Filtrarea semnalelor. O introducere

Filtrarea semnalelor.
O introducere
Filtrare - Modificarea relativa a amplitudinilor
componentelor armonice ale unui semnal
periodic sau chiar eliminarea sau selectarea
anumitor componente armonice;
Modificarea densitatii spectrale a unui semnal
aperiodic, in sensul favorizarii sau defavorizarii
unor segmente spectrale.
Inginerul român Augustin Maior a observat ca pe
un circuit telefonic s-ar putea transmite mai
multe convorbiri simultan. Pentru aceasta a
transferat spectrul vocal al unei convorbiri întro
banda de frecventa, distincta de al altei
convorbiri, prin modulare. La receptie
separarea convorbirilor se realizeaza printr-o
operatie de atenuare a tuturor componentelor
spectrale cu exceptia cate unei benzi, in care a
fost plasata convorbirea. In acest mod, prin
filtrare, se separa convorbirile ce au fost
amestecate.
1

Filtrarea se realizeaza cu ajutorul unor sisteme
liniare si invariante in timp continuu sau
discret.
Filtrele sunt sisteme de convolutie continue
sau discrete.
H
Tipuri de filtre ideale
Filtrul trece jos ideal
( ω) = p ( ω) ↔ h( t)
ωc
sinωct
=
πt
Filtrele ideale nu pot fi realizate
deoarece sunt necauzale.
Nu este respectata teorema
Paley-Wiener.
∞
∫
−∞
log H
1+ ω
( ω)
2
pentru ω > ω , log H
dω
nu este convergenta deoarece
c
( ω) → ∞
2

Aproximarea unui filtru ideal printr-un
filtru realizabil
( )
Filtrul ideal nu este cauzal, ht ≠ 0 ,t < 0 . Pentru a obtine un sistem
cauzal, se intarzie ht () cu t0
si se trunchiaza raspunsul la impuls obtinut
astfel in intervalul [ 0, 2 t0
]. Caracteristica de frecventa a filtrului ideal, H ( ω)
,
este reala si pozitiva, deci caracteristica sa de faza este identic nula. Caracteristica
de frecventa a filtrului obtinut prin intarziere este complexa:
t
sinωc
( t−
t0
)
() = ( − 0 ) = ↔ t ( ω)
0
π ( t-t0
)
t ( ω ) = ( ω ) = ( ) ( )
0 ω ω Φ
c t ω =−ω
0
0
dΦt
( ω)
0
( )
t.
h t h t t H
0
H H p ; t ;
τ ω =− =
dω
g 0
,
( − ) ( − )
Raspunsul la impuls ht t p t t
0 t 0
0
caracterizeaza un sistem
cauzal si deci realizabil. Raspunsul in frecventa corespunzator nu mai
este insa ideal, ci unul afectat de fenomenul Gibbs. Cu cat t
0
este mai
mare cu atat aproximarea este mai buna. De aceea modelul de filtru
ideal poate fi utilizat in calcule ca o limita care poate fi aproximata oricat
de bine in eroare medie patratica.
3

Filtrul trece jos ideal in
timp discret
H
⎧1,
⎨
⎩0,
Ω − 2kπ
< Ω
c
( Ω) =
↔ h[]
n
pentru rest
sin Ωcn
=
πn
Filtrul trece sus ideal
⎧0,
ω < ωc
sin ωct
HTS ( ω) = ⎨ = 1-pω
( ω) ↔ hTS
( t) = δ( t)
−
c
⎩1,
ω ≥ ωc
πt
4

Filtrul trece sus ideal in
timp discret
H
h
h
TS
TS
TS
( Ω)
[] n
⎧1,
= ⎨
⎩0,
1
=
2π
[] n = δ[]
n
−π+Ωc
jΩn
∫
−π
e
Ω −
sin Ωcn
−
πn
( 2k
+ 1)
pentru rest
dΩ +
1
2π
π < Ω
π
∫
e
π−Ωc
c
jΩn
= 1-p
dΩ =
Ωc
1
2π
( Ω) ∗δ ( Ω − π)
π
∫
−π
e
jΩn
2π
dΩ −
1
2π
Ωc
∫
e
−Ωc
jΩn
dΩ
Filtrul trece banda ideal
H
TB
⎧1,
⎨
⎩0,
ω
< ω < ω
c1
c2
( ω) =
= p ( ω) − p ( ω) ↔ h ( t)
in rest
ωc
2
ωc
1
TB
sin ω
=
πt
c2
t sin ω
−
πt
c1
t
5

Filtrul trece banda ideal in
timp discret
⎧⎪
1,
Ω < Ω