Filtrarea semnalelor. O introducere

Filtrarea semnalelor.O introducereFiltrare - Modificarea relativa a amplitudinilorcomponentelor armonice ale unui semnalperiodic sau chiar eliminarea sau selectareaanumitor componente armonice;Modificarea densitatii spectrale a unui semnalaperiodic, in sensul favorizarii sau defavorizariiunor segmente spectrale.Inginerul român Augustin Maior a observat ca peun circuit telefonic s-ar putea transmite maimulte convorbiri simultan. Pentru aceasta atransferat spectrul vocal al unei convorbiri întrobanda de frecventa, distincta de al alteiconvorbiri, prin modulare. La receptiesepararea convorbirilor se realizeaza printr-ooperatie de atenuare a tuturor componentelorspectrale cu exceptia cate unei benzi, in care afost plasata convorbirea. In acest mod, prinfiltrare, se separa convorbirile ce au fostamestecate.1

Filtrarea se realizeaza cu ajutorul unor sistemeliniare si invariante in timp continuu saudiscret.Filtrele sunt sisteme de convolutie continuesau discrete.HTipuri de filtre idealeFiltrul trece jos ideal( ω) = p ( ω) ↔ h( t)ωcsinωct=πtFiltrele ideale nu pot fi realizatedeoarece sunt necauzale.Nu este respectata teoremaPaley-Wiener.∞∫−∞log H1+ ω( ω)2pentru ω > ω , log Hdωnu este convergenta deoarecec( ω) → ∞2

Aproximarea unui filtru ideal printr-unfiltru realizabil( )Filtrul ideal nu este cauzal, ht ≠ 0 ,t < 0 . Pentru a obtine un sistemcauzal, se intarzie ht () cu t0si se trunchiaza raspunsul la impuls obtinutastfel in intervalul [ 0, 2 t0]. Caracteristica de frecventa a filtrului ideal, H ( ω),este reala si pozitiva, deci caracteristica sa de faza este identic nula. Caracteristicade frecventa a filtrului obtinut prin intarziere este complexa:tsinωc( t−t0)() = ( − 0 ) = ↔ t ( )0π ( t-t0)t ( ω ) = ( ω ) = ( ) ( )0 ω ω Φc t ω =−ω00dΦt( ω)0( )t.h t h t t H0H H p ; t ;τ ω =− =dωg 0ω ,( − ) ( − )Raspunsul la impuls ht t p t t0 t 00caracterizeaza un sistemcauzal si deci realizabil. Raspunsul in frecventa corespunzator nu maieste insa ideal, ci unul afectat de fenomenul Gibbs. Cu cat t0este maimare cu atat aproximarea este mai buna. De aceea modelul de filtruideal poate fi utilizat in calcule ca o limita care poate fi aproximata oricatde bine in eroare medie patratica.3

Filtrul trece sus ideal intimp discretHhhTSTSTS( Ω)[] n⎧1,= ⎨⎩0,1=2π[] n = δ[]n−π+ΩcjΩn∫−πeΩ −sin Ωcn−πn( 2k+ 1)pentru restdΩ +12ππ < Ωπ∫eπ−ΩccjΩn= 1-pdΩ =Ωc12π( Ω) ∗δ ( Ω − π)π∫−πejΩn2πdΩ −12πΩc∫e−ΩcjΩndΩFiltrul trece banda idealHTB⎧1,⎨⎩0,ω< ω < ωc1c2( ω) == p ( ω) − p ( ω) ↔ h ( t)in restωc2ωc1TBsin ω=πtc2t sin ω−πtc1t5

Filtrul trece banda ideal intimp discret⎧⎪1,Ω < Ω

Aproximarea filtrelor idealeCaracteristicile de frecvenţă ale filtrului trece jos ideal au treiproprietăţi remarcabile:1. Modulul răspunsului în frecvenţă este perfect plat (constant) înbanda de trecere ω≤ω c ;2. Tranziţia din banda de trecere în banda de blocare este făcutăabrupt (practic la frecvenţele ± ω c );3. Caracteristica de fază este liniară.Circuitele reale, cu răspunsul în frecvenţă H(ω), care simuleazăfiltrul trece jos ideal, pot fi construite pe baza unor criterii deaproximare care minimizează eroarea de aproximare acaracteristicilor de frecvenţă ale filtrului ideal într-o anumităbandă de frecvenţă.Aproximarea de tip ButterworthSe obţine un filtru trece jos maxim plat în banda de trecere, cufuncţia de transfer H B (ω), cu proprietatea:( ) ( ){ ( ) ( ) }2 2 2 2Hi ω − HB ω = min Hi ω − H ω , ω ≤ωcH ( ω)7

Aproximarea de tip CebâşevSe obţine un filtru trece jos cu răspunsul în frecvenţă H C (ω), cuproprietatea:( ) ( ){ ( ) ( )}H ω −H ω ≈ min max H ω −Hω ω ≤ωH ( ω)i C i cn = 5Aproximarea de tip BesselSe obţine un filtru trece jos cu răspunsul în frecvenţă H Be (ω), cuproprietatea:d⎡arg{ H Be ( ω)} ⎤ ≈const.d ω ⎣ ⎦8

Filtre pasive în scarăFiltrele de tip Butterworth, Cebâşev sau Bessel pot fi implementatepe baza funcţiilor lor de transfer, cu ajutorul unor reţele purreactive conectate între terminaţii neideale. În telecomunicaţii,acetse filtre se conectează pe linii de impedanţă caracteristicăcunoscută, Z c . Considerând această impedanţă pur rezistivă,conectarea filtrului pe linie se face după modelul din figură:valorile celor două rezistenţe R 1şi R 2 fiind egale cu Z c .Pentru proiectarea acestor filtre se utilizează prototipurinormalizate în frecvenţă şi înimpedanţă. Schemele unor filtreprototip normalizate în impedanţă la valoarea R g = R s =1 Ω şiîn frecvenţă la pulsaţia de 1 rad/s sunt prezentate în figură.1ΩL n…L 2R gC n-1…C 3C 1R s1Ωn -par1ΩL n’…L 3’L 1’R gC n ’ -1…C 2’R s1Ωn -impar9

Denormalizarea în impedanţăDacă se doreşte proiectarea unui filtru trce jos pe o linie cu impedanţacaracteristucă diferită de 1, de exemplu cu impedanţa caracteristicăegală cu R, atunci valorile din structura noului filtru L k ’ şi C k ’, seobţin din valorile vechiului filtru L k şi C k , prin denormalizare înimpedanţă cu formulele:L k ’= RL k , k = 1, 2,...,nşiC k ’= C k / R, k = 1, 2,...,n.10

Denormalizarea în frecvenţăDacă se doreşte proiectarea unui filtru trec jos cu pulsaţia de tăiereω s ’, atunci valorile din structura noului filtru L k ’’ şi C k ’’, se obţindin valorile vechiului filtru L k şi C k , prin denormalizare înfrecvenţă cu formulele:L k ’’ = L k / ω s ’, k = 1, 2,...,n şiC k ’’ = C k / ω s ’, k = 1, 2,...,nTransformări de frecvenţă şireactanţăPornind de la filtre trece jos prototip, prin transformări defrecvenţă şi reactanţă, se pot obţine filtre de tip trece sus, trecebandă sau opreşte bandă prototip, din care, prin denormalizarede impedanţă şi frecvenţă, se pot obţine filtre trece sus, trecebandă sau opreşte bandă, cu orice frecvenţă de tăiere (centrală)şi terminate pe orice rezistenţe de valoare egală.11