Articol - SSMR
Articol - SSMR
Articol - SSMR
You also want an ePaper? Increase the reach of your titles
YUMPU automatically turns print PDFs into web optimized ePapers that Google loves.
6 <strong>Articol</strong>e şi note matematice<br />
cu egalitate dacă şi numai dacă:<br />
x<br />
a(b 2 + c 2 − a 2 ) = y<br />
b(c 2 + a 2 − b 2 ) = z<br />
c(a 2 + b 2 − c 2 ) .<br />
Dacă luăm în inegalitatea lui Murray S. Klamkin x = a, y = b, z = c,<br />
obţinem<br />
( a 2 + b 2 + c 2 ) 2<br />
≥ 3 ⇔ a 2 + b 2 + c 2 ≥ 4 √ 3S.<br />
4S<br />
Demonstraţia 16. A. Oppenheim a stabilit că: dacă x, y, z ∈ R ∗ + ,atunci<br />
în orice triunghi ABC are loc inegalitatea:<br />
(<br />
a 2 x + b 2 y + c 2 z ) 2<br />
≥ 16S 2 (xy + yz + zx) .<br />
Considerând x = y = z = 1, deducem<br />
(<br />
a 2 + b 2 + c 2) 2<br />
≥ 16S2 · 3 ⇔ a 2 + b 2 + c 2 ≥ 4 √ 3S.<br />
Demonstraţia 17. Tot Murray S. Klamkin a stabilit şi inegalitatea:<br />
( a 2 + b 2 + c 2 ) 2<br />
≥ a2<br />
4S b 2 + b2<br />
c 2 + c2<br />
a 2 ≥ 3,<br />
din care obţinem a 2 + b 2 + c 2 ≥ 4 √ 3S.<br />
Demonstraţia 18. Conform teoremei cosinusului avem:<br />
a 2 = b 2 + c 2 − 2bc cos A ≥ 2bc − 2bc cos A =2bc(1 − cos A) =<br />
=4bc sin 2 A sin 2 A sin 2 A<br />
2 =4bc sin A · 2<br />
sin A =8S · 2<br />
2sin A 2 cos A =4S · tg A 2 ,<br />
2<br />
şi analoagele, de unde deducem că<br />
(<br />
a 2 + b 2 + c 2 ≥ 4S tg A )<br />
2 +tgB 2 +tgC .<br />
2<br />
Concluzia rezultă acum din faptul că funcţia h :(0,π) → R, h(x) =tg x 2<br />
este convexă pe(0,π), deci<br />
tg A 2 +tgB 2 +tgC 2 ≥ 3tg A + B + C =3tg π 6<br />
6 = √ 3.<br />
Demonstraţia 19. Avem:<br />
(<br />
a 2 + b 2 + c 2) 2 4 (<br />
= a 2 + b 2 + c 2)( m 2 a + m 2 b<br />
3<br />
+ ) m2 c ≥<br />
≥ 4 (a + b + c)2<br />
· · (m a + m b + m c ) 2<br />
≥ 4 3 3<br />
3<br />
27 (a + b + c)2 (h a + h b + h c ) 2 ≥<br />
≥ 4 (3 3√ abc · 3 3√ ) 2 ( √ ) 2 ( √ )<br />
h a h b h c =12<br />
3<br />
3 2<br />
aha bh b ch c =12 2<br />
27<br />
3 S 3 =48S 2 ,<br />
de unde se deduce uşor că a 2 + b 2 + c 2 ≥ 4 √ 3S.