Studiul stabilităţii stâlpilor cu o treaptă de variaţie a secţiunii ... - apcmr

STUDIUL STABILITĂŢII STÂLPILOR CU O TREAPTĂDE VARIAŢIE A SECŢIUNII TRANSVERSALEValeriu Bănuţ 1 , Mircea Eugen Teodorescu 2RezumatÎn prezenta lucrare se prezintă studiul stabilităţii unor stâlpi cu o treaptă de variaţie a secţiuniitransversale, încastraţi la partea inferioară şi având legături diferite la capătul superior, cu saufără simple rezemări în punctul de variaţie a secţiunii transversale. Rezolvarea ecuaţiilor destabilitate permite determinarea exactă a forţelor critice şi a lungimilor de flambaj, mai ales înmomentul de faţă când există tendinţa realizării de structuri zvelte, prin exploatarea la maximum acapacităţii de rezistenţă a materialelor. Tabelele cu valorile parametrilor critici de încărcareaxială permit analiza facilă, mai ales în faza de predimensionare, a mai multor variante de secţiunitransversale pentru a obţine soluţii economice, concomitent cu asigurarea condiţiilor de rezistenţăşi stabilitate.1. IntroducereProiectarea structurii de rezistenţă a unei hale parter având stâlpii cu secţiunea transversală variabilăîn trepte necesită un calcul de stabilitate. În prezenta lucrare se prezintă studiul stabilităţii unorstâlpi cu secţiunea transversală variabilă în trepte, încastraţi la partea inferioară şi având legăturidiferite la capătul superior, iar în punctul variaţie a secţiunii transversale pot apărea rezemări simple(fig.1).Considerarea de legături în aceste secţiuni este justificată prin existenţa căilor de rulare sau aportalelor pentru contravântuirea halelor în sens longitudinal. Rezolvarea ecuaţiilor de stabilitatepermite determinarea exactă a forţelor critice şi a lungimilor de flambaj [1], [2], [3], [6]. Pentrucazurile în care translaţia pe orizontală nu este împiedicată, în lucrarea [4] sunt prezentate graficelede variaţie a parametrilor critici de încărcare axială.Pentru fiecare dintre stâlpii din figura 1 sunt prezentate ecuaţia de stabilitate şi, în tabel, valorileparametrilor de încărcare axială, funcţie de caracteristicile geometrice ale elementelor componente.1 Valeriu Bănuţ, prof. dr. ing., Universitatea Tehnică de Construcţii Bucureşti, Catedra de Mecanică, Statica şiDinamica Construcţiilor, e-mail: banutv@mail.utcb.ro2 Mircea Eugen Teodorescu, conf. dr. ing., Universitatea Tehnică de Construcţii Bucureşti, Catedra de Mecanică, Staticaşi Dinamica Construcţiilor e-mail: mirceat@mail.utcb.ro203

Lungimile de flambaj ale celor două tronsoane ale stâlpului se calculează cu relaţia l = µ lπµi= . Condiţia limită din STAS 10108/78 este µ23v≤ şi este respectată pentru toate cazurilecr ,if iiiundeπanalizate. Situaţia apropiată de limită v2= = 1,047 se obţine pentru varianta γ = 0, 20 şi β = 0, 303pentru care v = 105 . Pentru valori β > 0, 30 rezultă µ 3 .2,De asemenea, din analiza valorilor parametrilor de încărcare axială din tabelul 1 rezultă că pemăsură ce raportul β creşte, parametrul v 1 al zonei inferioare creşte, iar parametrul v 2 a zoneisuperioare scade. Toate acestea observaţii servesc la adoptarea unor secţiuni adecvate (raportulI2β = ) în condiţiile în care lungimile tronsoanelor l2şi l1sunt impuse de condiţii tehnologice.I12.2 Cazul b (fig.3)2 >l 2l 1Figura 3Notaţiile sunt identice cu cele de la cazul anterior.- zona superioară ( 0 ≤ x2≤ l2) Momentul încovoietor în secţiunea curentă este= Hx − P , iar ecuaţia diferenţială are formaM x2 2y2Hx22′ 2+ k2y2(9)EI2y =Soluţia ecuaţiei (9) este:iar rotirea are formaHxy +22= C1sin k2x2+ C2cos k2x2(10)P2Hy ′2= k2C1cos k2x2− k2C2sin k2x2+(11)P2206

M x- zona inferioară ( l 2≤ x 1≤ l ) Momentul încovoietor în secţiunea curentă este= Hx − P , iar ecuaţia diferenţială are forma1 2y1Hx21′1′+k1y1(12)EI1y =Soluţia ecuaţiei diferenţiale (12) esteHxy +şi rotirea are forma11= C3sin k1x1+ C4cos k1x1(13)P2Hxy +1′1= k1C3cos k1x1− k1C4sin k1x1(14)P2Condiţiile pentru determinarea constantelor de integrare sunt:- pentru 2, 2- pentru x1 = x2= l2, y1= y2= y0şi y ′2= y′1- pentru x = l , 0 111 =Utilizând aceste condiţii rezultă, după unele calcule simple, un sistem de două ecuaţii omogene cunecunoscutele C 3 , C 4 . Soluţia acestui sistem, care reprezintă ecuaţia de stabilitate, se obţine dincondiţia ca determinantul coeficienţilor necunoscutelor să fie egal cu zero. Forma acestuideterminant este:sin k1l2cot v2− β cos k1l2cos k1l2cot v2+ β sin k1l2D == 0 (15)sin k l − k lcos k l cos k l + k l sin k l111Din dezvoltarea determinantului se obţine forma finală a ecuaţiei de stabilitate şi anume:⎡ ⎛ 1 ⎞ ⎤ ⎡ 1⎤cos v1 ⋅ ⎢v2⎜1+⎟cotv2−1⎥− sin v1⋅ ⎢ cot v2+ v1( 1+ γ) ⎥ = 0(16)⎣ ⎝ γ ⎠ ⎦ ⎣ β⎦Rezolvând, ca şi în cazul precedent, ecuaţia de stabilitate, pentru diferite valori ale coeficienţilor βşi γ rezultă valorile parametrilor critici de încărcare axială v 1 şi v 2 înscrise în tabelul 2.Tabel 2γ = l l β = I 2I 12 10,05 0,10 0,15 0,20 0,25 0,301110,200,300,40v 1 1,990 2,600 2,967 3,175 3,345 3,440v 2 1,777 1,646 1,532 1,430 1,338 1,256v 1 1,524 1,979 2,305 2,546 2,730 2,873v 2 2,040 1,878 1,765 1,708 1,638 1,574v 1 1,301 1,661 1,928 2,131 2,316 2,461v 2 2,327 2,100 1,992 1,906 1,853 1,798Observaţie: Din analiza valorilor cuprinse în tabelul 2 se constată că pentru toate cazurile analizate,πcoeficientul lungimii de flambaj µ = respectă condiţia µ 3 .2v 2,cr2

2.3 Cazul c (fig.4)Figura 4- zona superioară ( 0 ≤ x2≤ l2) Momentul încovoietor în această zonă este Mx= P y2− Miar ecuaţia diferenţială are forma2 Msy′ 2+ k2y2=(17)EI2Soluţia ecuaţiei diferenţiale este:Msy2= C1sin k2x2+ C2cos k2x2+(18)P2iar rotirea deviney′ = k C cos k x − k C sin k(19)2 2 1 2 2 2 2 2x2- zona inferioară ( l ≤ 1≤ l ) Momentul încovoietor este Mx= P2 y1− Ms− H x1− lecuaţia diferenţială a fibrei medii deformate are forma2 Hx1y ′1′+k1y1=(20)EI2 s,2x (2)Soluţia ecuaţiei diferenţiale (20) esteyMsH lşi rotirea este1( x − )1 21= C3sin k1x1+ C4cos k1x1+ +(21)P2P2Hy ′1= k1C3cos k1x1− k1C4sin k1x1+(22)PCondiţiile pentru determinarea constantelor sunt:- pentru 2, 2 2- pentru x1 = x2= l2, y 1= y 2= ∆ şi y ′2= y′1- pentru = l , y = ∆ şi y ' 1= 0x112, iar208

l 2l 1Figura 5Soluţia ecuaţiei diferenţiale (28) esteşi rotirea esteyHx1 s1= C3sin k1x1+ C4cos k1x1+ +(29)P2P2Hy ′1= k1C3cos k1x1− k1C4sin k1x1+(30)PCondiţiile pentru determinarea constantelor sunt:- pentru 2, 2 2- pentru x1 = x2= l2, y1= y2= y0şi y ′2= y′1- pentru x = l , 0 111 =2MCu aceste condiţii se obţine un sistem de trei ecuaţii omogene cu necunoscuteleDeterminantul coeficienţilor necunoscutelor este:M s, C3 şi C4.P 2− cos v2β sin v2cos k l − sin k l112−β sin v2sin k l − cos k l112D = sin v β cos v cos k l − β cos k l − β cos v sin k l + β sin k l = 0 (31)+2211 sin k1l− k1lcos k1lcos k1l+ k1lsin k11211l12Prin dezvoltarea determinantul se obţine forma uzuală a ecuaţiei de stabilitatecos v[ β cos v + v ( 1+ γ)sin v ] − sin v ⋅ ( 1+ β) sin v − v β( 1+ γ)[ cos v ] − 2 β 01⋅ 22 1212 12=Rezolvând ecuaţia de stabilitate (32), pentru setul de valori β şi γ adoptat în cazurile precedente, seobţin parametrii critici prezentaţi în tabelul 4.(32)210

Tabel 4γ = l l β = I 2I 12 10,05 0,10 0,15 0,20 0,25 0,300,200,300,40v 1 3,436 4,158 4,356 4,472 4,543 4,614v 2 3,074 2,630 2,250 2,000 1,817 1,685v 1 2,471 3,268 3,731 3,981 4,142 4,225v 2 3,312 3,100 2,890 2,670 2,485 2,314v 1 1,980 2,659 3,084 3,387 3,614 3,754v 2 3,542 3,362 3,186 3,030 2,891 2,742Şi în acest caz condiţiaµ 2 < 3este respectată pentru valorile β şi γ adoptate.3. CONCLUZIIRezolvarea ecuaţiilor de stabilitate permite determinarea exactă a forţelor critice şi a lungimilor deflambaj. Astfel se poate exploata la maximum capacitatea de rezistenţă a materialelor şi alegereaunor secţiuni economice optime, concomitent cu asigurarea condiţiilor de rezistenţă şi stabilitate.Tabelele cu valorile parametrilor critici de încărcare axială permit analiza rapidă, mai ales în faza depredimensionare, a mai multor variante de secţiuni transversale. Utilizarea calculului exact înprobleme de pierdere a stabilităţii elimină adoptarea unor valori aproximative pentru lungimile deflambaj al căror efect este greu de controlat.4. BIBLIOGRAFIE[1] Bazant, P.Z., Cedolin, L.: Stability of Structures. Oxford University Press, 1991[2] Bănuţ, V.: Calculul neliniar al structurilor. Editura Tehnică, 1981.[3] Bănuţ, V.: Calculul de ordinul II şi de stabilitate al elementelor şi structurilor de rezistenţă.Editura Conspres, 2005.[4] Bănuţ, V., Popescu, H.: Stabilitatea structurilor elastice. Editura Academiei, 1975.[5] Bănuţ, V., Teodorescu, M.E.: Same aspects regarding the stability of frames. The XXX thNational Conference of Solid Mechanics MECSOL2006, pag. 223-228, Constanta, 15-16septembrie 2006.[6] Timoshenko, P.S., Gere, M.J.: Teoria stabilităţii elastice. Editura Tehnică, 1967.211

212