公切圓之圓心軌跡－ 用動態幾何軟體探討幾何性質
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公 切 圓 之 圓 心 軌 跡 -<br />
用 動 態 幾 何 軟 體 探 討 幾 何 性 質<br />
摘 要<br />
林 保 平<br />
臺 北 市 立 師 範 學 院 數 資 系<br />
本 文 從 整 合 的 角 度 , 將 歐 氏 平 面 延 伸 (Extended plane), 將 點 、 線 、 圓 視 為 一 體 , 討 論 兩 圓<br />
之 公 切 圓 圓 心 軌 跡 , 並 以 GSP 將 延 伸 的 部 分 結 果 作 動 態 的 呈 現 , 可 協 助 學 生 整 體 地 理 解 兩 圓 關<br />
係 及 其 公 切 圓 、 公 切 線 , 並 能 完 整 地 觀 察 各 類 圓 錐 曲 線 及 其 變 化 及 退 化 情 形 , 這 也 是 GSP 等 動<br />
態 軟 體 程 式 , 不 可 多 得 的 功 能 。<br />
資 訊 科 技 的 日 新 月 異 , 使 得 老 師 在 教 室 中<br />
的 教 學 型 態 , 或 者 利 用 各 種 媒 體 傳 授 知 識 的 情<br />
形 隨 之 而 有 不 同 , 電 腦 科 技 的 精 進 , 電 腦 設 備<br />
的 日 漸 普 及 , 更 改 變 了 電 腦 輔 助 教 學 的 教 材 設<br />
計 。 透 過 電 腦 的 精 確 性 , 方 便 性 , 以 及 電 腦 的<br />
特 殊 動 態 功 能 , 來 幫 助 學 生 學 習 , 漸 漸 形 成 一<br />
種 趨 勢 , 而 在 各 項 硬 體 頗 能 配 合 的 今 日 , 軟 體<br />
的 選 擇 , 以 及 教 學 內 容 的 的 設 計 就 顯 得 非 常 的<br />
重 要 。 本 文 的 目 的 就 是 介 紹 一 套 運 用 動 態 幾 何<br />
軟 體 Geometor’s Sketchpad( 簡 稱 GSP) 所<br />
設 計 出 來 有 關 兩 圓 公 切 圓 圓 心 軌 跡 探 討 的 程<br />
式 , 探 討 如 何 整 合 電 腦 於 課 程 中 , 運 用 電 腦 協<br />
助 教 學 , 透 過 電 腦 動 態 幾 何 軟 體 的 特 質 , 提 供<br />
學 生 實 例 , 協 助 引 導 學 生 做 數 學 一 般 化 的 思<br />
考 。<br />
從 一 般 化 的 觀 點 來 看 , 直 線 和 點 , 就 某 個<br />
層 次 來 說 , 可 看 成 圓 的 特 殊 情 況 , 點 可 看 成 半<br />
徑 為 零 的 圓 , 直 線 可 看 成 是 圓 心 在 無 限 遠 處<br />
( 因 此 半 徑 為 無 限 大 ) 的 圓 ( 圖 1)。<br />
圖 1 直 線 看 成 是 圓 心 在 無 限 遠 處 的 圓 , 也 是 該<br />
方 向 諸 圓 的 公 切 線<br />
在 歐 氏 幾 何 中 , 談 圓 的 性 質 時 , 圓 心 是 主<br />
體 , 圓 上 所 有 的 點 由 半 徑 決 定 , 而 且 圓 沒 有 方<br />
向 性 ; 但 在 上 述 延 伸 圓 定 義 的 觀 點 之 下 , 圓 上<br />
某 點 是 主 體 , 依 半 徑 的 大 小 來 決 定 圓 心 及 其 他<br />
圓 上 之 點 的 所 在 , 而 圓 心 所 在 位 置 , 是 在 垂 直<br />
於 此 圓 的 直 線 上 ( 圖 1)。 本 文 透 過 動 態 幾 何 程<br />
式 ─ Geometer ’ s Sketchpad ( 以 下 簡 稱<br />
GSP), 探 討 兩 圓 的 公 切 圓 圓 心 軌 跡 及 其 相 關<br />
-2-
公 切 圓 之 圓 心 軌 跡 - 用 動 態 幾 何 軟 體 探 討 幾 何 性 質<br />
連 的 特 殊 情 況 , 這 種 「 特 殊 化 」 的 探 討 , 是 數<br />
學 解 題 的 重 要 方 法 , 可 作 為 特 殊 化 解 題 活 動 教<br />
學 的 參 考 實 例 。<br />
一 、Geometor’s Sketchpad 學 習 環 境<br />
GSP 是 一 個 動 態 幾 何 軟 體 , 是 有 利 探 討 幾<br />
何 性 質 的 一 般 環 境 。 它 提 供 了 基 本 幾 何 作 圖 工<br />
具 , 具 有 尺 規 作 圖 、 圖 形 可 作 動 態 連 續 變 換 、<br />
保 持 結 構 、 特 殊 即 一 般 、 記 錄 作 圖 過 程 等 特 質<br />
( 林 , 民 85, 民 86), 新 版 的 軟 體 , 甚 至 可 以<br />
將 檔 案 存 成 html 檔 案 , 直 接 放 置 於 網 頁 上 展<br />
示 。 這 些 功 能 及 特 質 , 不 只 能 提 供 精 確 的 幾 何<br />
圖 形 , 而 且 能 協 助 教 師 針 對 教 學 單 元 , 設 計 方<br />
便 操 作 、 易 於 探 討 圖 形 性 質 的 教 學 及 學 習 環<br />
境 。 使 用 者 可 用 滑 鼠 拖 曳 點 、 線 … 等 幾 何 物<br />
件 改 變 幾 何 圖 形 的 形 狀 , 但 利 用 GSP 幾 何 作<br />
圖 功 能 畫 出 的 「 幾 何 圖 形 」 構 成 成 分 間 的 幾 何<br />
關 係 則 永 不 改 變 。 兩 圓 的 公 切 圓 圓 心 軌 跡 程<br />
式 , 就 是 利 用 它 所 提 供 的 功 能 設 計 出 來 的 。 基<br />
本 上 我 們 設 計 的 環 境 都 設 有 按 鈕 , 以 減 少 使 用<br />
者 對 GSP 一 般 環 境 功 能 的 依 賴 , 只 要 連 續 按<br />
鈕 兩 次 , 程 式 便 會 自 動 執 行 該 按 鈕 預 設 的 功<br />
能 , 學 生 只 要 瞭 解 滑 鼠 的 選 取 、 拖 曳 、 及 連 按<br />
等 功 能 , 就 能 操 作 及 探 討 環 境 。 所 有 畫 面 上 的<br />
物 件 ( 幾 何 圖 形 、 按 鈕 、 文 字 說 明 …) 都 可 自<br />
由 移 動 或 隱 藏 起 來 , 教 師 可 以 配 合 教 學 的 需<br />
要 , 留 下 必 要 呈 現 的 內 容 。 網 路 上 的 程 式 則 利<br />
用 JavaGSP 執 行 引 擎 , 可 利 用 瀏 覽 器 直 接 操<br />
作 , 不 需 GSP 程 式 。 本 文 討 論 的 是 桌 上 型 程<br />
式 檔 案 , 網 路 型 檔 案 是 桌 上 型 檔 案 之 簡 化 版<br />
本 , 可 上 網<br />
http://www.dynamath.idv.tw/ChineseVersion/co<br />
nics/twocircle.htm 參 閱 。<br />
二 、 程 式 及 兩 圓 公 切 圓 圓 心 軌 跡 關 係<br />
本 程 式 是 一 個 具 有 一 般 化 性 質 並 包 含 圓<br />
退 化 情 況 的 程 式 , 在 本 程 式 環 境 中 , 教 師 可 任<br />
意 變 化 兩 圓 之 大 小 以 及 距 離 , 觀 察 在 兩 圓 的 各<br />
種 關 係 情 況 之 下 , 外 公 切 圓 與 內 公 切 圓 圓 心 的<br />
軌 跡 。 觀 察 探 討 到 底 在 兩 圓 外 離 時 、 內 離 時 、<br />
外 切 、 內 切 時 或 相 交 兩 點 時 的 外 公 與 內 公 切 圓<br />
的 圓 心 軌 跡 會 是 如 何 。 此 外 , 兩 圓 大 小 的 相 對<br />
關 係 , 也 會 影 響 到 軌 跡 的 結 果 。 本 程 式 的 操 作<br />
很 簡 單 , 可 用 滑 鼠 拖 曳 或 按 鈕 , 來 改 變 兩 圓 大<br />
小 以 及 距 離 關 係 , 教 師 在 進 行 教 學 時 , 只 需 利<br />
用 電 腦 呈 現 , 提 出 問 題 供 學 生 討 論 , 請 學 生 研<br />
究 作 圖 方 法 即 可 , 對 有 GSP 作 圖 能 力 的 學<br />
生 , 也 可 讓 他 們 , 自 行 利 用 GSP 程 式 作 圖 探<br />
討 各 種 情 況 下 兩 圓 的 關 係 。 圖 2 即 是 此 程 式 的<br />
起 始 畫 面 。 其 實 兩 圓 之 關 係 有 外 離 、 內 離 、 內<br />
切 、 外 切 、 相 交 等 , 這 些 關 係 均 可 利 用 滑 鼠 拖<br />
曳 兩 圓 圓 心 , 或 按 「 內 切 」 或 「 外 切 」 鈕 而 獲<br />
得 。 我 們 先 就 外 離 探 討 公 切 圓 之 關 係 。<br />
-3-
科 學 教 育 月 刊 第 271 期 中 華 民 國 九 十 三 年 八 月<br />
市 立 師 院 林 保 平<br />
1996/10/8 v2<br />
動 態 模 擬 外 切 內 切 等 圓 線 圓 點 圓<br />
Ani<br />
O1<br />
O2<br />
u<br />
1/r2<br />
r1<br />
軌 跡 1 軌 跡 2 公 切 圓 1 公 切 圓 2<br />
包 絡 1<br />
包 絡 2<br />
全 部 隱 藏<br />
圖 2<br />
程 式 起 始 畫 面<br />
使 用 者 調 整 好 兩 圓 大 小 以 及 位 置 後 , 按 下<br />
「 公 切 圓 1」 的 鈕 , 程 式 將 分 別 展 示 出 兩 圓 之<br />
公 切 圓 , 如 圖 3, 這 是 第 一 類 的 公 切 圓 。<br />
O1<br />
Ani<br />
O2<br />
Ani<br />
O1<br />
O2<br />
圖 4 同 時 內 切 或 外 切 兩 圓 的 第 一 類 公 切 圓 、 公<br />
切 圓 圓 心 軌 跡 ( 雙 曲 線 )、 及 外 公 切 線 ( 半<br />
徑 無 限 大 的 公 切 圓 )<br />
圖 3 同 切 兩 圓 於 外 及 同 含 兩 圓 於 內 之 公 切<br />
圓 , 雖 其 位 置 隨 切 點 位 置 而 變<br />
拖 曳 O1 圓 上 的 點 「ani」( 這 是 切 點 , 拖<br />
曳 時 會 在 圓 O1 上 ), 就 可 以 觀 察 到 各 種 不 同<br />
切 點 位 置 時 的 公 切 圓 及 其 圓 心 , 圓 心 及 圓 均 將<br />
在 畫 面 上 留 下 移 動 的 軌 跡 ( 可 以 按 滑 鼠 右 鍵<br />
Erase Taraces 消 除 ), 按 「 軌 跡 1」 程 式 即 會 呈<br />
現 出 圓 心 的 軌 跡 圖 。 圖 4 同 時 呈 現 切 點 位 置 不<br />
同 時 的 公 切 圓 , 及 圓 心 的 軌 跡 圖 ─ 雙 曲 線 。<br />
由 於 兩 圓 外 離 時 , 外 公 切 圓 圓 心 與 兩 圓 圓<br />
心 距 離 差 為 一 定 值 , 故 圖 形 為 雙 曲 線 。 教 師 除<br />
可 讓 學 生 探 討 如 何 利 用 幾 何 作 圖 作 出 公 切 圓<br />
外 , 亦 可 引 導 學 生 觀 察 公 切 圓 圓 心 形 成 的 雙 曲<br />
線 , 其 左 支 與 右 支 與 兩 圓 的 關 係 。 由 圖 4 可 以<br />
看 出 , 形 成 左 支 的 公 切 圓 均 切 於 兩 圓 之 外 , 而<br />
形 成 右 支 的 公 切 圓 均 將 兩 圓 包 含 於 內 ; 由 左 支<br />
變 為 右 支 時 ( 或 反 之 ), 切 點 正 是 兩 圓 外 公 切<br />
線 之 切 點 , 此 時 的 公 切 圓 退 化 為 外 公 切 線 , 其<br />
圓 心 在 雙 曲 線 的 無 限 遠 端 。 圖 4 所 示 公 切 圓 不<br />
是 均 切 於 兩 圓 外 就 是 均 將 兩 圓 包 於 內 , 若 學 生<br />
-4-
公 切 圓 之 圓 心 軌 跡 - 用 動 態 幾 何 軟 體 探 討 幾 何 性 質<br />
在 思 考 公 切 圓 的 幾 何 作 圖 時 , 只 想 到 第 一 類 公<br />
切 圓 , 則 「 是 否 有 一 外 切 一 內 切 於 此 兩 圓 之 公<br />
切 圓 如 何 作 出 這 個 公 切 圓 」 就 是 另 一 個 需<br />
要 探 討 的 問 題 。 按 「 公 切 圓 2」 程 式 , 即 會 呈<br />
現 第 二 類 的 公 切 圓 ( 圖 5), 與 前 面 的 討 論 相<br />
同 , 拉 動 點 「Ani」、 按 「 軌 跡 2」, 展 現 公 切<br />
圓 之 軌 跡 圖 ( 圖 6)。 學 生 也 可 以 很 容 易 透 過<br />
動 態 圖 形 之 變 化 及 形 成 過 程 , 觀 察 到 兩 圓 的 內<br />
公 切 線 與 兩 圓 公 切 圓 的 關 係 : 所 有 一 內 切 一 外<br />
切 於 兩 圓 的 公 切 圓 中 , 半 徑 無 限 大 的 那 個 圓 就<br />
是 內 公 切 線 。 圖 7 同 時 呈 現 出 兩 個 公 切 圓 , 即<br />
兩 類 公 切 圓 之 軌 跡 ─ 兩 組 雙 曲 線 。<br />
Ani<br />
圖 7 兩 類 公 切 圓 及 其 圓 心 軌 跡 圖 ( 雙 曲 線 ) 同<br />
時 呈 現<br />
圖 8 至 封 底 圖 E 展 示 相 交 、 相 切 、 內 離 時 ,<br />
兩 圓 的 公 切 圓 、 其 圓 心 軌 跡 及 軌 跡 變 化 的 各 種<br />
狀 況 。<br />
O1<br />
O2<br />
O1<br />
Ani<br />
O2<br />
圖 5 分 別 內 切 及 外 切 於 兩 圓 的 公 切 圓<br />
圖 6 分 別 內 切 及 外 切 兩 圓 的 第 二 類 公 切 圓 、 公<br />
切 圓 圓 心 軌 跡 ( 雙 曲 線 )、 及 內 公 切 線 ( 半<br />
徑 無 限 大 的 公 切 圓 )<br />
除 了 用 滑 鼠 拖 曳 ani 點 外 , 程 式 也 提 供 一<br />
個 「 動 態 模 擬 」 鈕 ( 圖 1), 按 下 此 鈕 ,ani 點<br />
會 自 動 在 圓 周 上 繞 動 , 展 現 與 拖 曳 相 同 的 效<br />
果 , 所 呈 現 的 軌 跡 比 拖 曳 時 均 勻 。<br />
圖 8 兩 圓 相 交 之 第 一 類 公 切 圓 及 其 圓 心 軌 跡<br />
─ 雙 曲 線 線<br />
三 、 半 徑 之 大 小 與 兩 圓 的 「 公 切 圓 」<br />
其 實 兩 圓 半 徑 也 會 影 響 所 形 成 公 切 圓 的<br />
圓 心 軌 跡 , 在 程 式 上 改 變 圓 的 大 小 以 及 兩 圓 的<br />
距 離 , 就 可 得 到 各 種 兩 圓 關 係 下 , 兩 類 公 切 圓<br />
圓 心 的 軌 跡 ; 在 兩 圓 半 徑 相 等 時 , 外 離 之 內 公<br />
切 圓 圓 心 軌 跡 仍 是 雙 曲 線 , 若 要 畫 出 第 二 類 公<br />
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科 學 教 育 月 刊 第 271 期 中 華 民 國 九 十 三 年 八 月<br />
切 圓 十 分 簡 單 , 其 公 切 圓 圓 心 的 軌 跡 就 是 連 心<br />
線 的 垂 直 平 分 線 , 圖 14 展 示 兩 圓 半 徑 由 不 同<br />
變 到 相 同 時 , 圖 形 的 變 化 。 十 分 容 易 看 出 , 當<br />
兩 圓 半 徑 相 同 時 , 雙 曲 線 退 化 成 一 直 線 。 按 「 等<br />
圓 」 鈕 , 程 式 會 自 動 將 圓 O2 之 半 徑 改 變 使 其<br />
與 圓 O1 相 同 , 並 呈 現 轉 變 時 圖 形 變 化 的 過 程 。<br />
不 僅 如 此 , 我 們 還 可 以 讓 半 徑 趨 近 於 零 , 若<br />
將 一 圓 半 徑 無 限 縮 小 , 最 後 縮 成 一 點 , 我 們 稱 之<br />
為 點 圓 點 , 在 一 圓 與 一 點 時 也 可 以 產 生 雙 曲 線<br />
軌 跡 , 如 圖 15, 按 鈕 「 點 圓 」, 程 式 將 自 動 將 圓<br />
O2 之 半 徑 縮 小 成 一 點 。 當 然 , 在 改 變 半 徑 之<br />
前 , 應 先 讓 學 生 預 測 一 下 , 再 予 以 展 示 驗 證 說<br />
明 , 這 時 , 學 生 對 於 此 會 有 更 深 刻 的 印 象 , 不<br />
會 僅 憑 空 想 像 而 沒 實 際 看 到 軌 跡 。<br />
由 以 上 的 討 論 , 我 們 可 以 看 出 兩 圓 ( 含 點<br />
圓 ) 公 切 圓 圓 心 軌 跡 圖 形 , 不 外 乎 是 雙 曲 線 、<br />
橢 圓 、 直 線 。 但 這 一 些 圓 錐 曲 線 中 , 我 們 似 乎<br />
看 不 到 「 拋 物 線 」。 身 為 圓 錐 曲 線 的 一 員 , 拋<br />
物 線 與 兩 圓 公 切 圓 圓 心 軌 跡 是 否 有 關 呢 <br />
圖 14 圓 O2 之 半 徑 由 大 變 小 變 成 與 圓 O1 半 徑<br />
相 同 時 , 兩 類 公 切 圓 圓 心 軌 跡 , 第 二 類<br />
公 切 圓 圓 心 構 成 的 的 雙 曲 線 退 化 成 直 線<br />
( 紅 線 ) 的 過 程<br />
圖 16 圓 O2 半 徑 趨 近 於 無 限 大 ( 圓 心 向 右 移 ),<br />
圖 形 成 為 直 線 時 , 公 切 圓 圓 心 軌 跡 的 變<br />
化 。 此 時 , 其 軌 跡 圖 形 為 兩 條 拋 物 線 。<br />
我 們 可 以 鼓 勵 學 生 透 過 操 作 來 探 討 這 個<br />
問 題 , 若 圓 O2 的 半 徑 放 大 , 我 們 就 可 以 看 到<br />
圖 15 圓 O2 之 半 徑 趨 近 於 零 時 , 兩 類 公 切 圓 圓<br />
心 軌 跡 ( 雙 曲 線 ) 逐 漸 接 近 , 合 為 一 的<br />
過 程<br />
類 似 拋 物 線 的 軌 跡 , 圖 16、 封 底 圖 F、 封 底 圖<br />
G、 封 底 圖 H 展 示 圓 O2 半 徑 趨 近 無 限 大 時 ,<br />
其 軌 跡 變 化 的 情 形 。 按 鈕 「 線 圓 」, 程 式 會 將<br />
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公 切 圓 之 圓 心 軌 跡 - 用 動 態 幾 何 軟 體 探 討 幾 何 性 質<br />
表 一 兩 圓 ( 含 退 化 情 形 ) 的 公 切 圓 圓 心 軌 跡 圖 形<br />
兩<br />
公 切 圓 圓 心 軌 跡<br />
圓<br />
圖 形<br />
外 離 外 切 相 交 兩 點 內 切 內 離<br />
關<br />
兩 圓 種 類 係<br />
兩 圓<br />
兩 雙 曲 線<br />
直 線 及 橢 圓 及 橢 圓 及<br />
雙 曲 線 雙 曲 線 直 線<br />
兩 橢 圓<br />
圓 與 直 線<br />
兩 拋 物 線 射 線 兩 拋 物 線 射 線 兩 拋 物 線<br />
( 開 口 同 向 ) 拋 物 線 ( 開 口 反 向 ) 拋 物 線 ( 開 口 同 向 )<br />
圓 與 點 雙 曲 線 直 線 ( 點 在 圓 上 ) 橢 圓<br />
兩 直 線<br />
不 平 行 時 : 兩 直 線 ( 互 相 垂 直 )<br />
平 行 時 : 一 直 線<br />
點 與 直 線<br />
點 不 在 線 上 : 拋 物 線<br />
點 在 線 上 : 一 直 線<br />
兩 點 直 線 ( 垂 直 於 兩 點 連 線 )<br />
圓 O2 之 半 徑 放 大 , 直 至 圓 之 圖 形 變 成 直 線 。<br />
兩 直 線 及 兩 點 的 情 形 , 容 易 可 看 出 其 「 公<br />
切 圓 」 的 圓 心 軌 跡 。 表 一 整 理 呈 現 兩 圓 在 不 同<br />
關 係 及 不 同 種 類 下 , 公 切 圓 圓 心 軌 跡 的 圖 形 。<br />
其 實 , 若 要 再 細 看 , 也 可 以 觀 察 兩 類 公 切 圓 圓<br />
心 軌 跡 分 別 形 成 的 圖 形 , 是 雙 曲 線 的 哪 一 半 、<br />
射 線 或 線 段 , 是 橢 圓 的 哪 一 部 份 、…。<br />
四 、 兩 圓 公 切 圓 之 作 圖<br />
製 作 一 般 的 兩 圓 及 其 公 切 圓 , 原 理 並 不<br />
難 , 透 過 GSP 的 一 般 化 功 能 , 只 要 做 出 兩 圓<br />
相 離 時 的 兩 個 公 切 圓 , 利 用 軌 跡 功 能 , 即 可 十<br />
分 容 易 的 得 到 兩 圓 公 切 線 的 圓 心 軌 跡 , 透 過 兩<br />
圓 關 係 ( 外 離 、 相 交 、 內 離 ) 及 半 徑 的 改 變 ,<br />
就 可 看 到 多 種 變 化 的 情 形 。 公 切 圓 之 作 圖 步 驟<br />
列 出 如 下 ( 圖 20、21):<br />
1. 分 別 做 出 兩 外 離 圓 , 圓 O1 及 圓 O2。<br />
2. 在 圓 O1 上 取 一 動 點 Ani, 做 出 連 接 O1 及 的<br />
直 線 L。<br />
3. 以 為 圓 心 , 圓 O2 之 半 徑 為 半 徑 作 圓 , 交 L<br />
直 線 於 P,Q 兩 點 。<br />
4. 作 PO2 線 段 的 垂 直 平 分 線 , 交 直 線 L 於 S1<br />
點 , 以 S1 為 圓 心 , 過 Ani 作 圓 , 此 圓 即 為<br />
圓 O1 及 圓 O2 的 外 公 切 圓 。<br />
5. 作 QO2 線 段 的 垂 直 平 分 線 , 交 直 線 L 於 S2<br />
點 , 以 S2 為 圓 心 , 過 Ani 作 圓 , 此 圓 即 為<br />
圓 O1 及 圓 O2 的 內 公 切 圓 。<br />
6. 分 別 做 出 S1 及 S2 的 軌 跡 , 即 為 公 切 圓 圓 心<br />
軌 跡 。<br />
教 師 可 適 度 分 析 作 圖 的 思 考 方 向 , 亦 即 引<br />
導 學 生 假 設 圖 形 已 作 出 來 , 再 作 逆 推 的 思 考 。<br />
若 要 證 明 軌 跡 必 為 雙 曲 線 ( 或 在 其 他 兩 圓 關 係<br />
-7-
科 學 教 育 月 刊 第 271 期 中 華 民 國 九 十 三 年 八 月<br />
下 , 為 其 他 圓 錐 曲 線 ), 由 垂 直 平 分 線 之 作 圖<br />
過 程 , 很 容 易 就 可 看 出 S1O1 與 S1O2 兩 線 段<br />
的 差 ( 或 和 ) 為 兩 圓 半 徑 的 差 ( 或 和 ), 或 S2O1<br />
與 S2O2 兩 線 段 的 差 ( 或 和 ) 為 兩 圓 半 徑 的 差<br />
( 或 和 ), 參 看 圖 20、21。<br />
連 接 。 一 圓 與 一 直 線 之 公 切 圓 作 圖 方 法 很 多 ,<br />
透 過 圓 及 無 限 遠 點 的 幾 何 概 念 延 伸 ( 點 圓 、 線<br />
圓 ), 觀 察 公 切 圓 的 作 圖 ( 圖 22 左 ), 我 們 可<br />
有 如 下 的 作 圖 法 ( 如 圖 22 右 )。<br />
1. 作 線 段 DAni, 過 O1 作 DAni 的 垂 直 線 L。<br />
2. 過 Ani 作 L 的 平 行 線 交 線 圓 於 B。<br />
3. 過 B 作 直 線 垂 直 於 AB( 線 圓 ), 交 O1Ani<br />
於 S1。<br />
4. 以 S1 為 圓 心 ,S1B 為 半 徑 作 圓 , 此 圓 即 為<br />
公 切 圓 。<br />
圖 20 外 公 切 圓 作 圖<br />
圖 21 內 公 切 圓 作 圖<br />
上 述 作 圖 , 並 無 法 呈 現 點 圓 及 線 圓 的 情<br />
況 , 當 圓 半 徑 為 0 時 , 該 圓 並 不 存 在 。 程 式 中 ,<br />
點 圓 及 線 圓 是 另 外 作 出 來 的 , 但 透 過 GSP「 呈<br />
現 」 及 「 消 失 」 的 處 理 , 我 們 可 以 將 其 變 化 作<br />
圖 22 兩 圓 的 公 切 圓 、 圓 和 直 線 之 公 切 圓 作 圖<br />
法 之 對 照 。<br />
-8-
公 切 圓 之 圓 心 軌 跡 - 用 動 態 幾 何 軟 體 探 討 幾 何 性 質<br />
上 述 方 法 , 可 由 觀 察 圖 22 左 右 二 圖 之 對<br />
應 關 係 看 出 來 。 過 O1 作 直 線 平 行 於 PO2 交<br />
S1O2 於 C 點 , 由 於 O2 由 水 平 方 向 延 伸 至 無<br />
限 遠 , 圓 O2 轉 化 成 過 A 垂 直 於 O1A 之 直 線<br />
( 右 圖 ),S1O2 就 轉 化 成 直 線 S1C 平 行 於 直<br />
線 O1A, 而 因 三 角 形 S1O1C 為 等 腰 三 角 形 ,<br />
因 此 在 右 圖 中 , 只 需 作 DAni 的 垂 直 平 分 線<br />
O1C, 再 過 Ani 作 平 行 於 O1C 之 直 線 交 線 圓<br />
於 B, 點 Ani 及 B 就 是 公 切 圓 與 圓 O1 及 線 圓<br />
( 直 線 AB) 的 切 點 。<br />
的 內 容 , 但 都 零 星 出 現 , 或 者 是 各 自 獨 立 成 不<br />
相 關 的 例 子 , 需 要 讀 者 的 「 慧 心 」 自 行 整 合 ,<br />
本 文 從 整 合 的 角 度 , 將 歐 氏 平 面 延 伸 (Extended<br />
plane), 將 點 、 線 、 圓 視 為 一 體 , 討 論 兩 圓 之<br />
公 切 圓 圓 心 軌 跡 , 並 以 GSP 將 延 伸 的 部 分 結<br />
果 作 動 態 的 呈 現 , 可 協 助 學 生 整 體 地 理 解 兩 圓<br />
關 係 及 其 公 切 圓 、 公 切 線 , 並 能 完 整 地 觀 察 各<br />
類 圓 錐 曲 線 及 其 變 化 及 退 化 情 形 , 這 也 是 GSP<br />
動 態 軟 體 程 式 , 不 可 多 得 的 功 能 , 相 信 且 希 望<br />
對 有 興 趣 的 教 師 及 學 生 會 有 一 定 的 幫 助 。<br />
五 、 結 語<br />
上 述 的 例 子 在 幾 何 學 辭 典 中 , 就 曾 提 到<br />
「 任 意 圓 和 相 交 兩 定 圓 相 切 , 則 由 定 圓 的 圓 心<br />
到 任 意 圓 的 圓 心 的 距 離 之 差 或 是 和 為 一 定 的 」<br />
( 第 596 題 ), 「 設 兩 圓 A,B 半 徑 分 別 為 a,<br />
b 求 (1) 兩 圓 的 位 置 關 係 (2) 有 一 圓 與 兩 圓<br />
A,B 相 切 , 求 該 圓 心 的 軌 跡 , 指 出 它 的 名 稱<br />
並 畫 圖 , 簡 單 敘 述 其 理 由 。」( 第 3809 題 ) ,<br />
「 求 作 與 兩 個 已 知 圓 O,O’ 相 切 , 且 半 徑 為<br />
已 知 長 的 圓 」( 第 2626 題 )「 求 作 一 圓 , 使 該<br />
圓 過 定 點 A 且 和 定 圓 O、 定 值 線 XY 相 切 。」<br />
( 第 2648 題 ); 其 他 尚 有 一 些 於 本 文 主 題 相 關<br />
參 考 資 料<br />
林 保 平 ( 民 85). 動 態 幾 何 軟 體 在 教 學 上 的 應<br />
用 。 八 十 四 學 年 度 輔 導 區 地 方 教 育 輔 導 活<br />
動 教 師 研 討 活 動 論 文 集 ,pp128-152。 台 北<br />
市 立 師 院 。<br />
林 保 平 ( 民 86). 動 態 幾 何 教 學 的 電 腦 輔 助 教<br />
材 研 究 。 八 五 年 度 國 科 會 研 究 計 畫 報 告 ,<br />
計 畫 編 號 :85-2511-S-133-004。 台 北 市<br />
立 師 院 。<br />
幾 何 學 辭 典 ( 民 80). 九 章 出 版 社 譯 , 笹 部 貞 市<br />
郎 原 著 。<br />
-9-
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