Calcul matriceal elementar

12 SEMINAR 1. CALCUL MATRICEAL ELEMENTAR1. pentru j = i : n2. σ = σ + |u ij |2. dacă ν ∞ < σ1. ν ∞ = σ5. ν F = 06. pentru i = 1 : n1. pentru j = i : n1. ν F = ν F + u 2 ij7. ν F = √ ν FProblema 3. a) Fie doi vectori necoliniari daţi b 1 , b 2 ∈ IR n . Calculaţi un vector q ∈ IR naflat în subspaţiul generat de b 1 şi b 2 , ortogonal la b 1 . b) Fie p vectori liniar independenţib j ∈ IR n , j = 1 : p. Calculaţi un set de p vectori q j , j = 1 : p din subspaţiul generat devectorii b j , ortogonali doi câte doi, i.e. astfel încât q T i q j = 0, ∀i ≠ j, q j ∈ IR n , j = 1 : p.Soluţie. a) Orice vector din subspaţiul generat de vectorii b 1 şi b 2 este o combinaţieliniară a acestor doi vectori. Fie q o astfel de combinaţie liniară a lui b 1 şi b 2 , i.e. q = αb 1 +b 2 .Pentru a determina α avem condiţia de ortogonalitate b T 1 q = αb T 1 b 1 + b T 1 b 2 = 0. Vectorul b 1fiind nenul, rezultă α = − bT 1 b 2b T 1 b . Algoritmul este:11. α = 02. β = 03. pentru i = 1 : n1. α = α + b 1 (i) ∗ b 2 (i)2. β = β + b 1 (i) ∗ b 1 (i)4. α = −α/β5. pentru i = 1 : n1. q(i) = α ∗ b 1 (i) + b 2 (i)b) Binecunoscuta procedură de ortogonalizare Gram-Schmidt utilizează şi generalizeazărezultatul de la punctul a); vectorii ortogonali q j generează acelaşi subspaţiu al lui IR n caşi setul de vectori b j . Ideea algoritmului Gram-Schmidt constă în a impune q 1 = b 1 şi aexprima un vector q j+1 ca o combinaţie liniară a vectorilor q k deja calculaţi şi b j+1 , conformschemei de calcul la nivel vectorial:1. q 1 = b 12. pentru j = 1 : p − 11. q j+1 = ∑ ji=1 α ijq i + b j+1unde scalarii α ij , i = 1 : j trebuie să asigure ortogonalitatea vectorului q j+1 la q k , k = 1 : j.La fel ca mai sus, α 11 = − bT 1 b 2b T 1 b . Mai general, având în vedere că qk T q j+1 = ∑ ji=1 α ijqk T q i +1qk T b j+1 = 0 şi că qk T q i = 0 pentru k ≠ i avemα ij = − qT i b j+1qi T q , i = 1 : jiAstfel algoritmul Gram-Schmidt detaliat este: