Aplicaţie software pentru analiza avansată a structurilor ... - apcmr

APLICAŢIE SOFTWARE PENTRU ANALIZA AVANSATĂ A
STRUCTURILOR METALICE SPAŢIALE CU NODURI
SEMIRIGIDE
Cosmin G. Chiorean 1 , George M. Bârsan 2
Rezumat
Lucrarea propune un model de analiză avansată a cadrelor plane şi spaţiale, care ia în considerare
efectele zonelor de plastificare de-a lungul barelor, efectele de ordinul al doilea, locale şi globale
ale neliniarităţii geometrice ca şi comportarea neliniară moment-rotire a conexiunilor semirigide
dintre bare. Se prezintă caracteristicile şi performanţele acestui model de calcul neliniar, în baza
căruia s-a realizat un program de calcul performant, pentru analiza statică neliniară a structurilor
în cadre plane şi spaţiale. Prin modelarea barelor structurii ca un singur element se evită
discretizarea exagerată a barelor structurii, specifică majorităţii metodelor de calcul neliniar
cunoscute, reducând astfel sensibil memoria calculator solicitată şi volumul calculelor. Rezultatele
numerice prezentate sunt relevante pentru performanţele aplicaţiei software elaborate în acest
scop, şi evidenţiază elocvent eficacitatea metodei de calcul propuse.
1. Introducere
Examinând dezvoltarea metodelor de calcul ale structurilor, se distinge în literatura de specialitate
un nou mod de abordare pentru problemele de analiză şi proiectare a structurilor, în metoda stărilor
limită, şi anume, analiza neliniară avansată. În această concepţie, prin analiză avansată se înţelege
orice metodă de calcul global care poate descrie în mod satisfăcător rezistenţa, rigiditatea şi
stabilitatea globală a structurii, astfel încât verificarea individuală a fiecărui element component al
structurii să nu mai fie necesară [3], asigurând o mai realistă predicţie a efectelor acţiunilor asupra
structurilor şi a performanţelor structurale ale acestora, ca şi, în cele mai multe situaţii, un proiect
mai ieftin şi condiţii de siguranţă mai uniforme.
O asemenea metodă avansată de analiză trebuie să surprindă simultan cât mai adecvat toţi factorii
determinanţi ai comportării structurale de rezistenţă şi stabilitate, şi anume: comportarea elastoplastică
a materialelor structurii în procesul de încărcare până la starea limită de cedare;
considerarea interacţiunii eforturilor în plastificarea secţiunilor; efectele, locale (P-δ) şi globale (P-
∆) de ordinul al doilea a neliniarităţii geometrice; comportarea neliniară a conexiunilor flexibile
1 Conferenţiar, Universitatea Tehnică din Cluj-Napoca, Facultatea de Construcţii şi Instalaţii
2 Profesor consultant, Universitatea Tehnică din Cluj-Napoca, Facultatea de Construcţii şi Instalaţii
39

(semirigide) în cazul cadrelor metalice; imperfecţiunile geometrice, locale şi globale, ale
elementelor structurale şi ale structurii; efectele imperfecţiunilor mecanice (tensiuni reziduale)
asupra capacităţii portante a structurilor metalice; efectele deformaţiilor din curgere lentă în cazul
structurilor din beton armat. Performanţele de analiză numerică şi de grafică ale calculatoarelor
personale şi ale staţiilor de lucru, permit astăzi utilizarea tot mai extinsă a metodelor avansate de
calcul în proiectarea curentă a structurilor, elaborarea programelor de analiză şi a bazelor de date
necesare promovării analizei avansate a structurilor metalice, înscriindu-se în preocupările de
cercetare ştiinţifică din ţări avansate tehnologic, în domeniul analizei şi proiectării structurilor [3].
Deşi tehnica de calcul cunoaşte în prezent un ritm alert de dezvoltare şi perfecţionare, trecerea
calculului complex din domeniul cercetării, care îşi permite să consume timp nelimitat de
calculator, în cel al proiectării curente, la care timpul efectiv de analiză consumat este principalul
criteriu de eficienţă al programului, reprezintă astăzi una din principalele direcţii de cercetare [1, 2].
Pasul de la cercetare la utilizarea curentă în birourile de proiectare nu este încă făcut, fiind necesară
elaborarea unor programe de calcul suficient de exacte pentru a nu altera rezultatele, dar în acelaşi
timp şi suficient de simple pentru o utilizare curentă de către proiectanţii de structuri. Necesitatea
elaborării unor astfel de programe de calcul este subliniată şi de faptul că analiza structurilor la
acţiuni seismice, cea mai importantă fază din proiectarea structurală, se bazează, la nivelul actual,
pe un calcul plastic primitiv.
În acest context se înscrie şi lucrarea de faţă în care este prezentată o metoda şi un program de
calcul pentru analiza avansată care să permită abordarea structurilor în cadre spaţiale metalice şi din
beton armat cu un efort computaţional rezonabil şi care să devină un instrument eficace şi rapid
pentru proiectarea curentă a structurilor.
2. Descrierea modelului de analiză structurală
O analiză rafinată a efectului neliniarităţii fizice asupra răspunsului structural global, presupune
modelarea tuturor factorilor care cauzează acest efect la toate cele trei nivele de manifestare şi
anume: la nivel de fibră - relaţiile constitutive σ-ε; la nivel de secţiune - caracteristicile de rigiditate
secţionale EI y , EI z si EA; la nivel de element - matricea de rigiditate a elementului. La toate cele trei
nivele problema se pune în acelaşi mod şi anume: determinarea forţelor (sau a tensiunilor) şi a
rigidităţilor pentru o stare de deformaţie prescrisă. Spre deosebire de metoda elementelor finite,
unde starea de deformaţie din interiorul barei este determinată pe baza câmpului de deplasări
generat în funcţie de deplasările nodurilor de la capetele elementelor finite (interpolarea
deplasărilor), acurateţea rezultatelor fiind influenţată în mod direct de numărul de elemente în care
este discretizată bara, în metoda pe care o propunem, starea de deformaţie din interiorul elementului
este determinată pe baza condiţiei de echilibru static al eforturilor exterioare şi interioare pe
secţiune (interpolarea eforturilor). Adoptând un procedeu de calcul incremental-iterativ în analiza
inelastică se ţine seama de efectul plastificării materialului structurii, în cea mai evoluată formă,
considerându-se variaţia continuă a rigidităţii structurii în raport cu dezvoltarea zonelor de
plastificare în lungul barelor în funcţie de nivelul de solicitare a acestora în două variante: (1) în
care se consideră relaţiile constitutive neliniare σ-ε pentru modelarea neliniarităţii fizice la nivel de
fibră şi (2) cu considerarea relaţiilor analitice sau cvasianalitice neliniare M-N-Φ (moment
încovoietor-efort axial-curbură) şi N-M-ε (efort axial-moment încovoietor-deformaţie axială) pentru
modelarea comportării elasto-plastice la nivelul secţiunilor. Efectul dezvoltării graduale a zonelor
plastice în secţiunile din lungul barei precum şi a imperfecţiunilor mecanice (tensiuni reziduale în
cazul secţiunilor metalice) asupra rigidităţii de ansamblu a barelor şi implicit a structurii este luat în
considerare în mod direct în prima variantă în timp ce numai aproximativ în cea de-a doua prin
intermediul curbelor caracteristice M-N-Φ şi N-M-ε pe baza cărora se determină caracteristicile de
rigiditate ale secţiunilor, dar cu o reducere sensibilă a timpului de analiză.
40

Figura 1. Tipul de element utilizat la modelarea barelor cadrelor spaţiale.
2.1 Modelarea inelasticităţii la nivel de fibră
În cazul modelării inelasticităţii la nivel de fibră, secţiunile transversale ale elementului de bară sunt
acoperite de o reţea de puncte, monitorizându-se în fiecare astfel de punct starea de tensiune şi
deformaţie în timpul procesului de calcul. Considerând secţiunea din figura 2 supusă acţiunii
momentelor încovoietoare după cele doua direcţii principale şi a efortului axial N, deformaţia întrun
punct oarecare (i,j) al reţelei se scrie:
εij
= u + Φ
y
⋅ yij
+ Φ
z
⋅ zij
+ ε 0
(1)
în care cu u s-a notat deformaţia axială, Φ y reprezintă curbura în planul normal la secţiune ce
conţine axa y-y, Φ z curbura în planul normal la secţiune ce conţine axa z-z a secţiunii, iar ε 0
reprezintă deformaţia specifică în punctul considerat în cazul secţiunii neîncărcate (deformaţia din
tensiuni reziduale în cazul secţiunilor metalice). Având cunoscute estimările acestor deformaţii (în
cadrul unei iteraţii), eforturile unitare şi modulii de elasticitate tangenţi pot fi determinaţi în
continuare în fiecare punct al reţelei. Exprimând condiţiile de echivalenţă statică dintre eforturile
exterioare şi cele interioare se obţine următorul sistem de ecuaţii neliniare cu necunoscutele u, Φ y si
Φ z :
Figura 2. Modelarea inelasticităţii la nivel de fibră.
Rezolvând numeric acest sistem de ecuaţii, aplicând metoda Newton-Raphson, predicţia
parametrilor u, Φ y si Φ z ce definesc starea de deformabilitate a secţiunii, în scopul realizării
echilibrului, este dată de următoarea relaţie de recurenţă:
unde:
k k k
[ u ,Φ , Φ ] T
r
= r
+
−
( J ) ⋅ S
k+ 1 k k 1
r [ ] T
k
k
k
S = [ N − f ( r ) M − f ( r ),
M − f ( r )]
k
k
r = , + 1
= k+
1 k+
1 k+
1
,
y z
u , Φ y , Φ z
N
, ,
y
M y
z
M z
(2)
41

J
k
k
⎡ ∂f
N
⎢
⎢ ∂u
⎢
k
∂f
M y
= ⎢
⎢ ∂u
⎢ k
∂f
⎢
M z
⎢
⎣
∂u
∂f
N
∂Φ
∂f
∂Φ
∂f
k
y
k
M y
y
k
M z
∂Φ
Având determinată starea de deformaţie a secţiunii, corespunzătoare echilibrului, caracteristicile de
rigiditate ale secţiunilor sunt determinate în continuare prin integrarea numerică a tensiunilor pe
întreaga secţiune [2].
2.2 Modelarea inelasticităţii la nivel de secţiune
În acest caz modelarea neliniarităţii fizice este definită global la nivelul întregii secţiuni, pe baza
relaţiilor analitice neliniare de aproximare a curbelor moment încovoietor-curbură parametrice în
forţa axiala (M-N-Φ), şi efort axial-deformaţie axială parametrice în moment încovoietor (N-M-ε).
În continuare se propune o modalitate de cuantificare a rigidităţii elasto-plastice la încovoiere a
secţiunilor metalice. Relaţiile propuse, modifică relaţiile moment-curbură propuse de Al-Bermani
[9] prin considerarea unei variaţii neliniare a rigidităţii tangente. Relaţia care exprimă variaţia
rigidităţii ca urmare a solicitărilor axiale şi de încovoiere precum si reprezentarea geometrică în
spaţiul moment-curbură este descrisă în Figura 3.
y
∂f
N
∂Φ
∂f
∂Φ
∂f
k
z
k
M y
z
k
M z
∂Φ
z
⎤
⎥
⎥
⎥
⎥
⎥
⎥
⎥
⎥
⎦
(3)
M
K T
= K ( 1−
p)
0
N
M p
M 2
M1
α
⎡ ⎛ M − M ⎤
1
⎞
K T
= K ⎢
⎜
⎥( − p)
⎢ M M
⎟
0
1−
1
⎣ ⎝ 2
−
1 ⎠ ⎥⎦
α
⎡ ⎛ M − M 1
⎞
KT
= K ⎢
0 1 −
( 1 p)
⎢
⎜
M 2 M
⎟ −
1
K 0
⎣ ⎝ − ⎠
K = pK , M > M
T
0
2
⎤
⎥,
⎥
⎦
M ≤ M ≤ M
1
2
M y
0
M py
∆M py
M py
N p + ∆N
N p
∆M p
0
0.93N
p
∆M pz
M pz
Suprafata de
plastificare
0
M pz
M z
Φ
Figura 3. Modelarea inelasticităţii la nivel de secţiune.
Semnificaţia mărimilor este următoarea:
• K T - reprezintă rigiditatea tangentă la încovoiere (in planul de rigididate maxim sau minim);
• K 0 - reprezintă rigiditatea la încovoiere iniţială;
• M - reprezintă momentul încovoietor de solicitare corespunzător planului de rigiditate
considerat;
• M 1 - reprezintă momentul încovoietor de iniţiere a curgerii;
• M 2 - reprezintă momentul încovoietor corespunzător plastificării secţiunii;
• p - reprezintă coeficientul de reconsolidare a materialului; pentru p=0 reconsolidarea
materialului este neglijată;
• α - reprezintă coeficientul ce defineşte forma curbei de variaţie neliniară a rigidităţii tangente;
pentru α=1 se regăseşte curba lui Al-Bermani [9]. Coeficienţii p şi α sunt determinaţi prin
calibrări numerice. Influenţa acţiunii concomitente a efortului axial şi a momentelor
încovoietoare precum şi a efectului tensiunilor reziduale este luată în considerare în expresia
momentelor încovoietoare de iniţiere a curgerii, M 1 , respectiv în cel corespunzător plastificării
integrale a secţiunii M 2 .
42

În lucrarea de faţă pentru determinarea analitică a caracteristicilor de rigiditate secţionale sunt
utilizate relaţiile analitice descrise mai sus, coroborate cu relaţiile de interacţiune plastice propuse
de Orbison [4].
2.3 Modelarea inelasticităţii la nivel de element
Comportarea elasto-plastică a barelor structurii se consideră în cel mai evoluat mod, şi anume cel al
plastificării distribuite. Fie bara din figura 4 raportată la sistemul de referinţă propriu (local).
Coordonatele locale sunt deplasările liniare şi rotirile în cele două capete ale elementului de bară pe
direcţiile sistemului de axe considerat.
M jy,θjy
M x ,θ x
y
L
v j, T jy θ jy, M jy
vi, Tiy
θix, M ix
θiz, M iz
con figur aţia deformată
M jz ,θ jz
N,u
u i , F ix
i
θ iy, M iy
EI 0 , EA 0
j
θ jx, M jx
u j , F jx
x
M iy ,θ iy
w i, T iz
Sectiunea ξ:
EI ( ξ ),
EI ( ξ ),
EA ( ξ)
ty
tz
t
w j, T jz
M iz,θ iz
z
⎛ x
x
⎞
⎜ξ
= ⎟
⎝ L ⎠
dx = L ⋅dξ
Figura 4. Modelarea inelasticităţii la nivel de element.
Determinarea termenilor matricei de rigiditate tangentă (instantanee) a barei, cu caracteristici de
rigiditate (EI ty , EI tz şi EA t ) variabile de la secţiune la secţiune, funcţie de solicitare, reprezintă o
problemă similară celei întâlnite în calculul liniar la barele cu secţiune variabilă. Prin urmare, pe
parcursul etapelor succesive ale calculului neliniar răspunsul neliniar la nivel de element se
determină prin însumarea ponderată a răspunsului unui număr discret de secţiuni transversale.
Aceste secţiuni reprezintă puncte de control ale stării de plastificare în lungul elementului, a căror
localizare în lungimea elementului depinde de schema de integrare numerică adoptată. Prin
introducerea variabilei adimensionale ξ=x/L, modulii de rigiditate la încovoiere EI t şi de rigiditate
axial EA t într-o secţiune curentă ξ a barei sunt exprimaţi astfel:
EI ty
( ξ ) = EI 0 y ⋅ f y
( ξ ); EI tz
( ξ ) = EI 0z
⋅ f z
( ξ ) EAt
( ξ ) = EA0
⋅ f x
( ξ )
(4)
unde funcţiile de corecţie f y(z) şi f x , introduc efectul de degradare a rigidităţilor iniţiale elastice EI 0
respectiv EA 0 ca urmare a creşterii nivelului de solicitare şi a dezvoltărilor zonelor plastice în
secţiune. Valorile acestor funcţii sunt evaluate fie direct, pe baza curbelor caracteristice la nivel de
secţiune, fie printr-un proces iterativ (la nivel de fibră) de echilibrare a eforturilor interioare şi
exterioare pe secţiune. Matricea de rigiditate se va determina prin inversarea matricei de flexibilitate
[2]. Pentru exemplificarea modului în care se poate determina matricea de flexibilitate se consideră
bara din Figura 4 raportată la sistemul de coordonate de bază şi încărcată cu forţele de capăt pe
direcţiile gradelor de libertate reţinute (M iy , M iz, M jy , M jz,, M x , N). În cazul aplicării unor forţe pe
parcursul barei aceste forţe sunt transformate în forţe echivalente la nodurile de capăt ale barei,
neintervenind în expresia matricei de rigiditate. Astfel, cu notaţiile din Figura 4, luând în
considerare deformaţiile axiale, de încovoiere şi de lunecare respectiv torsiune, energia potenţială
de deformaţie se scrie:
1
U = ⋅
2
1
+ ⋅
2
L
∫
0
L
∫
0
N
EA
⎛ M jz − M
⎜
⎝ L
GA
t
2
1
dx + ⋅
∫
( x) 2 EI ( x) 2 EI ( x)
z
iz
⎞
⎟
⎠
2
L
0
⎛ M
⎜
⎝
1
dx + ⋅
L
∫
jz
− M
L
⎛ M
⎜
⎝
jy
iz
tz
x + M
− M
L
1
dx + ⋅
( x) 2 GA ( x) 2 GI ( x)
0
y
iy
iz
⎞
⎟
⎠
2
2
⎞
⎟
⎠ 1
dx + ⋅
L
∫
0
L
∫
0
⎛ M
⎜
⎝
M
t
2
x
jy
− M
L
dx
iy
ty
x + M
iy
2
⎞
⎟
⎠
dx +
(5)
43

Deplasările produse de deformaţia barei, la cele două capete ale barei, se pot determina aplicând a
doua teoremă a lui Castigliano, rezultând următoarea formă pentru matricea de flexibilitate F a
barei drepte de cadru spaţial:
⎡
⎢
⎢
1
∫
0
⎢
⎢
⎢
⎢
⎢
⎢
F = ⎢
⎢
⎢
⎢
⎢
⎢
⎢
⎢
⎢
⎣
L
EA
d
ξ
( ξ )
0
0
0
0
0
1
∫
0
1
∫
0
2
1
( 1 − ξ ) 1 Lξ
( 1 − ξ )
dξ
+
( ) ∫
dξ
EI y ξ LGAy
EI y
( ξ )
0
1 2
ξ( 1 − ξ ) 1 Lξ
dξ
−
+
( ) ∫ dξ
EI ξ LGA EI ( ξ )
L
L
y
0
0
0
0
y
0
y
0
0
0
0
1
−
LGA
1
LGA
y
y
1
∫
0
1
∫
0
2
1
( 1 − ξ ) 1 Lξ
( 1 − ξ )
dξ
+
( ) ∫
dξ
EI z ξ LGAz
EI z
( ξ )
0
1 2
ξ( 1 − ξ ) 1 Lξ
dξ
−
+
( ) ∫
dξ
EI ξ LGA EI ( ξ )
Prin inversarea matricei de flexibilitate F se obţine matricea de rigiditate e K (6x6) a barei în
coordonatele de bază. În continuare matricea de rigiditate, în sistemul local elementului, se
alcătuieşte în condiţiile domeniului micilor deplasări şi rotiri printr-o transformare liniară între
coordonatele de bază şi cele locale elementului. Astfel răspunsul neliniar la nivel de element se
determină prin sumarea ponderată a răspunsului unui număr discret de secţiuni transversale. Aceste
secţiuni transversale reprezintă puncte de control a stării de plastificare în lungul elementului, a
căror localizare în lungimea elementului depinde de schema de integrare numerică adoptată. Forţele
nodale, ce se exprimă în funcţie de încărcările exterioare, sunt mărimi static nedeterminate
(momente încovoietoare şi forţe de încastrare perfectă la capetele barei), care depind de modulul de
rigiditate al barei. În cazul comportării elasto-plastice a barei, acesta este variabil, depinzând de
nivelul de solicitare al barei şi prin urmare forţele nodale se vor exprima ţinându-se seama de
variaţia caracteristicilor de rigiditate ale secţiunilor din lungul barei [2].
2.4 Efectul local al neliniarităţii geometrice
Ca urmare a dezvoltărilor zonelor plastice în secţiunile din lungul barei, efect a creşterii nivelului
solicitărilor exterioare, ecuaţia diferenţială a fibrei medii deformate în calculul de ordinul al II-lea
(efectul P-δ) devine una cu coeficienţi variabili (modulul de rigiditate la încovoiere EI t variază în
lungul barei) şi o soluţie exactă a acestei ecuaţii este greu de obţinut, în unele situaţii chiar
imposibil. Se impune astfel adoptarea unor metode aproximative de considerare a efectelor de
ordinul al II-lea locale, asupra termenilor matricei de rigiditate a barei. Acest efect poate fi luat în
considerare, în mod aproximativ, corectând termenii matricei de rigiditate prin intermediul
funcţiilor de stabilitate [2] cu deosebirea esenţială că în acest caz coeficienţii de compresiune vor fi
calculaţi cu valori medii ale modulului de rigiditate la încovoiere a barelor comprimate [1]. În mod
similar se calculează şi forţele echivalente la noduri, ţinând seama de efectul local al neliniarităţii
geometrice, în cazul unor forţe aplicate în lungul barelor.
L
L
z
0
0
0
0
z
0
z
0
0
0
0
1
−
LGA
2.5. Integrarea efectelor neliniare ale conexiunilor semirigide în calculul elasto-plastic
Ca un caz mai general, cu privire la tipurile de legături de la capetele unui element de bară de tip
cadru spaţial, se consideră cazul legăturilor flexibile pe direcţiile momentelor încovoietoare din
planurile de rigiditate xy şi xz. Pe direcţiile celorlalte eforturi, legăturile se consideră perfect rigide.
Barele se consideră prinse în noduri, presupuse punctuale, prin conexiuni flexibile având rigidităţile
de rotire R i , R j care pot varia între zero (capăt articulat) şi infinit (capăt perfect încastrat), adică
0

Conexiunea grindă stâlp faţă
de planul de rigiditate
minim al stâlpului
Stâl p
Conexiunea grindă stâlp faţă
de planul de rigiditate
maxim al stâlpului
N i , u i
L
y
T j , v j
Bara ij
∆θ ri
N
R j , u j x
j
∆θ i
T i , v i
R i
Mj, θj
∆θ y
ei
Mi, θi
Figura 5. Elementul de bară cu conexiuni semirigide.
K
sem
sem
T
−1 T
{ K − KG[ G ( K + Κ r
) G]
G K}
T
−1
∆P
− P KG G ( K + Κ ) G
= (7)
T
[ ] G
∆ P = ∆
(8)
0
0
⎡0
0 0 0 ⎤
⎢
⎥
⎡0
1 0 0⎤
G = ⎢ ⎥ ; ⎢
0 Ri
0 0
K
⎥
r = diag(0,
Ri
,0, R j ) =
(9)
⎣0
0 0 1⎦
⎢0
0 0 0 ⎥
⎢
⎥
⎢⎣
0 0 0 R j ⎥⎦
unde K sem reprezintă matricea de rigiditate a elementului de bară incluzând atât efectul plastificării
distribuite în lungul barei cât şi efectul neliniarităţii geometrice locale (P-δ) şi al conexiunilor semirigide,
iar ∆P sem reprezintă vectorul forţelor nodale echivalente la noduri cu luarea în considerare a
aceloraşi efecte. Matricea K reprezintă matricea de rigiditate a elementului ce include efectele
neliniarităţii fizice şi geometrice iar ∆P 0 reprezintă vectorul forţelor echivalente la noduri incluzând
aceleaşi efecte. Dacă conexiunile au o comportare liniar-elastică, atunci rigidităţile R i şi R j ale
conexiunilor sunt constante. În cazul în care însă, comportarea este neliniară, atunci aceste rigidităţi
sunt variabile, depinzând de nivelul de solicitare al conexiunii. Pentru a modela comportarea
neliniară a conexiunilor se consideră pentru relaţia moment-rotire o familie de curbe determinată
experimental şi aproximată în funcţie de momentul capabil limită al conexiunii M u , de rotirea
relativă θ r şi rigiditatea iniţială R i0 a acesteia [7]. Rigiditatea iniţială a conexiunii se exprimă în
funcţie de modulul de rigiditate EI 0 /L al barei şi de un factor de "fixare" p i. De observat că în timp
ce 0

treapta k de încărcare. Se pot determina astfel cosinuşii directori a unghiurilor făcute de axele
sistemului de referinţă local (xyz) cu cele ale sistemului de referinţă global (XYZ), şi actualiza pentru
fiecare treaptă de încărcare k matricea de rotaţie R b , ţinându-se astfel seama de efectul global al
neliniarităţii geometrice în fiecare pas al procesului de calcul [2] (Figura 6).
x k
k j k j k j
( X , Y , Z )
b
b
b
yk
(C k )
k i k i k i
( X , Y , Z )
b
b
b
z k
k −1
j k −1
j k −1
j
( X , Y , Z )
b
b
b
x k-1
yk-1
Y
(Ck-1)
Z
(O)
X
z k-1
k −1
i k −1
i k −1
i
( X , Y , Z )
b
Figura 6. Efectul global al neliniarităţii geometrice
Adoptând o formulare incremental-iterativă [2], matricea de rotaţie R b este reactualizată prin
corectarea succesivă a vectorilor de orientare λ x, λ y , λ z corespunzători configuraţiei C k presupunând
cunoscuţi vectorii de orientare corespunzători configuraţiei C k-1 ( k-1 λ x, k-1 λ y , k-1 λ z ) (Figura 6).
2.7. Metoda de conducere a analizei
Pentru determinarea stării de solicitare şi deformaţie a structurii, sub acţiunea unui sistem oarecare
de forţe statice, ţinându-se seama de efectele neliniarităţii materiale, geometrice şi a prinderilor
flexibile ale barelor în noduri se aplică un calcul incremental-iterativ, întreaga rezolvare fiind
condusă în metoda paşilor controlaţi de lungimea de arc [8]. Astfel este posibil studiul complet al
comportării structurale, corespunzătoare unui echilibru stabil, respectiv instabil al structurilor, prin
surprinderea porţiunii de curbă perfect orizontală şi descrescătoare de comportare, a fenomenelor de
"snap-through" şi "snap-back" [2]. Adoptând formularea Lagragiană actualizată, controlul soluţiei
constă în îndeplinirea concomitentă a ambelor condiţii ce caracterizează situaţia de echilibru:
compatibilitatea deformatei şi echilibrul static al nodurilor. Prezentarea detaliata a algoritmului este
data în [2].
b
b
α
3. Descrierea aplicaţiei software NEFCAD
Pe baza modelului de calcul prezentat anterior s-a dezvoltat un program de calcul performant
NEFCAD [2] pentru analiza elasto-plastică de ordinul al II-lea a structurilor în cadre plane şi
spaţiale din oţel şi din beton armat, cu considerarea comportării liniare sau neliniare a conexiunilor
semirigide de prindere ale barelor în noduri. Principalele caracteristici care dau valoare deosebită
aplicaţiei dezvoltate, cu aplicabilitate directă la analiza de tip pushover a structurilor metalice sau
din beton armat, sunt: (1) modelarea plastificării distribuite a elementelor structurale cu modelarea
inelasticităţii la nivel de fibră, considerând relaţii constitutive σ-ε pentru fiecare material constituent
al secţiunii (beton cu diferite grade de confinare, oţel cu sau fără considerarea reconsolidării); (2)
considerarea efectelor neliniarităţii geometrice locale şi globale cu posibilitatea studiului în
46

domeniul post critic de comportare; (3) analiză modală 3D; (4) evaluarea forţelor seismice
corespunzătoare modurilor normale de vibraţie ale structurii; (5) determinarea deplasării ţintă
(target displacement); (6) funcţii complexe de evaluare a proprietăţilor de rezistenţă şi deformaţie a
elementelor structurale. Aplicaţia alocă dinamic memoria necesară, astfel încât dimensiunile
structurii care poate fi analizată sunt limitate numai de memoria disponibilă (RAM+swapfile).
Aplicaţia software este scrisă modular, integrând modulul de analiză scris în C++/Fortan în
modulele de vizualizare grafică scrise în mediul de programare Visual Basic 6 pentru sistemele de
operare Windows. Comunicarea între acestea realizându-se prin intermediul bibliotecilor cu legare
dinamică (DLL).
Figura 7. Aplicaţia NEFCAD. Capturi ecran.
Astfel utilizând proprietăţile de modularitate şi segmentare, facilităţile deosebite oferite de mediul
de programare cu privire la gestionarea memoriei, crearea şi gestionarea bazelor de date, stilul de
programare orientat spre obiecte şi condus de evenimente, contribuie la o corectă structurare şi
modularizare a programului pentru implementarea modelului prezentat, asigurând totodată o
fiabilitate şi predictibilitate crescută a programului în timpul execuţiei lui. Aplicaţia creată
utilizează o interfaţă grafică utilizator (GUI), fiind o aplicaţie cu interfaţă multi-document, oferind
utilizatorului facilităţi deosebite pentru pre şi post procesarea datelor referitoare la descrierea
structurii şi prezentarea rezultatelor furnizate de program în urma analizei, într-o formă atractivă.
Rularea programului se face prin intermediul interfeţei fiind condusă de evenimente cu controlul
datelor, controlul secvenţelor de încărcare, consultarea rezultatelor la încheierea unei etape, pre şi
post procesare, crearea fişierelor de intrare si ieşire, etc. Principalele rezultatele furnizate de
program se refera la: factorul limita de încărcare corespunzător colapsului structurii, reprezentarea
grafica a deformatei structurii si a curbelor încărcare-deplasare, reprezentarea grafica si in mod text
a eforturilor pe fiecare bara si pe structura, reprezentarea grafica pe structura a poziţiilor şi ordinea
de formare a secţiunilor complet plastificate, distribuţia procentuala a secţiunilor plastificate din
lungul barelor, vizualizarea zonelor plastice din lungul barelor, etc.
4. Exemplu numeric
În figura 8 sunt prezentate caracteristicile geometrice, secţionale şi de încărcare pentru cadrul
spaţial cu şase nivele şi două deschideri propus de Orbison [4] pentru calibrarea programelor de
47

analiză elasto-plastică de ordinul al II-lea. Structura este alcătuită din profile metalice de tip I având
modulul de elasticitate longitudinal E=206850 MPa, modulul de elasticitate transversal G=79293
MPa, iar valoarea tensiunii de iniţiere a curgerii este considerată σ c =250 MPa. Structura este supusă
acţiunii combinate a unor încărcări laterale de tip vânt uniform distribuită pe întreaga înălţime a
structurii precum şi încărcărilor gravitaţionale uniform distribuite pe fiecare nivel. Încărcarea
gravitaţională uniform distribuită pe nivel având intensitatea de 9.6 kN/m 2 este echivalată în
încărcări distribuite pe lungimea grinzilor de nivel. Încărcările laterale sunt considerate ca acţionând
punctual, pe direcţia Y a cadrului, în nodurile de îmbinare grindă-stâlp având valoarea de 53.4 kN.
Încărcările gravitaţionale şi cele laterale sunt aplicate proporţional pe structură.
(a)
Y
W 12x26
W 12x26
1.20
(c)
R-O, n=30
1.00
R-O, n=300
7.315m
(b)
W 12x53
Z
W 12x26
7.315m
W 12x87
A
W 12x26
7.315m
W 12x53
X
Factorul de incarcare
0.80
0.60
0.40
0.20
Nefcad, fara efectul def. de lunecare
Nefcad,cu considerarea efectului def. de lunecare
Elemente finite (Jiang)
Articulatie plastica cu formare graduala (Kim)
0.00
0.00 5.00 10.00 15.00 20.00 25.00 30.00
Deplasare [cm]
1.2
H = 6 x 3.658m = 21.948m
W12x87 W10x60
Y
W12x87 W10x60
W10x60
W12x120
W12x120 W10x60
W12x87
W12x87
(d)
Fara efectul de saiba rigida
Cu considerarea efectului de saiba rigida
Noduri semi-rigide, comportare neliniară
Noduri semi-rigide, comportare liniară
Noduri rigide
1
0.8
0.6
0.4
0.2
Factorul de incarcare
X
0
-60 -50 -40 -30 -20 -10 0
Deplasare [cm]
Figura 8. Exemplul numeric de calcul. Studii comparative.
Performanţele metodei de calcul propuse precum şi a programului de calcul NEFCAD realizat sunt
comparate cu rezultatele prezentate în literatura de specialitate, Fig. 8. În ipoteza plastificării
concentrate sub forma articulaţiilor plastice punctuale cu formare instantanee, structura a fost
analizată de Oribison [4] şi Liew [5] în timp ce Jiang [5] şi Kim [6] au utilizat modele numerice ce
consideră plastificarea graduală a secţiunilor din lungul barelor. Modelul de analiză a lui Kim ia în
considerare plastificarea graduală a secţiunilor de capăt ale elementelor prin utilizarea aşa numitei
articulaţii plastice cu formare graduală, comportarea elasto-plastică a secţiunilor fiind monitorizată
la nivel de fibră utilizând relaţii constitutive tensiune-deformaţie cu luarea în considerare a efectului
de reconsolidare. Modelul de analiză a lui Jiang este unul bazat pe modelarea în elemente finite de
fibră a barelor, şi utilizarea teoriilor de curgere plastică la determinarea comportării elasto-plastice a
secţiunilor din lungul elementului finit. Relaţia constitutivă tensiune-deformaţie (σ-ε) utilizată este
cea corespunzătoare unei comportări elastic perfect plastice, fără reconsolidare. În metoda de calcul
pe care o propunem, modelarea inelasticităţii se face atât la nivel de secţiune prin utilizarea relaţiilor
efort-deformaţie parametrice în forţă axială coroborate cu relaţiile de interacţiune N-M y -M z de tip
Orbison, cât şi la nivel de fibră, prin utilizarea relaţiilor constitutive tensiune-deformaţie elastic-
48

perfect plastic. Toate modelele de analiză, mai sus menţionate, includ efectele neliniarităţii
geometrice în răspunsul global al structurii. Efectul deformaţiilor de lunecare asupra rigidităţii de
ansamblu a structurii este de asemenea luat în considerare.
1.20
1.00
Factorul de incarcar e
0.80
0.60
0.40
0.20
Nefcad,rel atii M-Phi propuse
Elemente finite (Ji ang)
Nefcad, model area inelasticitatii la ni vel de fibra
0.00
0.00 5.00 10.00 15.00 20.00 25.00 30.00
Deplasare [cm]
Figura 9. Analiza la nivel de fibră: (a). Distribuţia procentuală a secţiunilor plastificate;
(b) Curbele încărcare deplasare laterală.
După cum se poate observa analiza neliniară NEFCAD, în varianta alegerii parametrilor curbei
Ramberg-Osgood (a=1, n=300), conduce la un factor limită de cedare a structurii foarte apropiat de
cel furnizat de analizele efectuate de Liew şi Orbison (articulaţie plastică) şi Jiang (zone plastice).
Aceasta se datorează faptului că datorită conformării structurale şi a încărcărilor, zonele plastice
sunt concentrate doar la capetele barelor. Acest lucru se poate observa şi din Figura 9 unde este
prezentată distribuţia procentuală a zonelor plastice pe structură obţinute cu programul NEFCAD în
varianta modelării inelasticităţii la nivel de fibră. Cu toate acestea soluţia obţinută cu programul
NEFCAD în varianta n=30 este apropiată de cea dată de Kim [6] unde efectul de reconsolidare al
materialului a fost luat în considerare. Figura 9 prezintă rezultatele analizei obţinute cu programul
NEFCAD corespunzătoare colapsului în varianta modelării inelasticităţii la nivel de fibră: distribuţia
procentuală a zonelor plastice pe structură, configuraţia deformată a structurii, curbele încărcare
deplasare laterală în direcţia Y pentru nodul A. De asemenea, răspunsul structurii sub forma curbei
încărcare deplasare laterală obţinută în varianta modelării inelasticităţii secţionale cu relaţia
propusa: α=2, p=0.0001 este prezentată în Fig. 9. Se poate constata o excelentă corelare cu
rezultatele furnizate de analiza la nivel de fibră. De menţionat faptul că analiza acestei structuri, pe
un calculator Pentium III la 733 MHz în varianta modelării inelasticităţii la nivel de fibră a durat
cca. 12 minute în timp ce aceeaşi analiză dar în varianta modelării inelasticităţii la nivel de secţiune
prin utilizarea relaţiilor analitice efort-deformaţie a durat doar 40 de secunde. Lucrările de referinţă
studiate nu oferă date comparative cu privire la acest aspect. În Figura 8d se prezintă comparativ
efectele conexiunilor flexibile, în varianta comportării liniare respectiv neliniare [7] asupra
răspunsului global al structurii, considerându-se cazul unor legături flexibile pe direcţiile
momentelor încovoietoare faţă de axa de încovoiere majoră a grinzilor cu următoarele caracteristici:
(1) în cazul în care conexiunea grindă-stâlp se realizează faţă de axa de încovoiere majoră a
stâlpului, factorul de fixare g=0.86, momentul încovoietor ultim M u =300kNm, parametrul de formă,
n=1.57; (2) în cazul în care conexiunea grindă-stâlp se realizează faţă de axa de încovoiere minoră a
stâlpului, factorul de fixare p=0.86, momentul ultim de încovoiere M u =200kNm, parametrul de
formă n=0.86. Pe direcţiile celorlalte eforturi legăturile se consideră perfect rigide. De asemenea
este studiat şi efectul de şaibă rigidă a planşeelor asupra răspunsului neliniar al structurii. În aceste
exemple modelarea neliniarităţii de material a structurii s-a făcut considerând curbele moment-
49

curbură de tip Ramberg-Osgood cu următorii parametri: a=1, n=35. Pentru aceste cazuri lucrările de
referinţă studiate nu oferă date comparative. Din rezultatele obţinute şi prezentate sintetic în Figura
8d sub forma curbelor încărcare deplasare laterală la punctul A în direcţia X se observă că efectul de
şaibă rigidă schimbă în mod radical răspunsul structurii în domeniul post-critic de comportare atât
în varianta unor conexiuni rigide cât şi în varianta unor conexiuni semi-rigide de prindere ale
barelor în noduri.
5. Consideraţii finale
Lucrarea prezintă caracteristicile şi performanţele unui model avansat de analiză statică neliniară
implementat într-un program de calcul specializat pentru analiza neliniară a structurilor în cadre
plane şi spaţiale cu noduri semirigide. Aplicaţia dezvoltată reprezintă un sistem de calcul complet
integrat ce conţine pe lângă modulul de analiză statică neliniară şi cel de analiză dinamică modală,
funcţii complexe de evaluare a comportării neliniare a acestor tipuri de structuri, precum si de o
interfaţă grafică ce face deosebit de atractiv dialogul calculator-utilizator. Principalele caracteristici,
care dau valoare deosebită programului de calcul elaborat şi-l fac competitiv cu alte programe care
vizează calculul neliniar al structurilor derivă din faptul că, spre deosebire de metoda elementelor
finite care obţine acurateţea prin subîmpărţirea barelor între noduri, prezentul program discretizează
structura în elemente constituite din întreaga bară. O astfel de abordare conduce la un număr redus
de grade de libertate, identic cu cel din analiza liniară a structurilor, acelaşi model numeric utilizat
la analiza liniară statică sau dinamică putând fi utilizat la analiza neliniară. Timpul calculator relativ
redus precum şi multitudinea de informaţii pe care aplicaţia le furnizează, constând din: date privind
evoluţia stării de solicitare (eforturi, deplasări, apariţia şi extinderea zonelor plastice până la apariţia
mecanismului de cedare, factori de încărcare limită), modurile dinamice de vibraţie şi forţele
seismice corespunzătoare, date cu privire la evaluarea performanţelor seismice ale structurii
analizate (controlul deplasărilor structurale, monitorizarea deformaţiilor la nivelul fibrelor şi al
secţiunilor, etc.), fac din programul elaborat un instrument deosebit în sprijinul proiectării
structurilor în cadre.
6. Bibliografie
[1] Chiorean, C.G., Barsan, G.M.: Large deflection distributed plasticity analysis of 3D steel
frameworks, Computers & Structures, Vol. 83, No 19, p. 1555-71, 2001.
[2] Chiorean, C.G.: Aplicaţii software pentru analiza neliniară a structurilor în cadre, UT PRES,
Cluj-Napoca, 2006.
[3] Chen,W.F., Toma, S.: Advanced Analysis of Steel Frames, CRC Press London, 1994.
[4] Orbison, J.O., McGuire, W., Abel, J.F., Yield surface application in nonlinear steel frame
analysis, Comp. Methods in Appl. Mech. And Engrg, Vol. 33, p. 557-573, 1982.
[5] Jiang, X.M, Chen, H., Liew, JYR: Spread of plasticity analysis of three-dimensional steel
frames, Journal of Constructional Steel Research, Vol. 58, p. 193-212, 2002.
[6] Kim, S.E., Choi, S.H.: Practical advanced analysis for semi-rigid space frames, International
Journal of Solids and Structures, Vol. 38, No. (50-51), 9111-9131, 2001.
[7] Kishi, N., Chen, W.F.: Moment-Rotation Relations of Semirigid Connections with
Angles, J.Struct.Engrg., ASCE, Vol. 116, No. 7, 1834, 1990.
[8] Crisfield, M.A.: Non linear finite element analysis of solids and structures, Volume 1,2 John
Wiley, New York, 1991.
[9] Albermani, F., Kitipornchai, S.: Elasto-plastic large deformation analysis of thin walled
structures, Engrg. Struct., Vol. 12 No.1, p. 28-36, 1990.
50