: 16685Time to complete mesh(hh;mm;ss): 00:00:02Computer name:Design Scenario ResultsNo data available.Sensor ResultsNo data available.Reaction Forces92MECANICA-1061ECSelection set Units Sum X Sum Y Sum Z ResultantEntire Body N 0.0536094 -50.0005 -0.0333881 50.0005Free-Body ForcesSelection set Units Sum X Sum Y Sum Z ResultantEntire Body N 0.00599593 0.000853386 -0.000369708 0.00606763Free-body MomentsSelection set Units Sum X Sum Y Sum Z Resultant

SIMULAREA SISTEMELOR MECANICEEntire Body N-m 0 0 0 1e-033Bolt ForcesNo data available.Pin ForcesNo data available.Study ResultsDefault ResultsName Type Min Location Max LocationStress1 VON: vonMises StressDisplacement1Strain1URES:ResultantDisplacementESTRN:EquivalentStrain7527.42 N/m^2Node: 84560 mNode: 553.25987e-008Element: 7176(108 mm,-110 mm,-30 mm)(-110 mm,-110 mm,-30 mm)(108 mm,-108.854 mm,-28.8462 mm)1.08553e+008N/m^2Node: 166850.00753946 mNode: 16710.000302214Element: 7799(-110 mm,-105.026 mm,19.1809 mm)(110 mm,-110 mm,30 mm)(-106.466 mm,-105.915 mm,18.1665 mm)Fig. 2.20. BATIU-Study 1-Stress-Stress193

SIMULAREA SISTEMELOR MECANICEFig. 2.21. BATIU-Study 1-Displacement-Displacement1Conclusion-Fig. 2.22. BATIU-Study 1-Strain-Strain194

SIMULAREA SISTEMELOR MECANICE2.c. Analiza statica - SolidWorksALTE EXEMPLEFig. 2.23.- Ansamblul structurii pentru care se fac studiile staticesi cinematice cu ajutorul programului SOLIDWorksFig. 2.24. Ansamblul structurii pentru care se fac studiile staticesi cinematice cu ajutorul programului SOLIDWorks – in explozie95

SIMULAREA SISTEMELOR MECANICEFig. 2.25. Restrictii si incarcarea statica realizate cu ajutorulprogramului SOLIDWorks – COSMOSWorks –sectiune in ansambluFig. 2.26. Restrictii si incarcarea statica realizate cu ajutorulprogramului SOLIDWorks – COSMOSWorks96

SIMULAREA SISTEMELOR MECANICEFig. 2.27. Mesh-area realizata cu ajutorulprogramului SOLIDWorks – COSMOSWorksFig. 2.28. Deplasarile rezultate din incarcarile statice realizate cu ajutorulprogramului SOLIDWorks – COSMOSWorks Deplasari – alte restrictii97

SIMULAREA SISTEMELOR MECANICEFig. 2.29. Tensiunile (N/m 2 ) rezultate din incarcarile statice realizate cuajutorul programului SOLIDWorks – COSMOSWorks – alte restrictiiFig. 2.30. Intindere-compresiune - rezultate din incarcarile staticerealizate cu ajutorul programului SOLIDWorks – COSMOSWorks98

SIMULAREA SISTEMELOR MECANICEFig. 2.31. Restrictii si incarcarea statica realizate cu ajutorulprogramului SOLIDWorks – COSMOSWorks– alte restrictiiFig. 2.32. Deplasarile rezultate din incarcarile statice realizate cu ajutorulprogramului SOLIDWorks – COSMOSWorks– alte restrictii99

SIMULAREA SISTEMELOR MECANICEFig. 2.33. Tensiunile (N/m 2 ) rezultate din incarcarile statice realizate cuajutorul programului SOLIDWorks – COSMOSWorks– alte restrictiiFig. 2.34. Intindere-compresiune - rezultate din incarcarile statice realizatecu ajutorul programului SOLIDWorks – COSMOSWorks– alte restrictii100

CAPITOLUL 3Notiuni generale decinematica

SIMULAREA SISTEMELOR MECANICE3. NOTIUNI GENERALE DE CINEMATICA3.1. Traiectorii, viteze, accelera\iiPentru a cunoa]te traiectoria unui punct material, este necesar a ficunoscut vectorul de pozi\ie al acestui punct material ca func\ie de timp(uniform`, continu` ]i derivabil` de dou` ori), vector de pozi\ie ce are originea[ntr-un punct fix O din spa\iu (fig. 3.1). {n problemele spa\iale, vectorul depozi\ie are [n componen\` 3 parametri scalari variabili [n timp, care [n func\ie desistemul de referin\` ales pot fi: coordonatele carteziene, coordonatele sferice,coordonatele cilindrice etc.Traiectoria unui punct material este locul geometric al pozi\iilorsuccesive ale extremit`\ii vectorului de pozi\ie r(t) OM, al punctului material[n timpul mi]c`rii sale. Pentru cunoa]terea mi]c`rii punctului M, este necesar`cunoa]terea ecua\iilor parametrice ale traiectoriei acestuia, care pot fi:- [n coordonate cartezienex x(t); y y(t); z z(t) ; (3.1)- [n coordonate cilindricer r(t); (t);z z(t) ; (3.2)- [n coordonate sfericer r(t); (t); (t). (3.3)Rela\iile de leg`tur` [ntre coordonatele carteziene ]i coordonatele cilindricerespectiv coordonatele sfericeCsunt stabilite [n capitolul 2 (staticaM M’punctului material).Viteza. Consider`m punctulTangenta lar tcurba C in M material [n pozi\ia M, lamomentul t, pozi\ionat prinOrt tvectorul de pozi\ie r (t)]i [nvpozi\ia M', la momentul (t+t),Fig. 3.1.pozi\ionat prin vectorul de pozi\ier(t t)ca [n figura 3.1.Viteza medie a punctului material mobil [ntre pozi\iile M ]i M’ este prindefini\ie:arcMM'v m . (3.4)t103

SIMULAREA SISTEMELOR MECANICEVectorul vitez` instantanee este dat de derivata [n raport cu timpul afunc\iei vectoriale de timp, vectorul de pozi\ie r (t), adic`:v drdtlimt0rt trttMM' lim ; (3.5)t0tv limt0limt0MM' MM' arcMM' MM' arcMM' tMM' MM' arcMM' lim lim 1s v;MM' t0arcMM' t0t(3.6)104drv r v . (3.7)dtMi]carea punctului M pe traiectoria C fiind cunoscut`, rela\ia care odescrie este:s s(t) , (3.8)cunoscut` deasemeni ]i poart` denumirea de ecua\ie orar` a mi]c`rii.Din rela\ia de defini\ie a vitezei (3.5) rezult` urm`toarea ecua\iedimensional` a acestei m`rimi:L .T1v L T{n sistemul interna\ional de unit`\i (SI) viteza se m`soar` [n metri pesecund` (m/s).Accelera\ia punctului M este m`rimea vectorial` care caracterizeaz`M 1v2v 1v 3CPM 3M 2v 3a) b)Fig. 3.2.v 1v 2N 3N 1N 2

SIMULAREA SISTEMELOR MECANICEvaria\ia [n timp a vectorului vitez`. Pentru a o determina, alegem un punctarbitrar P (fig. 3.2,b) [n care construim vectori echipolen\i cu vectorii vitez`v 1,v 2 , ... , v n ai punctului mobil M (fig. 3.2,a), aflat [n diferite pozi\ii petraiectoria sa C .Unind v@rfurile vectorilor echipolen\i construi\i cu originea [n P ob\inemo curb` numit` hodograful vitezelor (fig. 3.2, b),, dup` cum unindv@rfurile tuturor vectorilor de pozi\ie r am ob\inut curba C descris` depunctul material. {n timp ce punctul material mobil M parcurge traiectoria sa,punctul N parcurge traiectoria v@rfului vectorului vitez` (hodograful vitezelor),astfel [nc@t atunci c@nd punctul M se afl` [ntr-o anumit` pozi\ie pe traiectoria saC ]i are viteza v , punctul N corespunz`tor de pe curba se afl` [npozi\ia [n care vectorul s`u de pozi\ie este v . Calcul`m viteza punctului N.Pentru aceasta este suficient doar s` [nlocuim [n formula vitezei (3.7) vectorul depozi\ie r prin vectorul vitez` v ]i vom avea:v Ndvdt v r a . (3.9)Cu alte cuvinte viteza de deplasare a punctului N, v@rful vectorului pehodograful vitezei este chiar accelera\ia punctului material M [nmi]carea real` pe curba C .Din rela\ia de defini\ie (3.9) a accelera\iei rezult` urm`toarea ecua\iedimensional` a acestei m`rimi: av L 2 L T.2T T{n sistemul interna\ional de unit`\i (SI) accelera\ia se m`soar` [n metri pesecund` la p`trat (m/s 2 ).3.2. Componentele vitezei ]i ale accelera\iei [ndiferite sisteme de coordonate3.2.1. Sistemul de coordonate cartezieneExprim`m vectorul de pozi\ie [n func\ie de proiec\iile sale pe axele unuisistem cartezian Oxyz, ale c`ror direc\ii sunt fixe, date de versorii constan\ii , j, k .r t xti y t j ztk . (3.10)Deriv`m rela\ia (3.10) [n raport cu timpul:105

SIMULAREA SISTEMELOR MECANICEv x(t) i y(t) j z(t) k x(t) i y(t) j z(t) k. (3.11)Deoarecei 0,j 0, k 0 , rezult` expresia vectorului vitez` [nfunc\ie de proiec\iile sale pe axele sistemului cartezian de referin\`:]i modulul s`uv v i v jv k(3.12)xyzv2 2 2 2 2 2x y z vx vy vz. (3.13)Apoi deriv`m rela\ia (3.12) [n raport cu timpul, ]i din acelea]iconsiderente, ob\inem expresia vectorului accelera\ie [n func\ie de proiec\iilesale pe axele sistemului cartezian ]i modulul s`u:a v x i y j z k v i v jv k(3.14)xyza2 2 2 2 2 2 x y z a x a y a z(3.15)3.2.2. Sistemul de coordonate polarena(t)Oy(t)vFig. 3.3.r tMxAcest sistem de coordonate seutilizeaz` pentru studiul mi]c`rilorplane ale punctului material, faptpentru care axele sistemului xOy ]iale sistemului polar cu versorii ]i n , sunt coplanare cu planulmi]c`rii (fig. 3.4). Axele sistemuluipolar sunt mobile, deci parametrii ]i n sunt variabili [n direc\ie ]iexprima\i [n func\ie de timp prinexpresiile: cosi sin jn sin i cos j(3.16)Deriv`m [n raport cu timpul rela\iile (3.16): sin i cosj n n cos i sin j (3.17)106

SIMULAREA SISTEMELOR MECANICE{ntre coordonatele carteziene ]i cele polare ale aceluia]i punct exist`rela\iile:x r cos ,(3.18)y r sin.{n general, [n timpul mi]c`rii punctului material, coordonatele sale polarese schimb`, adic` sunt func\ii de timp r r(t), (t), motiv pentru carerela\iile (3.18) reprezint` ecua\iile parametrice ale traiectoriei [ C]a punctuluiM, parametrul fiind timpul.Din schi\` se observ` c` vectorul de pozi\ie r ]i versorul suntcoliniari, adic`:r r (3.19)Deriv`m [n raport cu timpul rela\ia (3.19) ]i av@nd [n vedere ]i rela\ia(3.17 1 ), ob\inem vectorul vitez` a punctului M, v r r r r r n(3.20)Proiec\iile vectorului vitez` v , pe axele sistemului de coordonate polarede versori ]i n , sunt:v vn r, r ,(3.21)iar modulul s`uvr 22r (3.22)Deriv`m [n raport cu timpul rela\ia (3.20) ]i ob\inem vectorul accelera\iea punctului M:a v r r r n r n r n,sau ordonat` dup` versorii axelor2r r 2 r r na . (3.23)Proiec\iile vectorului accelera\ie a pe axele sistemului de coordonate deversori ]i n , sunt:a an2 r r , 2 r r ,(3.24)107

SIMULAREA SISTEMELOR MECANICEiar modulul s`ua2r r 2 2 r r 2 . (3.25)3.2.3. Sistemul de coordonate intrinseci (naturale sautriedrul lui Frenet)Acest sistem de coordonate este un sistem mobil, triortogonal, cu origineape curb` [n punctul M, av@nd ca axe (fig. 3.4):• tangenta la curb`, de versor cu sensul pozitiv [n sensul de cre]tereal arcului s;• normala principal`, adic` normala din planul osculator al curbei(planul limit` determinat de tangenta [n M ]i un punct M’ ce tindec`tre M), pozitiv` spre centrul de curbur`, cu versorul ;• binormala, adic` normala perpendicular` pe planul osculator al c`ruiversor se noteaz` cu , pozitiv astfel ca versorii , ]i , [naceast` ordine, s` formeze un triedru drept.stMa vM OCM’aa r tPlanul osculatorOFig. 3.4.Utiliz`m dou` din formulele lui Frenet ]i anume:drdsd 1 , , (3.26)ds 108

SIMULAREA SISTEMELOR MECANICEunde este raza de curbur`.Cu ajutorul rela\iei de defini\ie a vectorului vitez` (3.7) ]i a rela\iei(3.26 1 ), rezult` expresia vectorului vitez` [n sistem de coordonate intrinseci(triedrul lui Frenet):dr ds dr dsv r s v,dt ds ds dtv s v , (3.27)Pentru stabilirea proiec\iilor vectorului accelera\ie pe axele triedrului luiFrenet, deriv`m rela\ia (3.27): da r v v v v , (3.28)dt]i \inem cont de rela\ia (3.26 2 ), astfel c`:dds dds 1 v . (3.29)dt ds ds dt Deci, cu (3.29) [n (3.28), ob\inem expresia vectorului accelera\ie func\iede proiec\iile sale pe axele intrinseci:2 1a v v . (3.30)Proiec\iile vectorului accelera\ie pe axele triedrului Frenet sunt:aaa v2v 0(3.31)iar modulula222 v v (3.32) Observa\ii: Vectorul accelera\ie apar\ine planului osculator (proiec\ia vectoruluiaccelera\ie pe axa de versor este nul`).109

SIMULAREA SISTEMELOR MECANICE Accelera\ia tangen\ial` a d` informa\ii [n leg`tur` cu viteza devaria\ie a m`rimii vectorului vitez` ]i poate fi pozitiv` sau negativ`,dup` cum coincide ca sens cu sensul vectorului vitez` sau nu. Accelera\ia normal` a d` informa\ii despre viteza de varia\ie adirec\iei vectorului vitez` ]i este orientat` [ntotdeauna [n sensul pozitival versorului (spre centrul de curbur`).110

CAPITOLUL 4Cinematica solidului rigid

SIMULAREA SISTEMELOR MECANICE4. CINEMATICA SOLIDULUI RIGID4.1. Mi]carea general` a solidului rigid4.1.1. Generalit`\iFormularea problemei: cunosc@ndu-se mi]carea unui solid rigid [n raportcu un sistem de referin\` fix se cere s` se determine traiectoria, viteza ]iaccelera\ia unui punct oarecare al solidului [n raport cu acest sistem de referin\`,la un moment tarbitrar ales. Pentrux 1i 1z 1k 1O 1j 1r 1izr 1OxkiFig. 4.1.jr iM iOv iUltimele trei func\ii vectoriale din rela\iile (4.1) trebuie s` [ndeplineasc`113Cy 1a iyrezolvarea problemeialegem dou` sistemede referin\`: unul fixO 1 x 1 y 1 z 1 ]i al doileamobil Oxyz solidarcu rigidul a c`reimi]care se studiaz`(fig. 4.1). Mi]careasistemului de referin\`mobil Oxyz, fa\` decel fix O 1 x 1 y 1 z 1 , estecunoscut` deoareceeste cunoscut`mi]carea rigidului cucare acest sistem dereferin\` este solidar.Cu aceste considerente, punctul M i , unul oarecare al solidului, are opozi\ie determinat` invariabil fa\` de sistemul de referin\` Oxyz pe toat` duratami]c`rii. Rezult` a]adar c` orice punct M i al solidului are coordonatelex i , y i , z i , [n raport cu sistemul Oxyz, determinate ]i constante.Pozi\ia sistemului Oxyz [n timpul mi]c`rii este determinat` dac` secunoa]te vectorul de pozi\ie r 10 al originii O a sistemului mobil ]i pozi\iileaxelor acestui sistem adic` versorii axelor acestuia i , j, k .Pozi\ia rigidului fiind variabil` [n timp ]i invariabil` fa\` de sistemulOxyz, patru func\ii vectoriale de timp vor determina mi]carea rigidului fa\` desistemul de referin\` fix O 1 x 1 y 1 z 1 : r t ; i i t ; j j t ; k k t . (4.1) r10 10

SIMULAREA SISTEMELOR MECANICEurm`toarele condi\ii:i i 1;jj 1;k k 1; i j 0; jk 0; k i 0. (4.2),(4.3){ntr-adev`r, vectorii i , j, k fiind versori justific` condi\iile (4.2) ]i[ntruc@t apar\in unor axe triortogonale drepte se justific` ]i condi\iile (4.3).Rezult`, a]adar c` din cele 12 necunoscute scalare corespunz`toare celorpatru vectori (4.1), r`m@n doar ]ase independente ]i astfel pozi\ia unui solidrigid fa\` de un sistem de referin\` fix O 1 x 1 y 1 z 1 depinde (este determinat`) de]ase parametrii scalari independen\i adic` are ]ase grade de libertate.4.1.2. Derivata unui vector dat prin proiec\ii pe axeleunui sistem de referin\` mobilConsider`m un vector u (t)dat prin proiec\iile sale u x (t), u y (t)]i u z (t)pe axele sistemului de referin\` mobil Oxyz:u t u t i u t j u tk (4.4)xyzDeriv@nd [n raport cu timpul rela\ia (4.4), ob\inem:u u i u j u k u i u j u k, (4.5)xyzxunde versorii i , j ]i k sunt constan\i [n m`rime, dar variabili [n direc\ie.Exprim`m derivatele acestor versori [n func\ie de proiec\iile lor pe axelesistemului mobil de coordonate:i jki ii i jj i kkjii jjj jkkk ii k jj k k kyz(4.6)Deriv@nd rela\iile (4.2) ]i (4.3) ob\inem:2 i i 0; 2jj 0; 2k k 0(4.7)114i j ij zjk jk x(4.8)k i ki yNota\iile introduse [n ultimele rela\ii, [n mecanic` reprezint` proiec\iile

SIMULAREA SISTEMELOR MECANICEvectorului vitez` unghiular` pe axele unui sistem de coordonate mobil. Subform` vectorial` se scrie: x i y j z kDac` introducem [n rela\iile (4.6) rela\iile (4.7) ]i (4.8), atunci ob\inem:ii z j y k x1ij z i x k x0ik y i x j x0j0j1jy0yyk0k0kz1zz, (4.9)decii ij j , numite ]i rela\iile lui Poisson. (4.10)k kIntroducem expresiile derivatelor versorilor sistemului mobil, date derela\iile (4.10), [n expresia derivatei [n raport cu timpul (4.5) a vectorului u t]iob\inem:duu dt u i uxy j uz k ux( i) uu ux i uy j uz k ,ty( j) uz( k) du u u , (4.11)dt t[n care: u ux i uy j uz k , este derivata relativ` (local`), vectorul care tare proiec\iile pe axele sistemului mobil Oxyz egale cu derivatele [n raport cutimpul ale proiec\iilor vectorului u pe axele aceluia]i sistem de coordonatemobil:115

SIMULAREA SISTEMELOR MECANICEd u , este derivata absolut`, vectorul a c`rui proiec\ii pe axele sistemuluidtfix sunt egale cu derivatele [n raport cu timpul a proiec\iilor vectorului u peaxele aceluia]i sistem de coordonate fix.4.1.3. TraiectoriiDin figura 4.1 se poate scrie rela\ia vectorial` de leg`tur` [ntre vectorul depozi\ie r 1ial punctului M i [n raport cu sistemul de referin\` fix, vectorul depozi\ie r 1Oal originii sistemului de referin\` mobil O fa\` de cel fix ]i vectorulde pozi\ie al punctului M i [n raport cu sistemul de referin\` mobil, adic`:r1ir1O ri , (4.12)under1i x1i i1 y1i j1 z1i k1,r1O x1O i1 y1O j1 z1O k1,ri xi i yi jzi k.(4.13)Ecua\iile parametrice ale traiectoriei C punctului M i se ob\inproiect@nd rela\ia (4.12), utiliz@nd ]i (4.13), pe axele sistemului de referin\` fixO 1 x 1 y 1 z 1 , adic`:xyz1i1i1i x y z1O1O1O x x xiiicos coscosi,i1yi cosj,i1zi cosk,i1i,j1yi cosj,j1zi cosk,j1i,k y cosj,k z cosk,k 1i1i1(4.14)4.1.4. Distribu\ia de viteze ]i accelera\iiDistribu\ia de viteze.Prin derivarea [n raport cu timpul a rela\iei (4.12) se ob\ine:r1i r1O ri, (4.15)unde r 1i vi]i r 1O v O reprezint` vitezele punctului M i ]i respectiv aoriginii triedrului Oxyz corespunz`toare unui moment oarecare din timpulmi]c`rii solidului. {n privin\a vectorului r i se constat` c` este definit prinproiec\iile lui pe axele unui sistem de referin\` mobil (solidar cu rigidul) ]i prinurmare derivata sa se calculeaz` cu rela\ia (4.11), adic`:rir i ri. (4.16) tDeoarece vectorul de pozi\ie116r x i y j z k are proiec\iile peiiii

SIMULAREA SISTEMELOR MECANICEaxele sistemului de referin\` mobil Oxyz (solidar cu rigidul nedeformabil),derivatele acestora [n raport cu timpul sunt nule, ceeace face ca rela\ia (4.16) s`devin`: r , (4.17)i r iiar rela\ia (4.15) se transform` corespunz`tor [n:vi v r , (4.18)Oinumit` rela\ia lui Euler pentru distribu\ia vitezelor [ntr-un rigid.Proiect@nd rela\ia (4.18) pe axele sistemului de referin\` mobil Oxyz,preg`tind [n prealabil vectorii componen\i, adic`:v v i v j v k , v v i v jv k ,iixiyizOOxOyOzi j k r ,ixxiyyizzise ob\in proiec\iile vectorului vitez` pe axele sistemului de referin\` mobilOxyz, sub forma (4.19):v vvixiyiz v v vOxOyOz zi x yii yzx y zii xizx y(4.19)uObserva\ieprM iv iiir ipru v jrjM jv uFig. 4.2.Sc`z@nd cele dou` rela\ii ob\inem:vOv j jProiec\iile vitezelor adou` puncte ale unui solidrigid [n mi]carea general`,pe direc\ia determinat` decele dou` puncte, sunt egale[ntre ele (fig. 4.2).Aplic`m rela\ia lui Eulerpentru punctele M i ]i M j :vvij v vOO r , r .i vj MjMisau vi vj MjMi MjMiij117

SIMULAREA SISTEMELOR MECANICEv M Miji vj M Mji MjMiMjMiUltimul termen (produsul mixt) din membrul doi este nul, ceeace conducela rela\ia:vi M Mji cosivj M Mji cosjsau dup` [mp`r\ire cuM M j i, avemvi cos v cos . (4.20)ijjDistribu\ia de accelera\ii.Prin derivare [n raport cu timpul a rela\iei lui Euler de distribu\ie avitezelor (4.18) se ob\ine:vi v r r, (4.21)Oiiundev i a i este accelera\ia punctului M i ;vO a O este accelera\ia originii sistemului de referin\` mobil Oxyz; este accelera\ia unghiular` a sistemului de referin\` mobil Oxyz ,deci ]i a rigidului care este solidar cu sistemul mobil.Deasemeni, [n privin\a vectorului r i se constat` c` este definit prinproiec\iile lui pe axele unui sistem de referin\` mobil (solidar cu rigidul) ]i prinurmare derivata sa se calculeaz` cu rela\ia (4.11), [n forma: r tir i ri, (4.16)iar vectorul de pozi\ie ri xi i yi j zi k av@nd proiec\iile pe axelesistemului de referin\` mobil Oxyz (solidar cu rigidul nedeformabil), derivateleacestora [n raport cu timpul sunt nule, ceeace face ca rela\ia (4.16) s` devin`: r , (4.17)i r iiar rela\ia (4.21) se transform` corespunz`tor [n:iOi a a r r(4.22)adic`, rela\ia de distribu\ie a accelera\iilor [n mi]carea general` a solidului rigidsau rela\ia lui Rivals.Proiect@nd rela\ia (4.22) pe axele sistemului de referin\` mobil Oxyz,preg`tind [n prealabil vectorii componen\i, adic`:i118

SIMULAREA SISTEMELOR MECANICEai a i a j a k , a a i a j a kixiyizOOxOyOz riixxijyyikzzi riziyix y izxizjy z ixyixkz x iyse ob\in proiec\iile vectorului accelera\ie pe axele sistemului de referin\` mobilOxyz, sub forma (4.23):a aaixiyiz a a aOxOyOz zi x yii yzx y zii xizxy yzxyix xi y zxiz zi xzi y yi z x yi x xiyx z z y izixyiyiz(4.23)Apl. 4.1.Bra\ul CB se rote]te cu vitez` unghiular` constant` [n pozi\ia considerat`[n fig. Apl-4.1, 1 = 6rad/s, [n jurul unei axeorizontale. Tija AB estelegat` prin intermediul adou` articula\ii sferice A]i B de bra\ele DA ]i CB.Pentru pozi\ia mecanismuluidin figur`, se cere s`se determine vitezaunghiular` 2 a bra\ului DA]i viteza unghiular` n atijei AB.Fig. Apl-4.1.R:Viteza unghiular` a bra\ului BC este: 6 j[rad/s]Viteza punctului B va fi:119

SIMULAREA SISTEMELOR MECANICEv B 1 BC 600 iViteza punctului A va fi:v A 2 DA 600 imm/smm/s 2 2 k v A 50 2jFormula lui Euler care leag` vitezele a dou` puncte ale unui rigid aplicat`punctelor A ]i B ne d`:vA vB nxBA,{nlocuind vom avea:in carei j k50 2 j 600 i nxnynz50 100 100]i apoi identific@nd ob\inem sistemul:6 ny nz2 2 nx 0 2nx nyPrin adunare membru cu membru rezult`:nzBA 50 i 100j 100k 2 6 rad / s . Pentru a g`sieste perpendicular pe BA .Rezult` BA 0;adic`:n n avem nevoie de [nc` o rela\ia care se ob\ine ]tiind c`50 nx i 100 ny j 100 nz k 0Aceast` rela\ie, [mpreun` cu sistemul de mai sus ne dau solu\iile:nxrad/s; - 8/3 rad/s; 10/3rad/s. - 4/3nynz nadic`:2 i 4 j 5 k rad/s2 n 3120

SIMULAREA SISTEMELOR MECANICE2 2 2 2cu n 2 4 5 2 5 rad/s.3Apl. 4.2. Culisa B a mecanismului spa\ial din figura Apl-4.2 are omi]care rectilinie,cu vitez`constant` de-alungul axei Ox,v B = 4 m/s. {nmomentulconsideratdistan\a OB = 0,3m, iar A’A = 0,2m. S` sedetermine vitezaculisei A, care semi]c` pe odirec\ie paralel`cu axa Oy, [npozi\ia din figur`.Fig. Apl-4.2.R: Distan\a AB fiind constant`, avem:A(0; y A ; 0,6) ]i B(x B ; 0; 0);ABDeriv`m rela\ia [n raport cu timpul ]i ob\inem: x x 2 y y 0 0 .2 B B A A{n momentul considerat cunoa]tem c`:x22B2A22AB x y 0,6 L . .B 0,3 m; v B x B 4 m/s; y A 0,2 m; y A v AOb\inem: 40,3 + 0,2v A = 0Deci: v A = - 6 m/s sau 6 j m/s.v A121

SIMULAREA SISTEMELOR MECANICE4.2. Mi]c`ri particulare ale solidului rigidPentru aceste mi]c`ri particulare ale solidului rigid ne propunem s`stabilim: defini\ia mi]c`rii; pozi\ia solidului rigid; traiectoria unui punct P i ; viteza ]i accelera\ia punctului P i .4.2.1. Mi]carea de transla\ieDefini\ie: Un solid rigid execut` o mi]care de transla\ie dac` o dreapt`solidar` cu el r`m@ne [n tot timpul mi]c`rii paralel` cu ea [ns`]i sau cu o dreapt`fix` din spa\iu.a) b)Fig. 4.3x 1i 1z 1k 1O 1r 1Oj 1r 1ixr izkiFig. 4.4.M iv OjOv ia OC ia iC Oyy 1Exemple:mi]carea pistonului[n cilindrulunui motor cuardere intern`;mi]carea bielei deleg`tur` a uneilocomotive cuabur atunci cândaceasta sedeplaseaz` pe undrum drept (fig.4.3,a); mi]careascaunului unuiscrânciob care serote]te [ntr-un planvertical (fig. 4.3,b)etc.122

SIMULAREA SISTEMELOR MECANICEConsider`m solidul rigid [n mi]care de tran-sla\ie surprins la momentuloarecare t ca [n fig. 4.4.Alegerea sistemului de axe se face [n conformitate cu deplasarea (axelesistemului mobil Oxyz, solidar cu rigidul, r`m@n tot timpul mi]c`rii paralele cucele ale sistemului fix O 1 x 1 y 1 z 1 ), adic` trebuie s` avem rela\iile:i 1 11 i const; j j const; k k const . (4.24)Din cele patru func\ii vectorile de timp (4.1) cu ajutorul c`rora s-adeterminat pozi\ia rigidului [n cazul celei mai generale mi]c`ri a solidului rigid,mai r`m@ne doar una [n cazul mi]c`rii de transla\ie, pentru a cunoa]te [ntotalitate pozi\ia rigidului la orice moment [n timp, adic`:r1 O r1Ot . (4.25)Deci, [n mi]carea de transla\ie solidul rigid are 3 grade de libertate, suntnecesari 3 parametrii scalari de pozi\ie ]i anume proiec\iile pe axele sistemuluifix ale vectorului de pozi\ie r 1Oal originii sistemului de referin\` mobil [nraport cu cel fix.Traiectoria C i a punctului P i .Din schi\` putem scrie rela\ia ce leag` cei trei vectori de pozi\ie:r1ir1O ri . (4.26)Proiect@nd rela\ia (4.26) pe axele sistemului de coordonate fix O 1 x 1 y 1 z 1 ,ob\inem ecua\iile parametrice ale traiectoriei punctului P i de forma (4.27):xyz1i1i1i x y z1O1O1O x y ziii(4.27)Traiectoria C i punctului P i este paralel` cu traiectoria C O a originiiO a sistemului mobil ]i identic` cu aceasta ca form` ( x , y , z sunt constante).Viteza v i ]i accelera\ia a i ale punctului P i .Deriv`m [n raport cu timpul rela\ia (4.26):ddtr1 i r1O ri r1i r1O ri , (4.28)iiiunde:r - este viteza punctului P i ;1ivi123

1Ov OSIMULAREA SISTEMELOR MECANICEr - este viteza originii sistemului de referin\` mobil O; rir i ri- este derivata vectorului de pozi\ie ir al punctului tP i , vector dat prin proiec\ii constante [n sistemul de referin\` mobil, ceeace faceca derivata relativ` (local`) s` fie nul`.Din rela\iile (4.8), av@nd [n vedere ]i rela\iile (4.24), se ob\ine:i j z,jk x,k i y,zxy 0, 0, 0.Deci viteza unghiular` ( x i y j z k 0 ) este nul` ]i cu at@tmai mult accelera\ia unghiular` ( 0 ).Din rela\ia (4.28), cu aceste observa\ii, rezult` rela\ia distribu\iei de viteze[n mi]carea de transla\ie: vi v O(4.29)]i a distribu\iei de accelera\ii prin derivarea [n raport cu timpul a rela\iei (4.29): ai a O(4.30){n mi]carea de transla\ie traiectorile punctelor solidului rigid sunt identice]i paralele [ntre ele, iar vitezele respectiv accelera\iile tuturor punctelor rigidului,la un moment oarecare t, sunt egale [ntre ele.1244.2.2. Mi]carea de rota\ie cu ax` fix`Defini\ie: Un solid rigid execut` o mi]care de rota\ie cu ax` fix` dac` celpu\in dou` puncte ale sale r`m@n pe tot timpul mi]c`rii suprapuse cu dou`puncte fixe din spa\iu.Pentru studiul mi]c`rii de rota\ie a unui solid rigid [n jurul unei axe fixe,alegem dou` sisteme de referin\`, unul fix O 1 x 1 y 1 z 1 ]i altul mobil Oxyz astfel[nc@t acestea s` aib` originea comun` O 1 O ]i axa de rota\ie confundat` cuO 1 z 1 Oz.Sistemele de referin\` fiind alese astfel ]i mi]carea av@nd particularit`\ilespecificate, cele patru func\ii vectoriale necesare studiului mi]c`rii rigidului(4.1), se transform` [n mod corespunz`tor:

SIMULAREA SISTEMELOR MECANICEzz 1Oa C i ir1O 0,i cosi1 sin j1,j sin i1 cosjk k1 const.(4.31)1Oi 1d ik 1 kijj 1P iO 1 Ov ir 1iriyy 1Deci, pozi\iasolidului rigid [nmi]carea de rota\ie cuax` fix` estedeterminat` de unsingur parametruscalar ]i anumeunghiul t,ceeace indic` unsingur grad delibertate al rigidului.x 1xFig. 4.5.Traiectoria C i a punctului P i .Din schi\`, prin modul de alegere a sistemelor de axe, avem:r , (4.32)1iricare proiectat` pe axele sistemului fix de coordonate O 1 x 1 y 1 z 1 conduce laecua\iile parametrice ale traiectoriei punctului P i :xyz1i1i1i xicos yisin, xisin yicos, z .i(4.33)Elimin@nd parametrul ob\inem din ecua\iile parametrice (4.33),ecua\ia traiectoriei:x2 2 2 2 21iy1i xi yi di , (4.34)ecua\ia unui cerc cu raz` d i ]i centru pe axa de rota\ie. Deci traiectorile tuturorpunctelor rigidului sunt cercuri plasate [n plane perpendiculare pe axa de rota\iede raz` d i .125

SIMULAREA SISTEMELOR MECANICEDistribu\ia de viteze ]i accelera\iiPrin derivare [n raport cu timpul a rela\iei (4.32) se ob\ine:r , (4.35)1iriunde r 1i vi, este viteza punctului P i ;riri ri ri, este derivata unui vector dat prin proiec\ii pe t raxele unui sistem de referin\` mobil (Oxyz), cu i 0 tdeoarece r i const.]i deci vectorul de pozi\ie r i variaz` numai [n direc\ie.Cu aceste observa\ii rela\ia distribu\iei de viteze [n mi]carea de rota\ie cuax` fix` este:v . (4.36)i r iDeriv`m [n raport cu timpul rela\iile (4.31):i j k 0. sin i1 cosi1 cosj1 sin j1 j, i,Din rela\iile (4.8), av@nd [n vedere ]i rela\iile (4.37), se ob\ine:xyzjk k j 0, k i 0,i j jj ,(4.37)(4.38)respectiv k k , (4.39)ceea ce arat` c` vectorul vitez` unghiular` este dirijat dup` direc\ia axei derota\ie.Exprim`m, cu ajutorul determinan\ilor rela\ia distribu\iei de viteze (4.36)[n mi]carea de rota\ie cu ax` fix` ]i ob\inem:vi vix i viiy r jvi0xij0yiiz k k zi y i x j.Proiect@nd rela\ia (4.40) pe axele sistemului de referin\` mobil Oxyzob\inem proiec\iile vectorului vitez` pe axele acestui sistem, adic`:126ii(4.40)

vvvixiyiz 0,SIMULAREA SISTEMELOR MECANICE y , x ,ii(4.41)modululvi2ix2iy2i2i v v x y d . (4.42)iDeriv@nd [n raport cu timpul rela\ia (4.36) se ob\ine expresia distribu\ieide accelera\ii [n mi]carea de rota\ie cu ax` fix`:vi r r,iiunde: v i ai, este accelera\ia punctului P i ;rir i ri ri; t k k , este vectorul accelera\ie unghiular` asistemului de referin\` mobil solidar cu solidul rigid, evident ]i a rigidului, careare direc\ia axei de rota\ie.iii a r r . (4.43)Exprim`m, cu ajutorul determinan\ilor rela\ia distribu\iei de accelera\ii(4.43) [n mi]carea de rota\ie cu ax` fix` ]i ob\inem:ai aix i ai0xij0yiiykz j aiiz k r i0 xij0 yiik,0 ri22 y x i x y j. a (4.44)iiiProiect@nd rela\ia (4.44) pe axele sistemului mobil Oxyz ob\inemproiec\iile vectorului accelera\ie pe axele sistemului mobil:aaaixiyiz y x 0ii 22 x yrespectiv modulul accelera\iei:2ii2 2 4 2 22 4x y x y d iiiiiii(4.45)a (4.46)127

SIMULAREA SISTEMELOR MECANICERela\iile (4.41) ]i (4.45) arat` c` vectorul vitez` ]i vectorul accelera\iesunt con\inu\i [n plane perpendiculare pe axa de rota\ie (componentele lor pe axaOz sunt nule). Dac` exprim`m vectorul accelera\ie [ntr-un sistem de coordonateintrinseci, atunci componentele lui vor fi:zzBv BBa Br BAr Bv AAa Ar Ayr AyxOv ixOa ia iP i 1P ia i 1a) b)Fig. 4.6.aaa v, 2v 0,, iar pentru diavemaaad ddt2did 0.ii d, 2id,i{n modul accelera\ia este:aa2 22 4 a di .Unghiul dintre vectorul accelera\ie ]i componenta normal` este (fig.4.6,b):128

tgSIMULAREA SISTEMELOR MECANICEa d. (4.47)a dii 2 2iPropriet`\ile distribu\iei de viteze ]i de accelera\ii [n mi]carea de rota\iecu ax` fix` (fig. 4.6):a) Vitezele ]i accelera\iile punctelor solidului rigid apar\in@nd axei derota\ie sunt nule.b) Vitezele ]i accelera\iile punctelor solidului rigid sunt con\inute [nplane perpendiculare pe axa de rota\ie (v z =0, a z =0).c) Toate punctele solidului rigid apar\in@nd unei drepte paralel`cu axa de rota\ie au acelea]i viteze ]i acelea]i accelera\ii.d) Vitezele ]i accelera\iile punctelor solidului rigid plasate pe odreapt` 1perpendicular` pe axa de rota\ie au varia\ie liniar` [nraport cu pozi\ia lor pe aceast` dreapt` fa\` de axa de rota\ie.Apl. 4.3.Se consider` troliul din figura Apl-4.3, utilizat pentru ridicarea uneigreut`\i. Conside-r@nd c` motorul electric are la pornire o mi]care uniformaccelerat`, iar la oprire o mi]care uniform [ncetinit`, av@nd timpii de accelerare]i decelerare egali t p = t 0 = 8 s, s` se determine:a) raportul de transmisie de la motor la tamburul troliului;b) viteza unghiular` de regim a tamburului;c) accelera\ia unghiular` a tamburului la oprirea ]i pornirea motorului;Fig. Apl-4.3.d) timpulnecesar pentruridicareagreut`\ii M la[n`l\imea h = 18m, dac` motorulporne]te dinrepaus ]i seopre]te lacap`tul cursei h.Secunosc: z 1 = 20,z 2 = 80 ]i z 3 =2 [nceputuri;z 4 = 30; D = 200 mm ; tura\ia de regim n r = 3000 rot/min.129

SIMULAREA SISTEMELOR MECANICER:a) Raportul total de transmitere este:itotz 2 z 4 80 30 i12 i 23 i 34 1 1 60z z 20 2b) Viteza unghiular` 1 este:13-1 1s şi i 60 n1 3000 1 100 tot 30 301100 -1 4 5,23 s.60 60c) 4 = 4 t, de unde:45,23-2 4 0,654 s . t 8d) {n perioada de accelerare greutatea M va parcurge o distan\` S 1 = 1 R.2t 20,654 6424t 1 = 8 s; 20,93 radS 1 = 20,93 0,1 = 2,093 m.{n perioada de [ncetinire p@n` la oprire t 3 = 8 s, S 3 = 3 R , unde:2 23 44 t 4 t t S32 22,093{n perioada a doua mi]carea este uniform` t 2 S2/ v 2 ;S 2 = h – (S 1 + S 2 ); S 2 = 18 – 4,186 = 13,814 m;v 2 = 4 R = 5,23 0,1 = 0,523 m/s.m4ob\inem:tSv13,8140,52322226,413sTimpul total:t tot = t 1 + t 2 + t 3 = 8 + 26,413 + 8 = 42,413 s.130

SIMULAREA SISTEMELOR MECANICEA300, ByApl. 4.4.La momentulconsiderat,o 50 (fig. Apl-4.4), ghidajul cucanal orizontal urc`cu accelera\ia2a 3 m / s ]iviteza v 2 m / s.S` se determineviteza ]i accelera\iaunghiulare ale tijeiAB, la momentulconsiderat [n figur`.R`spuns: 8,703 rad / s;2 50,497 rad / s .v2 m / sa 3 m / sFig. Apl-4.42Apl. 4.5La momentul indicat[n figura A7-21,o 60 ]i bara ABare decelera\ia2a 4 m / s ]ivitezav 8 m/ s.Av 8a 4m / sm / s2BFig. Apl-4.5CxDLungimilebarelor sunt:L L BCCD 300 mmS` sedeterminevitezaunghiular` ]iaccelera\iaunghiular` alebarei CD la131

momentul considerat.R`spuns: 15,4 rad / sSIMULAREA SISTEMELOR MECANICE2 129,16 rad / s .Apl. 4.6Blocul S este ridicat hidraulic astfel c` rola A se deplaseaz` c`tre ]tiftul(articula\ia cilin-dric`) B (fig. Apl-4.6). Dac` A se apropie de B cu vitezav 5 m / s, s` sedetermine viteza deSridicare a platformei [nfunc\ie de unghiul .DEFiecare bar` estearticulat` cilindric laplatform`mijloc ([n C) c@t ]i [ny capete iar lungimile lorCsunt:LBD LAE 1,2 m.v 5 m / sABR`spuns:5 m/ svplatforma xFig. Apl-4.64.2.3. Mi]carea plan-paralel`1324.2.3.1. Defini\ia mi]c`rii. Pozi\ia solidului rigidDefini\ie: Un solid rigid execut` mi]care plan-paralel` dac` un plansolidar cu acesta (planul ) r`m@ne [n tot timpul mi]c`rii [n contact (suprapus)cu un alt plan fix [n spa\iu (planul 1 ) numit planul director (fig. 4.7).Consider`m solidul rigid din fig. 4.7 ce execut` mi]care plan-paralel`.Cunosc@nd mi]carea acestuia [n raport cu un sistem de referin\` fix s` sedetermine traiectoria, viteza ]i accelera\ia unui punct P i al solidului rigid.Alegem dou` sisteme de referin\`, unul fix O 1 x 1 y 1 z 1 ]i unul mobil Oxyz, astfel[nc@t planul fix x 1 O 1 y 1 s` fie comun cu planul director 1 , iar planul mobil

SIMULAREA SISTEMELOR MECANICExOy s` fie comun cu planul solidar cu rigidul, ceea ce inseamn` ca [n tottimpul mi]c`rii aceste plane vor fi suprapuse continuu.z 1zC iP ia ix 1k 1O 1i 1Or 1Or 1ixj 1ikr 1jr jjr iC jP jvi 1Fig. 4.7.Cu o astfel de alegere, [n tot timpul mi]c`rii, originea O a sistemuluimobil r`m@ne [n planul director x 1O1y1iar axa Oz r`m@ne perpendicular` peplanul director, adic` aceast` ax` are direc\ie fix`.Deci mi]carea solidului rigid ]i a sistemului mobil este cunoscut` dac` secunoa]te func\ia de timp r1 O r1Ot- vectorul de pozi\ie a originii sistemuluimobil [n raport cu cel fix ]i unghiul de rota\ie tdintre axa Ox ]i O 1 x 1(egal cu cel dintre Oy ]i O 1 y 1 ). Mi]carea originii sistemului de referin\` mobilf`c@ndu-se [n planul director, rezult` c` pozi\ia sa este determinat` la oricemoment numai de doi parametri scalari ( x 1 O t]i y 1 O t) ]i [mpreun` cuunghiul de rota\ie ( t ) determin` [n totalitate pozi\ia, adic` solidul rigid [nmi]carea plan-paralel` are trei grade de libertate.Ace]ti trei parametri scalari de pozi\ie sunt pu]i [n eviden\` prin rela\iile: t x t i y tj 0 kr1 O r1O1O1O(4.48)v jya jy 1 t ti ij jk k1 cosi sin i const.1 sin j11 cosj1(4.49)133

SIMULAREA SISTEMELOR MECANICE4.2.3.2. Traiectoria punctului P iAlegerea punctului P i , ce apar\ine rigidului, exclude apartenen\a sa laplanul director, fapt care permite scrierea rela\iei:r1 i r1O ri, (4.50)r1i x1i i1 y1i j1 z1i k1,unde r1O x1O i1 y1O j1,(4.51)ri xi i yi jzi k.Proiect`m rela\ia (4.50), utiliz@nd ]i rela\iile (4.51), pe axele sistemului dereferin\` fix ]i ob\inem:x1i x1O xi cos yisiny1i y1O xisin yi cos(4.52)z1i zi const.Rela\iile (4.52) reprezint` ecua\iile parametrice ale traiectoriei punctuluiP i . Aceste rela\ii indic` faptul c` traiectoriile sunt situate [n plane paralele cuplanul director ( z1i zi const.) ]i c` punctele apar\in@nd dreptelorperpendiculare pe planul director ( 1) au traiectorii identice.4.2.3.3. Distribu\ia de viteze ]i accelera\iiVectorii vitez` unghiular` ]i accelera\ie unghiular` au acelea]iexpresii ca ]i [n cazul mi]c`rii de rota\ie cu ax` fix`, adic`: k k ]i k k(4.53)deoarece din rela\iile (4.8) de la capitolul 4.1, particulariz@nd ( k 0) avem:i j zjk jk 0k i 0Deriv`m [n raport cu timpul rela\ia (4.50):ddtr1 i r1O ri r1i r1O riunder - este viteza punctului P i ;r - este viteza originii sistemului de referin\` mobil O;1ivi1O vO134

SIMULAREA SISTEMELOR MECANICErir i ri- este derivata vectorului de pozi\ie r i al punctului tP i , vector dat prin proiec\ii [n sistem de referin\` mobil, care sunt constante, faptpentru care, derivatele acestora [n raport cu timpul sunt nule, ceeace faceca r i ri.Rezult` astfel rela\ia distribu\iei de viteze [n mi]carea plan-paralel`:vi v r . (4.54)OiExprim`m vectorii din componen\a rela\iei (4.54), [n func\ie de proiec\iilelor pe axele sistemului de referin\` mobil ]i apoi proiect`m rela\ia pe axeleacestui sistem de referin\`, astfel:v v i v j v k ,iixiyizvO v i v j,OxOy ri k x i y j z k y i x jiiiiivvvixiyiz v v 0OxOy y xii (4.55)Rela\iile (4.55) arat` c` toate punctele care apar\in unei drepte (),perpendicular` pe planul director, au aceea]i vitez` ( v iz 0).{n general, [n mi]carea plan paralel` exist` puncte de vitez` nul`, careapar\in unei drepte perpendicular` pe planul director, de ecua\ie rezultat` dinrela\ia (4.55) prin anularea proiec\iilor vectorului vitez` v ix ]i v iy , adic`:0 vOx yi(4.56)0 vOy xiDreapta rezultat` din intersec\ia planelor (4.56), [n\eap` planul director[ntr-un punct notat I, numit CIR (centrul instantaneu de rota\ie), ale c`ruicoordonate se ob\in din (4.56) introduc@nd nota\iile ]i : v vOx Oy(4.57)Aceste rela\ii sunt ecua\iile rostogolitoarei (centroidei mobile) care estelocul geometric al CIR-ului [nregistrat [n planul xOy al sistemului de referin\`135

136SIMULAREA SISTEMELOR MECANICEmobil. Locul geometric al CIR-ului [n planul x 1 O 1 y 1 al sistemului de referin\`fix este numit baz` (centroid` fix`).Distribu\ia de viteze [n mi]carea plan paralel` dat` de rela\ia (4.54) poatefi identificat` cu distribu\ia de viteze din mi]carea de rota\ie cu ax` fix`, ca ]ic@nd planul solidar cu rigidul s-ar roti [n jurul CIR-ului cu viteza unghiular` [n raport cu planul director.Pentru demonstra\ie, not`m cu I vectorul de pozi\ie al CIR-ului I fa\`de O ]i scriem rela\ia distribu\iei de viteze (4.54) pentru punctele I ]i P i alerigidului, con\inute [n planul director (fig. 4.8):vI v O I, vivO ri ,apoi facem diferen\a acestor rela\ii ]i ob\inemy 1O 1viyIiI v r (4.58) 1IOIR I io901r 1Or r1iiFig. 4.8.BPlanul directorxv ixAvem [n vederec` v I 0 ]i facemnota\ia ri I icare reprezint`vectorul de pozi\ie alpunctului P i fa\` decentrul instantaneu I.Introduc@ndacestea [n (4.58),ob\inem:vi (4.59)Rela\ia (4.59)arat` c` vitezele suntdistribuite [n jurul luiI ca ]i cum solidul arexecuta rota\ie [njurul acestui punct,fapt ce permitedeterminarea pozi\ieicentrului instantaneude rota\ie princonstruc\ie grafic`.Deoarece vi i, rezult` c` v i este ortogonal cu i . A]a c` dac`se cunosc traiectoriile a dou` puncte A ]i B ]i pozi\iile lor la un momentoarecare t, se determin` CIR-ul la intersec\ia normalelor principale, deciperpendiculare pe vitezele celor dou` puncte (fig. 4.9,a).i

SIMULAREA SISTEMELOR MECANICEAo90v Ao90BBAo90v AIv Bo90vBa) b)Fig. 4.9.IAo90Iv A 0Bo90Fig. 4.9, c)v B{n cazul [n care normalele coincid (fig.4.9,b), este necesar s` se cunoasc` ]im`rimile vitezelor, pentru a putea determinapozi\ia CIR-ului.Dac` normalele sunt paralele (fig. 4.9,c),centrul instantaneu de rota\ie este aruncat lainfinit, viteza unghiular` este nul`, vitezeletuturor punctelor rigidului sunt egale [ntreele iar despre rigid spunem c`, pentru acelmoment, distribu\ia de viteze este identic`cu una de mi]care de transla\ie.Aplica\ie: centroideleS` se determine ecua\iile bazei ]i rostogolitoarei pentru mecanismul dinfigura 4.10 constituit din tija AB, de lungime , articulat` cu cele dou` capetela dou` culise A ]i B care se mi]c` [n lungul a dou` tije fixe, vertical`respectiv orizontal`.Centroida fix` (baza). Ecua\ia acestui loc geometric se stabile]te dup`ce [n prealabil stabilim ecua\iile parametrice:1 cos,(4.60)1 sin.Se elimin` parametrul prin ridicarea la p`trat ]i adunarea rela\iilor(4.60), adic`:2 2 21 1 , (4.61)astfel c` s-a ob\inut ecua\ia bazei, care este ecua\ia unui cerc de raz` cucentrul [n O 1 (originea sistemului de referin\` fix).Centroida mobil` (rostogolitoarea). }i ecua\ia acestui loc geometric sestabile]te, dup` ce [n prealabil stabilim ecua\iile parametrice:137

SIMULAREA SISTEMELOR MECANICE 11cos cos,sin cossin.2(4.62)y 1yBbazaA Ov AI , 1 , 1 1 1O 11v BxxRrostogolitoareaFig. 4.10Se elimin` parametrul prin ridicarea la p`trat a rela\iei (4.62 2 ) ]i[nlocuirea, din rela\ia (4.62 2 ), a func\iei cos2 , adic`:13822 1 , care prin ordonare ]i aplicare unui artificiu simplu, se transform` [n:22 2 , (4.63) 2 2 astfel c` s-a ob\inut ecua\ia rostogolitoarei, care este un cerc de raz` / 2 cucentrul plasat [n mijlocul tijei AB.

SIMULAREA SISTEMELOR MECANICEPentru ob\inerea distribu\iei de accelera\ii se procedeaz` la derivarea [nraport cu timpul a rela\iei (4.54) ]i ob\inem:vi vO ri ri,unde: v i ai- este accelera\ia punctului P i ;v o a o - este accelera\ia originii sistemului de referin\` mobil O; - este accelera\ia unghiular` a sistemului de referin\` mobil,deci ]i a solidului rigid;rir rii- este derivata vectorului de pozi\ie r ti al punctului P i ,vector dat prin proiec\ii [n sistem de referin\` mobil;Deci, distribu\ia de accelera\ii [n mi]carea plan-paralel` este dat` derela\ia:iOii a a r r . (4.64)Exprim`m vectorii din componen\a rela\iei (4.64), [n func\ie de proiec\iilelor pe axele sistemului de referin\` mobil ]i apoi proiect`m rela\ia pe axeleacestui sistem de referin\`, astfel:ai aix i aiy j aiz k ,a a i a j,OOxOyi k xi i yi j zi k yi i xi j22 r k y i x j x i y j r, iiiii.Proiec\iile pe axele sistemului de referin\` mobil sunt:2aix aOx yi xi2aiy aOy xi yi (4.65)aiz 0Observ`m c` ]i vectorul accelera\ie a , apar\ine unui plan paralel cuplanul director (proiec\ia pe axa Oz este nul`).Deci este suficient s` determin`m m`rimile cinematice pentru puncteleplasate [n planul director, ]i apoi s` le atribuim ]i punctelor situate pe dreapteleperpendiculare pe planul director [n punctele respective.Apl. 4.7.Barele B 1 ]i B 2 din figura Apl-4.7 sunt articulate cilindric [n punctele Orespectiv O’ la pardoseal` (sistemul fix). Bara B 2 este deasemeni articulat`cilindric la ghidajul G, [n punctul A. Cap`tul superior al barei B 1 este articulatcilindric la o rol` care se mi]c` liber [n ghidajul G. Vitezele unghiulare alebarelor B 1 ]i B 2 sunt constante ]i au m`rimile ]i sensurile indicate [n figur`. S`se determine viteza ]tiftului S [n ghidajul G ]i viteza unghiular` a ghidajuluiG la momentul considerat [n figur`.139

Rezolvare:Determinarea vitezelorSIMULAREA SISTEMELOR MECANICEGB1 0,2O815rad / s43500B 1B 2SA200O’ B1GB 1B 2Sv SIAGv A B 2B2 0,4 rad / s24O’O’Fig. Apl-4.77Fig. Apl-4.7.aDin mi]c`rile de rota\ie ale barelor B 1 ]i B 2 se determin` vitezelepunctelor S (viteza absolut`) ]i A astfel: OS 0,2 0,5 0,1 m / s ,vSB18ODirectia vitezeiyv Av Stv SAtv SA815x247 vAB2O'A 0,4 0,2 0,08m / sViteza absolut` ( v )a punctului S ce execut`rmi]care relativ` ( v S ) [n canalulghidajului G ]i mi]care dettransport ( v S ) [mpreun` cughidajul se poate exprima astfel:.aS v S15vSaStSrS v v v (1)Directia vitezeirv Srv S4Fig. Apl-4.7.b3Viteza de transport ( v ) apunctului S, solidar cughidajului G care face mi]careplan paralel`, poate fi exprimat`astfel:tS140

SIMULAREA SISTEMELOR MECANICEvtSAtSA v v(2)Introduc@nd (2) [n (1) ob\inem:vSOSvAO'AtvSAASrSAS v(3)Reprezent`m grafic ecua\ia vectorial` (3), fig. Apl-4.7.b, apoi o proiect`mpe axele sistemului de referin\` xOy ]i ob\inem:vS v35S24 t 8 r 15 vA vSA vS 1525 17 174 7 t 15 r 8 vA vSA vS5 25 17 17{nlocuim m`rimile vitezelor punctelor S ]i A cu valorile calculate mai sus( v S 0,1m / s, v A 0,08m / s) ]i apoi determin`m m`rimile necunoscute aletvitezelor ( v ) ]i ( v ), astfel:rSSA 3 24 t0,1 0,08 vSA5 25 4 7 t 0,1 0,08 v 5 25SA817r 15 vS17,15 r 8 vS17 17v r S 0,0333647m / s v t SA 0,0982588 m / s .Viteza unghiular` a ghidajului G este:v t SA 0,0982588 a 0,428rad / s,AS 0,2295[n care AS s-a determinat astfel (fig. Apl-4.7.a):OS sin = O’A sin ’ + AS sin ]iAS 1sin18 /17OSsin O' A sin' 0,5 0,2 352425141

B 1GSIMULAREA SISTEMELOR MECANICESca SB 1Ba S 2O B 2’Fig. Apl-4.7.cDirectia acc.Arv SOt a SAa A ta SA AS 0,2295 m .Determinarea accelera\iilorDin mi]c`rile de rota\ie alebarelor B 1 ]i B 2 se determin`accelera\iile punctelor S(accelera\ia absolut`) ]i A, astfel(fig. Apl-4.7.c):2a OSS 0,2aA 0,42 2B10,52B20,20,02m / s O' A 20,032m / s2a Sca SDirectia acc.Directia acc.ra Sa’t SAyp a Ora Sa AFig. Apl-4.7.dxt a SAt a SAPentru punctul (]tiftul) S, [nmi]care relativ` [n canalul practicat[n ghidajul G, rela\ia vectorial`[ntre accelera\iile: absolut`,relativ`, de transport ]i Corriolis,este:aSOS a a a a (1’)aStSrSSAcSSAExprim`m accelera\ia dettransport( a S) a punctului S solidarcu ghidajul G care face mi]careplan paralel`, [n func\ie deaccelera\ia punctului A(fig. Apl-4.7.c):atS a a (2’)AO'At t aSA SASA SA{nlocuim (2’) [n (1’) ]i ob\inem:aSOSAO' AtSASAtaSASAraSSAcaSSA a a (3’)2[n care a 0,032 m/sA142

atSA 2GSIMULAREA SISTEMELOR MECANICE AS 0,42820,2295 0,0420407 m / s2aacScSS 2 2 a 0,02GG v vrSm/srS2 2 0,4280,0333647 0,02856 m / sReprezent`m grafic ecua\ia vectorial` (3’), fig. Apl-4.7.d, apoi oproiect`m pe axele sistemului de referin\` xOy ]i ob\inem:ttrca cos a cos'a cos a sin a cos a sinSASASASSttrca sin asin'asin a cos a sin a cosSASASASS2 4 7 15 t8 r 15 8 0,02 0,032 0,042 a a 0,02856 SAS5 25 17 17 17 17 3 24 8 t15 r 8 15 0,02 0,032 0,042 a a 0,02856SAS 5 25 17 17 17 17117r2 a 1,23816 0,0728 m/sStSA2 a 0,02385 m/sAccelera\ia unghiular` a ghidajului G:GtSAa SA0,023852 1,0392157 rad / s0,2295Apl. 4.8.Cilindrul C din figura Apl-4.8 se rostogole]te pe o suprafa\` circular` deraz` R=0,6 m. C@nd cilindrul se afla [n cel mai de jos punct al suprafe\eicilindrice (circulare [n sec\iune), viteza ]i accelera\ia unghiulare sunt2 C 0,2 rad / srespectiv C 0,02 rad / s . Bara AS este ata]at` de cilindrulC [n A, printr-o articula\ie cilindric` ]i de culisa care alunec` [n canalul dinmanivela M, prin ]tiftul S. Viteza unghiular`, constant`, a manivelei M este M 0,3 rad / s. S` se determine viteza ]tiftului S ]i viteza unghiular` a bareiAS , pentru pozi\ia mecanismului reprezentat` [n figur`.143

SIMULAREA SISTEMELOR MECANICER 0,6 mCC 0,2 rad /s 0,02 rad /s2 AS 0,5 mO`S0,4 mO0,2m3Mr 0,3 mCA4 0,3 rad /sMCFig. Apl-4.8vSADirectia vitezeiv Av SAyOv SxDirectia vitezeiv S rRezolvare:Determinarea vitezelorMi]c`rile elementelor dincomponen\a mecanismului:cilindrul C - mi]care planparalel` cu C.I.R-ul [n I (punctulde contact cu suptafa\a cilindric`(circular` [n sec\iune) fix` ; baraAS - mi]care plan paralel` ]imanivela M - rota\ie cu ax`fix` [n jurul articula\iei cilindricefixe O.Viteza punctului A ceapar\ine cilindrului C este:v S tv S rFig. Apl-4.8.a22v IA 0,2 0,2 0,3 A 0,072111m / sViteza punctului S [nfunc\ie de viteza lui A, ce apar\inbarei AS , este:144

SIMULAREA SISTEMELOR MECANICEvS v v . (1)A AISA ASViteza absolut` a punctului S, ce apar\ine manivelei M , este:vS(abs) v v(2)S tS r OS OSîn care:vS t OS 0,3 0,4 0,12 m / s ,Mdeoarece traiectoria de transport este cerc cu centrul [n O ]i raz` OS (traiectoriarelativ` este rectilinie [n lungul canalului practicat [n manivel`).Din (1) ]i (2), ob\inem:vA AI v v v ,SA ASS t OSS r OScare proiectat` pe axele sistemului din figura Apl-4.8.a, conduce la sistemul demai jos:vAcos vSAsin vS r, vAsin vSAcos vS t1vSA vA sinvS t cos 5 0 072 0 555 0 12 0 24 , , , , m/s3 vSr vSAsin vAcos 0,2 0,072 0,832 0,06m / s.5Deci, viteza absolut` a ]tiftului S ( v S) rezult` din compunerea vitezelorde transport ( v S t ) ]i relativ` ( v S r ), care sunt perpendiculare [ntre ele, astfel c`:vS(abs)2 222v v 0,12 0,06 0,134164m / siar viteza unghiular` a barei AS este:v SAS tS r0,2 AS 0,4rad / sAS 0,5,, 145

SIMULAREA SISTEMELOR MECANICEDeterminarea accelera\iilorPentru determinarea pozi\iei centrului instantaneu al accelera\iilorO’=R-r=0,3 mR=0,6 ma Ca Cv Ca ICr=0,3 ma ICsIa ICFig. Apl-4.8.b(punctul de accelera\ie nul` J) al cilindrului C [n mi]care plan paralel`, estenecesar s` cunoa]tem, pe l@ng` datele ini\iale viteza unghiular` C 0,2 rad / s2]i accelera\ia unghiular` C 0,02 rad / s , ]i accelera\ia unui punct din planuldirector.Punctul c`ruia putem s`-i determin`m accelera\ia, numai cu aceste dateini\iale este chiar centrul instantaneu de rota\ie I (fig. Apl-4.8.b).Determin`m mai [nt[i viteza centrului C al cilindrului ( reprezint` pozi\iaunghiular` acilindrului; C- viteza unghiular` ]i C C- accelera\iaunghiular`, ale cilindrului) astfel:v v v 0 IC r ,CICIcare derivat` [n raport cu timpul d` vectorul accelera\ie al punctului C:a v r r C C,[n care: d d d t d sd sd t1 1sR r r , s r .aC ((r )R r2 r) a a(3)C C146

SIMULAREA SISTEMELOR MECANICEAccelera\ia centrului instantaneu de rota\ie I, [n func\ie de accelera\iacentrului C al cilindrului, este:aIC ICa ICIC IC a a , (4)[n care:aaICIC a aICIC 22 IC r , IC r .(5){nlocuim rela\iile (3) ]i (5) [n (4) ]i ob\inem:aI(r ) ( r) R r 2r r (1 R 2)r 2 r r2 r (11) (2 [n care s-a [nlocuit ]i R = 2 r .Modulul accelera\iei centrului instantaneu de rota\ie I, este:aI 2 2 r 2 2 r 2 220,2 0,3 0,024 m / s 2 r) ,{n continuare determin`m pozi\ia punctului de accelera\ie nul` (CIA – J)de pe disc ]i accelera\ia punctuluiA (fig. Apl-4.8.c), astfel:J15,103 o Ca IIFig. Apl-4.8.ca AA 0,02tg 2 2 10,2 2226,56505o 26 33' 54"aI0024 ,IJ 2 4 2 4 002 , 02, 0, 536656 maA2o4 JA , 0,2 arctg 0,3 o33,69147

SIMULAREA SISTEMELOR MECANICE 0 2 0 3 0 3605552 2 2 2IA CA CI , , , mJA IJ2 IA2 2IJ IA cos( )0,53722 0,361 2 0,537 0,361cos60,25 0,47571m 2 42 4aAJA 0, 47571 0, 02 0,2 a 0,02127 m / s .ADetermin`m direc\ia accelera\iei a A :2IJ JA2 IA2 2JA IA cos,2 2 2 2 2 2JA IA IJ 0, 47571 0, 361 0,536656cos ;2 JA IA 2 0, 475710,361cos 0, 198717.78,54 oo . ]i CAJ 90 o 15,103Deci, direc\ia accelera\iei a A fa\` de orizontal` este cunoscut` (fig. Aplooo4.8.c), adic`: CAJ 15,103 26,565 41,668 .Accelera\ia punctuluiA a fost determinat`directia acc. aSAdin mi]carea planaSMrM paralel` a cilindrului C .rvdirectia acc. aSS S{n continuare atribuimcaA41,67 o[n care 2a AS 04 , 05 , 008, m/s .SAaSAFig. Apl-4.8.dta S2 2ASm`rimea determinat`,punctului A ce apar\inetijei AS [n mi]care planparalel` ]i scriem rela\iade leg`tur` dintre aceasta]i accelera\ia punctului S,astfel (fig. Apl-4.8.d) :aSASAASaSAAS a a , (6)148

SIMULAREA SISTEMELOR MECANICEPentru Smanivelei M (mi]care relativ`) putem scrie:aStaSSOraSSOcaSSO , (7)t t 222[n care aSaS M OS 0,3 0,4 0,036m / s c2]i a 2 v 2 0,30,06 0,036m / s S ; aS 2M vSr .MS rDin (6) ]i (7) ob\inemASAASaSAAStaSSOraSSOcaSSO a a (8)Proiect`m rela\ia (8) pe axele sistemului de coordonate xOy (fig. Apl-4.8.e) ]i ob\inem:cra Sydirec\ia acc.raSaSAa SAa AaSc41,67 o O p ata Sx4353,133arctg 36,874oarctg odirec\ia acc.aSAFig. Apl-4.8.ea atScS a arSA aAsin 41,668 cos 41,668 aSA aSAsin 36,87 cos36,87 aSA aSAsin 53,13cos53,13149

SIMULAREA SISTEMELOR MECANICE 1c aSA (aS aA sin 41, 668 aSAsin 36, 89 )sin 53,13; 1 aSA ( 0, 036 0, 02127 sin 41, 668 0, 08sin 36, 89 ) sin 53,131sin 53,130,0698595aSA 0,0873245[m / s2]; SAa 2SA 0,0873245 0,17465[rad / sSA 0,5]]iarStSSA a a A cos 41,668 a cos36,87 a cos53,13 ,ooo 0,036 0,02127 cos 41,668 0,08cos36,87 0,087 cos53,13rS2a 0,1682836 m / s . SAApl. 4.9.Pentru sistemul de bare din figura Apl-4.9, la momentul considerat,Bv C3v AA1254Cv C iar direc\iile]i sensurile conform reprezent`rii. S` se determine m`rimea ]i direc\ia vitezeipunctului B.vitezele punctelor A ]i C au m`rimile v A 2 m / s]i 3 m /s150Fig. Apl-4.9

SIMULAREA SISTEMELOR MECANICEDirectia vitezei v BA5v BA3124Directia vitezeivBCv Bv AvBCyvCO p vxRezolvare:Culisele A ]i C se mi]c`rectiliniu dup` direc\iile orizontal`respectivvertical`, cu vitezele cunoscute ca dateini\iale. Deci ]i capetele A ]i C aletijelor AB ]i BC care execut` mi]careplan paralel`, au acelea]i viteze cuculisele.Din mi]carea plan paralel` afiec`reia dintre tijele AB ]i BC se scriuecua\iile vectoriale:vBFig. Apl-4.9.a v v (1)Aoriz.BAAB- pentru punctul B (articula\iecilindric`) ce apar\ine tijei AB:- pentru punctul B (articula\ie cilindric`) ce apar\ine tijei BC:vB v v(2)Cvertic.BCBCCompar`m rela\iile (1) ]i (2), prin intermediul vectorului vitez`, v B , apunctului B ]i ob\inem:vAoriz. v v v(3)BAABCvertic.BCBCReprezent`m grafic ecua\ia vectorial` (3), fig. Apl-4.9.a, apoi o proiect`mpe axele sistemului de referin\` xOy ]i ob\inem: vA vBA 12vBA v 13513C v vBCBC4535,vBA154 13313 1313563 v 4 v m / sCA151

SIMULAREA SISTEMELOR MECANICE13 5 ,56 13]i 2 2,09m /sv Bxv By13 12 0,214 m /s,56 13 2,09i 0,214 j m / sv BApl. 4.10ManivelaB1,5mT 2M din figura Apl-4.10 se rote]te cu viteza unghiular`2,5mconstant` M 3rad /s, [n sensA trigonometric. S` se determine vitezeleunghiulare ale barelor T 1 ]i T 2 ]iT 1 M1m viteza punctului B.vBO’0,8mBT 2Fig. Apl-4.10O’T 2T 1 MvAMOAO MRezolvare:Mi]c`rileelementelorcomponente sunt: manivela M ]i tijaT 2 fac, fiecare mi]care de rota\ie cuax` fix` iar tija T 1 mi]care planparalel`.Viteza punctului A (articula\iecilindric`) ce apar\ine manivelei Meste: vA MOA 31 3 m / sAplic`m o proprietate adistribu\iei de viteze (proiec\iilevitezelor a dou` puncte ale unui solidrigid, pe direc\ia ce le leag`, sunt egale[ntre ele) ]i ob\inem:ov cos0 v cosABT 1Fig. Apl-4.10.aIvB1 vcos A11,5/1,73 3,4m / sViteza punctului A ce apar\inetijei T 1 , utiliz@nd pozi\ia CIR-uluideterminat` [n fig. Apl-4.10.a, se poateexprima ]i astfel:v A I ,AT 1 T 1152

[n careM2mA2mO’OSIMULAREA SISTEMELOR MECANICEvA3 T 0,64 rad / s, 1A I 4,688A I T1s-a determinat astfel:A IT1T 1T5mT 1Fig. Apl-4.1112,5 1,5 4,688 m.0,8Din mi]carea de rota\ie a tijei T 2 rezult` ]i viteza unghiular`T 2B1m T 2, astfel:v 3,4 BT 2 2 rad / sO' B 1,7Apl. 4.11La momentul considerat, vitezaunghiular` a barei(tijei) T 1 din figuraApl-4.11, este T 2rad / s, [n sens1orar. S` se determine vitezele unghiulareale manivelei M ]i barei T 2 , ]i vitezapunctului B.Rezolvare:Tija T 1 (AB) execut` mi]care plan paralel` cu centrul instantaneu derota\ie [n O' I. Direc\iile vitezelorDirectia vitezei v Acapetelor A ]i B ale tijei T 1 suntycunoscute (fig. Apl-4.11.a), adic`v Aperpendiculare pe manivela OAx respectiv tija O’B (fiecare f`c@nd rota\iecu ax` fix`).v BAv BDirectia vitezeiFig. Apl-4.11.areferin\` xOy ]i ob\inem:O p vv Beste:Rela\ia vectorial` [ntrevBO'BAOABAABv A ]i v v (1)v BdarvBA T AB 212 21 2 8,246 m / sReprezent`m grafic ecua\iavectorial` (1), fig. Apl-4.11.b, apoi oproiect`m pe axele sistemului de153

vvvBBSIMULAREA SISTEMELOR MECANICEcos vsin v1sin ABA vBAcossin1sin 53,13oB vBAsin 8,246sin 75, 96o3 1 5 17 v B10 m / s]i 10 217 4 m / sv AAcum putem determina vitezele unghiulare ale manivelei M ]i tijei T 2din rota\iile lor [n jurul axelor fixe corespunz`toare, astfel:v 4 AM 2 rad / s; OA 2v 10 BT 2 2 rad / s. O' B 5Apl. 4.12.Placa omogen` P de forma unui triunghi echilateral cu latura de 0,3 m,ar`tat` [n figura Apl-4.12, este articulat` cilindric la tija T (AO) ce se rote]te [nPA Fig. Apl-4.12.aT 2rad /sTO PIATvATOPBB45 oBBv 45 oBFig. Apl-4.12jurul punctului O, [n sens trigonometric, cu viteza unghiular` 2 rad /s . Placa P este deasemenea articulat` cilindric la blocul B,L154OA

SIMULAREA SISTEMELOR MECANICEprin ]tiftul B, care se mi]c` [n canalul indicat (45 o fa\` de orizontal`). S` sedetermine viteza unghiular` a pl`cii triunghiulare P.Rezolvare:Mi]c`rile elementelor componente sunt: tija T face mi]care de rota\iecu ax` fix` iar placa P execut` mi]care plan paralel`, cu C.I.R. [n I (fig. Apl-4.12.a).Viteza punctului A (articula\ie cilindric`) ce apar\ine tijei T este:0,3vA TOA 2 0,3 m / s.2Viteza punctului A ce apar\ine pl`cii P, utiliz@nd pozi\ia C.I.Rdeterminat` [n fig. Apl-4.12.a, se poate exprima ]i astfel:vA IA,PvA0,3 P 2,73 rad / s. oI A 0,3 cos30 0,3/ 2Apl. 4.13Cele patru bare din figura Apl-4.13, fiecare av@nd lungimea 0,4m iar dou`dintre ele vitezele unghiulare indicate [n figur`, sunt conectate [ntre ele ]i lasistemul fix prin articula\ii cilindrice. S` se determine viteza punctului C ]ivitezele unghiulare ale barelor(tijelor) T 1 ]i T 2 pentru pozi\ia indicat` [nfigur`.Rezolvare:Pentru punctele B ]i D, apar\in@nd manivelelor M 1 respectiv M 2 [nv Dy3v CD4Ox M 5 rad / s2M 2 DT 2 CT 1 M 1v Cv CBv B3E4B 0 M 3 rad / s2ADirectia vitezeiDirectia vitezeiv CDvCBFig. Apl-4.13Fig. Apl-4.13.a155

SIMULAREA SISTEMELOR MECANICEmi]care de rota\ie cu ax` fix` [n jurul punctelor A ]i E, putem scrie:v AB 30,4 1,2m / s v ED 50,4 2 m / s .B , M 1Din mi]carea plan paralel` a fiec`reia dintre tijele BC (T1) ]i CD (T2)se scriu ecua\iile vectoriale:- pentru punctul C (articula\ie cilindric`) ce apar\ine tijei BC:vC v v(1)BABCBBC- pentru punctul C (articula\ie cilindric`) ce apar\ine tijei CD:vC v v(2)DEDCDCDCompar`m rela\iile (1) ]i (2), prin intermediul vectorului vitez`, v C , apunctului C ]i ob\inem:vBAB v v v(3)CBBCDEDCDCDReprezent`m grafic ecua\ia vectorial` (3), fig. Apl-4.13.a, apoi oproiect`m pe axele sistemului de referin\` xOy ]i ob\inem: v vCBB4 vD53 vD v5CD45D45M 2, v v 2 1,6m /sCBDvCD3 v5D vB3 2 1,2 2,4 m /s5Din figura Apl-4.13.a se determin` m`rimea vitezei punctului C ( v C ):vC2 22 22v v 1,2 1,6 2 m / s , BCBapoi vitezele unghiulare ale barelor (tijelor) T 1 respectiv T 2 :v 1,6 CBT 1 4rad / s, CB 0,4v CD2,4 T 2 6rad / s. CD 0,4156

SIMULAREA SISTEMELOR MECANICE4.a. ANALIZA CINEMATIC~ - SOLIDWorks -- COSMOSMotionFig. SW_4.1. Traiectoriile unor puncte ale componentelor, realizate cu ajutorulprogramului SOLIDWorks - COSMOSMotion157

SIMULAREA SISTEMELOR MECANICEFig. SW_4.2. Traiectoriile unor puncte ale componentelor, realizate cu ajutorulprogramului SOLIDWorks – COSMOSMotion – reprezentate in explozie158

SIMULAREA SISTEMELOR MECANICEFig. SW_4.3. Deplasarile componentelor realizate cu ajutorul programului SOLIDWorks – COSMOSMotion159

SIMULAREA SISTEMELOR MECANICEFig. SW_4.4. Vitezele liniare pentru doua puncte din structura (proiectii pe axe si marime)realizate cu ajutorul programului SOLIDWorks – COSMOSMotion160

SIMULAREA SISTEMELOR MECANICEFig. SW_4.5. Vitezele liniare pentru doua puncte din structura (proiectii pe axe si marime)realizate cu ajutorul programului SOLIDWorks – COSMOSMotion– reprezentate in explozie161

SIMULAREA SISTEMELOR MECANICEFig. SW_4.6. Acceleratiile liniare ale bucsei in miscarea rectilinie (proiectii pe axe si marime)realizate cu ajutorul programului SOLIDWorks – COSMOSMotion162

SIMULAREA SISTEMELOR MECANICEFig. SW_4.7. Acceleratiile liniare ale stiftului de pe disc in miscarea circulara(proiectii pe axe si marime),realizate cu ajutorul programului SOLIDWorks – COSMOSMotion163

SIMULAREA SISTEMELOR MECANICEFig. SW_4.8. Acceleratiile liniare ale centrului de greutate de pe tija in miscarea plan-paralela(proiectii peaxe si marime), realizate cu ajutorul programului SOLIDWorks – COSMOSMotion164