Calcul matriceal elementar

More documents

Recommendations

Info

10 SEMINAR 1. CALCUL MATRICEAL ELEMENTARLuând α = β = 1 şi matricea iniţiala C zero, procedura de mai sus calculează produsul C =A ∗ B. BLAS acoperă toate cazurile particulare ale înmulţirii matrice-matrice. Pentru cazulîn care măcar una dintre matrice este simetrică există o procedură specială. De asemenea,există proceduri speciale pentru cazul în care matricele implicate sunt triunghiulare.2. Actualizarea de rang k a unei matrice simetrice: fiind daţi scalarii reali α şi β , omatrice simetrică C ∈ IR m×n şi o matrice AIR n×k , se calculeaza matriceaC ← α ∗ A ∗ A T + β ∗ C.Dacă k < n şi A are coloanele liniar independente, atunci rangAA T = k. Acest lucru dănumele procedurii.3. Actualizarea de rang 2k a unei matrici simetrice: fiind daţi scalari reali α şi β, omatrice simetrică C ∈ IR m×n şi două matrice n × k A şi B, procedura calculează:C ← α ∗ A ∗ B T + α ∗ B ∗ A T + β ∗ C.Nivelul 3 conţine şi algoritmi de rezolvare a sistemelor liniare triunghiulare cu membruldrept multiplu (vezi seminar 2) care au o complexitate O(n 3 ) .1.4 Probleme rezolvateVom începe cu probleme simple, cum sunt cele rezolvate de BLAS, dar care sunt des întâlniteîn probleme mai complexe. Programele MATLAB de implementare a algoritmilor elaboraţisunt prezentate în Anexa B.Problema 1. Fiind date numerele reale α 1 , α 2 , . . . , α n , scrieţi un algoritm care săcalculeze suma lor σ = ∑ ni=1 α i şi un alt algoritm care să calculeze produsul lor π = ∏ ni=1 α i.Soluţie. Amintiţi-vă că o sumă este întotdeauna iniţializată cu 0 şi un produs cu 1.Algoritmi posibili pentru a calcula σ şi π sunt:Algoritmul 1.1 (Date α i , i = 1 : n, algoritmul calculează σ = ∑ ni=1 α i)1. σ = 02. pentru i = 1 : n1. σ = σ + α iAlgoritmul 1.2 (Date α i , i = 1 : n, algoritmul calculeaza σ = ∑ ni=1 α i)1. σ = 02. pentru i = n : −1 : 11. σ = σ + α iObservaţi că cei doi algoritmi pentru calcularea sumei sunt diferiţi. Datorită erorilor derotunjire, care apar la efectuarea fiecărei adunări, rezultatele executării celor doi algoritmipot fi diferite. Adunarea în virgulă mobilă nu este o operaţie asociativă. Este foarte greude găsit ordinea optimă de însumare astfel încât eroarea să fie minimă.Algoritmul 1.3 (Date α i , i = 1 : n, algoritmul calculează π = ∏ ni=1 α i)
1.4. PROBLEME REZOLVATE 111. π = 12. pentru i = 1 : n1. π = π ∗ α iEvident, observaţiile de mai sus rămân valabile.Problema 2. Fiind dată o matrice superior triunghiulară U ∈ IR n×n , scrieţi un algoritmeficient care să calculeze1. urma matricei U, i.e. τ = tr U;2. determinantul δ = det U3. normele Frobenius, 1 şi infinit ale matricei U definite în felul următor:n∑ n∑ν F = √(normaFrobenius),i=1 j=1u 2 ijşiν 1 = maxν ∞ = maxj∈1:ni=1i∈1:nj=1n∑|u ij | (norma1)n∑|u ij | (norma ∞).Soluţie. Prin definiţie τ = ∑ ni=1U(i, i). De asemenea, este uşor de demonstrat căδ = ∏ ni=1U(i, i). Astfel puteţi folosi algoritmii de calcul a sumei, respectiv a produsului an numere reale de la problemele precedente. Pentru a putea calcula eficient norma matriceivom exploata structura superior triunghiulară a matricei U evitând efectuarea unor operaţiiinutile. Astfel avemn∑ n∑j∑n∑ν F = √ u 2 ij , ν 1 = max |u ij |, ν ∞ = max |u ij |.i∈1:ni=1 j=iPrin urmare, algoritmul este:Algoritmul 1.41. ν 1 = 02. pentru j = 1 : n1. σ = 02. pentru i = 1 : j1. σ = σ + |u ij |3. dacă ν 1 < σ1. ν 1 = σ3. ν ∞ = 04. pentru i = 1 : n1. σ = 0j∈1:ni=1j=i
Page 1: Seminar 1Calcul matriceal elementar
Page 5 and 6: 1.2. CONVENŢII PENTRU PSEUDO-COD 5
Page 8 and 9: 8 SEMINAR 1. CALCUL MATRICEAL ELEME
Page 12 and 13: 12 SEMINAR 1. CALCUL MATRICEAL ELEM
Page 26: 26 SEMINAR 1. CALCUL MATRICEAL ELEM

Calcul matriceal elementar

Create successful ePaper yourself

Delete template?

Save as template?