Despre numerele reale algebrice - Silviu BOGA

Despre numerele reale algebrice
Silviu BOGA 1
În cele ce urmează, cadrul de studiu este inelul polinoamelor cu coeficienţi raţionali
în care s-au definit conceptul de divizibilitate, cel mai mare divizor comun a două
polinoame, număr real algebric şi polinom minimal asociat unui număr real algebric.
Rezultată imediat din algoritmul lui Euclid şi deosebit de utilă înraţionamentele ce
vor urma este proprietatea: ∀f,g ∈ Q[X] ∃u, v ∈ Q[X] încât u · f + v · g =(f; g).
Propoziţia 1. Dacă douăpolinoamef,g ∈ Q[X] au o rădăcină comună α ∈ C,
atunci (f; g) 6= 1.
Demonstraţie. Presupunând prin absurd că (f; g) =1, conform proprietăţii
anterior enunţată, ∃u, v ∈ Q[X] încât u · f + v · g =1. În acest caz, cum f(α) =
g(α) =0, vom obţine că (u · f + v · g)(α) =1,deci0=1, contradicţie.
Propoziţia 2. Dacă douăpolinoamef,g ∈ Q[X] au o rădăcină comună α ∈ C
şi h =(f; g), atuncih(α) =0.
Demonstraţie. Fie f = ˜f · h, g =˜g · h şi atunci, cum ( ˜f;˜g) =1, ∃u, v ∈ Q[X]
încât u· ˜f +v · ˜g =1şi astfel (u· ˜f +v ·˜g)·h = h ⇒ u·f +v ·g = h ⇒ (u·f +v ·g)(α) =
h(α) ⇒ h(α) =0.
Propoziţia 3. Fie f ∈ Q[X], f = X p + a 1 X p−1 + a 2 X p−2 + ···+ a p−1 X + a p ,
pentru care
(i) f este de grad impar;
(ii) f este ireductibil în Q[X];
(iii) f are o rădăcină α ∈ R de semn contrar cu termenul liber a p 6=0;
(iv) a 2 1 + a2 2 + ···+ a2 p−1 6=0.
În condiţiile (i) — (iv), pentru orice n ∈ N ∗ , α n este număr real iraţional.
Demonstraţie. Vom presupune, fără a restrânge generalitatea, că termenul liber
este pozitiv. Din cele menţionate, evident că α ∈ R \ Q. În acest caz, dacă pentru
un anume n ∈ N ∗ ar avea loc α n = a ∈ Q, polinomul g = X n − a ∈ Q[X] având
orădăcină comună cu polinomul f nu va fi prim cu f şi, cum f este ireductibil, ar
rezulta g . f. Dar rădăcinile x1 ,x 2 ,...,x n ∈ C ale polinomului g au |x 1 | = |x 2 | =
··· = |x n | = np |a| şi astfel, din g . f, ar rezulta că şi rădăcinile polinomului f sunt
toatedeacelaşi modul, implicit |α| = pp |a p | şi, din condiţia (iii), α = − p√ a p . În
aceastăsituaţie, din exprimarea f =(X p + a p )+X ¡ ¢
a 1 X p−2 + a 2 X p−3 + ···+ a p−1
se va deduce că polinoamele v = X p + a p şi w = a 1 X p−2 + a 2 X p−3 + ···+ a p−1 au
rădăcină comună α. Darw = a 1 X p−2 +a 2 X p−3 +···+a p−1 este neconstant conform
cu (i) şi (iv) şi, datorită rădăcinii comune, v şi w nu ar fi prime între ele, ceea ce ar
face ca f să nu fie ireductibil în Q[X], în contradicţie cu (ii). Rămâne că α n ∈ R \ Q.
Observaţie. Chestiuni de genul: Dacă x ∈ R verifică x 3 +2x +2 = 0,săse
arate că x 2006 ∈ R \ Q, imediat justificate de Propoziţia 3, apar în mai multe rânduri
printre subiectele de bacalaureat, sesiunile 2006 şi 2007 (a se vedea [1]).
Urmând pas cu pas demonstraţia Propoziţiei 3 (adaptările necesare sunt evidente!)
vom obţine imediat
1 Profesor, Liceul "V. Alecsandri", Iaşi
33

Propoziţia 4. Fie f ∈ Q[X], f = X p + a 1 X p−1 + a 2 X p−2 + ···+ a p−1 X + a p ,
pentru care
(i) f este de grad par;
(ii) f este ireductibil în Q[X];
(iii) f are o rădăcină α ∈ R şi a p < 0;
(iv) a 2 1 + a 2 2 + ···+ a 2 p−1 6= 0.
În condiţiile (i) — (iv), pentru orice n ∈ N ∗ , α n este număr real iraţional.
Observaţie. Analog cu prima observaţie, prin Propoziţia 4 se demonstrează
imediat afirmaţii de genul: Dacă x ∈ R verifică x 4 + x 3 + x 2 + x = 2007, săsearate
că x n ∈ R \ Q, ∀n ∈ N ∗ .
Propoziţia 5. Dacă α ∈ R este un număr real algebric şi există n ∈ N ∗ încât
α n ∈ Q atunci n . p, unde p =gradf α , f α fiind polinomul minimal asociat lui α
(adică polinomul din Q[X] de grad minim şi care admite ca rădăcină α).
Demonstraţie. Fie α n = a ∈ Q; atunci g = X n − a are rădăcină comunăcuf α ,
deci (g; f α )=h 6= 1. Dar f α fiind polinom minimal, este ireductibil şi astfel g . fα ,
de unde n . grad f α .
Propoziţia 6. Dacă α ∈ R este un număr real algebric şi există n ∈ N ∗ încât
α n ∈ Q, atunci polinomul minimal asociat lui α este de forma f α = X p − α p ,unde
p =min{n | α n ∈ Q}.
Demonstraţie. În cazul α ∈ Q se observă că f α = X − α. Încazulα ∈ R \ Q,
evident {n | α n ∈ Q} 6= ∅ şi fie f α = X p + a 1 X p−1 + a 2 X p−2 + ···+ a p−1 X + a p
polinomul minimal al lui α. Cum α n ∈ Q, conform propoziţiei anterioare n . p şi
totodată α, α 2 ,...,α p−1 ∈ R\Q, deoarece în caz contrar f α nu ar mai fi minimal. Dar
în acest caz n ≥ p şi analog cu raţionamentul din propoziţiile anterioare |α| = pp |a p |,
deci |α| p = |a p | ∈ Q. Astfel α p ∈ Q şi considerând g = a 1 X p−1 + a 2 X p−2 + ···+
a p−1 X +(a p + α p ), deducem că g(α) =f α (α) =0şi cum f α este minimal, atunci
g =0, prin urmare f α = X p − α p .
Observaţie. Conform ultimei propoziţii, orice rădăcină realăiraţională α aunui
polinom f ∈ Q[X] ireductibil şi care nu este de forma f = X p − a, are proprietatea
α n ∈ R \ Q, ∀n ∈ N ∗ .
Concluzie. Oricare ar fi α ∈ R\Q rădăcină a unui polinom ireductibil f ∈ Q[X],
f = X p + a 1 X p−1 + a 2 X p−2 + ···+ a p−1 X + a p , are loc exact una din situaţiile:
a) a 2 1 + a 2 2 + ···+ a 2 p−1 6= 0şi în acest caz α n ∈ R \ Q, ∀n ∈ N ∗ ;
b) a 2 1 + a 2 2 + ···+ a 2 p−1 =0şi în acest caz α n ∈ R \ Q ⇔ n ∈ N ∗ este nedivizibil
prin p.
Bibliografie
1. http://www.subiecte2007.edu.ro — bacalaureat, subiecte M11, variantele 47 şi 84.
2. C. Năstăsescu, C. Niţă - Teoria calitativă aecuaţiilor algebrice, Ed. Tehnică,
Bucureşti, 1982.
34