Prelucrarea numerica adaptiva a semnalelor Îndrumator de lucrari ...

Prelucrarea numerica adaptiva a
semnalelor
Îndrumator de lucrari de laborator
Prof. dr. ing. Alexandru Isar
Universitatea “Politehnica” Timisoara,
2002

Cuprins
Lucrarea nr. 1. Filtre cu capacităţi comutate 1
Lucrarea nr. 2. Filtre adaptate la semnale modulate în 12
frecvenţă
Lucrarea nr. 3. Utilizarea transformării “wavelet” rapidă 20
la compresia de date
Lucrarea nr. 4. Îmbunătăţirea raportului semnal/zgomot prin 30
utilizarea transformării “wavelet” discretă
Lucrarea nr. 5. Studiul algoritmului LMS 33
Lucrarea nr. 6. Măsurarea frecvenţei instantanee a
44
semnalelor modulate în frecvenţa cu purtător sunusoidal
Lucrarea nr. 7. Măsurarea frecvenţei instantanee a
52
semnalelor modulate în frecvenţă cu purtător sinusoidal
perturbate aditiv de zgomot, folosind filtrarea adaptivă
Lucrarea nr. 8. Tehnici de balizare folosind transformata 54
“wavelet”
Seminar nr. 1 59
Seminar nr. 2 67
Seminar nr. 3 70

LUCRAREA NR 1
FILTRE CU CAPACITĂŢI COMUTATE
1.Scopul lucrării.
Se studiază o categorie de filtre analogice realizate pa
baza tehnologiei capacităţilor comutate şi se pune în evidenţă o
modalitate de sinteză a acestor filtre.
2. Integratorul ideal cu capacităţi comutate.
În figura 1 se prezintă schema unui integrator ideal
X(s)
R
C
figura 1
schema integratorului ideal
Y(s)
Considerând amplificatorul
operaţional din schema prezentată
ca fiind ideal, se poate scrie :
Ys () Xs ()
= − sau
1 R
sC
Ys ()
Xs () = − 1 de unde rezultă expresia funcţiei de transfer a
sCR
sistemului din figura 1, care este:
Hs () = − 1
sCR
iar răspunsul său în frecvenţă
1
H()
ω = −
(1)
jωCR
În continuare se prezintă principiul condensatorului
comutat. Fie în acest scop sistemul din figura 2a. Comutatorul K
este comandat în aşa fel încât stă câte T e
pe poziţia 1,respectiv
2
aceeaşi durată pe poziţia 2. Când K este pe poziţia 1,
condensatorul C se încarcă cu tensiunea V 1. Când comutatorul K este
pe poziţia 2, condensatorul C se încarcă cu tensiunea V 2 . Deci
transferul de sarcină între condensorul C şi sursa din dreapta
1

(din figura 2a)este de valoare C(V 1 -V 2 ). Deci în
intervalul de timp T e /2 are loc o variaţie decurent de forma :
i= 2 CV ( 1 − V2)
T e
(2)
1 2 i
K
R
V1 V2 V1 V2
C
2a
figura 2: principiul condensatorului comutat
2b
Dacă în locul condensatorului şi a comutatorului ar fi
montată o rezistenţă, ca în figura 2b), atunci prin acest circuit
ar fi apărut, în acelaşi sens, curentul :
i = V 1 − V 2
; (3)
R
deci rezistenţa R poate fi simulată cu ajutorul condensatorului
comutat. Din identificarea membrilor drepţi ai relaţiilor (2) şi
(3) se obţine :
R = T e
2C
Deci valoarea rezistenţei simulate poate fi reglată prim
modificarea frecvenţei de comandă a comutatorului K.
În figura 3 este prezentată schema unui integrator ideal cu
capacităţi comutate
1 2
C
Cât timp comutatorul K
stă pe poziţia 1 (T e /2 s)
condensatorul C1 se încarcă,
căderea de tensiune pe acest
element fiind egală cu valoarea
X(t) K
AO
curentă a tensiunii x(t). Cât
Y(t)
C1
timp K se găseşte pe poziţia 2,
tensiunea pe C1 se anulează
(căderea de tensiune între
bornele
amplificatorului
operaţional este nulă),
figura 3 schema unui integrator ideal sarcina înmagazinată în C1
realizat cu capacităţi comutate transferîndu-i-se lui C.
2

Funcţionarea sistemului din figura 3 poate fi înţeleasă pe
baza exemplului din figura 4. Pe intervalul [0, T e /2], tensiunea pe
C1 atinge valoarea x(T e /2). La momentul T e /2, condensatorul C1 se
descarcă, sarcina acumulată pe acesta, Q=C1x(T e /2), fiind
transferată condensatorului C. Această variaţie de sarcină produce
căderea de tensiune pe condensatorul C,
u
c
Q C1
= = ⋅
C C
⎛
x T e ⎞
⎜ ⎟
⎝ 2 ⎠
ieşire este :
De aceea pe intervalul
⎡Te
Te
⎣⎢ 2 , ⎤
⎦⎥
expresia semnalului de la
y(t) = -u c = −
C1
C
⋅
⎛ ⎞
x⎜
T e
⎟
⎝ 2 ⎠
; apoi ciclul descris se repetă
x(t)
u c1 (t)
-y(t)
t
t
t
Admiţând că transferul
de sarcină din capacitatea
C1 în capacitatea C se
realizează instantaneu,
rezultă, conform figurii 4
că semnalul de ieşire,
y(t), se modifică doar la
momente discrete de timp.
Din acest motiv, sistemul
din figura 3 poate fi
echivalat cu un sistem în
timp discret.
La momentul (n-1)T e + T e
2
sarcina condensatorului C1
este :
q 1 [n-1]=C 1 x[n-1];
0 T e 2T e 3T e 4T e 5Te
T e /2 3T e /2 5 T e /2 7T e /2 9T e /2 11T e /2
figura 4: exemplu de funcţionare al sistemului
din figura 3
iar sarcina condensatorului
C :
q 2 [n-1]=Cy[n-1] ;
⎡
Te
⎤
În intervalul ( n − ) Te
+ , nTe
⎣
⎢
1
2 ⎦
⎥
, comutatorul K se află pe
poziţia 2. La momentul nT e sarcina condensatorului C1 este 0 iar
sarcina condensatorului C este :
3

q 2 [n] = q 2 [n-1]-q 1 [n-1] = C y[n] ;
adică C y[n] = C y[n-1]-C 1 x[n-1]; (5)
Aceasta este ecuaţia cu diferenţe finite care descrie sistemul
în timp discret echivalent.
Luând în relaţia (5) transformata Z, se obţine :
C Y(z) = C z -1 Y(z) – C 1 z -1
X(z)
de unde rezultă funcţia de transfer a sistemului în timp discret
echivalent :
Yz ()
Xz ()
= Hz () = −
−1
C1
⋅ z C1
=
−1
C( 1 − z ) C( 1 − z)
(6)
Admiţând că metoda de echivalare a sistemului în timp continuu
din figura 3 cu sistemul în timp discret descris de ecuaţia (5)
este cea a invarianţei răspunsului la impuls, rezultă că
variabilele z şi s sunt legate prin relaţia :
z
=
e sT e
de aceea funcţia de transfer a sistemului din figura 3, conform
relaţiei (6) este:
Hs () =
1
C1
C
− e sT e
(7)
Se ştie că metoda de echivalare bazată pe invarianţa
răspunsului la impuls conduce la rezultate bune pentru frecvenţe
de eşantionare mari, deci pentru valori T e apropiate de zero.
Dezvoltarea în serie Taylor a funcţiei e sTe în jurul lui
zero este :
e sTe =e sT e
s=0 + T e s e sT e
s=0 + ...
Reţinând doar primii doi termeni ai dezvoltării rezultă :
e sT e ≅ 1 + sT e
Folosind această aproximare, expresia funcţiei de transfer
(din relaţia (7)), H(s), devine :
4

C1
H(s)= C
1 − ( 1 + sTe
)
= −
s C C
1
1
T
e
; (8)
Comparând relaţiile (1) şi(8) se constată faptul că grupul
K, C 1 din figura 3 echivalează rezistenţa R din figura 1 şi că :
R = T e 1
=
C C ⋅ f
1 1
e
; (9)
unde cu f e s-a notat frecvenţa cu care comută K.
Deci în condiţiile în care sunt valabile aproximaţiile
făcute (frecveţa f e mult mai mare decât frecvenţa maximă din
spectrul semnalului x(t)) folosind sistemul din figura 3 se poate
obţine un integrator ideal.
3. Metodă de sinteză a filtrelor cu capacităţi comutate.
Rezultatul paragrafului anterior este foarte important
având în vedere că orice sistem în timp continuu poate fi
sintetizat utilizând forma canonică 1 de implementare, care este
bazată pe folosirea integratoarelor ideale. În continuare se dă un
exemplu de sinteză , care conduce la obţinerea filtrului activ
universal.
Ne propunem să proiectăm un filtru de ordinul II, care să
aibă ieşiri de tip trece-jos, trece-sus şi trece-bandă.
Funcţia de transfer de tip trece-sus este:
as 0 2
H TS (s)=
bs 0 2 + bs 1 + b2
; (10)
Conectând la ieşirea acestui filtru un integrator ideal se
obţine un sistem global cu funcţia de transfer de tip trece-bandă:
H TB (s)= -
⎛ 1 ⎞
as 0 ⎜ ⎟
⎝ RC ⎠
bs + bs+
b
0 2 1 2
; (11)
Conectând un nou integrator ideal se obţine sistemul global
cu funcţia de transfer trece-jos de tipul :
5

H TJ (s)=
2
⎛ 1 ⎞
a0
⎜ ⎟
⎝ RC ⎠
bs + bs+
b
0 2 1 2
; (12)
Ecuaţia diferenţială corespunzătoare funcţiei de transfer
din relaţia (10) este:
b
0
2
dy
dt
+ b
dy + by = a dx ; (13)
2
dt
dt
2 1 2 0
2
Integrând de două ori această relaţie se obţine :
t
t
t
byt () + b ∫ y() τdτ + b ∫ ∫ y() τdτ = axt () ; (14)
0 1 2 0
−∞
−∞ −∞
Sistemul caracterizat de această ecuaţie este prezentat în
figura 5.
x(t)
a0
-b2
1/b0
b1
-
-
t
∫
−∞
t
∫
−∞
y TS (t)
y TB (t)
y TJ (t)
figura 5 : schema bloc a sistemului cu
funcţia de transfer H TS (s)
Se constată că
sistemul din figura 5
prezintă şi ieşiri de tip
trece-bandă şi trece-sus.
Schema obţinută poate fi
redesenată, folosind un
sumator cu trei intrări. Se
obţine astfel sistemul din
figura 6. Acesta poate fi
construit cu amplificatoare
operaţionale conectate în
structură de amplificator,
sumator, sau integrator.
In continuare
amplificatoarele operaţionale
utilizate în structurile mai
sus amintite şi desenate în
figura 7, se vor considera
ideale.
Folosind figurile 6 şi 7, prin interconectarea
corespunzătoare a blocurilor constitutive, se obţine structura
filtrului activ universal prezentat în figura 9.
6

x(t)
a0
b1
1/b0
-
t
∫
−∞
y TS (t)
-1/RC
t
∫
−∞
R
C
AO
R2
A
R1
-b2
-
t
∫
−∞
figura 6 : schema bloc a
filtrului activ universal
u1
u2
u3
AO
A=-R2/R1
R
R
u u1
-u
u2
AO
u3
figura 7 : construcţia blocurilor din figura 6 cu ajutorul amplificatoarelor
operaţionale
R4
R3
C
C
x(t)
R1
AO1
y TS (t)
R
AO2
R
y TB (t)
AO3
y TJ (t)
R2
figura 8 : schema unui filtru activ universal
Din figurile 6 şi 8 se pot determina expresiile
coeficienţilor funcţiilor de transfer din relaţiile (10),(11) şi
(12). Rezultă :
b
= R ;a 0 = R R + R
2
R + R
0 4
3 4
1 2
R1 R3 + R4
R3
; b1
=
; b2
= ; (16)
2
RC R + R
1 2
( RC)
Deoarece expresiile funcţiilor de transfer ale sistemelor
de tip trece-sus, trece-bandă şi trece-jos de ordinul II sunt :
H
TS
( s)
=
s
2
A
TS
⋅
s
2
+ 2ξω s + ω 2 0
0
; H ( s)
TB
=
s
2
2ξω0ATBs
+ 2ξω s + ω ;
0
2 0
7

H
TJ
( s)
=
s
2
A
TJ
⋅
ω
2 0
+ 2ξω
s +
0
ω
2 0
; (17)
Prin identificarea relaţiilor (17) cu relaţiile (10),(11)
şi (12), pe baza relaţiilor (16) se obţine :
a0
A TS = =
b
0
1
1
+
+
R
R
R
R
3
4
1
2
2 b2
R3
1
; ω 0 = = ⋅ ;
2
b R
0
4
( RC)
Q
1 R4
= = ⋅
2ξ
R
1
R
R
+ R
+ R
1 2
3 4
;
2ξω
A
TJ
0
A
TB
a
= −
b
0
0
⎛ 1 ⎞
⎜ ⎟ ⇒
⎝ RC⎠
R3
1 +
a0
1 R4
= ⋅
2
( RC)
b0 ω0 2 =
R1
1 +
R
A
TB
2
= −
R
R
2
1
;
(18)
De obicei în schema filtrului activ universal se aleg:
∗
R1 = R3 = R4
= R
Cu această observaţie parametrii celor trei funcţii de
transfer devin:
A
=
2
R
1 +
R
1
RC Q R + R2 R2
; ω0
= ; = ; A = − ; A =
2R
R
TS TB TJ
(16)
2
1
2
R
+
R
2
În figura 9 este prezentată schema unui filtru activ
universal realizat cu capacităţi comutate.
8

R *
x(t)
AO1
R * R *
y TS (t)
1 2
K1
C1
C
AO2
y TB (t)
1 2
K2
C2
C
AO3
y TJ (t)
R2
figura 9 : filtru activ universal realizat cu capacităţi comutate
Parametrii acestui sistem sunt:
A
= A =
2
R
1 +
R
TS TJ TB
2
R2
; A = − ;
R
Q
=
R
+ R
2R
2
C1
; ω 0 = ⋅ f e ; (20)
C
! Orice filtru cu capacităţi comutate poate fi sintetizat
pornind de la forma canonică I de implementare, folosind modelul
din exemplul anterior.
4. Filtre cu capacităţi comutate monocip
În prezent se fabrică circuite integrate cu funcţia de
filtru cu capacităţi comutate. În lucrarea de faţă, se utilizează
un astfel de circuit, realizat de firma MAXIM, a cărui foaie de
catalog este prezentată în ANEXĂ. Acest circuit integrat
înglobează două filtre active universale cu capacităţi comutate.
Rezistenţele R1 ÷ R4
se conectează din exterior. De asemenea
semnalul de comandă, cu frecvenţa f e , se aplică din exterior.
Legătura dintre ω 0 şi f e poate fi de asemenea impusă din exterior.
Principalele aplicaţii ale acestor circuite integrate sunt:
‣ pentru prelucrarea numerică a semnalelor;
‣ pentru construcţia filtrelor “anti-aliasing” programabile;
‣ pentru construcţia sistemelor de analiză a vibraţiilor sau
a semnalelor audio;
‣ pentru construcţia sistemelor de testare a echipamentelor
de telecomunicaţii;
9

‣ pentru construcţia instrumentarului de aviaţie.
5. Desfăşurarea lucrării
Modul de conectare al circuitului MAX266, pentru lucrarea
de faţă, presupune unei singure secţiuni de ordinul II, fiind
disponibile funcţiile de transfer de tip trece-jos, trece-bandă şi
opreşte-bandă.
5.1. Se studiază dependenţa modulului răspunsului în
frecvenţă de fiecare tip (trece-jos, opreşte-bandă ţi trecebandă),
de frecvenţa f e . În acest scop, pentru trei frecvenţe
diferite ale semnalului de tact se ridică răspunsul în frecvenţă
folosind cele trei ieşiri şi modificând frecvenţa semnalului de la
intrarea IN. Cele 9 caracteristici de frecvenţă obţinute se vor
reprezenta grafic. Frecvenţa semnalului de pe intrarea IN nu va
depăşi o zecime din frecvenţa semnalului de pe intrarea CLK.
Semireglabilul P, va avea cursorul la un capăt.
5.2. Pe baza determinărilor experimentale efectuate la
punctul anteriore vor identifica în fiecare caz parametrii celor
trei tipuri de filtre, amplificare, frecvenţă centrală (sau de
tăiere) şi factorul de calitate.
5.3 Se repetă punctele 5.1. şi 5.2., având cursorul
semireglabilului P fixat la celălalt capăt.
5.3. Să se reprezinte grafic forma de undă a
semnalului de la intrarea IN precum şi cea a semnalelor de la cele
trei ieşiri într-o situaţie în care acestea pot fi observate bine.
Se vor specifica parametrii semnalelor, amplitudine, perioadă
e.t.c.
6. Întrebări.
6.1. Exprimaţi legătura între spectrele semnalelor x(t) şi
y(t) din figura 4. Motivaţi, pe baza expresiei obţinute,
necesitatea ca frecvenţa f e să fie mult mai mare decât frecvenţa
maximă din spectrul semnalului x(t).
6.2. Justificaţi relaţia (16).
6.3. Cum trebuie conectate comutatoarele S 1A şi S AB pentru
ca secţiunea A a circuitului MAX266 să aibă schema din figura 9
6.4. Ştiind că funcţia de transfer a unui filtru opreşte
bandă de ordinul II este:
H
( s)
OB =
s
2
2
s
1 +
2
ω 0
+ 2ξsω + ω ;
0
2 0
arătaţi modificările care trebuiesc făcute schemei din figura 8
pentru ca să se obţină schema unui filtru opreşte-bandă.
10

6.5. Ştiind că funcţia de transfer a unui filtru trecetot
de ordinul II este :
2
2
s − 2ξsω0
+ ω
HTT ( s)
0
=
2
2
s + 2ξsω0
+ ω ;
0
arătaţi modificările care trebuiesc făcute schemei din figura 8
pentru ca să se obţină schema unui filtru trece-tot.
6.6. Să se scrie funcţiile de transfer ale sistemului din
figurile 5 ÷ 20 din foaia de catalog a circuitului MAXIM266.
BIBLIOGRAFIE
[1]. J.P. HUELSMAN : “Active Filters”, Prentice Hall, 1986;
[2]. *** MAX265/266 “Pin and Resistor Programmed Universal
Active Filters”, MAXIM Integrated Products, 1994;
[3]. E. POP, I. NAFORNIŢĂ ş.a. “Metode în prelucrarea
numerică a semnalelor”, vol.I. Ed. Facla, Timişoara, 1986;
[4]. A. MATEESCU, A. ŞERBĂNESCU, “Circuite cu capacităţi
comutate”, Ed. Militară, Bucureşti, 1987.
11

LUCRAREA NR 2
FILTRE ADAPTATE LA SEMNALE MODULATE ÎN FRECVENŢĂ
1.Scopul lucrării.
Se experimentează un filtru cu urmărire realizat cu capacităţi
comutate, urmărindu-se îmbunătăţirea raportului semnal pe zgomot
realizată la prelucrarea semnalelor modulate în frecvenţă
perturbate aditiv cu zgomot alb.
2.Filtre adaptate
Se pune problema determinării expresiei răspunsului la
impuls h()
t al sistemului liniar şi invariant în timp care
maximizează raportul semnal pe zgomot la ieşirea sa la momentul
de timp T, când la intrarea sa este adus semnalul:
() t = s() t n()
t
x +
unde x () t este un semnal determinist de energie finită iar n()
t
este un zgomot staţionar cu densitatea spectrală de putere Φ n ( ω)
.
Se defineşte raportul semnal pe zgomot al semnalului de la
ieşirea filtrului considerat:
() t = u() t + n () t
y 0
unde u () t este răspunsul sistemului la semnalul s () t iar n 0 () t
răspunsul la n () t , cu formula:
0
() t
RSZ =
u
() t
P
n 0
2
Puterea semnalului aleator de la ieşire este:
P
n 0
∞
∫
−∞
⎛ 1 ⎞ 2
= ⎜ ⎟ H( ω) Φ n ( ω)
dω
⎝ 2π
⎠
Expresia semnalului util de la ieşire este:
u
∞
∫
−∞
() t s() t ∗ h() t = s() τ h( t − τ)
= dτ
12

Valoarea lui u () t la momentul T este:
u
∞
∫
−∞
⎛ 1 ⎞
jωT
= ⎜ ⎟ e dω
⎝ 2π
⎠
( T) H( ω) S( ω)
iar valoarea raportului semnal pe zgomot la ieşire la acelaşi
moment de timp este:
2
∞
⎛ 1 ⎞
jωT
⎜ ⎟ ∫ H( ω) S( ω)
e dω
⎝ 2π
⎠ −∞
RSZ0 ( T)
=
(1)
∞
⎛ 1 ⎞ 2
⎜ ⎟ ∫ H( ω) Φ n ( ω) dω
⎝ 2π
⎠
−∞
Inegalitatea Cauchz-Buniakovski-Schwartz se exprimă în forma:
∞
∫
−∞
A
2
⎛
∗
2
2
( ω) B ( ω) dω
≤ ⎜ ( ) ⎟⎜
( ) ∫ A ω dω
∫ B ω dω
⎟ −∞ ⎝ −∞ ⎠
Această relaţie este o egalitate dacă:
unde K este o constantă.
Pentru:
şi:
A
⎝
∞
( ) = ( ω)
A ω KB
2
⎞⎛
1
( ω) = H( ω) ( Φ ( ω)
) 2
n
⎠
∞
1
−
jωT
( ω) = S( ω) e ( Φ ( ω)
) 2
B
n
inegalitatea Cauchy-Buniakovski-Schwartz devine:
∗
⎞
adică:
∞
∫
−∞
H
2
⎛
⎜
⎜
⎝
jωT
2
( ω) S( ω) e dω
≤ ⎜ ∫ H( ω) Φ n ( ω)
∞
−∞
1
2
2
⎛
⎜
⎞⎜
⎟⎜
dω⎟⎜
⎟⎜
⎠⎜
⎜
⎝
∞
∫
−∞
Φ
S
n
( ω)
( ω)
2
1
2
2
⎞
⎟
⎟
⎟
dω⎟
⎟
⎟
⎟
⎠
∞
∫
−∞
H
2
jωT
2
( ω) S( ω) e dω
≤ ⎜
∫ H( ω) Φ n ( ω)
⎛
⎜
⎝
∞
−∞
⎞⎛
dω⎟
⎜
⎜
⎠⎝
∞
∫
−∞
S
Φ
2
( ω)
( ) ⎟ ⎟ ⎞
dω
n ω
⎠
Folosind această relaţie (1) devine:
13

2
( ω)
( ω)
∞
⎛ 1 ⎞ S
RSZ0 ( T)
≤ ⎜ ⎟ ∫ dω
(3)
⎝ 2π
⎠−∞
Φ n
deoarece densitatea spectrală de putere a unui semnal aleator
staţionar este o funcţie reală pozitivă. În cazul de faţă,
relaţia (2) devine:
adică:
H
⎛
⎜
⎜
⎝
1
−
{ } 2
* − jωT
( ω) Φ ( ω) = KS ( ω) e Φ ( ω)
n
1
2
⎞
⎟
⎟
⎠
*
n
*
−
( ω)
e
( ω)
jωT
KS
H ( ω)
=
(4)
Φ
n
Aceasta este (cu excepţia unei constante multiplicative) expresia
răspunsului în frecvenţă al filtrului care maximizează raportul
semnal pe zgomot de la ieşirea sa, la momentul T, când este
prelucrat semnalul x () t .
După cum se vede, H ( ω)
depinde de spectrul semnalului util de la
intrare, S ( ω)
, şi de densitatea spectrală de putere a zgomotului
de la intrare. De aceea filtrul cu răspunsul î frecvenţă din
relaţia (4) se numeşte filtru adaptat la semnalul x () t . În
continuare semnalul aleator de la intrare se consideră de tip
zgomot alb. În acest caz:
K
N
* − jωT
Φ n ( ω) = N0
H( ω ) = S ( ω) e
h() t s( T − t)
Răspunsul filtrului adaptat la semnalul s () t este:
u
K
N
∞
∫
−∞
0
K
N
() t = h() t ∗ s() t = s()( τ s T − t + τ) dτ = R ( T − t)
0
0
s
K
= (5)
N
proporţional cu o variantă întârziată cu T a autocorelaţiei
semnalului s () t . În acest caz membrul drept al relaţiei (3)
devine maxim şi:
E
RSZ 0max
( T)
= (6)
N
unde E reprezintă valoarea energiei semnalului s () t . Deci valoarea
maximă a raportului semnal pe zgomot la ieşirea filtrului adaptat
la un semnal cu o componentă aleatoare de tip zgomot alb este
egală cu raportul dintre energia semnalului util de la intrare şi
densitatea spectrală de putere a zgomotului alb.
0
0
14

3. Filtru adaptat la un semnal de tip “chirp” perturbat
aditiv de zgomot alb
Semnalul de tip “chirp” este un semnal modulat în frecvenţă cu
modulatorul liniar variabil în timp. Expresia sa analitică este:
s
() t
⎧ ⎛
⎪cos
⎜ω
= ⎨ ⎝
⎪
0,
⎪⎩
0
0
t +
∆ω
2t
0
t
2
⎞
⎟,
⎠
t 0
t ≤
2
t 0
t >
2
În [Spă.,87] este demonstrat că dacă este satisfăcută condiţia:
∆ω
α = t 0 25
2π
>
(7)
atunci are loc relaţia:
S
( ω)
⎧ t 0
⎪ ,
≅ ⎨2
α
⎪
⎩ 0,
ω
0
0
∆ω
− ≤ ω ≤ ω
2
in rest
0
0
∆ω
+
2
şi pe baza relaţiei (5) caracteristica de modul a filtrului
adaptat este pentru
2 α
K = :
t 0
⎧ 0 ∆ω
0 ∆ω
⎪1,
ω − ≤ ω ≤ ω +
H( ω)
≅ 0 0
⎨ 2
2
(8)
⎪⎩
Deci dacă este îndeplinită condiţia (7) atunci filtrul adaptat la
semnalul “chirp” este un filtru trece-bandă ideal, cu pulsaţia
centrală ω 0 0 şi banda
4. Filtre cu urmărire
∆ ω .
Se numeşte filtru cu urmărire de tip trece-bandă acel filtru
trece-bandă a cărui pulsaţie centrală este în permanenţă egală cu
pulsaţia instantanee a semnalului determinist de la intrarea sa.
Caracterizarea în domeniul frecvenţă a unui filtru cu urmărire de
ordinul II poate fi făcută pe baza relaţiei:
H
( ω,
t)
=
ω
2
0
2ξAjω0
() t
2
() t − ω + 2jξωω
() t
respectiv cu ajutorul suprafeţelor H( ω , t)
şi { H( , t)
}
arg ω . În
continuare se prezintă câteva secţiuni remarcabile prin aceste
0
15

suprafeţe. Intersecţia dintre suprafaţa ( , t)
H ω şi planul
{( , t p ) ω∈R,
p∈
Z p − fixat}
de modul. Ea se notează H( ω , ) sau H( ω , ω ) cu ω = ω ( t )
ω se numeşte caracteristică momentană
t p
p
p
0
p
. Această
curbă descrie comportarea în domeniul frecvenţă a filtrului cu
urmărire la momentul t p .
Intersecţia dintre suprafaţa ( , t)
cărei urmă pe planul ( , t)
H ω şi suprafaţa verticală a
ω este curba de ecuaţie ω = ω 0 () t se
numeşte caracteristică globală de modul. Ea se notează cu
H( ω 0 () t ) . Filtrele trece-bandă cu urmărire au următoarele
proprietăţi, [Isa.’93]:
P1. Dacă momentele de timp t p şi t q sunt alese astfel încât
raportul pulsaţiilor instantanee ale semnalului de intrare
calculate la aceste momente ( t )/
ω ( t )
ω i q i p să fie egal cu β , atunci
pulsaţia centrală a caracteristicii momentane a filtrului la
momentul t va fi de β ori mai mare decât pulsaţia centrală a
q
caracteristicii momentane a filtrului la momentul t p .
P2. În condiţiile de la P1 banda la -3dB a caracteristicii
momentane H( ω,
ωq
) este de β ori mai mare decât banda la -3dB a
H ω , ω .
caracteristicii momentane ( )
p
În practică banda de frecvenţă în care are loc procesul de
urmărire nu poate fi infinită. De aceea este raţional să se
considere că această bandă este finită, de exemplu
⎡ 0 ∆ω 0 ∆ω⎤
⎢ω0 − , ω0
+ ⎥ .
⎣ 2 2 ⎦
P3. În banda de urmărire modulul răspunsului în frecvenţă al unui
filtru trece-bandă cu urmărire de ordinul II este maxim.
Această proprietate se poate reformula şi astfel:
P3’. Modulul caracteristicii globale de frecvenţă a unui filtru
cu urmărire este o bună aproximare a modulului caracteristicii de
frecvenţă a unui filtru trece-bandă ideal ţn banda
⎡ 0 ∆ω 0 ∆ω⎤
⎢ω0 − , ω0
+ ⎥ .
⎣ 2 2 ⎦
Pe baza relaţiei (8) şi proprietăţii P3’ se constatã cã filtrele
cu urmãrire sunt filtre adaptate la semnale de tip “chirp”.
5. Filtre cu urmărire cu capcităţi comutate
Orice filtru cu urmărire este alcătuit dintr-un filtru comandat
(în cazul de faţă realizat cu capacităţi comutate) şi dintr-un
circuit de comandă care transformă pulsaţia instantanee a
16

semnalului de la intrarea sa în semnal de comandă pentru filtrul
cu capacităţi comutate.
Orice filtru analogic poate fi realizat folosind integratoare pe
baza formei canonice II de implementare. În figura 1 este
prezentat un integrator cu capacităţi comutate.
u i
f c
K
+
C 2
u e
C 1
Figura 1. Integrator cu capacităţi comutate.
Funcţia sa de transfer este:
U
U
e
i
() s
() s
= −
sC
2
1
1
f C
[ Hue .'84]. Deci acest circuit este echivalent unui integrator RC
1
care are pe intrarea inversoare un rezistor de valoare . Cu
f c C 1
f c s-a notat frecvenţa cu care comută comutatorul K. Un filtru
activ universal realizat cu două integratoare va avea pulsaţia
centrală dată de relaţia:
C1
ω0 = f c
C2
Acesta este un filtru trece-bandă de ordinul II dacă este
îndeplinită condiţia:
f
c
C
c
2
() t = ω () t
C
Deci este necesar ca frecvenţa de comutaţie să fie un multiplu
întreg al frecvenţei instantanee a semnalului de intrare. Această
funcţie o îndeplineşte un circuit cu calare de fază utilizat în
regim de multiplicator de frecvenţă. Deci circuitul de comandă
poat efi unul cu calare de fază.
6. Desfăşurarea lucrării
Obiectul acestei lucrări este sistemul cu schema bloc din figura
2.
1
i
1
17

Generator de
semnal
Filtru
comandat
Generator de
zgomot
Multiplicator
de
frecvenþã
Filtru cu urmãrire
Figura 2. Schema bloc a filtrului cu urmărire de experimentat.
6.1. Se determină banda de urmărire a filtrului considerat.
6.2. Se verifică proprietăţile P1, P2 şi P3’ ridicându-se câteva
caracteristici momentane şi caracteristica globală a filtrului
cu urmărire.
6.3. Se determină parametrii caracteristicii momentane de
frecvenţă (amplificare, factor de calitate şi bandă la -3dB)
cu frecvenţa centrală situată la mijlocul benzii de urmărire.
Se reprezintă grafic această caracteristică.
6.4. Se determină îmbunătăţirea raportului semnal pe zgomot
introdusă de filtru în regim de urmărire (când semnalul util
de la intrare este un semnal modulat în frecvenţă, cu
modulator liniar variabil în timp, având deviaţia maximă de
frecvenţă mai mică decât banda de urmărire a filtrului).
6.5. Se reprezintă grafic formele de undă ale principalelor
semnale de intrare şi ieşire în cazul de la 6.4.
7. Întrebări
7.1. Care este valoarea maximă a raportului semnal pe zgomot la
ieşirea unui filtru adaptat la un semnal de tip chirp
perturbat aditiv de zgomot alb
7.2. De ce sunt echivalente proprietăţile P2 şi P3’
7.3. Desenaţi schema unui filtru activ universal. Scrieţi
expresia funcţiei sale de transfer. Desenaţi schema unui
filtru activ universal cu capacităţi comutate. Scrieţi
expresia răspunsului în frecvenţă al acestui sistem.
7.4. Desenaţi schema unui multiplicator de frecvenţă cu 16,
folosind un circuit cu calare de fază şi un numărător.
7.5. Ce parametru al filtrului cu urmărire ar trebui modificat
pentru ca îmbunătăţirea raportului semnal pe zgomot obţinută
să poată fi majorată
18

8. Bibliografie
[Spã.,87] A. Spătaru, Fondaments de la theorie de la transmission
de l’information, Presses Polytechniques Romandes, 1987.
[Isa.’93] A. Isar, Tehnici de măsurare adaptivă cu aplicaţii în
aparatura de măsurare numerică, 1993, Teză de doctorat,
Universitatea Politehnica Timişoara.
[Hue.’84] L.P. Huelsman, P.E. Allen, Introduction to the theory
and design of active filters, Prentice Hall, 1984.
+ 6V
+ 5V
IN
CLK
0 ,1µ
F
10 R 3
R 2
K18K
1 20
2 19
3 18
MF-10
4 17
5 16
6 15
7 14
8 13
9 12
10 11
' R 3
OUT
R 2 '
OUT
1,43nF
0 ,1µ
F
2K
14 13 12 11 10 9 8
βE
565
1 2 3 4 5 6 7
1nF
K
16 15 14 13 12 11 10 9
CDB 4192
1 2 3 4 5 6 7 8
14 13 12 11 10 9 8
CDB
490
1 2 3 4 5 6 7
2 × 4K7
0 ,33µ
F
− 6V
− 5V
19

LUCRAREA NR 3
UTILIZAREA TRANSFORMĂRII “WAVELET” RAPIDĂ LA COMPRESIA
DE DATE
1.Scopul lucrării.
Se analizează un algoritm de calcul al transformării "wavelet"
rapidă şi se utilizează acest algoritm la compresia unor semnale
nestaţionare.
2. Bazele matematice ale transformării "wavelet" rapidă
V ∈
Definiţia 1. Mulţimea de subspaţii Hilbert închise { m }
m Z
L 2 ( R)
ale lui
este o analiză multirezoluţie a acestui spaţiu dacă elementele
V m au următoarele proprietăţi:
i) ... V1 ⊂ V0
⊂ V−1...
,
⎛ ⎞
I ⎜ ⎟
,
⎝ m∈Z
⎠
∀ f x ∈V
⇔ f 2x ∈ ,
2
ii) Vm = {} 0 , ⎜ U Vm
⎟ = L ( R)
m∈Z
−−−−−−−
iii) ( ) ( ) m ( ) V m −1
iv) Există o funcţie ( x) ∈V0
n∈Z
ϕ astfel încât mulţimea
m
⎪
⎧
−
m
( ) 2 − ⎪
⎫
⎨ϕ m,n
x = 2 ϕ( 2 x − n)
⎬ să fie o bază ortonormală a lui
⎪⎩
⎪⎭
V m .
Funcţia ϕ ( x)
se numeşte funcţie de scalare.
Fie f 0 () t un semnal din V 0 . El are următoarea descompunere în baza
ϕ t = ϕ t − :
{ 0,n
() ( n)
} n ∈ Z
Fie () t
() t = f () t , ϕ () t ϕ ()
∑ ∞ 0 0 0,n 0,n t
n=
−∞
1
⎪
−
1
descompunere în baza () 2 −
t = 2 ϕ( 2 t − )
f (1)
f 1 proiecţia lui f 0 () t pe V 1. Această funcţie are următoarea
⎧
⎪
⎫
⎨ϕ 1,n
n ⎬ a lui V 1 :
⎪⎩
⎪⎭
n∈Z
f
() t f () t , ϕ () t () t
1 = ∑ ∞ 0 1,n ϕ1,
n
n=
−∞
(2)
Fie f m () t proiecţia lui f 0 () t pe V m . Ea are următoarea descompunere în
baza ϕ ,n () a lui V m :
{ } n Z
m t ∈
20

f
m
() t f () t , ϕ () t ϕ () t
= ∑ ∞
n=
−∞
0
m,n
m, n
(3)
Semnalele f () t , f () t ,...,f () t
f 0 cu
elemente ale spaţiilor V m (teorema lui Riesz). Dacă
e1 () t ,e2
() t ,...,em
() t sunt erorile medii pătratice de aproximare ale lui
f 0 () t cu funcţiile f1 () t , f 2 () t ,...,f m () t , atunci se poate scrie:
1 2 m sunt cele mai bune aproximări ale lui () t
1,
V2
,..., V
e
() t e () t ≤ ... e () t
≤ (4)
1 2 ≤
Se observă că odată cu creşterea lui m calitatea aproximării
descreşte. Considerând că f m () t reprezintă aproximarea lui f 0 () t de
rezoluţie m se poate afirma că folosind diferite elemente ale
se pot obţine aproximări de diferite rezoluţii ale
mulţimii { V m }
m ∈ Z
lui f 0 () t
a lui L 2 ( R)
.
Notând:
m
. De aceea această mulţime se numeşte analiză multirezoluţie
f
() t , ϕ () t s [ n]
0 m,n =
se poate stabili relaţia între secvenţele s m [ n]
şi [ n]
Dar:
s 0 pentru m > 0 .
Descompunerea funcţiei ϕ 1,n () t în baza ϕ 0,n
() t a lui V 0 este:
ϕ
() = ϕ () t , ϕ( t − l) ϕ( t − )
∑ ∞ 1,n
1,n
l
l=
−∞
m
{ } n ∈ Z
t (5)
∞
∫
−∞
1
−
−
() t , ϕ( t − l) = 2 2 1 *
ϕ( 2 u) ϕ ( u + 2n − l)
ϕ1 ,n
du
(6)
Cu notaţia:
ϕ
() t , ϕ( t − l) = h[ 2n l]
1,n
−
relaţia (5) devine:
ϕ
() t = h[ 2n − l] ϕ( t − )
∑ ∞ 1,n
l
l=
−∞
Deci:
Folosind relaţia (1) se obţine:
s
[ n] = f () t , ϕ () t = f () t , h[ 2n − l] ϕ( t − )
∑ ∞ 1 0 1,n 0
l
l=
−∞
21

Prin recurenţă se poate scrie:
s
*
[ n] = s [ p] h [ 2n − ]
∑ ∞ 1 0 p
p=
−∞
m
*
[ n] = s [ p] h [ 2n − p]
∑ ∞ m−1
p=
−∞
s (8)
Această relaţie a fost stabilită pentru întâia oară în [Mal.'89 1]
s
şi reprezintă una dintre formulele de bază pentru algoritmul Fast
Wavelet Transform (FWT). Transformarea descrisă de relaţia (8) este
realizată de sistemul din figura 1.
u
Folosind m astfel de sisteme se poate construi sistemul care
prelucrează secvenţa s 0 [ n]
pentru a obţine semnalul s m [ n]
, prezentat
în figura 2.
h * [ n]
2 [ ]
hh * n
. . .
2 h h * [ n]
2
s 0 [ n]
s 1 [ n]
[ n]
s 2 [ n]
s m−1
s m [ n]
a s 0 s0
.[ n].
Figura 2. Sistemul care calculează secvenţa s m [ n]
pornind de la secvenţa [ n]
În continuare se analizează calitatea aproximării de rezoluţie m a
semnalului () t . În acest scop se defineşte descompunerea ortogonală
f 0
a spaţiului Hilbert L 2 ( R)
.
Definiţia 2. Mulţimea spaţiilor Hilbert închise { m }
m Z
descompunere ortogonală a lui ( R)
W ∈
este o
L 2 dacă elementele W m au
proprietăţile:
i) m ≠ p ⇒ Wm
perpendicular pe Wp
U m = .
m∈Z
2
ii) W L ( R)
22

Pornind de la analiza multirezoluţie { Vm
}
m∈ Z
a lui L2 ( R)
considerând că W m este
complementul ortogonal al lui
ortogonală a lui L 2 ( R)
, { m }
m Z
următoare:
W ∈
V m în m 1
şi
V − , se obţine descompunerea
. Se poate demonstra şi propoziţia
Propoziţia 1. Există o funcţie ψ () t în W 0 astfel încât:
- mulţimea ψ ( t − n)
este o bază ortonormală a lui W 0 şi
{ } n ∈ Z
m
⎪
⎧
−
m
- mulţimea () 2 − ⎪
⎫
⎨ψ
m,n
t = 2 ψ( 2 t − n)
⎬ este o bază ortonormală
⎪⎩
⎪⎭ n∈Z
a lui W m pentru orice m întreg.
Funcţiile ψ m,n () t se numesc "wavelet". Funcţia generatoare ψ () t poate
fi exprimată cu ajutorul funcţiei generatoare ϕ () t . Dacă funcţia ϕ()
t
(din V 0 ) se dezvoltă în baza lui V − 1 în forma:
atunci:
() = c[ n] ϕ( 2t − n)
∑ ∞
n=
−∞
ϕ t (9)
n
() = ( −1) c[ 1 − n] ϕ( 2t + n)
∑ ∞
n=
−∞
ψ t (10)
Eroarea de aproximare a semnalului f 0 () t cu semnalul f 1 () t este:
Se constată că:
() t = f () t f () t
e1 0 − 1
() t 1
e ∈ (11)
1 W
De fapt semnalul e 1 () t este proiecţia ortogonală a semnalului f 0 () t pe
subspaţiul W 1 . Din acest motiv semnalul e m () t poate fi descompus în
baza de funcţii wavelet a lui W m în forma:
Cu notaţia:
e
m
() t e () t , ψ () t ψ () t
= ∑ ∞
n=
−∞
e1 () t , m,n () t = d m [ n]
se deduce relaţia între secvenţele d m [ n]
şi [ n]
t
V , () t = ϕ( t − )
1
m,n
m, n
Descompunând semnalul ψ 1,n () în baza lui 0
Dar:
sau:
ψ
(12)
ψ (13)
() = ψ () t , ϕ( t − l) ϕ( t − )
∑ ∞ 1,n
1,n
l
l=
−∞
ψ
s m pentru m > 0 .
{ 0,n
n } n Z
ϕ rezultă:
t (14)
∞ 1
−
1,n
∫
−
−∞
() t , ( t l) 2 2 −1
*
ϕ − = ψ( 2 t − n) ϕ ( t l)dt
∈
(15)
23

Folosind notaţia:
relaţia (14) devine:
şi:
În general:
∞ 1
− ⎛ 1
− ⎞
ψ () t , ϕ( t − l) =
⎜ ⎟
∫ 2 2 ψ 2 2 *
1 ,n
u ϕ ( u + 2n − l)
du (16)
⎜ ⎟
−∞ ⎝ ⎠
ψ
() t , ϕ( t − l) = g[ 2n l]
ψ (17)
1,n
−
() = g[ 2n − l] ϕ( t − )
∑ ∞ 1,n
l
l=
−∞
t (18)
*
[ n] = e () t , ψ () t = f () t , ψ () t = g [ 2n − l] s []
∑ ∞ 1 1 1,n 0 1,n
0 l
l=
−∞
d (19)
m
*
[ n] = s [] l g [ 2n − l]
∑ ∞ m−1
l=
−∞
d (20)
Relaţia (20) este implementată de sistemul din figura 3.
s m−1[ n]
g * [ n]
2
d m [ n]
În figura 4 este prezentat sistemul care pornind de la secvenţa [ n]
calculează secvenţele:
n n , d n ,...,d n
s m [ ] şi [ ] [ ] [ ]
d1 2 m− 1 .
Figura 3. Transformarea semnalului s m− 1[ n]
în semnalul [ n]
d m .
s 0
s [ n]
s 1 [ n]
s 2 [ n]
s
h * [ n]
2 h * m−1[ n]
0
[ n]
...
2 [ n]
u 1 [ n]
u 2 [ n]
u m−1
[ n]
[ n]
[ n]
[ n]
[ n]
h * 2
s m [ n]
g * 2
g * 2
g * 2
g * 2
d 1 [ n]
d 2 [ n]
d 3 [ n]
d m [ n]
Figura 4. Sistemul care transformã semnalul s 0 [ n]
în semnalele s m [ n]
, d k [ n] , k = 1, n
REMARCĂ Formula lui g [ n]
depinde de formula lui h [ n]
demonstra că:
g
1−n
[ n] = ( −1) h[ 1 − n]
. Se poate
(21)
24

S-a arătat deja că pornind de la descompunerea semnalului f 0 () t în
baza ortonormală a lui V 0 { ϕ ( t − n)
} n ∈ Z se obţine aproximarea de
rezoluţie m, f m () t şi eroarea de aproximare e m () t . Reciproc, funcţia
f 0 () t poate fi obţinută pornind de la funcţiile f m () t şi e m () t :
m
0 t
k=
1
() t = f m () t + ∑ ek
()
f (22)
Calculând produsul scalar al celor doi membri ai relaţiei (22) cu
ϕ t − k se obţine:
funcţiile ( )
sau:
∞
∞
0 k
l=−∞
p=−∞
[ k] = ∑ s1[] l ϕ1,l
() t , ϕ( t − k) + ∑ d1[] p ψ1,p
() t , ϕ( t − )
s (23)
s
∞
∞
0 k
l=−∞
p=−∞
[ k] = ∑ s1[] l h[ 2l − k] + ∑d1[ p] g[ 2p − ]
În mod recursiv se poate demonstra că:
∞
s m−1[ k] = ∑ s m [] l h[ 2l − k] + ∑ d m [ p] g[ 2p − k]
(24)
l=−∞
p=−∞
Folosind sistemul din figura 5 poate fi obţinută secvenţa s 0 [ n]
pornind de la secvenţele [ n] , d [ n] ,...,d [ n]
∞
s m m− 1 1 .
2 h[ − n]
s m−1[ n]
2 g[ − n]
n
.
.
.
d 1 [ n]
s m [ n]
d m [ n]
[ ]
d m−1
2 h[ − n]
2 g[ − n]
s m−2
[ n]
.
.
.
2 h[ − n]
2 g[ − n]
s 0 [ n]
Figura 5. Sistem care implementeazã transformarea inversã.
Sistemul din figura 4 calculează transformarea “wavelet” discretă
(F.W.T) a semnalului s 0 [ n]
iar sistemul din figura 5 calculează
transformarea “wavelet” discretă inversă (I.F.W.T).
3. O aplicaţie a F.W.T. la compresia de date
Sistemele de compresie care folosesc transformări ortogonale se
bazează pe decorelarea secvenţei de intrare (realizată de
25

transformarea ortogonală respectivă). Dacă secvenţei x[ n] , n 0, N 1
cu autocorelaţia R x [ n]
i se aplică o transformare ortogonală se
obţine secvenţa y [ n]
cu autocorelaţia [ n] , n = 0, M −1, cu R [ n] R [ n]
.
Energia secvenţei [ n]
R y
=
y <
y este concentrată în M eşantioane cu M < N . De
aceea pot fi transmise doar aceste eşantioane şi rezultă compresia.
Notând cu T operatorul transformării ortogonale şi cu P operatorul
de compresie se obţine sistemul pentru compresia secvenţei de durată
şi energie finită din figura 6.
x
−
x[ n]
T
y[ n]
P
ŷ[ n]
1
T − xˆ [ n]
Figura 6. Sistemul folosit pentru compresia de date bazat pe o transformare
ortogonală.
Pot fi scrise relaţiile:
y = Tx;
ŷ = Py;
xˆ = T
−1
ŷ
Având în vedere că FWT este o transformare ortogonală rezultă că
poate fi folosită pentru compresie. Rolul blocului P din schema de
mai sus este de a selecţiona doar acele eşantioane ale semnalului
y[n] care au valoarea superioară unui prag. Valoarea acestui prag se
alege în aşa fel încât eroarea de aproximare a semnalului y[n] prin
semnalul de la ieşirea blocului P să aibă o energie inferioară
valorii de 1% din energia semnalului x[n]. Semnalul de la ieşirea
blocului P reprezintă rezultatul compresiei. Acest semnal se
transmite sau se memorează. Ultimul bloc din schema din figura 6
realizează reconstrucţia semnalului comprimat. Eroarea medie
pătatică cu care acest semnal aproximează semnalul x[n] este mai
mică decât 1% din energia semnalului x[n]. Factorul de compresie
realizat poate fi calculat împărţind numărul eşantioanelor secvenţei
de intrare la dublul numărului eşantioanelor nenule de la ieşirea
blocului P. Trebuie considerat dublul numărului eşantioanelor nenule
de la ieşirea blocului P deoarece acestea nu apar în succesiune şi
deci este necesară atât codarea valorii lor cât şi codarea poziţiei
lor.
În [Dau.’88] şi [Mey.’92] sunt prezentate câteva exemple de
funcţii de scalare cu suport compact. Evident acestea generează
n g n vor
funcţii wavelet cu suport compact. De aceea semnalele h [ ] şi [ ]
fi de durată limitată. Pentru secvenţe [ n]
s 0 de durată limitată FWT
poate fi descrisă matricial. În continuare se prezintă pe baza unui
exemplu algoritmul de calcul al FWT. Secvenţa de intrare s 0 [ n]
este
descrisă de vectorul:
26

iar [ n]
S
0
⎡s
⎢
⎢
s
⎢.
= ⎢.
⎢
⎢.
⎢
⎢
s
⎣
h are durata 4. Primul pas al algoritmului de calcul al FWT
este:
0
0
0
[] 8
[] 7
⎤
[]
⎥ ⎥⎥⎥⎥⎥⎥ 1 ⎥
⎦
cu:
şi:
M 0
⎡ h
⎢
⎢
−
⎢
⎢
= ⎢
⎢
⎢
⎢
⎢ h
⎢
⎣−
Y = M
1 0X
0
X 0 = S 0
[] 0 h[] 1 h[] 2 h[]
3 0 0 0 0
h[] 3 h[] 2 − h[] 1 h[]
0 0 0 0 0
0 0 h[] 0 h[] 1 h[] 2 h[]
3 0 0
0 0 − h[] 3 h[] 2 − h[] 1 h[]
0 0 0
0 0 0 0 h[] 0 h[] 1 h[] 2 h[]
3
0 0 0 0 − h[] 3 h[] 2 − h[] 1 h[]
0
[] 2 h[]
3 0 0 0 0 h[]
0 h[]
1
h[]
1 h[]
0 0 0 0 0 − h[]
3 h 2
⎤
[] ⎥⎥⎥⎥⎥⎥⎥⎥⎥⎥ ⎦
Se obţine:
[] 4
[] 4
[] 3
[] 3
[] 2
[] 2
[] 1
⎡s1
⎤
⎢
⎢
d1
⎢s1
⎢
⎢d1
Y1
=
⎢s1
⎢
⎢d1
⎢ s
⎢
1
⎢ []⎥ ⎥⎥⎥⎥⎥⎥⎥⎥⎥⎥ ⎣d1
1 ⎦
Prin permutări rezultă:
1
1
Y
⎡s
⎢
⎢
s
⎢s
⎢
⎢ s
=
⎢d
⎢
⎢d
⎢d
⎢
⎢⎣
d
1
1
1
1
1
[] 4
[] 3
[] 2
[] 1
[] 4
[] 3
[] 2
1
1
1
⎤
[]⎥ 1
⎥⎥⎥⎥⎥⎥⎥⎥⎥⎥ ⎦
27

Elementele
vectorului
1
1
Y sunt secvenţele s 1 [ n]
şi [ n]
elementele acestor secvenţe se obţin vectorii X 1 1 şi X 1
2 cu:
2
[ s [] 4 s [] 3 s [] 2 s [] 1 ] ; X
T
[ d [] 4 d [] 3 d [] 2 d [] 1 ]
1
X T
1 = 1 1 1 1
1 = 1 1 1 1
d 1 . Separând
Fie M 1 matricea care reprezintă sfertul din stânga sus al matricei
M 0 . Cel de al doilea pas al algoritmului FWT este descris cu
relaţia:
Rezultatul este:
Prin permutări rezultă:
1
2 1X1
Y = M
Y
2
⎡s
⎢
⎢
d
=
⎢ s
⎢
⎣d
2
2
2
[] 2
[] 2
[] 1
2
⎤
[] 1
⎥⎥⎥⎥ ⎦
[ s [] 2 s [] 1 d [] 2 d [] 1 ]
1
Y T
2 = 2 2 2 2
Separând elementele secvenţelor s 2 [ n]
şi [ n]
2
X 2 cu:
d 2 se obţin vectorii X 1 2 şi
Folosind vectorii
2
[ s [] 2 s [] 1 ];
X
T
[ d [ 2] d [ 1
]
1 T
X 2 = 2 2
2 = 2 2
1
Y T
2 şi
2
X T
1 se obţine vectorul Y cu:
[ s [] 2 s [] 1 d [] 2 d [] 1 d [] 4 d [] 3 d [] 2 d [] 1 ]
Y T = 2 2 2 2 1 1 1 1
care reprezintă transformata FWT a vectorului S 0 . Algoritmul pentru
IFWT constă în aplicarea în ordine inversă a operaţiilor descrise
mai sus. Bineînţeles în locul matricelor M 0 , M1,...
se vor folosi
T T
matricele M , M ,...
0
4. Desfăşurarea lucrării
1
Obiectul acestei lucrări este un program scris în limbaj C
pentru calculul transformatelor FWT şi IFWT. Ca şi semnale de
prelucrat pot fi folosite semnale sinusoidale, dreptunghiulare sau
de tip “chirp”.
4.1. Să se determine transformata FWT a unui semnal sinusoidal având
256 de eşantioane.
4.2. Să se determine transformata IFWT pentru semnalul obţinut la
punctul anterior. Sunt aceste două operaţii inverse
4.3. Ce factor de compresie se poate obţine pentru semnalul de la
punctele anterioare
28

4.4. Care este valoarea maximă a factorului de compresie care se poate
obţine în cazul unui semnal dreptunghiular (prin alegerea
judicioasă a funcţiei wavelet mother)
4.5. Dar pentru un semnal de tip “chirp”
4.6. Se reprezintă grafic semnalele iniţiale de la punctele 4.3, 4.4
şi 4.5. Se reprezintă grafic semnalele obţinute după efectuarea
compresiei şi a IFWT pentru aceleaşi semnale iniţiale. Estimaţi
erorile comise.
5. Întrebări
5.1. Desenaţi, reunind figurile 4 şi 5 schema unui sistem de analiză
(FWT) şi reconstrucţie (IFWT) a unui semnal în timp discret.
5.2. Enunţaţi câteva aplicaţii ale compresiei de date.
5.3. Refaceţi exemplul de calcul al FWT, din paragraful 3, pentru o
secvenţă cu 16 eşantioane.
5.4. Completaţi exemplul de la punctul anterior cu calculul IFWT al
rezultatului obţinut.
5.5. Desenaţi ordinograma unui program de calcul al FWT.
6. Bibliografie
[Dau.’88] I. Daubechies, “Orthonormal bases of compactly supported
wavelets”, Communications on Pure and Applied Mathematics, XLI,
1988.
[Mal.’89] S. Mallat, “A Theory for multiresolution signal
decomposition. The wavelet representation”, IEEE Transactions on
PAMI, vol. 11, no.7, July 1989.
[Mey.’92] Y. Meyer, “Ondelettes et algorithmes concurents”, Hermann,
1992.
29

LUCRAREA NR 4
ÎMBUNĂTĂŢIREA RAPORTULUI SEMNAL/ZGOMOT PRIN UTILIZAREA
TRANSFORMĂRII “WAVELET” DISCRETĂ
1.Scopul lucrării.
Se utilizează o tehnică adaptivă de îmbunătăţire a raportului S/Zg numită
“de-noising”.
2. Metode de creştere a RSZ
Cea mai cunoscută metodă de creştere a RSZ este filtrarea liniară.
O altă modalitate de creştere a RSZ se bazează pe utilizarea filtrelor
adaptive. Dezavantajul acestei metode este că ea necesită un timp de
calcul şi un volum de memorie însemnate. În lucrarea de faţă se studiază
o nouă metodă de îmbunătăţire a RSZ, bazată pe utilizarea transformării
“wavelet” discretă, DWT. Această metodă, numită “de-noising” are trei
etape:
a) Fie semnalul u[n] perturbat aditiv de zgomotul n[n]:
x[n] = u[n] + n[n]
Se achiziţionează semnalul x[n]. Se urmăreşte estimarea semnalului u[n].
În acest scop se calculează transformata ”wavelet” discretă a semnalului
x[n]:
y[n] = DWT{x[n]} = DWT{u[n]} + DWT{n[n]}
b) Se filtrează semnalul y[n] cu un filtru descris de operatorul F,
obţinându-se semnalul:
z[n] = F{y[n]} = F{DWT{u[n]} + DWT{n[n]}}
c) Se calculează transformata “wavelet” inversă a semnalului z[n]:
v[n] = DWT -1 {z[n]} = DWT -1 {F{DWT{u[n]} + DWT{n[n]}}}
Semnalul v[n] reprezintă o estimare a semnalului u[n].
3. Metoda “de-noising”
Se face ipoteza că semnalul u[n] este un semnal aleator staţionar. În
acest caz se poate demonstra că semnalul DWT{u[n]} este un semnal aleator
staţionar care converge asimptotic spre un zgomot alb. Cu alte cuvinte
acest semnal este aproape un zgomot alb (el ar fi un zgomot alb dacă
numărul de iteraţii al transformării DWT ar fi infinit). În consecinţă
rolul transformării DWT în cadrul metodei de creştere a RSZ “de-noising”
este “albirea” semnalului perturbator n[n]. Această “albire” este utilă
deoarece se cunosc multe metode de filtrare a semnalelor perturbate
30

aditiv cu zgomot alb (în comparaţie cu metodele de filtrare a
semnalelor perturbate aditiv cu zgomot colorat).
Pentru filtrarea în domeniul transformării DWT se foloseşte
sistemul descris de relaţia intrare-ieşire:
[ ]
zn
{ [ ]} [ ]
( − ) [ ]
⎧
⎪sgn yn yn p,
yn ≥p
= ⎨
⎩⎪ 0
, yn [ ] < p
(1)
unde p este un prag. Este vorba despre un filtru neliniar. Dacă valoarea
pragului p se alege proporţională cu puterea zgomotului alb DWT{n[n]},
σ 2 , atunci filtrul descris de relaţia (1) devine un filtru neliniar
adaptiv. Se poate demonstra că există o valoare optimă a pragului p,
pentru fiecare semnal de intrare x[n], valoare care conduce la
maximizarea raportului semnal pe zgomot al semnalului v[n]. Această
valoare (de fapt factorul de proporţionalitate cu σ 2 ) este determinată în
lucrarea de faţă, prin încercări repetate. Se porneşte de la o valoare
iniţială a lui p relativ mică, se calculează raportul semnal pe zgomot al
lui v[n], se măreşte p, se calculează din nou raportul semnal pe zgomot
al lui v[n] şi se continuă în acest mod până când pentru prima oară
valoarea raportului semnal pe zgomot devine inferioară valorii din
iteraţia anterioară. Sunt consemnate ca şi valori finale ale algoritmului
valorile obţinute în penultima etapă.
4. Implementare
Această metodă de îmbunătăţire a RSZ a fost implementată cu ajutorul
unui program scris în C. Acesta are trei subrutine. Prima, numită
sign.exe, generează semnale de tipul u[n], n[n] şi x[n]. Semnalele de
tipul u[n] se generează la comanda G şi pot fi de tipul: sinusoidal (S),
dreptunghiular (D), modulat în frecvenţă (C), sinus cardinal (F), sau
Gaussian (G). Semnalele de tipul n[n] se generează la comanda Z şi pot fi
de tipul: zgomot uniform (U), zgomot alb (G), zgomot în impulsuri (I) şi
zgomot în salve de impulsuri (S). Semnalele de tipul x[n] se generează la
comanda (S). Trebuie specificat numele fişierului în care se face
salvarea (de exemplu: sins.dat). În continuare vizualizarea semnalului
x[n] obţinut astfel se poate face cu subrutina Graph.exe. Sintaxa pentru
comanda execuţiei acestei subrutine este Graph.exe nume.fişier (de
exemplu Graph.exe sins.dat). Creşterea RSZ a semnalului x[n] se
realizează cu subrutina Denoise4.exe. Sintaxa comenzii de execuţie a
acestei subrutine este Denoise4.exe nume.fişier (de exemplu Denoise4.exe
sins.dat).
Tipul undişoarei mamă folosite la calculul DWT se specifică cu N.
Pragul p se fixează ca şi răspuns la comanda ”Introduceţi dispersia
zgomotului”. Această subrutină produce două fişiere, primul făcând o
prezentare calitativă a procesului de creştere a RSZ (de exemplu fişierul
rez.dat) şi cel de-al doilea conţinând rezultatul estimării (de exemplu
dsins.dat). Cel de-al doilea fişier poate fi vizualizat cu ajutorul
subrutinei Graph.exe.
5. Desfăşurarea lucrării.
5.1. Se generează toate tipurile posibile de semnale x[n].
31

5.2 . Se reprezintă grafic fiecare semnal generat.
5.3. Se rulează subrutina Denoise4.exe pentru fiecare din semnalele
astfel obţinute. Valoarea pragului p va fi egală cu 4 × "amplitudinea
zgomotului".
5.4. Se reprezintă grafic rezultatele obţinute, specificându-se în
fiecare caz valoarea îmbunătăţirii RSZ obţinută.
5.5. Să se determine valoarea obţinută a lui N 0 (valoarea lui N pentru
care se obţine valoarea maximă a raportului semnal pe zgomot la
ieşire) pentru cazul:
u[n]→D ; x[n]→S
Amplit: 10 5
6. Întrebări.
6.1. Prin ce diferă metoda “de-noising” descrisă în această lucrare de
metoda de compresie cu undişoare descrisă într-o lucrare anterioară
6.2. Ce este specific din punct de vedere al întârzierii semnalului util
la metoda de creştere a RSZ descrisă în această lucrare
32

LUCRAREA NR 5
1.Scopul lucrării.
STUDIUL ALGORITMULUI LMS
Se experimentează un filtru numeric adaptiv bazat pe
utilizarea algoritmului LMS, urmărindu-se influenţa parametrilor
algoritmului asupra funcţionării filtrului.
2. Bazele filtrării adaptive
Modelul unui sistem adaptiv este prezentat în figura 1.
d[ n]
x[ n]
Filtru adaptiv
y[ n]
--
ε[ n]
Figura 1. Schema bloc a unui filtru adaptiv.
Semnalul de intrare x [ n]
este prelucrat în aşa fel încât
semnalul de ieşire y [ n]
să semene cât mai mult cu semnalul model
(de referinţă) d [ n]
. Deosebirea dintre semnalele d [ n]
şi y [ n]
este
apreciată pe baza erorii medii pătratice E ε
2 [ n]
. Cu E s-a notat
{ }
operatorul de mediere statistică. Minimizarea acestei erori este
realizată prin modificarea coeficienţilor filtrului utilizat. Un
exemplu clasic de utilizare a filtrării adaptive este în
“albirea” semnalelor aleatoare. În acest caz semnalul [ n]
semnal aleator staţionar iar semnalul de referinţă, d [ n]
x este un
, este un
zgomot alb. Pe durata procesului de adaptare coeficienţii
filtrului numeric se modifică după achiziţia fiecărui nou
{ }
eşantion al semnalului x [ n]
în aşa fel încât E 2 [ n]
ε să scadă tot
mai mult spre o valoare minimă. Procesul de adaptare se încheie
în momentul în care se atinge această valoare minimă. După acest
moment, indiferent care ar fi noile valori ale eşantioanelor
{ }
semnalului x [ n]
, valorile lui E 2 [ n]
ε oscilează în jurul acestei
valori minime. Un alt exemplu de aplicaţie a filtrelor adaptive
este acela când răspunsul dorit este cunoscut ca fiind răspunsul
unui sistem care trebuie identificat la o excitaţie cunoscută.
33

Identificarea sistemului poate fi realizată prin determinarea,
la sfârşitul perioadei de adaptare, a coeficienţilor filtrului
adaptat la a cărui intrare este indusă aceeaşi excitaţie ca şi la
intrarea sistemului necunoscut şi al cărui răspuns dorit este
răspunsul sistemului necunoscut.
Pentru a descrie funcţionarea şi proprietăţile filtrelor
adaptive se va presupune pentru început că toate semnalele din
figura 1 sunt staţionare, că au funcţii de corelaţie finite şi că
filtrul numeric este un sistem liniar şi invariant în timp, de
tipul cu răspuns finit la impuls. În continuare se vor utiliza
intercorelaţiile semnalelor x [ n]
şi d [ n]
, [ n]
d [ n]
şi y [ n]
, r dy [ n]
şi autocorelaţiile semnalelor x [ n]
, r xx [ n]
, [ n]
r yy [ n]
şi d [ n]
, [ n]
, definite după cum urmează:
r
r dd
r dx şi ale semnalelor
[ n] = E{ d[ k] x[ k + n]
};
rdy
[ n] = E{ d[ k] y[ k + n]
};
rxx
[ n] = E x[ k] x[ k n]
r [ n] = E{ y[ k] y[ k + n]
};
r [ n] = E{ d[ k] d[ k n]
}
{ };
dx +
yy dd
+
y ,
O proprietate a intercorelaţiei semnalelor aleatoare, utilă în
continuare, este:
r
αβ
[ n] r [ − n]
= βα
Deci autocorelaţia este funcţie pară.
Coeficienţii filtrului numeric (eşantioanele răspunsului său la
w n .Valoarea erorii medii pătratice este:
impuls) se notează cu [ ]
2 2
2
{ } = E{ d [ k]
} + E{ y [ k]
} − 2E d[ k] y[ k]
2
{ [ k]
} = E ( d[ k] − y[ k]
)
{ }
E ε (1)
deoarece operatorul de mediere statistică este liniar. Relaţia
(1) se mai scrie:
E
2
{ ε [ k]
} = r [] 0 + r [] 0 − 2r [] 0
sau pe baza transformării z inverse:
dd
yy
dy
E
2 ⎛ 1 ⎞
{ ε [ k]
} = ⎜ ⎟∫
R dd ( z) + R yy ( z) − 2R dy ( z)
⎜ ⎟
⎝ 2πj
⎠
( )
dz
z
(2)
Considerând ca şi contur de integrare cercul unitate,
transformatele z devin transformate Fourier în timp discret,
R dd ( Ω) , R yy ( Ω)
şi R dy ( Ω)
. Pentru aceste funcţii se pot folosi
relaţii de tip Wiener-Hincin, putându-se scrie:
adică:
R
yy
2
( Ω) = W( Ω) R ( Ω)
xx
34

2
( z) W( z) z 1R
xx ( z) z 1
R yy z 1
=
=
= = (3)
Dar:
2
*
( z) z 1
W( z) W ( z) z 1
W
= =
=
şi:
De aceea relaţia (3) devine:
Relaţia:
−1
( z) z 1
W( z )
z 1
*
W
= =
=
−1
( z) z 1
W( z) W( z )
z 1R
xx ( z) z 1
R yy
=
=
se mai poate scrie şi sub forma:
= = (4)
R
dy
( Ω) = W( Ω) R ( Ω)
dx
( z) z 1
W( z) z 1R
dx ( z) z 1
R dy
=
=
= = (5)
Substituind relaţiile (4) şi (5) în relaţia (2) se obţine:
[ ] W( z)
2
⎛ 1 ⎞ −1
{ ε [ k]
} = rdd
[] 0 + ⎜ ⎟ ∫ W( z ) R xx ( z) − 2R dx ( z)
dz
E ⎜ ⎟
(6)
⎝ 2πj⎠
z
z = 1
relaţie care exprimă eroarea medie pătratică pe baza expresiei
funcţiei de transfer a filtrului numeric cu funcţia de transfer
W ( z)
. Fiind vorba despre un filtru cu răspuns finit la impuls se
poate scrie:
= L ∑ − 1
i=
0
( z) w[]
i
−i
W z
(7)
{ }
{ E{ 2 } [] [] [ −1]
}
Conform relaţiei (6) se constată că E 2 [ k]
spaţiul L + 1 dimensional ε [ k]
, w 0 , w 1 ,..., w L
ε este o suprafaţă în
. Prin procesul de
adaptare se determină acei coeficienţi [] i ,i = 0, L −1
care
{ }
minimizează valoarea E ε
2 [ k]
w min
. Deci prin adaptare se realizează o
deplasare pe suprafaţa amintită mai sus, din punctul iniţial de
35

coordonate
2
[ k]
coordonate E
2
[ k]
, w
{ E{ },
w 0 [] 0 , w 0 [] 1 ,..., w 0 [ L −1]
}
{ { } [] 0 , w [] 1 ,..., w [ L −1]
}
ε în punctul final de
ε min min min .
În prelucrarea adaptivă a semnalelor această sarcină (de
adaptare) este un proces continuu de modificare a coeficienţilor
filtrului (deci a lui W ( z)
) în situaţia în care celelalte
cantităţi din relaţia (6) sunt lent variabile. Substituind (7) în
(6) şi efectuând calculele se obţine:
L−1
L−1
L−1
2
{ ε [ k]
} = rdd
[ 0] + ∑∑w[] i w[ m] rxx
[ i − m] − 2∑w[] i rxd
[] i
E (8)
i=
0 m=
0
Având în vedere că în această relaţie coeficienţii filtrului
adaptiv apar doar la puterile 1 şi 2 rezultă că suprafaţa de
eroare este una pătratică. Notând cu R matricea de autocorelaţie
a semnalului de intrare:
⎡ rxx
⎢
⎢
rxx
⎢ .
R =
⎢ .
⎢
⎢ .
⎢⎣
rxx
şi folosind notaţiile:
i=
0
[] 0 rxx
[] 1 ... rxx
[ L −1]
[] 1 r [ 0] ... r [ L − 2]
xx
.
.
.
[ ] [ ] [ ] ⎥ ⎥⎥⎥⎥⎥⎥ L −1
rxx
L − 2 ... rxx
0 ⎦
.
.
.
xx
.
.
.
⎤
⎡ rxd
⎢
⎢
rxd
⎢ .
P =
⎢ .
⎢
⎢ .
⎢⎣
rxd
[] 0
[] 1
⎤
⎥
⎥
⎥
⎥
⎥
⎥
⎥⎦
[ L −1]
;
W =
⎡
[]
[]
w 0
⎤
⎢
⎢
w 1
⎢ .
⎢ .
⎢
⎢ .
⎢ [ ]⎥ ⎥⎥⎥⎥⎥⎥ ⎣w L −1
⎦
se obţine forma matricială a relaţiei (8):
2
T
T
{ [ k]
} = r [] 0 + W RW − 2P W
E ε (9)
dd
Fiind vorba despre o suprafaţă pătratică pozitivă (eroarea medie
pătratică nu poate fi negativă), e clar că ea are un minim.
Pentru găsirea acestui punct este utilă cunoaşterea gradientului
suprafeţei, în fiecare punct al acesteia. Vectorul gradient al
suprafeţei de eroare se notează cu ∇ şi se defineşte cu relaţia:
36

⎡ ∂
⎢
⎢
⎢ ∂
⎢
⎢
∇ = ⎢
⎢
⎢
⎢
⎢∂
⎢
⎢⎣
2
( E( ε [ k]
)
∂w[]
0
2
( E( ε [ k ]
)
∂w[]
1
.
.
.
⎤
2
( E( ε [ k]
)
∂w[ L −1] ⎥ ⎥⎥⎥⎥⎥⎥⎥⎥⎥⎥⎥ ⎦
Dar:
( E )
2
{ ε [ k]
}
w[]
l
∂
L
= ∑ − 1
2w l xx
∂
m=
0
m≠l
[] r [ 0] + 2 w[ m] r [ l − m] − 2r [] l
xx
xd
Ţinând seama de paritatea funcţiei de autocorelaţie, pe baza
ultimelor două relaţii rezultă că vectorul gradient poate fi
exprimat în forma:
⎡
⎢
⎢
⎢
⎢
⎢
∇ = 2⎢
⎢
⎢
⎢
⎢
⎢
⎣
L−1
∑
m=
0
L−1
∑
∑
m=
0
L−1
m=
0
[ ] [ m]
[ ] [ m −1]
w m r
[ ] [ m − ( L −1)
]
w m r
w m r
xx
.
.
.
xx
xx
⎤
⎥
⎥ ⎡ rxd
[] 0 ⎤
⎥ ⎢
⎥ ⎢
rxd
[] 1
⎥ ⎢ .
⎥ − 2
⎢
⎥
.
⎢
⎥ ⎢ .
⎥ ⎢ [ ]⎥ ⎥⎥⎥⎥⎥⎥ ⎣rxd
L −1
⎥
⎦
⎥
⎦
sau ţinând seama de expresiile matricelor definite anterior:
∇ = 2RW
− 2P
Minimul de pe suprafaţa de eroare este atins în punctul în care
gradientul se anulează. Se poate deci scrie:
2RWmin = 2P
Admiţând că matricea de autocorelaţie a semnalului de intrare
este inversabilă se poate obţine matricea coeficienţilor optimi
ai filtrului adaptiv:
W
min
−1
= R P
(10)
37

Filtrul cu aceşti coeficienţi este numit filtru Wiener.
Valoarea minimă a erorii medii pătratice este pe baza relaţiei
(9):
E
2
T
T
{ ε [ k]
} = rdd
[] 0 + Wmin
RWmin
− 2P Wmin
min
sau pe baza relaţiei (10):
E
2
−1
T
T
{ ε [ k]
} = rdd
[] 0 + ( R P) RWmin
− 2P Wmin
min
(11)
adică:
E
2
T −1
T
T
{ ε [ k]
} = rdd
[] 0 + P ( R ) RWmin
− 2P Wmin
min
(12)
Ţinând seama de simetria matricei de autocorelaţie, se poate
demonstra că:
şi deci:
−1
T −1
( R ) = R
( R
− 1 T 1
) R = R
− R = I
unde cu I s-a notat matricea unitate. De aceea relaţia (11)
devine:
E
min
2
T
{ [ k]
} = rdd
[] 0 − P Wmin
ε (13)
Această relaţie exprimă legătura dintre valoarea minimă a erorii
medii pătratice şi vectorul coeficienţilor optimi ai filtrului
adaptiv.
Conform relaţiei (10), pentru determinarea coeficienţilor
filtrului optim este necesară cunoaşterea matricelor R şi P (care
depind doar de semnalele x [ n]
şi d [ n]
). În practică matricea R nu
este de obicei cunoscută. De aceea de obicei această matrice se
estimează. Pornind de la valoarea estimată a lui R şi de la o
valoare iniţială a vectorului W se calculează o primă estimaţie a
gradientului. Pe baza noului eşantion achiziţionat se face o nouă
estimare a lui R. Pe baza relaţiei (10) se face o nouă estimare a
lui W şi se calculează gradientul. În cazul în care noua valoare
este mai apropiată de zero se consideră că estimarea lui W este
în sensul corect şi se continuă în acelaşi fel. În caz contrar se
estimează R în sens contrar şi se refac operaţiile enunţate mai
sus.
38

În acest mod se derulează un algoritm de căutare a vectorului
W .
min
3. Metode de căutare a minimului erorii medii pătratice
Metodele de căutare ale minimului suprafeţei de eroare se
bazează în general pe estimări locale ale gradientului erorii
x n .
făcute după achiziţia fiecărui nou eşantion din secvenţa [ ]
Înmulţind la stânga cei doi membrii ai relaţiei (10) cu
obţine:
1 − 1
R
2
se
1 −1 − 1
R
2
sau pe baza relaţiei (11):
∇ = W − R P
(14)
1 −1
W min = W − R ∇
(15)
2
Relaţia (15) conduce la metoda de căutare a minimului de tip
Newton.
Notând cu W [ k]
vectorul coeficienţilor filtrului la momentul
k se obţine:
unde [ k]
−
[ + 1] = W[ k] − µ R
1 ∇[ k]
W k
(16)
∇ reprezintă valoarea vectorului gradient la momentul k
iar µ este un scalar care fixează viteza de convergenţă a
vectorului W [ k]
spre vectorul min
W . Forma vectorului [ k]
[] 0
[] 1
⎡ w k ⎤
⎢
⎢
w k
[ ]
⎢ .
W k =
⎢ .
⎢
⎢ .
⎢ [ ]⎥ ⎥⎥⎥⎥⎥⎥ ⎣w
k L −1
⎦
La pasul k al algoritmului se calculează:
[ k] = 2RW[ k] − 2P
Substituind (17) în (16) se obţine:
W este:
∇ (17)
−1
[ + 1] = W[ k] − µ R ( 2RW[ k]
− 2P)
W k
39

sau ţinând seama de relaţia (11) ultima relaţie se mai scrie:
adică:
Deci:
[ k + 1] = ( 1 − 2µ
) W[ k] + 2 Wmin
W µ
k+
1
[ + 1] = ( 1 − 2µ
) W[] 0 + 2µ
Wmin
∑ ( 1 − 2µ
)
W k
k
[ ] Wmin
k
[ k] ( 1 − 2µ
) W[] 0 + 1 − ( 1 − 2 )
W = µ
(18)
Se constată că dacă este îndeplinită condiţia:
atunci şirul [ k]
0 < 1 − 2µ
< 1
W converge la limita W min . Considerând că
matricea de autocorelaţie este unitară relaţia (16) se poate
scrie în forma:
Făcând notaţia:
W
[ k 1] = W[ k] − µ ∇[ k]
k
l=
0
+ (19)
[ ]
X k
=
⎡
⎢
⎢
⎢
⎢
⎢
⎢
⎢⎣
x
x
x[ k]
[ k −1]
.
.
.
⎤
[ k − ( L −1)
]⎥ ⎥⎥⎥⎥⎥⎥ ⎦
ieşirea filtrului adaptiv poate fi exprimată şi matricial:
y
T
[ k] W [ k] X[ k]
= (20)
În continuare se estimează eroarea medie pătratică prin valoarea
sa instantanee:
E
2 2
{ ε [ k]
} ≅ ε [ k]
Cu această aproximare gradientul la momentul k devine:
l
40

[ k]
∇
≅
⎡
⎢
⎢
⎢
⎢
⎢
⎢
⎢
⎢
⎢
⎢
⎢.
⎢
⎢.
⎢.
⎢
⎢
⎢
⎣
∂
2 2
{ ε [ k]
}
2
{ w k [] 0 }
2 2
{ ε [ k]
}
2
{ w [] 1 }
∂
∂
∂
∂
2 2
∂ { ε [ k]
}
{ w [ L −1]
}
k
k
2
⎤
⎥
⎥
⎥
⎥
⎥
⎥
⎥
⎥
⎥
⎥
⎥
⎥
⎥
⎥
⎥
⎥
⎥
⎦
⎡
⎢
⎢
⎢
⎢
⎢
= 2⎢
⎢
⎢
⎢
⎢
⎢
⎢ε
⎢⎣
∂
[ ]
{ ε[ k]
}
ε k
∂{ w k [] 0 }
∂
[ ]
{ ε[ k]
}
ε k
∂{ w [] 1 }
[ k]
.
.
.
k
{ ε[ k]
}
[ L −1]
⎤
∂
∂{ w }⎥ ⎥⎥⎥⎥⎥⎥⎥⎥⎥⎥⎥⎥ k ⎦
(21)
Dar conform definiţiei erorii:
De aceea:
∂{ ε[ ]}
{ w [] l }
şi relaţia (21) devine:
∂
ε
{ y[ k]
}
w [] l
k ∂
(20)
k
∇
= −
∂
k
[ k] ≅ −2ε[ k]
[ k] = d[ k] − y[ k]
⎡
⎢
⎢
⎢
⎢
⎢
⎢
⎢
⎢
⎢
⎢
⎢
⎣∂
= − x
∂{ y[ k]
}
{ w k [] 0 }
∂{ y[ k]
}
{ w [] 1 }
∂
∂
.
.
.
∂{ y[ k]
}
{ w [ L −1]
}
k
k
[ k − l] ; l = 0, L −1
⎤
⎥
⎥
⎥
⎥
⎥
⎥
⎥
⎥
⎥
⎥
⎥
⎦
= −2ε
[ k] X[ k]
Înlocuind această estimare a gradientului în relaţia (20),
aceasta devine:
[ k 1] = W[ k] + [ k] X[ k]
W + µε
(22)
Această relaţie descrie algoritmul de căutare a coeficienţilor
optimi ai filtrului adaptiv de tip LMS.
Convergenţa acestui algoritm este asigurată pentru:
41

2µ
0 <
Lλ
max
< 1
unde λ max reprezintă valoarea maximă a valorilor proprii ale
matricei de autocorelaţie a semnalului de intrare, R.
4. Desfăşurarea lucrării
Obiectul acestei lucrări este un program scris în limbajul C
pentru simularea unui filtru adaptiv LMS. Semnalul de intrare
este un semnal sinusoidal perturbat aditiv de zgomot alb.
Semnalul de referinţă este tot sinusoidal.
4.1. Să se determine histograma zgomotului alb şi să se
reprezinte grafic. Care este valoarea medie a acestui semnal
aleator Dar dispersia sa
Componenta deterministă a semnalului de intrare poate fi un
semnal sinusoidal pur sau un semnal de tip “chirp”. Semnalul
sinusoidal este generat în fişierul XD. Parametrii săi sunt
amplitudinea A şi frecvenţa F. Semnalul “chirp” este generat în
fişierul SMF. În cele două fişiere componenta deterministă este
însumată cu zgomotul alb generat anterior. Ceilalţi parametrii ai
algoritmului sunt: I (mărime proporţională cu µ ), W (vectorul
iniţial al coeficienţilor filtrului adaptiv), E (valoarea maximă
admisibilă a erorii medii pătratice) şi L (numărul coeficienţilor
filtrului adaptiv).
4.2. Să se determine îmbunătăţirea raportului semnal pe zgomot
realizată de filtrul adaptiv pentru L = 10 , I = 0, 1, dacă
componenta deterministă a semnalului de intrare este pur
sinusoidală cu A = 1 şi F = 10000 .
4.3. Să se reprezinte în acest caz variaţia erorii medii
pătratice.
4.4. Să se reprezinte grafic caracteristica de modul a
răspunsului în frecvenţă al filtrului obţinut la punctul 4.3,
W Ω .
min
( )
4.5. Să se repete punctele 4.2., 4.3., şi 4.4 pentru un semnal de
intrare cu componentă deterministă de tip “chirp” cu F = 100 .
4.6. Să se determine dependenţa vitezei de învăţare a
algoritmului LMS de parametrul I, pentru un semnal de intrare
cu componenta deterministă de tip “chirp”, pentru L = 5.
4.7. Să se determine în condiţiile de la punctul 4.6. dependenţa
vitezei de învăţare a algoritmului LMS de parametrul A.
42

4.8. Să se reprezinte grafic diferenţele de la punctele 4.6 şi
4.7.
5. Întrebări
5.1. Deduceţi relaţia (8) pe baza relaţiei (7).
5.2. Demonstraţi că inversa matricei de autocorelaţie a
semnalului de intrare este simetrică.
5.3. Demonstraţi relaţia (18) pornind de la relaţia (16)
efectuând calculele în detaliu.
5.4. Demonstraţi că algoritmul LMS este convergent în ipotezele
specificate.
5.5. Desenaţi ordinograma unui program de implementare a
algoritmului LMS.
6. Bibliografie
J.S. Lim, A.V. Oppenheim, “Advanced Topics in Signal Processing”,
Prentice Hall, New Jersey, 1988.
S. T. Alexander, “Adaptive Signal Processing. Theory and
Applications”, Springer Verlag, New York, 1988.
T. Bellanger, “Traitement numerique du signal. Theorie et
pratique”, Masson, 1990.
B.Widrow, S.D. Stearns, “Adaptive Signal Processing”, Prentice-
Hall, New-Jersey, 1985.
43

LUCRAREA NR 6
MĂSURAREA FRECVENŢEI INSTANTANEE A SEMNALELOR
MODULATE ÎN FRECVENŢĂ CU PURTĂTOR SINUSOIDAL
1.Scopul lucrării.
Se studiază un sistem de achiziţii de date de tipul ADA
3100, utilizat în scopul realizării unui sistem numeric de
măsurare a frecvenţei instantanee a semnalelor modulate în
frecvenţă cu purtător sinusoidal.
2.Metode de măsurare a frecvenţei instantanee
Considerând semnalul () t
asociat acestuia x a
() t
x , se defineşte semnalul analitic
, cu formula:
x a t = x t + jH x t
() () { ()}
unde cu H { x()
t } s-a notat transformata Hilbert a semnalului
x () t . Această transformare este definită astfel:
H
{ x()
t } = x( t)
⎧1
⎛1⎞⎫
∗ ⎨ VP⎜
⎟⎬
⎩π
⎝ t ⎠⎭
Cel de al doilea termen al produsului de convoluţie din
membrul drept al relaţiei de mai sus reprezintă răspunsul la
impuls al unui transformator Hilbert. Răspunsul în frecvenţă
al acestui sistem este:
H
( ω) = −jsgn( ω)
Legătura dintre transformatele Fourier ale semnalelor () t
H { x()
t } este:
F
{ H{ x()
t
} = −jsgn( ω) F{ x( t)
}
x şi
De aceea legătura dintre transformatele Fourier ale
semnalelor x () t şi x a () t este:
F
{ x () t }
a
⎧2F
= ⎨
⎩0,
{ x()
t },
ω ≥ 0
ω < 0
44

Se numeşte anvelopa semnalului x () t , funcţia x a
() t .
Se numeşte fază instantanee a semnalului () t
arg{ x a
() t }.
x funcţia
Se numeşte frecvenţă instantanee a semnalului x () t funcţia:
⎛ 1 ⎞ d
f i
() t = ⎜ ⎟ { arg( x a
() t )}
(1)
⎝ 2π
⎠ dt
Eşantionând cu pas unitar semnalul analitic asociat
semnalului x () t se obţine secvenţa complexă x a
[ n]
. Folosind
notaţia:
ϕ
[ n] = arg{ x [ n]
}
se poate scrie formula în timp discret corespunzătoare
relaţiei (1):
f ic
[ n] [ ϕ[ n + 1] − ϕ[ n
]
a
⎛ 1 ⎞
= ⎜ ⎟
(2)
⎝ 4π
⎠
Pentru stabilirea acestei relaţii s-a aproximat derivata din
relaţia (1) cu o diferenţă finită centrată. De aceea
estimatorul frecvenţei instantanee din relaţia (2) se
numeşte estimator cu diferenţă centrată. Dacă s-ar fi
utilizat o diferenţă finită înainte:
sau una înapoi:
∆
f
{ ϕ[ n]
} = ϕ[ n + 1] − ϕ[ n]
{ ϕ[ n]
} = ϕ[ n] − ϕ[ n −1]
∆ b
s-ar fi obţinut estimatorii frecvenţei instantanee cu
n
f ib n :
diferenţă înainte f if [ ] respectiv înapoi [ ]
f if
⎛ 1 ⎞
= (3.1)
⎝ 2π
⎠
[ n] ⎜ ⎟[ ϕ[ n + 1] − ϕ[ n
]
⎛ 1 ⎞
f ib
[ n] = ⎜ ⎟[ ϕ[ n] − ϕ[ n −1
]
(3.2)
⎝ 2π
⎠
Se constatã cu uşurinţã cã:
f
ic
[ n]
[ n] + f [ n]
f
if ib
= (4)
2
Relaţiile (2), (3) şi (4) reprezintã estimatori ai
frecvenţei instantanee introduşi pe baza definiţiei.
45

Metoda de măsurare a frecvenţei instantanee descrisă
mai sus necesită eşantionarea semnalului x () t , obţinându-se
secvenţa x [ n]
, urmată de calculul transformatei Hilbert în
timp discret şi obţinerea argumentului semnalului analitic
asociat lui x [ n]
, ϕ [ n]
urmată de utilizarea uneia dintre
formulele prezentate mai sus.
Această metodă de estimare a frecvenţei instantanee
necesită, pentru o precizie satisfăcătoare un raport semnal
pe zgomot al lui x () t mare, dispersia estimării realizate
este mare dar volumul de calcul necesar este mic [Boa.,
Arn.’90]. Pentru scăderea dispersiei estimatorului acesta
poate fi filtrat numeric. Se obţine un nou estimator,
netezit, pentru frecvenţa instantanee. Un exemplu este
estimatorul lui Kay numit şi estimator cu diferenţă de fază
ponderată:
⎛ 1
N
[ ] ∑ − 2
⎞
f iK n = ⎜ ⎟ w[ n − k] ( ϕ[ k + 1] − ϕ[ k]
)
(5)
⎝ 2π
⎠ k=
0
unde:
⎛ 3 ⎞
⎧ ⎡ ⎛ N ⎞⎤
⎜ ⎟N
⎪ ⎢n
− ⎜ −1⎟⎥
⎪
[ ]
⎝ 2 ⎠
⎨ − ⎢ ⎝ 2
w n = 1
⎠⎥
2
N −1
⎪ ⎢ N ⎥
⎪ ⎢ ⎥
⎩ ⎣ 2 ⎦
Valoarea N trebuie aleasă în concordanţă cu viteza de
variaţie a frecvenţei instantanee a semnalului x () t .
Pentru ca estimările realizate pe baza acestei metode să
aibă o dispersie acceptabilă e necesar ca semnalul x () t să
aibă un raport semnal pe zgomot mare. Volumul de calcul
cerut pentru aplicarea acestei metode încă este acceptabil
(nu este prea mare). O îmbunătăţire mai mare a
performanţelor metodei de estimare a frecvenţei instantanee
bazată pe definiţie, poate fi obţinută dacă estimatorul
este filtrat adaptiv.
Se consideră că între două treceri consecutive prin zero ale
semnalului x () t se obţine un număr întreg de eşantioane ale
acestui semnal, K, indiferent de frecvenţa sa instantanee.
Este deci vorba despre o eşantionare adaptivă. Pe baza
acestor eşantioane, folosind formula (3.1) se obţin
estimările f if [ k] , k = 0, K −1
. Media aritmetică a acestor
estimări este:
m
1
K 1
= ( ϕ[ k + 1] − ϕ[ k]
)
( 2πK)
∑ −
=
k
0
=
1
2
⎫
⎪
⎪
⎬
⎪
⎪
⎭
( ϕ[ K] − ϕ[ 0]
)
( 2πK)
46

Ţinând seama de faptul că diferenţa de fază între două
momente succesive de trecere prin zero ale semnalului x()
t
este π şi că momentele corespunzătoare trecerilor prin zero
sunt 0 şi K, se constată că:
1
m = (6)
2K
Dar numărul 2K este proporţional cu perioada instantanee a
semnalului x () t .
De aceea se poate afirma că estimarea frecvenţei
instantanee, pe baza trecerilor prin zero, ale semnalului
x () t este un estimator în timp discret ((6)) obţinut prin
filtrarea adaptivă a estimatorului din relaţia (3). Filtrul
adaptiv folosit are răspunsul la impuls:
w tpz
[ k]
⎧ 1
⎪ ,
= ⎨K
⎪⎩ 0,
0 ≤ k ≤ K
in rest
Este vorba despre un filtru adaptiv, deoarece durata
răspunsului la impuls, specificat mai sus, se modifică în
timp, K luând valori diferite de la perioadă la perioadă a
semnalului x () t .
Pentru o micşorare suplimentară a dispersiei estimărilor
folosind estimatorul definit de relaţia (6), în locul
valorii K se poate utiliza o valoare K med , obţinută prin
medierea aritmetică a valorilor lui K obţinute pentru câteva
perioade succesive. Aceasta este metoda de estimare a
frecvenţei instantanee propusă în lucrarea de faţă.
3.O implementare a metodei de măsurare propusă
Aparatul de măsurare descris în continuare se numeşte
analizor în domeniul modulaţiei (iar metoda de estimare
propusă, măsurare continuă, [Wec.’89]).
Schema bloc a aparatului de măsurare propus este prezentată
în figura 1.
x()
t
Bloc de intrare
8
Sistem de
achizi•ii
de date
Calculator PC
Figura 1. Schema bloc a unui sistem de analizã în domeniul modulaţiei
realizat cu un calculator.
47

Sistemul de achiziţii de date este descris în [Ada.’91].
Rolul sistemului de intrare este de a transforma semnalul
x () t într-un semnal logic ale cărui fronturi marchează
trecerile prin zero ale lui x () t . Rolul sistemului de
achiziţii de date este de a mãsura duratele unor “segmente”
ale semnalului logic amintit mai sus şi de a încãrca aceste
valori în memoria calculatorului. Toate operaţiile pe care
le execută aparatul sunt controlate de un soft specializat.
Pe baza acestuia sunt iniţializate blocul de intrare şi
sistemul de achiziţii de date, are loc un dialog al
calculatorului cu aceste subsisteme sunt realizate calculele
de estimare şi este afişat rezultatul.
Sistemul de achiziţii de date este compus dintr-un canal de
intrare a minimum opt semnale analogice, din două canale de
ieşire analogică, dintr-un canal de intrare numeric cu opt
linii de date, dintr-un generator de tact programabil, bazat
pe utilizarea unui oscilator cu cuarţ, cu frecvenţa de 5 MHz
şi dintr-un bloc de numărare-temporizare programabil.
Sistemul de achiziţii de date se poate cupla direct pe
magistrala de date şi pe magistrala de adrese ale
calculatorului. Canalul de intrări analogice este compus
dintr-un multiplexor cu 8 intrări, dintr-un amplificator cu
câştig programabil, dintr-un convertor analog-numeric pe 12
biţi, şi dintr-o memorie FIFO. Canalele de ieşire analogică
leagă magistrala de date a calculatorului prin intermediul a
două convertoare numeric-analogice pe 12 biţi pe liniile de
ieşire analogică AOUT1 şi AOUT2. Cel mai important bloc al
sistemului de achiziţii de date din punct de vedere al
analizorului în domeniul modulaţiei este subsistemul de
numărare-temporizare. Acesta este compus din două
numărătoare programabile TC1 şi TC2 de tipul 8254, fiecare
alcătuit din trei numărătoare pe 16 biţi cu frecvenţa maximă
de tact de 8 MHz. Utilizând cuvinte de comandă potrivite,
numărătoarele din structura blocurilor TC1 şi TC2 pot fi
programate în binar sau în cod complementar faţă de 2. O
prezentare detaliată a numărătorului programabil 82C54 este
făcută în [Nec.’81]. Blocul de intrare este alcătuit dintrun
formator de semnal logic, dintr-un circuit logic
combinaţional şi dintr-un formator de impulsuri de
întrerupere (a activităţii microprocesorului
calculatorului). Formatorul de semnal logic generează pe
baza semnalului x () t un semnal TTL a cărui durată este egală
cu perioada semnalului de analizat. “Perioada” acestui
semnal logic este egală cu suma a două perioade consecutive
ale semnalului de analizat. Funcţionarea formatorului de
semnal logic poate fi înţeleasă pe baza formelor de undă din
figura 2.
48

x()
t
t 0
t 1
t 2
t 3
t
u 1
() t
() t
T
T
u 2
()
u 3 t
u 4 () t
u 5 () t
Figura 2. Formele de undă care descriu funcţionarea formatorului de
impulsuri.
Se constată faptul că durata semnalului () t
u 5 este egală cu
perioada instantanee a semnalului x () t .
Circuitul combinaţional permite calculatorului să facă
programarea blocului de intrare folosind liniile de date ale
sistemului de achiziţii de date. Rolul circuitului de
întreruperi este de a genera semnalul de întreruperi, din 4
în 4 perioade instantanee ale semnalului x () t . Intervalul de
timp între două cereri de întrerupere consecutive este
măsurat prin contorizare pe durata sa în blocul de număraretemporizare
din structura sistemului de achiziţii de date a
numărului de perioade ale semnalului de tact. Programul care
49

conduce funcţionarea aparatului este descris în [Asz.’92].
Acesta este realizat în limbajul C. El are 5 funcţii de
bază:
- funcţia de instalare - INSTALL,
- funcţia de achiziţie - ACHIZITIE,
- funcţia de dezactivare hardware - UNINSTALL,
- funcţia de calcul - CALC,
- funcţia de afişare - AFIS.
Ordinograma programului principal este prezentată în figura
3.
START
INSTALL
ACHIZ
UNINSTALL
CALC
AFIS
STOP
4.Desfăşurarea lucrării
Figura 3. Ordinograma programului principal.
4.1. Se identifică pe schema sistemului de achiziţii de date
blocurile sale funcţionale insistându-se asupra celor
amintite în descrierea de mai sus.
4.2. Se testează blocul de achiziţii de date.
4.3. Se studiază manualele de utilizare ale softului dedicat
plăcii de achiziţii de date care se utilizează. Este
vorba despre programele Atlantis şi Pegasus.
50

4.4. Se identifică funcţiile de bază descrise mai sus în
listingul programului destinat analizei în domeniul
modulaţiei.
4.5. Se generează 5 forme de undă distincte, se vizualizează
şi se reprezintă grafic. Trei dintre acestea vor fi
semnale modulate în frecvenţă.
4.6. Se măsoară frecvenţa instantanee a celor trei semnale
modulate în frecvenţă generate anterior. Se reprezintă
grafic dependenţele de timp obţinute.
5.Întrebări
5.1. Desenaţi schema unui sistem a cărui funcţionare să fie
caracterizată de formele de undă din figura 2.
5.2. De ce s-a specificat în titlu că este vorba despre
semnale modulate în frecvenţă cu purtător sinusoidal
5.3. Daţi câteva exemple de semnale pentru care metoda de
măsurare a frecvenţei instantanee propusă conduce la
erori semnificative.
5.4. Care sunt parametrii sistemului de măsurare descris
care limitează valoarea maximă a frecvenţei instantanee care
poate fi măsurată cu acesta
6. Bibliografie
[Boa., Arn.’90] B. Boashash, P. O'Shea, M. J. Arnold.
Algorithms for instantaneous frequency
estimation: A comparative study, Proceedings
of SPIE, july 1990, California.
[Wec.’89] M. Wechsler. Caracterization of Time Varying
Frequency Behaviour using Continuous Measurement
Technology. Hewlett Packard Journal, February
1989.
[Ada.’91] *** ADA 3100/ADA 3100A, User’s Manual, Real Time
Devices Inc., USA, 1991.
[Nec.’81] ***, Catalog NEC, 1981.
[Asz.’92] Asztalos T. Analizor în domeniul modulaţiei
realizat cu ajutorul unui calculator PC-AT-
286, proiect de diplomă, UPT, 1992.
51

LUCRAREA NR 7
MĂSURAREA FRECVENŢEI INSTANTANEE A SEMNALELOR
MODULATE ÎN FRECVENŢĂ CU PURTĂTOR SINUSOIDAL,
PERTURBATE ADITIV DE ZGOMOT, FOLOSIND FILTRAREA
ADAPTIVĂ
1.Scopul lucrării.
Se studiază utilizarea filtrării adaptive la estimarea frecvenţei instantanee a
semnalelor modulate în frecvenţă perturbate aditiv de zgomot. Metoda de estimare a
frecvenţei instantanee prezentată în lucrarea 6 nu este robustă. Dacă semnalul modulat în
frecvenţă, a cărui frecvenţă instantanee trebuie estimată, este perturbat aditiv de zgomot,
atunci el are un număr mult mai mare de treceri prin zero (multe dintre ele apărând acolo
unde semnalul determinist nu are treceri prin zero) motiv pentru care estimarea frecvenţei
instantanee pe baza trecerilor prin zero nu mai conduce la rezultate corecte. De aceea în
această lucrare se propune o altă metodă de estimare a frecvenţei instantanee, mai
robustă.
2. Metoda de estimare a frecvenţei instantanee
Semnalul modulat în frecvenţă, perturbat aditiv de zgomot, după eşantionare şi
cuantizare, este filtrat cu un filtru numeric adaptiv, de tip opreşte bandă, cu urmărire.
Frecvenţa centrală (de blocare) a acestui filtru urmăreşte variaţia în timp a frecvenţei
instantanee a semnalului de prelucrat. Înregistrând forma de variaţie în timp a frecvenţei
centrale a filtrului opreşte bandă se obţine estimata formei de variaţie în timp a frecvenţei
instantanee a semnalului modulat în frecvenţă.
3. Implementare
În scopul simulării filtrării adaptive se utilizează mediul de programare MATLAB.
Se utiliztează un program realizat la Institutul Naţional de Telecomunicaţii din Evry de
către profesorul Philip Regalia, autorul cărţii "Adaptive IIR Filtering in Signal Processing
and Control", Marcel Dekker, New York, 1995.
Semnalul de prelucrat este de forma:
u(n) = ampl*cos(phi(n)) + b(n)
unde "ampl" reprezintă amplitudinea semnalului modulat în frecvenţă, "phi(n)" faza
acestui semnal la momentul n şi "b(n)" este zgomotul perturbator.
În cazul de faţă zgomotul este alb iar raportul semnal pe zgomot al semnalului de analizat
este egal cu 1 (0 dB). În programul care va fi utilizat în această lucrare pot fi generate
patru legi de frecvenţă instantanee:
52

1. Valoarea frecvenţei instantanee este modificată abrupt după câte 1000 de momente de
eşantionare. Filtrul adaptiv nu va şti când se va schimba valoarea frecvenţei instantanee şi
nici următoarea valoare pe care o va lua aceasta.
2. Valoarea frecvenţei instantanee se va modifica liniar. Filtrul cu urmărire va trebui să
intercepteze această variaţie şi apoi să o urmărească.
3.Legea de variaţie a frecvenţei instantanee în timp va fi parabolică. Filtrul cu urmărire
va trebui să intercepteze această variaţie şi apoi să o urmărească.
4. Frecvenţa instantanee se modifică cubic în timp. Filtrul adaptiv trebuie să intercepteze
această lege şi apoi să o urmărească.
Pentru a alege unul dintre aceste 4 tipuri de semnal de intrare trebuie aleasă una dintre
valorile 1,2,3,4. Dacă nu se specifică nici o valoare atunci este ales automat cel de al
patrulea semnal.
Programul permite compararea efectului aplicării a două structuri de filtre adaptive de
tip opreşte bandă: laticială şi transversală. În ambele cazuri valoarea iniţială a frecvenţei
centrale a filtrului opreşte bandă este aleasă de 0,25 Hz. În ambele cazuri estimarea se
încheie după 4000 de iteraţii.
Rezultatele celor două tipuri de estimări (fiecare corespunzând unei structuri de filtru)
sunt prezentate în două figuri, fiind posibilă compararea celor două metode de estimare.
Se constată că la frecvenţe medii dispersiile celor două estimări sunt comparabile, dar că
la frecvenţe joase şi înalte metoda bazată pe structura laticialî este superioară metodei
bazate pe structura transversală. Explicaţia acestui fenomen este că amplificarea filtrului
opreşte bandă implementat în structură transversală se modifică odată cu modificarea
frecvenţei sale centrale ceea ce nu se petrece în cazul structurii laticiale.
4. Desfăşurarea lucrării
Din Windows Commander se selectează directorul notch-demo.m. Se citeşte cu F4.
Se selectează textul (Edit, Select All) şi se copiază (Edit, Copy). Se deschide MATLABul.
Se copiază textul selectat anterior în fereastra de lucru a MATLAB-ului (Edit, Paste).
Se rulează acest program (Enter). Se urmăresc indicaţiile din fereastra de lucru a
MATLAB-ului. Se salvează în directorul USERS (personal) rezultatele obţinute.
Programul se va rula pentru fiecare dintre cele 4 semnale de intrare posibile. Se vor
comenta rezultatele obţinute.
53

LUCRAREA NR 8
TEHNICI DE BALIZARE UTILIZÂND TRANSFORMAREA “WAVELET”
1.Scopul lucrării.
Balizarea este o tehnică de autentificare a imaginilor. Prin
inserarea unei balize invizibile într-o imagine, înainte ca aceasta
să fie difuzată şi prin extragerea balizei după recepţia acesteia la
utilizator, poate fi autentificat dreptul de proprietate auspra
imaginii respective al celui care a difuzat-o. În acest mod pot fi
identificaţi şi utilizatorii ilegali ai unei anumite imagini. Pentru
realizarea balizării este necesar să se genereze o baliză
invizibilă, să se insereze această baliză în imaginea care trebuie
difuzată şi să se poată extrage din imaginea recepţionată de
utilizator. În cazul în care un utilizator ilegal utilizează
imaginea respectivă, pentru ca aceasta să nu poată fi autentificată,
ar fi necesar ca baliza conţinută în aceasta să fie îndepărtată. O
balizare de calitate trebuie deci să fie rezistentă la atacurile
unor utilizatori ilegali. În lucrarea de faţă se studiază o metodă
de balizare adaptivă (baliza generată este dependentă de imaginea de
difuzat).
2. O metodă de balizare
O modalitate de a insera o baliză într-o imagine are la bază
utilizarea transformării imaginii. Cea mai des folosită transformare
este DCT (transformarea cosinus discretă).
Necesitatea de a face invizibilă baliza face dificil procesul
de balizare, rezultând proceduri complicate de prelucrare a
imaginii. Din acest motiv, inserarea balizei în domeniul
transformatei DCT trebuie să respecte unele condiţii perceptule,
impuse de regulă sistemului ce realizează cuantizarea în domeniul
DCT.
Utilizarea transformării “wavelet” discretă (DWT) în procesul
de balizare a imaginilor aduce unele avantaje faţă de transformarea
DCT. Astfel, transformarea DWT a unei imagini este tot o imagine cu
aceleaşi dimensiuni cu cele ale imaginii originale, dar care constă
din două zone importante:
• zona de aproximare numită şi rezumat, de dimensiuni mai reduse în
raport cu imaginea originală;
• zona cu detalii care constă într-un set de imagini de dimensiuni
reduse ce conţin detaliile imaginii originale.
Rezultă deci că transformarea DWT oferă acces direct asupra
detaliilor unei imagini. Acest lucru permite utilizarea unei
proceduri simple şi rapide de inserare a balizei în imagine prin
modificarea detaliilor imaginii, păstrând în acelaşi timp
transparenţa perceptuală a balizării. Din tehnicile de balizare ce
utilizează transformarea DWT sunt superioare celor ce utilizează
transformarea DCT.
Aşa cum s-a arătat anterior, o tehnică simplă de balizare constă
în modificarea detaliilor unei imagini, echivalentă cu o modulare în
54

amplitudine a coeficienţilor transformării DWT corespunzători.
În cele ce urmează se va prezenta un mod de implementare în Matlab a
acestei metode de balizare, beneficiind de suportul oferit de
pachetul Wavelab în domeniul transformării DWT.
3.1. Algoritmul de inserare a balizei in imagine
Balizarea imaginii se realizează conform schemei bloc din
figura 1.
K
O.I.
D.W.T.
T.I
Separare
detalii
D.I.
N.D.I
Asamblor
N.T.I.
A.I.
Separare
rezumat
-
I.D.W.T.
W.I
W.a
şi constă din următoarele etape:
Figura 1. Schema de balizare.
• calculul transformatei DWT a imaginii originale O.I., T. I.;
• separarea detaliilor şi a rezumatului din cadrul T.I. (D.I. şi
respectiv A.I.);
• multiplicarea detaliilor cu constanta K (N.D.I.);
• asamblarea imaginii balizate în domeniul transformatei DWT, din
rezumat şi din detaliile multiplicate cu K (N.T.I.);
• calculul transformării DWT inverse în vederea obţinerii imaginii
balizate (W.I);
• obţinerea balizei prin calculul diferenţei dintre imaginea
originală şi imaginea balizată (W.a).
În continuare se prezintă succint modul în care are loc separarea
rezumatului de detalii pentru o imagine dată, precum şi reasamblarea
lor după inserarea balizei. Aşa cum s-a arătat anterior
transformarea DWT a unei imagini este compusă din două zone
principale, ca în figura 2.
55

A D1
D2
D3
D 4
D5
D6
Figura 2. Transformarea DWT a unei imagini.
Zona delimitată de blocurile A, D 1 , D 2 şi D 3 reprezintă rezumatul
imaginii rezultate în urma transformării DWT, în timp ce zona
delimitată de blocurile D 4 , D 5 şi D 6 reprezintă detaliile. Numărul de
blocuri ce revine fiecărei zone în parte depinde de numărul de
iteraţii din calculul transformării DWT. Mărimea blocurilor poate fi
aleasă după dorinţă, singura cerinţă fiind ca ele să nu aparţină
simultan celor două zone definite anterior. După multiplicarea cu
constanta K (aleasă în aşa fel încât să se asigure transparenţa
perceptuală) a coeficienţilor DWT din blocurile D 4 , D 5 şi D 6 , se
obţin blocurile D 4 ’, D 5 ’ şi D 6 ’ ce conţin deja baliza. Asamblarea
blocurilor noi obţinute se face ca în figura 3, pentru a putea
obţine în urma transformării DWT inverse imaginea balizată.
A D1
D2
D3
D 4 '
' D 5
' D 6
Figura 3. Asamblarea blocurilor de imagine după inserarea balizei.
După cum s-a putut observa, această metodă de balizare este
adaptivă, deoarece depinde de conţinutul imaginii originale (sursă).
În ce priveşte valoarea constantei K, este relativ uşor de
determinat valoarea ei în aşa fel încât balizarea să fie
imperceptibilă. Prin urmare nu este necesară utilizarea de tehnici
suplimentare pentru a asigura transparenţa perceptuală.
3.2. Algoritmul de extragere a balizei
Extragerea balizei dintr-o imagine balizată utilizând
algoritmul prezentat în paragraful 3.1. se face cu schema din figura
4.
56

1
K
WI r
DWT
TWI r
Separare
detalii
DWI r
ODI r
w ar
Separare
rezumat
AWI r
Asamblor
TI r
IDWT
OI r
-
Figura 4. Schema de extragere a balizei
Paşii parcurşi pentru extragerea balizei sunt similari cu cei de la
balizare:
• calculul transformatei DWT a imaginii balizate;
• separarea zonelor cu rezumat şi respectiv cu detalii ale
imaginii;
• înmulţirea detaliilor cu constanta 1/K;
• reasamblarea zonelor cu rezumat şi a celor cu detalii rezultate
după multiplicarea cu K;
• calculul transformatei DWT inverse pentru obţinerea imaginii
originale.
• calculul balizei ca diferenţă dintre imaginea balizată
recepţionată şi cea originală obţinută în urma extragerii
balizei.
În cazul în care imaginea balizată utilizată de algoritmul de
extracţie este identică cu cea obţinută la balizare, balizele
obţinute în procesul de inserare şi extracţie sunt identice. Dacă
apar erori de transmisie a imaginii balizate, sau prelucrări/atacuri
asupra imaginii balizate, baliza extrasă nu va mai fi identică cu
baliza obţinută în cadrul procesului de inserare a balizei. Dacă
algoritmul de balizare este robust, diferenţa dintre cele două
balize trebuie să fie mică. Pentru a caracteriza gradul de asemănare
a celor două balize în vederea identificării, se defineşte factorul
de asemănare ca fiind factorul de corelaţie, cu relaţia:
f
c
=
∑∑
m
∑∑
n
w
a
[ m, n] ⋅ w [ m, n]
2
[ m, n] ⋅ ∑∑w
ar [ m, n]
2
w a
m n m n
ar
Valoarea factorului de corelaţie este unitară atunci când
balizele de la inserare şi extracţie sunt identice, şi scade spre
zero atunci când apar diferenţe. Ea serveşte ca măsură a robusteţii
algoritmului de balizare la prelucrări şi atacuri asupra imaginii
balizate. Totodată, valoarea sa poate fi folosită ca şi criteriu de
decizie pentru a stabili dacă în imaginea analizată se află baliza
57

căutată. Pentru aceasta este nevoie să se stabilească o
valoare de prag (de ex. 0.7) peste care se decide că baliza extrasă
este cea căutată, în caz contrar neputându-se face identificarea
certă.
4. Desfăşurarea lucrării
1.
Din Windows Commander se selectează directorul compwater.m. Se
citeşte cu F4. Se selectează textul (Edit, Select All) şi se copiază
(Edit, Copy). Se deschide MATLAB-ul. Se copiază textul selectat
anterior în fereastra de lucru a MATLAB-ului (Edit, Paste). Se
rulează acest program (Enter). Se salvează în directorul USERS
(personal) rezultatele obţinute (cele 4 imagini: imaginea originală,
imaginea transmisă, baliza generată la emisie şi baliza generată la
recepţie).
2.
Se studiază programul Matlab utilizat, citind (cu F4) fişierul
compwater.m şi identificând principalele etape ale algoritmilor de
inserare, respectiv extragere a balizei.
Se vor comenta rezultatele obţinute.
3.
Se repetă punctele anterioare pentru o altă valoare a lui k, de
exemplu 2. În acest scop se modifică linia 13 a programului
compwater.m.
4.
Se repetă punctele anterioare pentru o altă imagine, de
exemplu: Lenna. În acest scop se modifică linia a doua a programului
compwater.m, aceasta devenind:
ingrid=readimage('Lenna').
58

LUCRAREA NR 9
ESTIMAREA FRECVENŢEI INSTANTANEE A SEMNALELOR
NESTAŢIONARE PERTURBATE ADITIV DE ZGOMOT FOLOSIND
REPREZENTĂRI TIMP-FRECVENŢĂ
1.Scopul lucrării.
Se face o introducere în teoria reprezentărilor timp-frecvenţă.
Se prezintă o nouă metodă de estimare a frecvenţei instantanee
folosind teoria reprezentărilor timp-frecvenţă.
2. Conceptul de reprezentare timp-frecvenţă
Unul dintre semnalele cel mai des utilizate este semnalul
sinusoidal. Acesta este descris matematic de funcţia:
x o (t) = Ao
sin ω ot
(1)
parametrizată după constantele: A o - amplitudine şi ω o - pulsaţie.
Pentru cunoaşterea acestui semnal este suficientă cunoaşterea
legii sale de variaţie în timp (relaţia (1)) şi a parametrilor
săi A o şi ω o . Este evident vorba de un semnal staţionar. Un alt
exemplu de semnal staţionar este impulsul descris de relaţia :
( (t) − σ(t
− ) )
x1(t)
= A1
σ τ
(2)
Parametrii acestui semnal sunt: amplitudinea sa A 1 , durata
sa τ, precum şi momentul declanşării, t o = 0.
Pe baza celor două exemple se poate afirma că semnalele
staţionare au parametrii constanţi. Această observaţie este
valabilă şi pentru semnalele aleatoare staţionare, dacă
considerăm că în acest caz, parametrii semnalului sunt momentele
sale statistice (media, dispersia, ...).
De aceea se poate afirma că semnalele nestaţionare
(deterministe) au parametrii variabili în timp. Astfel, dacă :
sau:
A
o
= cos10 ω t
(3)
o
ω o
= t (4)
semnalul descris de relaţia (1) va fi unul nestaţionar.
În primă aproximaţie semnalul din relaţia (1) este util
pentru descrierea funcţionării unui oscilator, putând fi folosit
59

pentru proiectarea acestui circuit. Dar variaţiile tensiunii de
alimentare a oscilatorului se reflectă asupra amplitudinii
semnalului de la ieşirea sa, iar variaţiile de temperatură pot
produce modificări ale frecvenţei de oscilaţie. De asemenea,
relaţia (1) nu este adecvată pentru descrierea regimurilor de
pornire şi oprire ale oscilatorului. Iată de ce, la o analiză mai
atentă, semnalul de la ieşirea unui oscilator trebuie considerat
ca fiind nestaţionar.
Şi în cazul semnalelor aleatoare, folosite pentru modelarea
unor fenomene reale (vibraţiile unor maşini unelte, zgomotul unui
motor electric, ş.a.m.d.), ipoteza de staţionaritate trebuie
evitată tot mai frecvent.
Fenomenele nestaţionare pot fi clasificate în doua
categorii: adaptive şi evolutive .
În cazul fenomenelor nestaţionare adaptive,
nestaţionaritatea este suficient de lentă pentru a se putea
presupune, pentru intervale scurte de timp, că parametrii
semnalelor sunt constanţi.
Fenomenele nestaţionare evolutive necesită modalităţi de
descriere globală a variaţiilor parametrilor lor. De aceea, în
acest caz, aceste variaţii pot fi rapide.
Rezultă că pentru analiza semnalelor nestaţionare adaptive
este necesară o prelucrare localizată în timp. De aceea în acest
caz nu poate fi utilizată transformata Fourier.
Deci a apărut necesitatea introducerii unor noi
transformări. Reprezentările timp-frecvenţă sunt uneltele
necesare pentru analiza semnalelor nestaţionare. Această analiză
presupune identificarea parametrilor acestor semnale. Pe lista
acestor parametri trebuie incluşi: momentele de timp de începere
şi terminare a semnalului, energia sau puterea semnalului,
amplitudinea instantanee, frecvenţa instantanee, banda de
frecvenţă instantanee a semnalului, etc.
Se reaminteşte definiţia frecvenţei instantanee a unui
semnal, [1]. Se consideră în acest scop semnalul real x(t) .
Definiţia 1
semnalul:
Se numeşte transformată Hilbert a semnalului x(t),
H
⎧ 1 ⎫
⎨ ⎬
⎩πt
⎭
1
πt
+∞
∫
−∞
x( τ)
t − τ
{ x(t) } = VP ∗ x(t) = dτ
Definiţia 2 Se numeşte semnal analitic asociat semnalului
x(t), semnalul:
x a (t) = x(t) + j H{ x(t) }
Definiţia 3
Se numeşte anvelopă a semnalului x a
(t) , semnalul:
A(t) =
x
2
(t) + H
2
{ x(t) }
60

Definiţia 4
semnalul:
Se numeşte pulsaţie instantanee a semnalului x(t),
d
ω i (t) =
a π
dt
{ arg { x (t)
} = 2 f (t)
În funcţie de aplicaţia avută în vedere este importantă
estimarea unuia sau mai multor parametri ai semnalului
nestaţionar. În figura 1 este prezentată o reprezentare "timpfrecvenţă"
ideală a semnalului nestaţionar:
i
( (t) t)
x(t) = A ocos
ω o ; cu
ω
o
(t) =
[ )
[ )
[ )
⎧2π
f
1, t ∈ t
1, t
2
,
⎪
⎪2π
f
2, t ∈ t
3, t
4
,
⎨
⎪2πf3, t ∈ t
5,t6
,
⎪ 0 , in rest
⎩
Semnalul analitic asociat acestui semnal are forma:
j ωo
(t) t
x a (t) = Ao
⋅ e
Frecvenţa instantanee a semnalului x(t) este:
1
fi
(t) =
2π
d
dt
( ω (t) t)
o
⎧ f1,
⎪ f2,
= ⎨
⎪ f3,
⎪⎩
0,
t ∈
t ∈
t ∈
[ t1,
t2
),
[ t3,
t4
),
[ t ,t )
5 6 ,
in rest
Se constată că linia îngroşată din figura 1 este tocmai graficul
acestei funcţii.
Analizând reprezentarea tridimensională din figura 1, se constată
faptul că semnalul x(t) se declanşează la momentul t 1 , fiind o
sinusoidă cu frecvenţa f 1 , până la momentul t 2 , când semnalul
încetează, pentru a se redeclanşa la momentul t 3 , fiind o
sinusoidă cu frecvenţa f 2 până la momentul t 4 când încetează
pentru a doua oară declanşându-se din nou la momentul t 5 fiind o
sinusoidă cu frecvenţa f 3 până la momentul t 6 când se sfârşeşte
definitiv. Se constată că proiecţia "reprezentării timpfrecvenţă"
din figura 1 pe planul ( A, t)
reprezintă oscilograma
semnalului x(t) , că proiecţia pe planul ( f, A)
reprezintă spectrul
"ideal" al semnalului x(t) şi că proiecţia pe planul ( f, t)
reprezintă frecvenţa instantanee a aceluiaşi semnal. Proiecţia pe
A, t permite analiza în domeniul timp a semnalului
planul ( )
considerat. Proiecţia pe planul ( A, f ) permite analiza semnalului
în domeniul frecvenţă iar proiecţia pe planul ( f, t)
permite analiza
în domeniul modulaţiei. Analizoarele în domeniul modulaţiei
61

afişează legea de variaţie temporală a frecvenţei instantanee a
semnalului de analizat. Figura 1 este o reprezentare timpfrecvenţă
ideală a semnalului x(t). Se remarcă faptul că această
reprezentare face o localizare perfectă în domeniile timp şi
frecvenţă ale semnalului considerat. Într-adevăr, momentele t 1 ,
t 2 , t 3 , t 4 , t 5 şi t 6 ca şi frecvenţele f 1 f 2 şi f 3 pot fi exact
localizate cu ajutorul acestei reprezentări. De aceea această
reprezentare a fost numită ideală. O astfel de reprezentare nu
poate fi obţinută în practică, dar poate fi utilizată ca model
pentru optimizarea reprezentărilor timp-frecvenţă care se
utilizează în practică.
Figura 1 O reprezentare timp frecvenţă ideală.
Se constată că semnalului x(t) i s-a asociat o funcţie de
două variabile, reprezentarea sa timp-frecvenţă. În continuare se
va nota reprezentarea timp-frecvenţă a semnalului x(t) cu
TF x ( ω , t)
. Semnalul x(t) va fi considerat de energie finită.
Reprezentarea timp-frecvenţă va fi privită ca şi un operator care
2
transformă spaţiul L ( R)
într-un spaţiu L 2 ( A ×R)
2 2
acesta este ( )
. Cel mai adesea
L R .
Valoarea operatorului TF aplicat semnalului x este deci funcţia
de 2 variabile TF x ( ω , t)
. Valoarea acestei funcţii în punctul
( o o ) o a componentei
spectrale de pulsaţie ω o a semnalului considerat.
62

TF x ω are semnificaţia de densitate spectro-
Deci funcţia ( , t)
temporală a semnalului x(t) . Funcţia ( , )
TFx ω t o are semnificaţia de
spectru instantaneu al semnalului considerat.
2.1. Reprezentarea timp-frecvenţă de tip transformare
Fourier scurtă
Este o reprezentare liniară definită prin:
TF
STFT
x
∞
∫
− ∞
− jωτ
( t, ω) = x( τ)
w ( τ − t) e dτ
unde w(t) reprezintă fereastra de observare. De obicei se
consideră că fereastra de observare este un semnal de energie
unitară:
w(t)
2
L 2
= 1
Se constată faptul că la momentul t, funcţia TF STFT ( t, ω)
reprezintă spectrul semnalului x( τ ) w( τ − t) , obţinut prin
localizarea în timp, în jurul momentului considerat, a semnalului
de analizat, x(τ ) . Modificând t de la −∞ la + ∞, fereastra
temporală "mătură", forma de undă a întregului semnal de
analizat. Rezultă că fereastra temporală folosită este
responsabilă pentru localizarea temporală a semnalului de
analizat. Dar, după cum s-a arătat deja, cea mai bună localizare
în planul "timp-frecvenţă" o are semnalul Gaussian. De aceea, o
reprezentare timp-frecvenţă de tipul transformare Fourier scurtă
cu proprietăţi bune de localizare în planul timp-frecvenţă ar
trebui să fie aceea care foloseşte fereastra temporală
Gaussiană. Acest tip de transformare Fourier scurtă se numeşte
transformare Gabor.
2.2. Reprezentarea timp-frecvenţă de tipul Wigner-Ville
Considerând semnalul de energie finită x(t) , i se asociază
nucleul:
K
W−V
τ
⎟
2 ⎠
⎛ ⎞ * ⎛ ⎞
( t, τ) = x t + x t − ⎟
⎠
⎜
⎝
Transformarea Fourier a acestei funcţii, în raport cu variabila
τ , poartă numele de reprezentare timp-frecvenţă de tipul Wigner-
Ville:
TF
W−V
x
∞
⎛
τ ⎞
2 ⎠
⎜
⎝
τ
2
τ ⎞
2 ⎠
*
−j
ω τ
( t, ω) = ∫ x ⎜ t + ⎟ x ⎜ t − ⎟ e dτ
Aceasta este o reprezentare biliniară.
− ∞
⎝
⎛
⎝
x
63

3. Estimarea frecvenţei instantanee folosind reprezentări
timp-frecvenţă
O proprietate remarcabilă a reprezentării timp frecvenţă a
unui semnal este concentrarea acestei în jurul curbei, din planul
timp-frecvenţă, de variaţie a frecvenţei sale instantanee. De
aceea o metodă de estimare a frecvenţei instantanee se poate baza
pe proiecţia liniei de creastă a unei reprezentări timp-frecvenţă
pe planul timp-frecvenţă. O astfel de metodă are avantajul că
difuzează în planul timp frecvenţă zgomotul care perturbă aditiv
semnalul a cărui frecvenţă instantanee trebuie estimată.
Dacă reprezentarea timp frecvenţă folosită este una liniară
apare dezavantajul unei concentrări mai reduse pe curba de
variaţie a frecvenţei instantanee. Dacă reprezentarea timpfrecvenţă
folosită este biliniară apare dezavantajul prezenţei
termenilor de interferenţă care produc vârfuri ale reprezentării
care nu se găsesc pe linia de creastă a acesteia.
4. O nouă metodă de estimare a frecvenţei instantanee a
semnalelor nestaţionare perturbate aditiv de zgomot
Metoda propusă în această lucrare are următorii paşi:
1. Se calculează reprezentarea timp-frecvenţă de tip Gabor a
semnalului achiziţionat.
2. Se filtrează rezultatul obţinut folosind un filtru hardthresholding
bidimensional.
3. Se calculează reprezentarea timp-frecvenţă de tip Wigner-
Ville a semnalului achiziţionat.
4. Se înmulţesc rezultatele obţinute la punctele 2 şi 3
obţinându-se o nouă imagine. De pe această imagine poate fi
citită frecvenţa instantanee a semnalului de analizat. În
acest scop poate fi făcută şi o scheletizare a acesteia.
5. Desfăşurarea lucrării
1. Se rulează programul PLINIAR.m. Se înregistrează rezultatele.
2. Se rulează programul PPATRAT.m. Se înregistrează rezultatele.
3. Se rulează programul PSUMA.m. Se înregistrează rezultatele.
4. Se compară rezultatele obţinute în această lucrare cu
rezultatele obţinute în lucrarea anterioară. Care dintre
metodele de estimare a frecvenţei instantanee vi se pare mai
bună
64

LUCRAREA NR 10
FILTRU MEDIAN ADAPTIV
1. Scopul lucrării
Se studiază o categorie de filtre numerice neliniare cu performanţe foarte bune la
prelucrarea impulsurilor. Este vorba despre acea categorie de filtre al cărei element central
este filtrul median.
2. Filtre numerice cu ordonare statistică
Dacă X 1, X 2 ,..., X N este un şir de variabile aleatoare atunci prin ordonarea lor după valoare
se obţine şirul de inegalităţi:
X () 1 ≤ X ( 2) ≤ ... ≤ X ( N )
(1)
Variabila aleatoare X () i se numeşte a i-a variabilă aleatoare în ordonare statistică. Pe baza
acestei ordonări se poate determina mediana secvenţei de variabile aleatoare considerată,
folosind următoarea definiţie:
med
{ X }
i
X ( ν + 1)
,
( ν ) + X ( ν 1)
⎧
⎪
= ⎨ X +
⎪
⎩ 2
daca
daca
N = 2ν
+ 1
N = 2ν
Considerând semnalul x [] n şi fereastra dreptunghiulară w [] n , de lungime N, centrată pe
momentul n, prin înmulţirea lor se obţine semnalul xˆ [] n , care la momentul n are N eşantioane.
Considerând că acestea ar reprezenta secvenţa de variabile aleatoare de mai sus, mediana
acesteia este răspunsul "filtrului median" la semnalul x [] n , la momentul n. Deplasând fereastra
w [] n peste semnalul x [] n , (prin centrarea sa succesivă pe diferite momente de timp) se obţine
răspunsul filtrului median la semnalul x [] n . În figura următoare se reprezintă câteva exemple
de semnale precum şi răspunsurile unui filtru median, cu N de valoare 7, la aceste semnale.
x [] n
y[]
n
0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 n 0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 n
Figura 1. Câteva exemple de funcţionare a unui filtru median, N de valoare 7.
65

Analizând figura 1 se constată că pentru semnale de intrare monotone, prin filtrare mediană
nu se modifică forma semnalului. Aproximarea semnalelor monotone pe porţiuni prin filtrare
mediană este afectată de erori. Acestea se manifestă la momentele de timp la care monotonia
semnalului se schimbă. De asemenea se constată eficienţa filtrului median la eliminarea
zgomotului de tip impuls care perturbă aditiv semnalul de prelucrat. Este remarcabilă şi
calitatea răspunsului indicial al filtrului median.
Tot pe baza ordonării statistice descrise de relaţia (1) pot fi obţinute diferite combinaţii
liniare ale elementelor acesteia:
n
Tn
= ∑ ai
X
i=
1
cărora le corespund filtrele cu ordonare statistică corespunzătoare.
Prin extragerea repetată a medianei poate fi obţinut un alt tip de filtru, numit filtru
median recursiv. Legătura intrare-ieşire pentru un astfel de sistem este:
() i
[] i med( y y , x x )
y = i−ν ,..., i−1 i,...,
i+ν
(3)
Pentru a combina avantajele filtrelor liniare cu cele ale filtrului median au fost
concepute filtrele mediane hibride, caracterizate de următoarea legătură intrare-ieşire:
y
(2)
[] i = med{ ϕ ( x i ),...,
ϕ ( x )}
(4)
unde ϕ k ( x i ), k = 1,
m , sunt răspunsurile a m filtre liniare la semnalul x i . De exemplu relaţia
(4) poate lua forma:
y
[] i = med⎨⎜
⎟ ∑xi−
j , xi
, ⎜ ⎟ ∑
3. Construcţia unui filtru numeric median
1
m
⎧
⎫
⎪⎛
1
ν
⎞ ⎛ 1
ν
⎞ ⎪
xi+
j ⎬
⎝ν
⎠ ⎝ ⎠
⎪⎩ j= 1
ν
j=
1 ⎪⎭
Pentru filtrarea mediană e necesar să se grupeze eşantioanele din fereastră în ordine
crescătoare, pentru fiecare poziţie a ferestrei şi să se determine, prin comparaţii succesive,
mediana secvenţei din fereastră.
Considerând că semnalul de intrare x [] n are forma:
x
[] n x [] n x [] n
d +
a
i
= (5)
unde x d [] n este un semnal util iar x a [] n o perturbaţie, răspunsul filtrului median poate fi pus în
forma:
y
[] n x [] n y [] n
= (6)
d +
unde [] n y a reprezintă zgomotul de la ieşirea sistemului. Raportul semnal pe zgomot la intrarea
în filtru se poate calcula cu relaţia:
a
66

M
2
∑ x
d
RSZ =
i=
0
i M
2
∑ xa
i=
0
[] i
[] i
(7)
iar la ieşire cu relaţia:
M
2
∑ x
d
RSZ =
i=
0
o M
2
∑ ya
i=
0
[] i
[] i
(8)
Îmbunătăţirea raportului semnal pe zgomot obţinută este:
M
2
∑ xa
[] i
RSZ
χ =
o
=
i=
0
(9)
RSZ M
i 2
∑ ya
[] i
În stabilirea acestei formule s-a considerat că secvenţa x [] n este de durată limitată M.
Îmbunătăţirea raportului semnal pe zgomot realizată de sistemele liniare şi invariante în timp
este invers proporţională cu banda echivalentă de zgomot a acestora. De obicei aceasta este cu
atât mai mare cu cât ordinul filtrului este mai mic. O cale de creştere a ordinului filtrului fără
a i se modifica răspunsul în frecvenţă este recircularea semnalului care trebuie filtrat. Această
procedură presupune următorii paşi:
- Prin filtrarea semnalului de intrare de durată limitată x [] n se obţine răspunsul y 1 [] n .
- Folosind acelaşi filtru se prelucrează semnalul y 1 [] n obţinându-se semnalul y 2 [] n .
- Procedeul descris se repetă de atâtea ori de câte ori se doreşte să fie crescut ordinul
filtrului.
Un parametru al filtrului median care controlează îmbunătăţirea raportului semnal pe
zgomot introdusă de acest sistem este lungimea ferestrei temporale folosite. În această lucrare
se propune o nouă tehnică de filtrare adaptivă. Aceasta presupune realizarea unei succesiuni
de filtrări mediane cu recirculare. La sfârşitul fiecărei filtrări mediane cu recirculare, este
scăzută lungimea ferestrei temporale şi o nouă filtrare mediană cu recirculare începe pornind
cu ultima secvenţă obţinută în filtrarea mediană cu recirculare anterioară. Filtrarea mediană
adaptivă se încheie la sfârşitul filtrării mediane cu recirculare care foloseşte cea mai scurtă
fereastră. Fiecare filtrare mediană cu recirculare ia sfârşit atunci când o nouă aplicare a acestui
procedeu nu mai modifică valoarea vreunui eşantion.
4. Desfăşurarea lucrării
4.1. Se verifică exemplele din figura 1, folosind programul testfm.m.
4.2. Se experimentează un filtru median prin filtrarea a trei semnale de intrare distincte.
Vor fi folosite valori diferite pentru lungimea ferestrei N. Componentele deterministe
ale semnalelor de intrare, x d [] n , vor fi de forma: dreptunghiulară, trapezoidală şi
triunghiulară. De fiecare dată se va completa un tabel de forma:
i=
0
67

x[n] x d [] n
x a [] n
[] n
ya
… … … … …
y [] n = y[] n − x [] n
Pe baza valorilor din tabel se vor calcula valorile rapoartelor semnal pe zgomot de la intrare şi
ieşire folosind formulele (7) şi (8) respectiv îmbunătăţirea raportului semnal pe zgomot,
obţinută, folosind relaţia (9).
Apoi se vor reprezenta grafic formele de undă ale semnalelor de intrare respectiv de ieşire.
Pentru semnalul dreptunghiular se va folosi programul dre3.m, pentru semnalul trapezoidal
programul tra5.m iar pentru semnalul triunghiular programul tri7.m
4.3. Se experimentează un filtru median cu recirculare. Se studiază efectul creşterii numărului
de recirculări. În acest scop se efectuează trei experimente, cu semnal de intrare având
componenta utilă dreptunghiulară, crescându-se de la experiment la experiment numărul de
recirculări. Se va utiliza programul recircdre.m.
4.4. Se experimentează un filtru median adaptiv. Se va folosi programul adaptdre.m
d
68

LUCRAREA NR 11
MĂSURAREA FRECVENŢEI INSTANTANEE A SEMNALELOR
MODULATE ÎN FRECVENŢĂ CU PURTĂTOR SINUSOIDAL ŞI
MODULATOR POLINOMIAL, PERTURBATE ADITIV DE ZGOMOT,
FOLOSIND FILTRAREA ADAPTIVĂ ŞI ÎMBUNĂTĂŢIREA
RAPORTULUI SEMNAL PE ZGOMOT CU FUNCŢII WAVELET
1.Scopul lucrării.
Metoda de estimare a frecvenţei instantanee, prezentată în lucrarea 7, foloseşte un
estimator care conduce la dispersii relativ mari ale estimatei. În lucrarea de faţă se
prezintă o cale de reducere a acestei dispersii bazată pe denoising. Această metodă de
creştere a raportului semnal pe zgomot a fost studiată în lucrarea 4.
2. Dezavantajul utilizării filtrării adaptive
Deoarece algoritmii de filtrare adaptivă converg slab (ei converg doar în probailitate)
estimările bazate pe filtrarea adaptivă au dispersii însemnate. De exemplu pentru
semnalul cu frecvenţa instantanee (cu variaţie polinomială, este vorba de un polinom de
gradul 3), din figura 1, acoperit de zgomot alb (semnalul achiziţionat are raportul semnal
pe zgomot egal cu 1) se obţine estimata din figura 2.
Figura 1. Frecvenţa instantanee a semnalului
acoperit de zgomot.
Figura 2. Estimata frecvenţei instantanee obţinută
prin filtrare adaptivă.
Pentru a putea utiliza această estimată la măsurarea frecvenţei instantanee a semnalului
considerat trebuie redusă dispesia sa. În acest scop, se poate utiliza teoria funcţiilor
wavelet.
69

3. Funcţii wavelet şi polinoame
Semnalele polinomiale au o proprietate reamrcabilă:
Transformata wavelet discretă a unui polinom de gradul P are toţi coeficienţii de detaliu
nuli dacă pentru calcul său se foloseşte o funcţie wavelets mother cu P+1 momente nule.
În consecinţă dacă se alege corespunzător funcţia wavelets mother atunci se poate obţine cea mai
mare concentrare energetică în domeniul transformării wavelet discretă pentru un polinom de un
anumit grad.
Pe baza acestei proprietăţi, se prezintă în continuare o nouă strategie de denoising. Aceasta va
avea cei trei paşi ai algoritmului clasic dar va face selecţia pragului filtrului de tip soft thresolding
folosind o idee nouă. Paşii noii metode sunt:
1. Se calculează transformata wavelet discretă a semnalului de frecvenţă instantanee (de exemplu
al semnalului cu graficul din figura 2) ştiind că acesta are gradul P şi folosind o funcţie wavelets
mother cu P+1 momente nule şi patru iteraţii. Se obţine semnalul wt[n].
2. Se filtrează semnalul obţinut cu un filtru de tip soft thresolding al cărui prag, t, se
calculează după cum urmează:
- se împarte suportul semnalului wt[n] în 2 segmente egale. Semnalul de pe cel de al
doilea segment se va nota wt2[n]. Coeficienţii corespunzători celui de al doilea
segment vor fi doar ai zgomotului (coeficienţii de pe acest interval corepunzători
semnalului util vor fi nuli conform proprietăţii de mai sus). Aceşti coeficienţi
corespund unui zgomot alb de medie nulă şi dispersie σ distribuit Gaussian.
- se estimează dispersia semnalului wt2[n], σ. Pentru a înlătura complet zgomotul se
aplică regula celor 3 σ (se alege pragul filtrului soft thresholding t egală cu 3 σ).
4. Se calculează transformata wavelet discretă inversă, obţinîndu-se rezultatul estimării
frecvenţei instantanee.
4.Desfăşurarea lucrării
În această lucrare se utilizează programul notch-demom3m.m. În cadrul acestui program
se compară metoda clasica de denoising cu metoda noua, propusa in aceasta lucrare pe
cazul unui polinom de gradul 3.
După rularea programului şi analiza figurilor obţinute (care vor fi salvate în directorul
user, într-un fişier cu numele studentului) se vor cere, în fereastra Matlabului, valorile
îmbunătăţirii raportului semnal pe zgomot, pentru metoda clasica, imbf şi pentru noua
metodă, imbf2, respectiv valorile maxime ale erorii absolute de aproximare în cazul
metodei clasice, errabsmax, respectiv ale erorii absolute de aproximare în cazul noii
metode, errabsmax2.
70

LUCRAREA NR 12
ÎMBUNĂTĂŢIREA RAPORTULUI SEMNAL PE ZGOMOT ÎN CAZUL
PERTURBĂRII CU ZGOMOT MULTIPLICATIV
1.Scopul lucrării.
Studiul unui metode de creştere a RSZ, bazată pe
folosirea funcţiilor wavelet în cazul în care semnalul util
este perturbat cu zgomot multiplicativ.
2. Un exemplu de aplicaţie în care apare zgomot
multiplicativ
Imaginile formate de sistemele radar, in particular de
radarele cu apertură sintetică (SAR) sunt perturbate de
zgomot de tip speckle. Acesta este un zgomot multiplicativ
negaussian. Pentru diminuarea efectelor acestor perturbaţii
pot fi folosite filtre cu ordonare statistică. Din păcate nu
se obţin rezultate spectaculoase. De aceea în continuare se
prezintă o soluţie bazată pe metoda de denoising, prezentată
în lucrările de laborator anterioare.Semnalul achiziţionat
este de forma:
[ n] u[ n] ⋅ z[ n]
s
= (1)
unde u[n] reprezintă partea utilă iar z[n] este zgomotul
perturbator. Zgomotul de tip speckle este necorelat cu
semnalul util şi este un semnal aleator staţionar cu medie
unitară şi dispersie σ . În cazul imaginilor SAR domeniul
2
de variaţie al lui σ este cuprins între 0.273 şi 1.
3. Metoda de denoising propusă
Principala diferenţă între scenariul de denoising propus de
Donoho (şi folosit în lucrările de laborator anterioare) şi
scenariul propus în continuare este modul de cuplare al
zgomotului la semnalul util. Să presupunem că semnalele
x[n], u[n] şi z[n], din relaţia (1) sunt pozitive. Luând
logaritm în cei doi membri ai acestei relaţii se obţine :
log10 {s[n]} = log10{u[n]}
+ log10{z[n]}
(2)
71

şi folosind notaţile:
{ s[n] },
x i[n]
= log10
x[n] = log10{u[n]},
n i[n]
= log10{z[n]}
(3)
se obţine un model de semnal specific pentru metoda clasică
de denoising a lui Donoho. După aplicarea acesteia
rezultatul trebuie antilogaritmat pentru a se obţine
estimarea lui u[n]. Puterea semnalului u[n] va fi
considerată cunoscută. Folosind această valoare se poate
1
calcula constanta Pf
= ⋅log10
( Pu
). Paşii algoritmului de
2
îmbunătăţire a RSZ propus în lucrarea de faţă sunt:
1. Se calculează logaritmul semnalului s[n], obţinând
semnalul x i [n]
.
2. Se aplică metoda de denoising.
2.1. Se calculează transformata wavelet discretă a
semnalului x i [n]
, obţinândt semnalul y i [n].
2.2.1-2.2.k. Pornind de la o valoare mică de prag , t 0 , se
filtrează semnalul y i [n], cu un filtru de tip soft
thresholding. Se obţine semnalul y o , 1 [n]
. Se calculează
puterea acestui semnal şi se compară cu P f . Dacă puterea
semnalului y o , 1 [n]
, P o, 1 , este superioară lui P f atunci se
efectuează o nouă filtrare, folosind aceaşi valoare de prag
t 0 . Se obţine semnalul y o , 2 [n]
având puterea P o, 2 . Dacă această
valoare este mai mare decât P f atunci se repetă ultima
iteraţie. Iteraţia finală, a k-a, este aceea în care, pentru
prima dată, puterea semnalului de la ieşirea filtrului soft
tresholding, P o, k , devine inferioară valorii P f .
Semnalul rezultat la sfârşitul acestui pas este yo,k− 1 [n ].
2.3. Se calculează transformata wavelet discretă inversă a
semnalului yo,k− 1 [n ] obţinându-se semnalul x 0 [n].
3. Deoarece acest semnal reprezintă logaritmului estimării
semnalului util, ultimul pas al metodei de denoising propusă
este inversarea acestui logaritm.
4.Desfăşurarea lucrării
În această lucrare se utilizează programul Speckle.m
După rularea programului şi analiza figurilor obţinute (care
vor fi salvate în directorul user, într-un fişier cu numele
studentului) se vor cere, în fereastra Matlabului, valorile
72

aportului semnal pe zgomot la intrare, RSZin, la ieşire
RSZout şi a îmbunătăţirii raportului semnal pe zgomot, imbf
.
Programul se va rula de trei ori pentru RSZin de valori în
jur de 0,1, 1 şi 10.
73

Seminar 1
1.1. Fiind date matricele A, B şi C demonstraţi că:
AB ≠ BA
A B + C = AB +
( ) AC
T T T
( AB ) = B A
A − simetrica ⇒ A
− 1 −
simetrica
1.2. Determinaţi elementele matricei de autocorelaţie:
⎡R
R = ⎢
⎣R 1
( 0) R( 1)
⎤
() R( 0) ⎥ ⎦
ştiind că valorile sale proprii sunt: λ 1 =1, 2 şi λ 2 = 0, 8 .
1.3. Fiind dată matricea de autocorelaţie:
⎡R
R = ⎢
⎣R 1
( 0) R( 1)
⎤
() R( 0) ⎥ ⎦
să i se determine valorile proprii λ 1 şi λ 2 . Să se haşureze zona
din planul ( R ( 0) , R( 1)
) în care cele două valori proprii sunt
pozitive.
⎛ π ⎞
1.4. Determinaţi autocorelaţia secvenţei x [ n] = sin⎜
n⎟ .
⎝ 5 ⎠
1.5. Semnalul de tip zgomot alb de valoare medie nulă şi de
dispersie σ 2 , z [ n]
este adus la intrarea sistemului liniar şi
invariant în timp discret cu răspunsul în frecvenţă din
figură:
H( Ω)
2
σ
. . .
. . .
π
−
2
π
2
3π
2
Ω
a) Determinaţi densitatea spectralã de putere a semnalului z [ n]
.
b) Determinaţi şi reprezentaţi grafic densitatea spectrală de
74

putere a semnalului de la ieşire.
c) Calculaţi autocorelaţia semnalului de la ieşire.
d) Calculaţi puterea semnalului de la ieşire.
1.6. Se consideră sistemul liniar şi invariant în timp cu răspunsul
⎛ 1
N
la impuls [ ] ∑ − 1
⎞
h n = ⎜ ⎟ δ[ n − k]
.
⎝ N ⎠k=
0
a) Determinaţi răspunsul în frecvenţă al sistemului considerat.
b) Determinaţi răspunsul sistemului considerat la semnalul de tip
2
zgomot alb de valoare medie nulă şi dispersie σ . Calculaţi
media şi dispersia acestui semnal aleator.
1.7. Expresia erorii medii pătratice de aproximare a semnalului
de la intrarea unui filtru adaptiv prin semnalul de la ieşirea
acestuia este:
T
T
ξ = a + W RW − 2P W
unde:
Demonstraţi că:
⎡R
⎢
⎢
R
⎢
R = ⎢
⎢
⎢
⎢
⎢
⎣R
11
21
L1
R
R
R
12
22
L2
...
...
.
.
.
...
R
R
R
1L
2L
LL
⎤
⎥
⎥
⎥
⎥
⎥
⎥
⎥
⎥
⎦
⎡ w
⎢
⎢
w
⎢ .
⎢ .
W = ⎢
⎢ .
⎢
⎢
⎢
⎢
⎣w
0
1
L−1
⎤
⎥
⎥
⎥
⎥
⎥
⎥
⎥
⎥
⎥
⎥
⎦
P =
⎡ p
⎢
⎢
p
⎢ .
⎢ .
⎢
⎢ .
⎢
⎢
⎣p
1
2
L
⎤
⎥
⎥
⎥
⎥
⎥
⎥
⎥
⎥
⎦
( RW P)
∇ = 2 −
1.8. Se consideră sistemul din figură:
d k
x k
w 1
1
z −
ε k
Desenaţi suprafaţa de eroare a acestui filtru adaptiv ştiind cã:
E
2
{ x } 1; E{ d } = 4; E{ x d } 1
2
k − 1 = k
k−1
k =
75

Soluţii
1.1.
⎡a
A = ⎢
⎣a
1
3
a
a
2
4
⎤
⎥
⎦
⎡b1
b2
⎤
B = ⎢ ⎥
⎣b3
b4
⎦
⎡b1a
BA = ⎢
⎣b3a
⎡a1b1
+ a 2b3
a1b
AB = ⎢
⎣a
3b1
+ a 4b3
a 3b
+ b2a
3 b1a
2 + b 2a
4 ⎤
+ b +
⎥
4a
3 b3a
2 b4a
4 ⎦
1
1
2
2
+ a b
2
+ a b
4
4
4
⎥ ⎦
⎤
Se constată că
AB ≠ BA
⎡c
= ⎢
⎣c
c
⎤
⎥
⎦
1 2
C A( B + C)
3 c4
⎡a
= ⎢
⎣a
1
3
( b1
+ c1
) + a 2 ( b3
+ c3
) a1( b2
+ c2
) + a 2 ( b 4 + c 4 )
( ) ( ) ( ) ( ) ⎥ ⎤
b1
+ c1
+ a 4 b3
+ c3
a 3 b 2 + c 2 + a 4 b 4 + c4
⎦
⎡a1b
AB + AC = ⎢
⎣a
3b
1
1
+ a c
1
3
1
+ a c
1
+ a b
2
4
3
+ a b
3
+ a c
2
4
3
+ a c
3
a
a
1
3
b
b
2
2
+ a1c
+ a c
3
2
2
+ a b
2
+ a b
4
4
4
+ a c
2
4
4
+ a c
4
⎤
⎥
⎦
Se constată că:
( B + C) = AB AC
A +
a b
⎢
⎣a1b
T ⎡ 1 1 2 3 3 1 4 3 ⎤
( AB) =
⎥ ⎦
2
+ a b
+ a b
2
4
a b + a b
a
3
b
2
+ a b
4
4
B
T
A
T
⎡a1b
= ⎢
⎣a1b
1
2
+ a b
2
+ a b
2
3
4
a 3b1
+ a 4b3
⎤
a b + a b
⎥ ⎦
3
2
4
4
Deci:
T T T
( AB ) = B A
Fie matricea A simetricã:
⎡a
b⎤
A = ⎢ ⎥ .
⎣b
a⎦
Prin inversare se obţine matricea:
−1
1 ⎡ a − b⎤
A =
2 2 ⎢ ⎥
a − b ⎣−
b a ⎦
Se constată că şi această matrice este simetrică.
1.2.
Valorile proprii ale matricei R sunt soluţiile ecuaţiei:
unde I este matricea unitate.
Ecuaţia de mai sus se mai scrie:
( R − λI) 0
det =
[] − λ R[]
1
R[] 1 R[ 0]
R 0
− λ
= 0
76

adică:
sau:
λ
2
2 2
( R[]
0 − λ) − R[] 1 = 0
− 2λR 0
2 2
[] + R[] 0 − R[] 1 = 0
Rădăcinile acestei ecuaţii sunt:
λ
Se obţine sistemul de ecuaţii:
= R 0
[] R[]
1
1 ,2 ±
cu soluţiile:
⎧R 0
⎨
⎩R 0
[] + R[]
1
[] − R[]
1
= 1,2
= 0,8
[] 0 = 1; R[] 1 0, 2
R =
1.3.
Conform exerciţiului anterior:
λ
λ
[ 0] + R[] 1 ; λ = R[ 0] R[]
1
1 = R 2 −
[] > −R[] 1 ; λ > 0 ⇒ R[] 0 R[]
1
> 0 ⇒ R 0
2
R[]
1
1 >
R[]
0
1.4.
⎛ π ⎞
2π
π
x [ n] = sin⎜
n⎟ . Este un semnal periodic de perioadã N, =
⎝ 5 ⎠ N 5
Autocorelaţia semnalului x se calculeazã cu formula:
1
9
1
9
⎛ π ⎞ ⎛ π ⎞
R x [ m] = ∑ x[ n] x[ n + m] = ∑ sin⎜
n⎟sin⎜
( n + m)
⎟
10 n=
0
10 n=
0 ⎝ 5 ⎠ ⎝ 5 ⎠
Dar:
, deci N = 10 .
77

De aceea:
În consecinţă :
Dar:
Aşadar:
9
π
5
1 ⎪
⎧
2 ⎪⎩
π ⎡π
sin n sin
5 ⎢
⎣ 5
π
j m
R
x
1
sin α sin β =
2
[ cos( α − β) − cos( α + β)
]
1
2 ⎢
⎣
π
5
π
5
⎤ ⎡
⎤
( n + m) = cos m − cos ( 2n + m) ⎥⎦
1 1
10 2
⎥
⎦
π
5
1
20
[ m] = 10cos m − ∑ cos ( 2n + m)
cos
5
( 2n + m)
1
⎡
= ⎢e
2 ⎢
⎣
9
n=
0
π
5
π
( 2n+
m) − j ( 2n m)
⎤
+ e
5 ⎥
⎥
⎦
π
π
j
5
+
1 − e
1 − e
cos ( 2n m) e 5 e 5 e 5 e 5 e 5
e 5
∑ + = ⎨ ∑ + ∑ ⎬ = ⎨
+
⎬ = 0 Dec
n= 0
n= 0
n=
0
i:
1.5.
a)
R
b
2
z [ n] = σ δ[ n] ⇒ Φ p ( Ω)
z
)
Φ
pe
9
= σ
⎡
⎢
⎣
2π
j n
⎛
⎜
⎝
π
− j m
π ⎞
⎟
2 ⎠
R x
9
2π
− j n
1
2
⎪
⎫
⎪⎭
⎧
1 ⎪
2 ⎪
⎩
π
5
[ m] = cos m
π ⎞⎤
⎟
2
⎥
⎠⎦
2 2
( Ω) = Φ ( Ω) H( Ω) = σ σ Ω − − σ Ω + ∗ δ ( Ω)
pz
2
⎛
⎜
⎝
2π
π
j m
1 − e
j4π
2π
j
5
π
− j m
1 − e
− j4π
2π
− j
5
⎫
⎪
⎪
⎭
Φ p e
( Ω)
2
σ
. . .
. . .
π
−
2
π
2
3π
2
Ω
78

c)
R
e
[ n]
=
1
2π
π
2
∫
π
−
2
σ
2
e
jΩn
⎛ 2 ⎞
d ⎜
σ
Ω = ⎟
2
⎝ π ⎠
1
jn
π
2
∫
π
−
2
de
jΩn
⎛ 2 ⎞
⎜
σ
= ⎟
2
⎝ π ⎠
1
jn
⎡
⎢e
⎢
⎣
π
j n
2
− e
−
π
j n
2
⎤ σ
⎥ =
⎥
⎦
2
π
sin n
2
πn
d)
1.6.
h
P = R
e
⎛ 1 ⎞
⎝ N ⎠
[] 0
2
σ
=
2
N
∑ − 1
k=
0
[ n] = ⎜ ⎟ δ[ n − k]
N
Ω
∞
N−1
− j( N−1)
sin Ω
− jnΩ
1 − jnΩ
1
a) H( Ω) = ∑ h[ n]
e = ∑ e = e 2 2
n=−∞
n=
0 N N
Ω
sin
2
1
N−1
1
N−1
b) y[ n] = h[ n] ∗ z[ n] = ∑ z[ n − k] ⇒ m = E{ y[ n]
} = ∑ E{ z[ n − k]
}
N k=
0
N k=
0
Dar zgomotul alb este staţionar şi se poate scrie:
σ
2
e
⎛
= ⎜
⎝
= E
1
N
⎞
⎟
⎠
2
{ z[ n − k]
} = E{ z[ n]
} = 0 ⇒ m 0
E =
2
−
−
− −
⎪⎡
N 1
2
⎤ ⎪
N 1
2 N 1N
1
2 ⎛ 1 ⎞
⎪ ⎛ 1 ⎞ 2 ⎛ 1 ⎞
{ y [ n]
} = E⎨
⎜ ⎟ ∑ z[ n − k] ⎬ = E⎨⎜
⎟ ∑ z [ n − k] + 2⎜
⎟ ∑∑z[ n − k] z[ n − l]
⎧
E⎨
⎩
N−1
2
∑ z
k=
0
⎧
⎢
⎪⎩ ⎣⎝
N ⎠
⎫
k=
0
N−1N
−1
k=
0
[ n − k] ⎬ + ∑∑E{ z[ n − k] z[ n − l]
}
⎭
2
N
⎥
⎦
2
k=
0 l=
0
l≠k
⎫
⎪⎭
⎧
⎪⎝
N ⎠
⎩
Dar zgomotul alb este necorelat ( [ n] δ[ n]
)
iar:
Deci:
R z
= şi :
⎝ N ⎠
k=
0 l=
0
l≠k
{ z[ n − k] z[ n − l]
} = R [ k − l] = δ[ k − l] = 0 pentru l k
E z ≠
⎧
E⎨
⎩
N−1
2
∑ z
k=
0
⎫
N−1
{ }
2
[ n − k] ⎬ = ∑E z [ n − k]
⎭
k=
0
=
N−1
∑
k=
0
σ
2
= Nσ
2
⎫
⎪
⎬ =
⎪
⎭
σ
2
e
1
=
N
2
2
( Nσ
)
2
σ
=
N
79

80
1.7.
⎥
⎥
⎥
⎥
⎥
⎥
⎥
⎥
⎦
⎤
⎢
⎢
⎢
⎢
⎢
⎢
⎢
⎢
⎣
⎡
+
+
+
+
+
+
+
+
=
−
−
−
1
L
LL
1
L2
0
L1
1
L
2L
1
22
0
21
1
L
1L
1
12
0
11
w
...R
w
R
w
R
.
.
.
.
.
.
w
R
...
w
R
w
R
w
R
...
w
R
w
R
RW
1
L
L
1
2
0
1
T
w
p
...
w
p
w
p
W
P
−
+
+
+
=
∑ ∑ ∑
−
=
−
=
−
=
+
−
+
+ +
+
+
=
1
L
0
k
1
L
0
k
1
L
0
k
k
1
L,k
1
L
k
1
2,k
1
k
1
1,k
0
T
w
R
w
...
w
R
w
w
R
w
RW
W
( ) ( ) 1
l
1
L
0
k
1
L,l
1
L
1
2,l
1
1
1.l
0
k
1
1,k
l
T
l
T
l
l
2p
R
w
...
w R
w R
w
R
W
P
w
2
W RW
w
w
+
−
=
+
−
+
+
+
+ −
+
+
+
+
=
∂
∂
−
∂
∂
=
∂
∂ξ
∑
Dar funcţia de autocorelaţie este parã:
1
1,l
k
1
1,k
l
R
R +
+
+
+ =
De aceea ultima relaţie devine:
∑ − =
+
+
+ −
=
∂
ξ
∂ 1
L
0
k
1
l
k
1
1,k
l
l
2p
w
R
2
w
adică:
⎥
⎥
⎥
⎥
⎥
⎥
⎥
⎥
⎥
⎥
⎥
⎥
⎥
⎦
⎤
⎢
⎢
⎢
⎢
⎢
⎢
⎢
⎢
⎢
⎢
⎢
⎢
⎢
⎣
⎡
−
−
−
∇ =
∑
∑
∑
−
=
+
−
=
+
−
=
+
1
L
0
k
L
k
1,L
k
2
1
L
0
k
k
1,2
k
1
L
0
k
1
k
1,1
k
p
w
R
.
.
.
p
w
R
p
w
R
2
Dar:

2
( RW − P)
⎡
⎢
⎢
⎢
⎢
⎢
= 2⎢
⎢
⎢
⎢
⎢
⎢
⎣
L−1
∑
k=
0
L−1
∑
k=
0
L−1
∑
k=
0
R
R
R
k+
1,1
k+
1,2
k+
1,L
w
w
w
k
k
k
.
.
.
− p
− p
− p
1
2
L
⎤
⎥
⎥
⎥
⎥
⎥
⎥
⎥
⎥
⎥
⎥
⎥
⎦
1.8.
E
ε
k
= w x − d
1
k−1
2
2 2 2 2
{ ε k } = E{ ( w1x
k−1
− d k ) } = E{ w1
x k − 1 + d k − 2x k−1d
k w1}
2 2 2
2
{ 1 x k − 1 } + E{ d k } − 2E{ w1x
k−1d
k } = w1
− 2w1
+ 4
2
E{ ε k }
E w
k
=
3
w 1
1
81

Seminar 2
2.1. O suprafaţã de eroare medie pãtraticã a unui filtru adaptiv cu un
singur coeficient are parametrii: λ = 0,1
ξ min = 0 şi w * = 2 . Care este
expresia analiticã a acestei suprafeţe
INDICAŢIE
* T
*
( W − W ) Λ( W − W )
ξ = ξ min +
2.2. Dacã în exerciţiul anterior valoarea iniţialã a lui w este w 0 = 0
şi dacã parametrul de convergenţã este µ = 4 , care sunt primele 5
valori ale lui w k pentru algoritmul descris de relaţia:
k
* *
w k = ( 1−
2λµ
) ( w 0 − w ) + w
(1)
2.3. Se considerã suprafaţa de eroare medie pãtraticã:
ξ =
2
0,4w + 4w + 11
Dacã w 0 = 0 şi µ =1, 5 scrieţi expresia şi reprezentaţi grafic curba de
învãţare pentru algoritmul descris de relaţia (1).
2.4. Stabiliţi o formã discretã pentru algoritmul lui Newton, descris
de relaţia:
w
=
−
'( w k )
''( w )
ξ
k+ 1 w k
(2)
ξ k
înlocuind derivatele cu diferenţe finite.
2.5. Se considerã suprafaţa de eroare medie pãtraticã:
2
2
*
[( 1 − w )( 4 + 3w)
+ 1 ] w = 0, 488
1
ξ = 1 −
26
a) Determinaţi relaţia de recurenţã pentru calculul coeficientului
w k folosind relaţia (2).
b) Determinaţi cu 4 zecimale exacte primii 7 coeficienţi de la punctul
a) considerând cã w 0 = 0 .
c) Repetaţi punctul b) pentru w 0 = −1, 3 .
2.6. Folosind algoritmul lui Newton cu µ = 0, 1 , matricea iniţialã
⎡5⎤
⎡1⎤
W 0 = ⎢ ⎥ şi matricea optimã W * =
⎣ 2
⎢ ⎥ determinaţi expresiile celor cinci
⎦
⎣ 3⎦ vectori W k .
INDICAŢIE
*
( 1 − 2µ
) W + 2 W
W k+
1 =
k µ
2.7. Fiind datã suprafaţa de eroare:
2 2
2 0 1 0 1 0 1 +
ξ = w + 2w + 2w w −14w
−16w
42
(3)
Determinaţi valoarea minimã a acesteia precum şi vectorul ponderilor
optime.
82

Soluţii
2.1.
λ = 0,1 ξ 0 w * = 2
min =
ξ = ξ
min
+
*
*
( w − w ) λ( w − w )
( w 2) 2
ξ = ( 0,1) −
2.2.
2.3.
w
− 2λww
w 1 = ( 1 − 0,8)( − 2) + 2 = 1, 6
2
( 1 − 0,8) ( − 2) + 2 = −0,08
+ 2 1, 92
3
w = ( 0,2) ( − 2) + 2 1, 9954
2 =
=
*
w
λ
3 =
ξ =
etc.
2
0,4w + 4w + 11
* 2 2
( w − w ) = 0,4w + 4w ⇒ λ = 0, 4
= 4w ⇒ −2λw
k
=
*
= 4 ⇒ w
*
2
= − = −
λ
k
( −1)
k
( 1 − 3 ⋅ 0,4) ( 5) − 5 = 5 ( − 0,2)
2
0,4
= −5
Se reprezintă grafic.
2.4.
( w) ξ() t − ξ( t ) ξ( t + ∆t) − ξ( t )
dξ
dw
= ξ
=
( w ) − ξ( w ) = ∆ξ( w )
k+
1
lim
t0→0
t − t
k
0
0
≅
k
0
∆t
0
∆t=
1
=
ξ
( t + 1) − ξ( t ) = ξ( w( t + 1)
) − ξ( w( t ))
0
0
0
0
=
d
2
ξ
dw
( w()
t )
2
() t
Înlocuind în relaţia dată se obţine:
w
≅ ∆
{ ∆ξ( w )} = ξ( w ) − 2ξ( w ) + ξ( w )
k
k+
2
ξ( w k+
1 ) − ξ( w k )
( w ) − 2ξ( w ) + ξ( w )
k+ 1 = w k −
(2’)
ξ k+
2 k+
1 k
k+
1
k
2.5.
ξ = 1 −
1
26
2
2
*
[( 1 − w )( 4 + 3w)
+ 1 ] w = 0, 488
2 9 6 7 2 6 3 9 4
[ k k + 1] = − w k + w k + w k w k
1 2
ξ(
w k ) = 1 − ( 1 − w )( 4 + 3w )
+
26
26 13 26 13 26
83

Se înlocuieşte în relaţia (2’) şi se stabileşte relaţia de recurenţă cerută, etc.
2.6.
*
( 1 − 2µ
) W + 2
W µ
1 =
0 W
⎡5⎤
⎡1⎤
⎡4,2⎤
W 1 = 0,8⎢
⎥ + 0,2⎢
⎥ = ⎢ ⎥
⎣2⎦
⎣3⎦
⎣2,2⎦
⎡4,2⎤
⎡1⎤
⎡3,56⎤
W 2 = 0,8⎢
⎥ + 0,2⎢
⎥ = ⎢ ⎥
⎣2,2⎦
⎣3⎦
⎣2,36
⎦
=
W 3
W 4
W 5
=
=
2.7.
Dar:
ξ = ξ
min
+
* T
*
( W − W ) Λ( W − W )
* T
* 2 *
* * 2
[ w − w w − w ] = ... = λ w 0 + λ w w + λ w w + λ
T
*
− w 0
⎤ ⎡λ11
λ12
⎤
0 * * *
* ⎥ ⎢ ⎥ 0 0 1 1
11 12 1 0 21 0 1 22 w 1
1 − w1
⎥ ⎣λ
21 λ 22 ⎦
⎡w
⎢
⎢⎣
w ⎦
Se obţine expresia erorii ξ . Prin identificare cu relaţia (3) se obţine:
Se obţine sistemul de ecuaţii:
λ11 = 2,
λ 22 = 2, λ12
+ λ 21 = 2
* * *
11 0 12 1 21 1 −
* *
0 1 =
− 2λ
w − λ w − λ w = 14 sau 2w + w 7
* * *
12 0 21 0 22 1 −
* *
0 1 =
− λ w − λ w − 2λ
w = 16 sau w + 2w 8
⎪⎧
*
2w 0 + w
⎨
⎪⎩ w + 2w
*
1
* *
0 1
cu soluţiile w * 0 = 2 şi = 3 . Se poate deci scrie: 42 = ξmin + 8 + 12 + 18 adică: ξ 4 .
w* 1
= 7
= 8
min =
84

Seminar 3
3.1. Demonstraţi cã pentru o suprafaţã de eroare medie pãtraticã ( w)
II pot fi calculate exact folosind diferenţe finite:
dξ
ξ
=
dw
( w + δ) − ξ( w − δ)
2δ
ξ derivatele de ordinele I şi
INDICAŢIE
ξ
2
( w) = aw + bw + c
d
d
2
2
ξ
w
ξ
=
( w + δ) − 2ξ( w) + ξ( w − δ)
δ
2
3.2. Un sistem adaptiv cu o singurã pondere are o suprafaţã de eroare datã de:
ξ = 5w
2 − 20w + 23
Faceţi un grafic al acestei suprafeţe pe care evidenţiaţi valorile:
*
min .
ξ , w , λ
INDICAŢIE
ξ = ξ
min
+
V T
ΛV
3.3. Este posibilã o valoare negativã pentru pierderea de performanţã γ în cazul unei
suprafeţe de eroare pãtratice
INDICAŢIE
1
γ = ξ v − δ
2
[ ( ) + ξ( v + δ)
] − ξ( v)
3.4. Care este valoarea perturbaţiei în cazul exerciţiului 3.2.
INDICAŢIE
δ
P =
ξ
2
min
L
∑
n=
0
λ
n
( L + 1)
;
δ = 1
3.5. Se considerã filtrul transversal cu suprafaţa de eroare:
2 2
0 1
+
ξ = 2w
+ 2w + 2w 0w1
−14w
0 −16w1
la a cãrui intrare este adus un semnal cu eşantioanele corelate, astfel încât E{ x x k } 2
{ x x } 1
δ = δ
E k k 1 =
− . Care este valoarea perturbaţiei P dacã 0
42
k = şi
85

3.6. Sã se determine momentul de ordinul 4 al variabilei aleatoare uniforme având densitatea
de probabilitate cu graficul din figurã:
p ξ ( x)
1
2
0
1 2 3
x
3.7. Cunoscând semnalele în timp discret cauzale x k şi y k , legate prin relaţia:
x k = ax k− 1 + byk
, determinaţi prin inducţie completã o expresie nerecurentã pentru x k .
3.8. Demonstraţi cã în cazul în care D este o matrice diagonalã e valabilã relaţia:
∑ ∞
n=
0
D
n
=
( I − D)
unde cu I s-a notat matricea unitate. Care sunt condiţiile de convergenţã
3.9. Considerând cã sunt îndeplinite condiţiile din exerciţiul 3.5. şi presupunând cã gradientul
este estimat pe baza a 50 de observaţii ale erorii la fiecare pas al ponderilor, determinaţi
matricea de covarianţã a estimãrii gradientului. Se va presupune cã εk
este distribuit uniform.
INDICAŢIE
cov
2
{ ˆ ξmin
∇ } = I
k
Nδ
2
−1
86

Soluţii
În lucrarea de laborator nr.5, dedicatã studiului algoritmului LMS, s-a obţinut urmãtoarea
formulã pentru cãutarea minimului erorii pe baza anulãrii gradientului:
−1
[ + 1] = W[ k] − µ R ∇[ k] ; ∇[ k]
W k
=
⎡
∂
( )
2
E{ ε [ k]
}
( w [] 0 )
⎤
⎢
⎢ ∂ k
⎢ .
⎢
⎢
.
⎢ .
⎢ 2
∂( E{ ε [ k]
})
⎢
⎢ ( [ ])⎥ ⎥⎥⎥⎥⎥⎥⎥⎥ ⎣∂
w k L −1
⎦
Aceastã metodã de determinare a minimului erorii a fost numitã metoda lui Newton. În
continuare se justificã aceastã denumire.
În cazul L = 1, relaţia (1) devine:
−1
[ + 1] = w[ k] − µ r ∇[ k] cu ∇[ k]
w k
∂
=
∂w
( E )
2
{ ε [ k]
}
[ L −1]
2
Sã presupunem cã funcţia de w, E{ ε } are graficul din figura 1 şi cã valoarea iniţialã a
coeficientului este 0
w . Pentru calculul lui ∇ [ k]
trebuie calculat '( )
f ( w)
k
f .
w 0
(1)
(A)
0
α
w 1 w 0
w
Metoda lui Newton de calcul numeric a derivatei unei funcţii (despre care se vorbeşte în
problema 3.1.) presupune urmãtoarea formulã de calcul:
f '
( w )
0
f
≅
Dacã se estimeazã '( )
apropiate de punctul cãruia îi
( w1
) − f ( w 0 ) f ( w 0 ) f ( w 0 )
≅
⇒ w1
= w 0 −
w − w w − w
f '( w )
1
f w 1 se va obţine un punct 2
0
0
1
w ş.a.m.d. Aceste puncte sunt din ce în ce mai
0
87

corespunde minimul funcţiei f ( w)
minimului unei funcþii este:
. Relaţia de recurenţã care stã la baza determinãrii abscisei
w
k+
1
= w
k
f
−
f '
( w k )
( w )
k
O formã alternativã a acestei relaţii de recurenţã poate fi obţinutã prin înlocuirea derivatei din
relaţia anterioarã cu diferenţa finitã corespunzãtoare:
Se obţine:
w
k+
1
f '
( w )
k
k
f
=
( w ) − f ( w )
w
k
k
− w
k−1
k−1
( w k )( w k − w k−1
)
f ( w ) − f ( w )
f
= w −
(B)
k
k−1
Deoarece formulele (A) şi (B) sunt de aceeaşi formã (iar (B) a fost obţinutã folosind formula lui
Newton), metoda de cãutare a minimului descrisã de relaţia (1) a fost numitã de tip Newton. În
continuare se prezintã soluţia problemei 3.1.
ξ
∂ξ
= 2av + b
∂v
2
2
( v + δ) − ξ( v − δ) a( v + δ) + b( v + δ) + c − a( v − δ) − b( v − δ)
2δ
S-a demonstrat astfel cã:
=
∂ξ ξ
=
∂v
2δ
( v + δ) − ξ( v − δ)
2δ
Tot prin calcul direct se poate justifica şi cea de a doua relaţie:
2
∂ ξ ξ
= 2a =
2
∂v
În continuare se prezintã soluţia problemei 3.2.
( v + δ) − 2ξ( v) + ξ( v − δ)
δ
2
− c
= ... = 2av + b
2
ξ = 5w
− 20w + 23 = ξmin
+ vλv
*
2 2 *
*
unde: v w w v w ( w ) 2ww
= − ⇒ = + − . Se obţine:
2
2
2
*
* 2
( w ) + min
5w
− 20w + 23 = λw
− 2λww
+ λ ξ
88

Prin identificare se obţine:
*
λ = 5 w = 2 ξmin
= 3
ξ
ξ min = 3
w
w * = 2
În cazul L ≠ 1, aşa cum s-a arãtat în lucrarea de laborator deja citatã, la pasul k gradientul se
calculeazã cu formula:
∇
[ k] ≅ 2RW[ k] − 2P
Aceastã formulã este inspiratã din formula de calcul al gradientului demonstratã în seminarul 1:
∇ = 2RW
− 2P
Aceastã formulã este însã valabilã doar în cazul în care sunt satisfãcute anumite ipoteze. De
aceea expresia gradientului la momentul k este doar aproximativã. În consecinţã se poate afirma
cã estimarea gradientului este doar aproximativã. Eroarea comisã afecteazã procesul de
adaptare. Este interesant sã se aprecieze efectul erorii de calcul a gradientului asupra valorii
finale a erorii medii pãtratice minime. În cazul filtrului cu un singur coeficient (L=1) pentru
aprecierea înrãutãţirii performanţelor filtrului ca urmare a estimãrii eronate a gradientului se
introduce mãsura γ . Semnificaţia acesteia poate fi desprinsã din figura urmãtoare.
89

ξ( v)
v = w −
*
w
( v + δ)
ξ 0
( v − δ)
ξ 0
γ
v0
− δ
v 0
v 0 + δ
v
Dacã valoarea v 0 (la care ar trebui calculat gradientul) este eronatã cu ± δ , se construieşte
dreapta care trece prin punctele de coordonate ( v 0 − δ,
ξ( v0
− δ)
) şi ( v 0 + δ,
ξ( v0
+ δ)
) şi se
determinã γ . Aceasta se va considera mãsura erorii datorate impreciziei de determinare a lui
v 0 . La aceastã mãrime se referã enunţul problemei 3.3.
În continuare se prezintã soluţia problemei 3.3.
ξ = aw 2 + bw + c , cu a > 0 deoarece aceastã funcţie are un minim.
γ =
2
Deci γ nu poate fi negativ.
ξ
2 2
( w − δ) + ξ( w + δ) = 2aw + 2aδ
+ 2bw + 2c
2 2
( 2aw + 2aδ
+ 2bw + 2c) − ξ( w) = aδ
> 0
1 2
O mãsurã adimensionalã a pierderii de calitate datoratã impreciziei de estimare a gradientului
2
γ λδ
este: P = = pentru L = 1 . Despre aceastã mãsurã este vorba în problemele 3.4
ξmin
ξmin
şi 3.5. În continuare se prezintã soluţiile acestor probleme.
3.4.
λ
P = ,
2ξ
min
λ = 5,
L = 1 ξmin = 23 P =
5
46
3.5.
⎡2
1⎤
2 − λ 1 2
R = ⎢ ⎥ det( R − λI)
=
= λ − 4λ + 3
⎣1
2⎦
1 2 − λ
⇒ λ1
= 1, λ 2 = 3
90

⎧ ∂ξ
⎪ = 4w 0 + 2w1
−14
∂w
0
⎨
În urma egalãrii cu 0 a derivatelor se obţine un sistem de ecuaţii
∂ξ
⎪ = 4w1
+ 2w 0 −16
⎪⎩
∂w1
* *
1 0 =
cu soluţiile: w = 3, w 2 Valoarea minimã a erorii de aproximare este:
( 2,3) 4
ξ Valoarea perturbaţiei este: P =
min = ξ =
2
δ 0
În continuare se prezintã rezultatele celorlalte probleme.
3
3.6.
3.7.
3.8.
242
M 4 =
5
n
n
0
n−1
x = a by + a by + aby + by
1
n
n
Relaţia se demonstreazã prin verificare. Condiţia de convergenţã este: a < 1.
3.9.
ξ
min
=
4, N
= 50
cov
16
{ ∇ˆ
} = I
k
50δ
2
91