Calcul matriceal elementar
Calcul matriceal elementar Calcul matriceal elementar
4 SEMINAR 1. CALCUL MATRICEAL ELEMENTARpozitivi (demonstraţi) dar elementele care nu se află pe diagonală nu sunt obligatoriupozitive. O matrice simetrică N ∈ IR n×n se numeşte negativ (semi)-definită dacă −Neste pozitiv (semi)-definită.3. Matrice ortogonale. Doi vectori (coloană) x, y ∈ IR n se numesc ortogonali dacăy T x = 0 şi ortonormaţi dacă, în plus, ‖x‖ 2 = ‖y‖ 2 = 1. O matrice patratică Q ∈ IR n×nse numeşte ortogonală dacă toate coloanele ei formează perechi ortonormate, adicăQ T Q = I n , unde I n este matricea unitate. Matricele ortogonale joacă un rol decisivîn rezolvarea problemei liniare a celor mai mici pătrate.1.1.3 Probleme de calcul numeric, algoritmi secvenţialişi performanţele lorMetodele numerice au rolul să rezolve probleme matematice care folosesc date numerice. Oproblemă matematică cu date iniţiale numerice şi cu un rezultat numeric trebuie să aibăo soluţie unică. În general, există multe metode de rezolvare a unei probleme de calculnumeric dată. O expunere detaliată a unei metode numerice se numeşte algoritm. Aşadar,un algoritm este o listă de operaţii aritmetice şi logice care duc datele numerice iniţiale lasoluţia numerică finală. Aceste rezultate finale sunt interpretate ca soluţia calculată a uneiprobleme date. Când algoritmul este făcut pentru a fi executat pe un calculator cu un singurprocesor, adică există o ordine strictă a execuţiei instrucţiunilor (două instrucţiuni nu potfi executate în acelaşi timp!) atunci algoritmul se numeşte secvenţial. Altfel algoritmul senumeşte paralel.Principalele performanţe ale algoritmilor sevenţiali sunt stabilitatea şi eficienţa. Stabilitateaeste un obiectiv esenţial însă foarte greu de măsurat şi de asigurat. Vezi cursul pentrumai multe detalii. Eficienţa algoritmilor secvenţiali poate fi măsurată de doi parametri:numărul de operaţii în virgulă mobilă N (flops) şi volumul de memorie necesar M (exprimatprin numărul de locaţii FVM). Numărul N determină timpul de execuţie al algoritmului.Toţi algoritmii pe care îi vom studia vor avea o complexitate polinomială, astfel N şiM sunt polinoame de dimensiunea problemei, exprimate în funcţie de numărul iniţial şi celfinal de date, spre exemplu în funcţie de ordinul n al matricelor folosite. DacăN = α 1 n p + α 2 n p−1 + . . . + α p n + α p+1 , M = β 1 n q + β 2 n q−1 + . . . + β q n + β q+1ne vor interesa numai evaluările asimptoticeÑ ≈ α 1 n p ,˜M ≈ β1 n qÑ(evident lim n→∞ N = lim ˜Mn→∞ M = 1).Pentru a îmbunătăţi eficienţa algoritmilor sunt utile următoarele recomandări:• nu executaţi operaţii cu rezultatul cunoscut, de exemplu evitaţi adunări şi scăderi cuzero, înmulţiri cu 1 sau 0, împarţiri la 1 etc;• nu repetaţi aceleaşi calcule; în cazul în care calculatorul funcţionează corect veţi obtineacelaşi rezultat;• evitaţi execuţia operaţiilor inutile;
1.2. CONVENŢII PENTRU PSEUDO-COD 5• evitaţi memorarea informaţiilor care nu trebuiesc neapărat memorate; de exemplu numemoraţi niciodată matricea zero sau matricea unitate: le puteţi folosi fară să le aveţiîn memoria calculatorului;• nu memoraţi aceeaşi informaţie de mai multe ori;• folosiţi metode eficiente de memorare a matricelor structurate, de exemplu matricelediagonale pot fi memorate numai prin memorarea elementelor diagonale etc;• folosiţi suprascrierea; ex: dacă vreţi să calculaţi vectorul z = αx + y şi nu mai aveţinevoie de x sau y pentru calculele următoare atunci calculaţi x ← αx + y sau y ←αx + y.Observaţie. Nu neglijaţi recomandările de mai sus. B.Francis şi N.Koublanovskaia audevenit celebri descoperind cum să evite calculele excesive dintr-un algoritm. Şi tu potideveni un cercetător cunoscut reducând valoarea parametrilor p şi/sau q în cazul problemelornumerice standard. Nu se cunoaşte încă valoarea minimă a parametrului p pentru o problemăsimplă cum este înmulţirea matricelor!1.2 Convenţii pentru pseudo-codVom adopta câteva convenţii pentru scrierea algoritmilor. Aceste convenţii ne vor permitesă scriem algoritmii de calcul într-o formă concisă, clară, uşor de înţeles şi de implementatîntr-un limbaj de programare de nivel înalt. Instrucţiunile de bază ale pseudo-cod-ului suntprezentate mai jos. Ele pot fi completate cu orice altă instrucţiune neambiguă şi uşor deînţeles.1.2.1 Instrucţiuni de atribuireFormele generale ale unei instrucţiuni de atribuire sunt:v = expresie sau v ← expresieunde v este numele unei variabile şi expresie este orice expresie aritmetică sau logică validă.O expresie aritmetică este validă dacă:• toate variabilele folosite au o valoare validă (adică au fost iniţializate sau calculateanterior);• toate operaţiile sunt bine definite şi expresia are o valoare bine definită; astfel nu suntpermise: împărţirea la zero, operaţiile nedeterminate cum ar fi 0 · ∞, 0/0, ∞/∞ etc.O expresie logică este validă dacă:• toate variabilele logice folosite au o valoare logică validă (”adevărat” sau ”fals”);• sunt folosiţi numai operatori logici binecunoscuţi: ŞI, SAU, NU, NICI etc.
- Page 1: Seminar 1Calcul matriceal elementar
- Page 8 and 9: 8 SEMINAR 1. CALCUL MATRICEAL ELEME
- Page 10 and 11: 10 SEMINAR 1. CALCUL MATRICEAL ELEM
- Page 12 and 13: 12 SEMINAR 1. CALCUL MATRICEAL ELEM
- Page 14 and 15: 14 SEMINAR 1. CALCUL MATRICEAL ELEM
- Page 16 and 17: 16 SEMINAR 1. CALCUL MATRICEAL ELEM
- Page 18 and 19: 18 SEMINAR 1. CALCUL MATRICEAL ELEM
- Page 20 and 21: 20 SEMINAR 1. CALCUL MATRICEAL ELEM
- Page 22 and 23: 22 SEMINAR 1. CALCUL MATRICEAL ELEM
- Page 24 and 25: 24 SEMINAR 1. CALCUL MATRICEAL ELEM
- Page 26: 26 SEMINAR 1. CALCUL MATRICEAL ELEM
1.2. CONVENŢII PENTRU PSEUDO-COD 5• evitaţi memorarea informaţiilor care nu trebuiesc neapărat memorate; de exemplu numemoraţi niciodată matricea zero sau matricea unitate: le puteţi folosi fară să le aveţiîn memoria calculatorului;• nu memoraţi aceeaşi informaţie de mai multe ori;• folosiţi metode eficiente de memorare a matricelor structurate, de exemplu matricelediagonale pot fi memorate numai prin memorarea elementelor diagonale etc;• folosiţi suprascrierea; ex: dacă vreţi să calculaţi vectorul z = αx + y şi nu mai aveţinevoie de x sau y pentru calculele următoare atunci calculaţi x ← αx + y sau y ←αx + y.Observaţie. Nu neglijaţi recomandările de mai sus. B.Francis şi N.Koublanovskaia audevenit celebri descoperind cum să evite calculele excesive dintr-un algoritm. Şi tu potideveni un cercetător cunoscut reducând valoarea parametrilor p şi/sau q în cazul problemelornumerice standard. Nu se cunoaşte încă valoarea minimă a parametrului p pentru o problemăsimplă cum este înmulţirea matricelor!1.2 Convenţii pentru pseudo-codVom adopta câteva convenţii pentru scrierea algoritmilor. Aceste convenţii ne vor permitesă scriem algoritmii de calcul într-o formă concisă, clară, uşor de înţeles şi de implementatîntr-un limbaj de programare de nivel înalt. Instrucţiunile de bază ale pseudo-cod-ului suntprezentate mai jos. Ele pot fi completate cu orice altă instrucţiune neambiguă şi uşor deînţeles.1.2.1 Instrucţiuni de atribuireFormele generale ale unei instrucţiuni de atribuire sunt:v = expresie sau v ← expresieunde v este numele unei variabile şi expresie este orice expresie aritmetică sau logică validă.O expresie aritmetică este validă dacă:• toate variabilele folosite au o valoare validă (adică au fost iniţializate sau calculateanterior);• toate operaţiile sunt bine definite şi expresia are o valoare bine definită; astfel nu suntpermise: împărţirea la zero, operaţiile nedeterminate cum ar fi 0 · ∞, 0/0, ∞/∞ etc.O expresie logică este validă dacă:• toate variabilele logice folosite au o valoare logică validă (”adevărat” sau ”fals”);• sunt folosiţi numai operatori logici binecunoscuţi: ŞI, SAU, NU, NICI etc.
Change language