Inegalităţi geometrice în poligoane convexe de tip Bergström ...

Inegalităţi geometrice în poligoane convexe,de tip Bergström-MitrinovičDumitru M. BĂTINEŢU-GIURGIU 1 , Neculai STANCIU 2Abstract. Some Mitrinovič type inequalities for general convex polygons are presented. Themain tool in the proofs is Bergström inequality.Keywords: Mitrinovič type inequalities, Bergström inequality, convex polygon.MSC 2000: 51Mxx, 26D15.Inegalitatea lui Bergström are următorul enunţ: Dacă n ∈ N ∗ − {1}, x k ∈ R,y k ∈ R ∗ +, ∀k = 1,n, X n =nk=1x k , Y n =nk=1y k , atunci:(B)nk=1x 2 ky k≥ X2 nY n,cu egalitate dacă şi numai dacă există t ∈ R ∗ astfel încât x k = ty k , ∀k = 1,n.Inegalitatea luiD.S.Mitrinovič areurmătorulenunţ: În orice triunghi de perimetru2p, circumscris unui cerc C(I;r), are loc inegalitatea:(M) p ≥ 3r √ 3,cu egalitatea dacă şi numai dacă triunghiul este echilateral.Scopul acestui articol este de a stabili unele inegalităţi geometrice (altele decâtcele din [1]) de tipul (M) în poligoane convexe, folosind inegalitatea (B).Pentru orice poligon convex A 1 A 2 ...A n , n ≥ 3, vom nota cu S aria poligonului,cu 2p perimetrul poligonului, cu a k lungimea laturii [A k A k+1 ],k = 1,n, A n+1 ≡ A 1 ,iar pentru orice punct M interior poligonului notăm T k = pr Ak A k+1M, d k = MT k ,u k = µ(∠A k MT k ), v k = µ(∠T k MA k+1 ), S k = aria[A k MA k+1 ],∀k = 1,n.Lemă. Fie A,B,A ≠ B două puncte în plan şi M /∈ AB, cu T = pr AB M ∈ [AB];atunci AB d = tgu+tgv, unde u = µ(AMT), v = µ(TMB) (în radiani), iar d estedistanţa de la M la dreapta AB.Demonstraţie. Avem următoarele situaţii:i) T ∈ (AB). Atunci tgu = ATMTii) T ≡ A (analog T ≡ B). Găsim tgu = 0 şi tgv = BTBT ABşi tgv = , deci tgu+tgv =MT MT ., deci tgu+tgv =ABMT .MTTeorema 1. Dacă A 1 A 2 ...A n , n ≥ 3, este un poligon convex şi M este un punctinterior lui astfel încât pr Ak A k+1M = T k ∈ [A k A k+1 ], ∀k = 1,n, A n+1 ≡ A 1 , atunci(1)nk=1a kd k≥ 2ntg π n .1 Profesor, Colegiul Naţional ”Matei Basarab”, Bucureşti2 Profesor, Şcoala Generală ”George Emil Palade”, Buzău112

nÈk=1Demonstraţie. Conform Lemei avem a k= tgu k + tgv k , ∀k = 1,n, de unded ka k= nÈk=1(tgu k +tgv k ).d kDeoarece funcţia f :0, π f(x) = tgx este convexă pe0,2→R, π rezultă2,că putem aplica inegalitatea lui Jensen şi obţinem nÈk=12ntg12n(u k +v k ). DinnÈk=1nÈk=1(u k +v k ) = 2π, deducem că nÈk=1a k= nÈk=1(tgu k + tgv k ) ≥d ka kd k≥ 2ntg 2π2n =2ntg π , ceea ce era de demonstrat.nObservaţia 1.1. Dacă poligonul A 1 A 2 ...A n este circumscris unui cerc C(I;r)şi M ≡ I, rezultă că d k = r, ∀k = 1,n, iar (1) devine(1 ′ )1rnk=1a k = 2pr ≥ 2ntg π n ⇔ p ≥ nrtg π n .Inegalitatea (1 ′ ) este o generalizare a inegalităţii (M).Observaţia 1.2. În cazul în care poligonul este un triunghi ABC, relaţia (1)devine(1 ′′ )Pentru M ≡ I obţinem inegalitatea (M).ad a+ b d b+ c d c≥ 6tg π 3 = 6√ 3.Teorema 2. Dacă A 1 A 2 ...A n , n ≥ 3, este un poligon convex şi M este un punctinterior poligonului, atunci(2)nk=1a kd k≥ 2p2S .Demonstraţie. Avem nÈk=1a kd k= nÈk=1a 2 ka k d k= nÈk=1a 2 k2S k. Aplicăm inegalitatea (B)( nÈk=1aşi obţinem nÈk=1k ) 2a k≥d k2 nÈk=1= 4p22S = 2p2 , ceea ce era de demonstrat.SS kObservaţia 2.1. Dacă A 1 A 2 ...A n , n ≥ 3, este circumscris cercului C(I;r),atunci S = pr, iar (2) devine nÈk=1a k≥ 2p2d k pr = 2pr ; apoi din (1′ ) deducem că(2 ′ )nk=1a kd k≥ 2ntg π n , ∀M ∈ IntA 1A 2 ...A n .113

Prin urmare, ∀M ∈ IntABC are loc inegalitatea(2 ′′ )ad a+ b d b+ c d c≥ 2pr ≥ 6tg π 3 .Teorema 3. Dacă A 1 A 2 ...A n , n ≥ 3, este un poligon convex şi M este un punctinterior lui astfel încât pr Ak A k+1M = T k ∈ [A k A k+1 ], ∀k = 1,n, A n+1 ≡ A 1 , atunci:(3)a kdnk=12 k≥ 2n2p tg2 π n .Demonstraţie. Avem nÈk=1a knÈk=1 d 2 k≥( nÈk=1a kd k) 2= 1a2pnÈk=1 knÈk=1a kd 2 k= nÈk=11a ka kd k2, unde aplicăm (B) şi obţinema k, de unde, folosind (1), deducem (3).d k2Observaţia 3.1. Dacă poligonul A 1 A 2 ...A n , n ≥ 3, este circumscris cerculuiC(I;r) şi M ≡ I, atunci (3) devine:(3 ′ ) 2p 2 ≥ 2n 2 r 2 tg 2 π n ⇔ p2 ≥ n 2 r 2 tg 2 π n .Teorema 4. Dacă A 1 A 2 ...A n , n ≥ 3, este un poligon convex şi M este un punctinterior lui astfel încât pr Ak A k+1M = T k ∈ [A k A k+1 ], ∀k = 1,n, A n+1 ≡ A 1 , atunci:(4)nk=1Demonstraţie. Avem nÈk=1a kşi obţinem nÈk=11 d k2≥nÈk=1d 2 kanÈk=12 kcont de (1), deducem concluzia.a 2 knk=11d 2 k= nÈk=11d 2 k≥4n 2 tg 2 π n .1a 2 ka kd k2, unde aplicăm inegalitatea (B)a ⇔nÈk=12 knÈk=11 a kd 2 , apoi, ţinândk≥nÈk=1 d k2Observaţia 4.1. Dacă poligonul convex A 1 A 2 ...A n , n ≥ 3, este circumscriscercului C(I;r), iar M ≡ I, atunci d k = r, ∀k = 1,n, şi relaţia (4) devine(4 ′ )nr 2nk=1a 2 k≥4n 2 tg 2 π nk=1an ⇔ 2 k ≥ 4nr2 tg 2 π n .Teorema 5. Dacă un poliedru convex are n(n ≥ 4) feţe poligoane convexe de ariiS k (k = 1,n), iar M este un punct interior poliedrului cu distanţa d k la faţa de arie114

S k şi V,S sunt volumul şi respectiv aria totală ale poliedrului, atunci:(5)nk=1S kd k≥ S23V .Demonstraţie. Avem nÈk=1S k= nÈk=1Sk2 = nÈk=1Sk2 , unde V k este volumuld k d k S k 3V kpiramidei de vârf M şi bază poligonul feţei de arie S k . Aplicând inegalitatea (B),deducem că nÈk=1S k2S k≥nÈk=1d k3 nÈk=1V k= S2, ceea ce era de demonstrat.3VObservaţia 5.1. Dacă poliedrul este circumscris unei sfere S(I;r) de centru I şirază r atunci relaţia (5) devine:(5 ′ )nk=1S kd k≥ S23V = S2Sr = S r .Dacă M ≡ I, atunci d k = r, ∀k = 1,n, şi relaţia (5 ′ ) devine o egalitate.Teorema 6. În condiţiile teoremei 5, are loc inegalitatea:1d 2 k≥ S49V 2.(6) Snk=1knk=12Demonstraţie. Avem nÈk=11d 2 = nÈk=1 kS kdeducem nÈk=11 d k2≥nÈk=1. Dacă ţinem seama de nÈk=1d 2 kSknÈk=12şi aplicăm din nou (B), atunci S obţinemnÈk=1knÈk=12ceea ce era de demonstrat.1S 2 kS kd k2, unde aplicăm inegalitatea (B) şiS kd k= nÈk=1S 2 kd k S k= nÈk=1S 2 k3V k1 S kd 2 ≥k≥nÈk=1 d k2S49V 2,Observaţia 6.1. Dacă poliedrul este circumscris unei sfere S(I;r) şi M ≡ I,atunci relaţia (6) devine n rnÈk=12 Sk 2 ≥ S49V 2 ⇔ nÈk=1Sk 2 ≥ r2 S 49nV 2, apoi, ţinând seama cărS = 3V, obţinem(6 ′ )nk=1S k 2 ≥ r2 S 4nr 2 S 2 = S2n .Bibliografie1. M. Dincă, M. Bencze – Trip in world of geometrical inequalities (2), OctogonMathematical Magazine, vol 11, No. 1, april 2003, 45-76.115