SCSL ユーザガイド 第2.2版 - 日本SGI

SGI 科 学 技 術 計 算 ライブラリ
SCSL
(Scientific Computing Software Library)
ユーザガイド
第 2.2 版

第 2.2 版
平 成 20 年 7 月 16 日
改 訂 履 歴
版 番 号 日 付 変 更 内 容
第 2.2 版 平 成 20 年 7 月 16 日 ・ 第 5 章 、 PDSLDLT_SOLVEM 、 及 び
DPSLDU_SOLVEM の 仕 様 変 更 に 伴 う 引 数 説 明 の 追
加
・プログラム 例 において Frank 行 列 の 名 称 を 削 除 。
また、 利 用 されているテスト 行 列 の 定 義 を 追 加
第 2.1 版 平 成 17 年 1 月 26 日 ・ 第 5 章 、 第 5.5.4 節 の 引 数 一 覧 の convtol の 説 明
を 修 正
第 2.0 版 平 成 15 年 6 月 1 日 ・レイアウト 修 正
・ 第 4 章 、 第 4.3.1 節 、 及 び 第 4.3.2 節 においてサン
プルプログラムと 実 行 例 を 追 加
第 1.1 版 平 成 13 年 10 月 29 日 ・ 第 5 章 、 第 5.5 節 において、 疎 行 列 の 反 復 解 法
DIterative ルーチンの 説 明 を 追 加
・ 第 6 章 において、 乱 数 発 生 ルーチンについての 説
明 を 追 加
・ 各 ライブラリについて、サンプルプログラムを 追 加
・ 各 ライブラリについて、 性 能 グラフを 追 加
第 1.0 版 平 成 13 年 4 月 27 日
新 規 作 成
本 マニュアルのお 問 い 合 わせは、 下 記 アドレス 宛 てにお 送 りください。
tech_doc_lib_qa@sgi.co.jp
よろしくお 願 いいたします。
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1. はじめに...................................................................................................................................................................................1
1.1. SCSL に 含 まれるルーチン ....................................................................................................................................1
1.1.1. FFT ライブラリ ....................................................................................................................................................1
1.1.2. BLAS ライブラリ.................................................................................................................................................2
1.1.3. LAPACK ライブラリ...........................................................................................................................................2
1.1.4. 疎 行 列 の 直 接 解 法 、 反 復 解 法 ....................................................................................................................2
1.1.5. 乱 数 発 生 ルーチン............................................................................................................................................2
1.2. 精 度 ..................................................................................................................................................................................2
1.3. 計 算 インテンシティ.....................................................................................................................................................3
1.4. コンパイルとリンク......................................................................................................................................................3
1.5. 並 列 化 .............................................................................................................................................................................4
1.5.1. OMP_NUM_THREADS......................................................................................................................................4
1.5.2. OMP_DYNAMIC..................................................................................................................................................5
1.5.3. MPC_GANG .........................................................................................................................................................5
1.6. 8 バイト 整 数 ..................................................................................................................................................................6
1.7. C/C++プロトタイプ......................................................................................................................................................6
1.7.1. FFT ライブラリ 及 び BLAS ライブラリ.........................................................................................................6
1.7.2. LAPACK ライブラリ 及 び 疎 行 列 の 直 接 解 法 、 反 復 解 法 ....................................................................7
1.8. マルチスレッドセーフ.................................................................................................................................................7
1.9. C プログラムからの SCSL の 呼 び 出 し.............................................................................................................7
1.9.1. BLAS ライブラリ、FFT ライブラリ、 疎 行 列 の 直 接 解 法 、 反 復 解 法 ................................................8
1.9.2. LAPACK ライブラリ........................................................................................................................................ 11
1.10. インストールと 使 用 方 法 ........................................................................................................................................ 16
1.10.1. Modules の 利 用 方 法 .................................................................................................................................... 16
1.11. ドキュメント ................................................................................................................................................................. 17
1.12. 参 考 文 献 ..................................................................................................................................................................... 18
2. FFT ルーチン ...................................................................................................................................................................... 19
2.1. データ 型 ...................................................................................................................................................................... 19
2.2. 関 数 一 覧 ..................................................................................................................................................................... 20
2.3. 注 意 ............................................................................................................................................................................... 20
2.4. Real-to-complex FFT............................................................................................................................................ 23
2.4.1. SCFFT のアプリケーションプログラムインターフェース (API) ..................................................... 24
2.4.2. DZFFT のアプリケーションプログラムインターフェース (API)...................................................... 24
2.4.3. 詳 細 ..................................................................................................................................................................... 24
2.4.4. データ 型 ............................................................................................................................................................. 26
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2.4.5. 注 意 ..................................................................................................................................................................... 26
2.5. Complex-to-real FFT............................................................................................................................................. 27
2.6. 初 期 化 .......................................................................................................................................................................... 28
2.7. 配 列 の 次 元 及 び 寸 法 ............................................................................................................................................. 28
2.8. 畳 み 込 みルーチン 及 び 相 関 ルーチン ............................................................................................................. 29
2.9. サンプルプログラム ................................................................................................................................................ 30
2.9.1. 1 次 元 real-to-complex FFT DZFFT .................................................................................................... 30
2.10. FFT ルーチンの 性 能 .............................................................................................................................................. 33
3. BLAS ルーチン................................................................................................................................................................... 35
3.1. データ 型 ...................................................................................................................................................................... 35
3.2. マニュアルページ 名 ................................................................................................................................................ 35
3.3. レベル 1....................................................................................................................................................................... 36
3.3.1. 増 分 引 数 ........................................................................................................................................................... 36
3.3.2. FORTRAN での 関 数 の 型 宣 言 .................................................................................................................. 37
3.3.3. サーチ 関 数 ....................................................................................................................................................... 37
3.3.4. 関 数 一 覧 ........................................................................................................................................................... 37
3.4. レベル 2....................................................................................................................................................................... 38
3.4.1. 多 次 元 配 列 ...................................................................................................................................................... 38
3.4.2. 関 数 一 覧 ........................................................................................................................................................... 39
3.5. レベル 3....................................................................................................................................................................... 39
3.5.1. 多 次 元 配 列 ...................................................................................................................................................... 39
3.5.2. 関 数 一 覧 ........................................................................................................................................................... 40
3.6. CBLAS ライブラリ .................................................................................................................................................... 40
3.6.1. ヘッダファイル ................................................................................................................................................. 40
3.6.2. 呼 び 出 し 名 ........................................................................................................................................................ 41
3.6.3. 配 列 引 数 ........................................................................................................................................................... 41
3.6.4. 複 素 数 データ................................................................................................................................................... 42
3.6.5. インデックスを 返 すルーチン...................................................................................................................... 43
3.6.6. 複 素 数 を 返 すルーチン................................................................................................................................ 43
3.6.7. その 他 ................................................................................................................................................................ 43
3.7. サンプルプログラム ................................................................................................................................................ 43
3.7.1. 倍 精 度 スカラー・ベクトル 乗 算 及 びベクトル 同 士 の 和 DASPY ................................................... 44
3.7.2. 倍 精 度 実 一 般 行 列 同 士 の 積 DGEMM ................................................................................................. 46
3.8. BLAS の 性 能 ............................................................................................................................................................. 51
4. LAPACK ルーチン............................................................................................................................................................. 52
4.1. SCSL に 含 まれる LAPACK ルーチン.............................................................................................................. 52
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4.2. ネーミングスキーム................................................................................................................................................. 53
4.3. サンプルプログラム ................................................................................................................................................ 54
4.3.1. 倍 精 度 実 一 般 行 列 用 連 立 一 次 方 程 式 の 解 法 DGESV................................................................. 54
4.3.2. 倍 精 度 実 帯 行 列 用 連 立 一 次 方 程 式 の 解 法 DGBSV..................................................................... 56
4.3.3. 倍 精 度 実 一 般 行 列 の LU 分 解 DGETRF と LU 分 解 を 用 いた 連 立 一 次 方 程 式 の 解 法
DGETRS 60
4.3.4. 全 部 または 指 定 した 範 囲 の 倍 精 度 実 対 称 固 有 値 問 題 (dqds アルゴリズム) DSYEVR ... 64
4.4. LAPACK の 性 能 ....................................................................................................................................................... 71
5. 疎 行 列 の 直 接 解 法 、 反 復 解 法 .................................................................................................................................... 72
5.1. はじめに ...................................................................................................................................................................... 72
5.2. 注 意 ............................................................................................................................................................................... 73
5.3. DPSLDLT、ZPSLDLT ルーチン ......................................................................................................................... 73
5.3.1. 関 数 一 覧 ........................................................................................................................................................... 74
5.3.2. 詳 細 ..................................................................................................................................................................... 76
5.3.3. 疎 行 列 の 格 納 形 式 ........................................................................................................................................ 77
5.3.4. オーダリングの 方 法 ...................................................................................................................................... 78
5.3.5. 置 換 ベクトル .................................................................................................................................................... 78
5.3.6. 対 角 項 がゼロになる 行 列 ........................................................................................................................... 79
5.3.7. メモリの 使 用 量 ................................................................................................................................................ 79
5.3.8. アウトオブコア 分 解 ........................................................................................................................................ 79
5.3.9. 複 数 の 右 辺 に 対 する 解 ............................................................................................................................... 79
5.3.10. 各 ルーチンの 引 数 の 説 明 .......................................................................................................................... 80
5.3.11. 環 境 変 数 ........................................................................................................................................................... 81
5.4. DPSLDU、ZPSLDU ルーチン.............................................................................................................................. 81
5.4.1. 関 数 一 覧 ........................................................................................................................................................... 81
5.4.2. 詳 細 ..................................................................................................................................................................... 83
5.4.3. 疎 行 列 の 格 納 形 式 ........................................................................................................................................ 84
5.4.4. オーダリングの 方 法 ...................................................................................................................................... 85
5.4.5. 置 換 ベクトル .................................................................................................................................................... 86
5.4.6. 対 角 項 がゼロになる 行 列 ........................................................................................................................... 86
5.4.7. メモリの 使 用 量 ................................................................................................................................................ 87
5.4.8. アウトオブコア 分 解 ........................................................................................................................................ 87
5.4.9. 複 数 の 右 辺 に 対 する 解 ............................................................................................................................... 87
5.4.10. 各 ルーチンの 引 数 の 説 明 .......................................................................................................................... 87
5.4.11. 環 境 変 数 ........................................................................................................................................................... 88
5.5. DIterative ルーチン ................................................................................................................................................ 88
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5.5.1. 関 数 一 覧 ........................................................................................................................................................... 89
5.5.2. 詳 細 ..................................................................................................................................................................... 89
5.5.3. 疎 行 列 の 格 納 形 式 ........................................................................................................................................ 90
5.5.4. 引 数 ..................................................................................................................................................................... 92
5.5.5. 環 境 変 数 ........................................................................................................................................................... 93
5.6. サンプルプログラム ................................................................................................................................................ 94
5.6.1. 倍 精 度 実 対 称 疎 行 列 の 直 接 解 法 DPSLDLT.................................................................................... 94
5.6.2. 倍 精 度 実 疎 行 列 の 反 復 解 法 (ヤコビ 前 処 理 付 CG 法 ) ................................................................. 98
5.7. スパースソルバーの 性 能 ...................................................................................................................................103
6. 乱 数 発 生 ルーチン ..........................................................................................................................................................104
6.1. Drand64 ルーチン..................................................................................................................................................104
6.1.1. 関 数 一 覧 .........................................................................................................................................................104
6.1.2. 詳 細 ...................................................................................................................................................................106
6.1.3. 使 用 例 ..............................................................................................................................................................107
6.1.4. 例 1 ....................................................................................................................................................................107
6.1.5. 例 2....................................................................................................................................................................108
6.1.6. 例 3 ....................................................................................................................................................................109
6.1.7. 注 意 ...................................................................................................................................................................110
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1. はじめに
SGI の 科 学 技 術 計 算 ライブラリ SCSL (Scientific Computing Software Library) は、1000 以 上 にもおよぶ
スカラ、ベクトル、 行 列 などに 対 する 浮 動 小 数 点 演 算 (32 ビットおよび 64 ビット)、 整 数 、 論 理 データに 対
する 処 理 をおこなうルーチンを 集 めたものです。 これらは、 線 形 代 数 方 程 式 、 固 有 値 解 析 、 行 列 演 算 、
疎 行 列 、 高 速 フーリエ 変 換 (FFT)、 信 号 処 理 などの 処 理 を 含 んでいるので、ユーザはプログラム 開 発 に
労 力 を 割 くことなく、 適 切 な SCSL ライブラリを 呼 ぶだけで 望 む 処 理 を 行 うことができます。
これらのルーチンは、FORTRAN の 慣 習 にしたがったデータの 格 納 、 引 数 の 受 け 渡 しを 採 用 しており、
FORTRAN から 呼 び 出 せるように 設 計 されています。すべての 行 列 要 素 を、FORTRAN の 慣 習 に 従 い 列
方 向 を 優 先 して 主 記 憶 上 の 連 続 した 領 域 に 格 納 していますが、C プログラムから 利 用 することも 可 能 で
す。その 際 、 複 素 数 型 データおよび 文 字 列 データの 引 き 渡 し、 行 列 データの 格 納 形 式 の 相 違 などについ
て 注 意 を 払 う 必 要 があります。 詳 細 は、1-9 節 の“C プログラムからの SCSL の 呼 び 出 し”をご 参 照 くだ
さい。
SCSL に 含 まれるルーチンの 多 くはマルチプロセッサシステムのために、 計 算 インテンシティの 改 善 、ソフ
トウェア・パイプライニング、キャッシュ 管 理 、 並 列 プログラミング[1]などの 最 適 化 がなされています。
1.1. SCSL に 含 まれるルーチン
SCSL には、 以 下 のようなルーチンが 含 まれます。
• FFT ライブラリ (FFT ルーチン 及 び 線 形 フィルタリングルーチン)
• BLAS ライブラリ
• LAPACK ライブラリ
• 疎 行 列 の 直 接 解 法 、 反 復 解 法
• 64bit のスレッドセーフな 乱 数 ジェネレータ
1.1.1. FFT ライブラリ
FFT サブライブラリは、 高 速 フーリエ 変 換 を 行 なうためのルーチンより 成 り 立 っています。1 次 元 、2 次 元 、
3 次 元 の FFT 及 び 複 数 の1 次 元 データに 対 する 多 重 FFT ルーチンが 含 まれています。
また、 畳 み 込 みルーチン 及 び 相 関 ルーチン 等 の 線 形 フィルタリングルーチンが 含 まれています。
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1.1.2. BLAS ライブラリ
BLAS (Basic Linear Algebra Subprograms) サブライブラリは、 線 形 代 数 計 算 における 多 くの 重 要 なルー
チンを 提 供 します。BLAS には、BLAS1、BLAS2、BLAS3 で 表 わされる3のレベルの 130 種 類 を 超 えるサ
ブプログラム[2] [3] [4] があります。
また、LAPACK サブライブラリは、 多 くの BLAS ルーチンをカーネルルーチンとして 引 用 しています。
1.1.3. LAPACK ライブラリ
LAPACK ライブラリは、 線 形 代 数 計 算 、 最 小 自 乗 法 、 固 有 値 問 題 、 特 異 点 問 題 などの 多 くの 線 形 代 数 問
題 の 数 値 解 析 に 共 通 するサブルーチンのライブラリです。これらは、 多 くのコンピュータの 上 で 高 速 に 動
作 するように 設 計 されています。
1.1.4. 疎 行 列 の 直 接 解 法 、 反 復 解 法
疎 行 列 に 対 する 直 接 解 法 および 反 復 解 法 ルーチンを 提 供 します。 対 称 及 び 非 対 称 行 列 それぞれについ
て 解 法 ルーチンが 用 意 されています。
1.1.5. 乱 数 発 生 ルーチン
64bit スレッドセーフな 乱 数 発 生 ルーチンを 提 供 します。 並 列 処 理 において、 異 なるプロセッサ 間 で 独 立
な 乱 数 列 を 生 成 するように 設 計 されています。
1.2. 精 度
ライブラリには、32 ビット 精 度 と 64 ビット 精 度 のものがあります。これらは、 標 準 的 な “S”,“ D”, “C”,
“Z” を 用 いたライブラリ 名 の 慣 例 に 従 っています。
S 単 精 度 実 数 (32 ビット) REAL*4, REAL
D 倍 精 度 実 数 (64 ビット) REAL*8, DOUBLE PRECISION
C 単 精 度 複 素 数 (32 ビット) COMPLEX*8, COMPLEX
Z 倍 精 度 複 素 数 (64 ビット) COMPLEX*16, DOUBLE COMPLEX
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1.3. 計 算 インテンシティ
メモリとのデ−タ 参 照 は、これらのルーチンの 性 能 に 重 要 な 影 響 をもたらします。 演 算 回 数 と 参 照 される
データ 量 の 比 率 は 計 算 インテンシティ[5][6]と 呼 ばれ、 次 式 で 定 義 されます。
計 算 インテンシティ = 演 算 回 数 / 参 照 されたデータワード 数 (1)
数 値 計 算 の 分 野 において 演 算 回 数 は、 通 常 、 浮 動 小 数 点 演 算 を 表 わし、また、 整 数 演 算 が 支 配 的 な 計
算 においては 整 数 演 算 回 数 に 等 しくなります。
この 計 算 インテンシティは、あるメモリシステム 上 においてそのシステムのメモリバンド 幅 が 明 らかになれ
ば、 性 能 予 測 に 活 用 することが 可 能 です。
演 算 性 能 = 計 算 インテンシティ × メモリバンド 幅 (2)
( 演 算 回 数 / 秒 ) = ( 演 算 回 数 / ワード) X (ワード / 秒 ) (3)
(2), (3) 式 では、あるアプリケーションに 対 して、メモリシステムが 提 供 できるデータ 供 給 量 に 制 限 される 最
大 の 性 能 を 与 えます。また、ここではシステムの 浮 動 小 数 点 演 算 能 力 については 触 れていませんが、し
ばしば、 実 際 の 性 能 に 良 い 予 測 を 与 えます。 計 算 インテンシティを 大 きくすることにより、どんなメモリシ
ステムにあっても、その 実 行 性 能 は 向 上 します。
表 1-1 に BLAS のそれぞれのレベルとその 計 算 インテンシティの 見 積 りを 合 わせて 示 します。
表 1-1 BLAS の 計 算 インテンシティ
BLAS BLAS 演 算 回 数 使 用 した 計 算 インテンシティ
ルーチン レベル ワード 数 ( 演 算 回 数 /ワード 数 )
DAXPY BLAS1 2N 3N 2/3
DGEMV BLAS2 2N 2 N 2 2
DGEMM BLAS3 2N 3 /3 2N 2 N/3
より 高 いレベルの BLAS ルーチンを 使 用 することで、より 高 い 性 能 を 発 揮 することが 可 能 となります。
SCSL では、 計 算 インテンシティが 高 いルーチンについては 並 列 化 による、よりいっそうの 高 速 化 が 可 能
となっています。
1.4. コンパイルとリンク
多 くの SCSL ルーチンは 並 列 化 されており、シリアル 版 と 並 列 版 の 2 つのライブラリがあります。SCSL の
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シリアル 版 をリンクするためには、-lscs をリンク 行 の 末 尾 に 追 加 します。
% f77 foo.f -lscs
並 列 版 をリンクする 場 合 には、-lscs_mp を 使 用 します。また、 並 列 化 コードをリンクする 場 合 には、 必 ず
-mp フラグを 指 定 して MP ライブラリをリンクしなければなりません。
% f77 -mp bar.f -lscs_mp
SCSL は 標 準 数 学 ライブラリを 使 用 しているため、SCSL のリンクの 後 に、libm または libfastm をリンクす
る 必 要 があります。FORTRAN の 場 合 には、libm は 自 動 にリンクされるので 指 定 する 必 要 はありません。
libfastm は、 標 準 数 学 ライブラリ libm に 含 まれるルーチンのサブセットであり、 高 度 に 最 適 化 されたルー
チンの 集 まりです。libfastm の 最 適 化 ルーチンには、 単 精 度 、 倍 精 度 の sin, cos, tan, exp, log, powなどが
含 まれます。
C/C++で 書 かれたプログラムである 場 合 は、 明 示 的 に –lm もしくは –lfastm をリンクする 必 要 がありま
す。
1.5. 並 列 化
十 分 な 大 きさ ( 計 算 粒 度 ) をもった 問 題 に 対 し、 複 数 のプロセッサを 備 えたシステムでは 並 列 化 は 性 能
を 向 上 させます。SCSL ルーチンは、ユーザが 指 定 したプロセッサ 数 に 従 って 並 列 処 理 を 行 ないます。
SCSL は、 並 列 処 理 の 実 行 が 可 能 な 並 列 版 とシリアル 版 の2つのバージョンが 用 意 されています。 並 列
処 理 を 行 う 場 合 には、 並 列 版 をリンクすることが 必 要 です。
リンク 方 法 につきましては、1.4 節 の「コンパイルとリンク」をご 参 照 ください。
1.5.1. OMP_NUM_THREADS
SCSL の 並 列 版 を 使 用 する 場 合 、ルーチンで 使 用 するプロセッサ 数 を 指 定 するためには、 環 境 変 数
OMP_NUM_THREADS を 指 定 しなければなりません。csh で、10 プロセッサを 使 用 する 場 合 には、 以 下
のようにします。
% setenv OMP_NUM_THREDS 10
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一 方 、sh を 使 用 している 場 合 には、
$ OMP_NUM_THREDS=10; export OMP_NUM_THREDS
のようにします。
これらの 値 を 設 定 すると、 実 行 時 に 使 用 される 最 大 の CPU 数 は、OMP_NUM_THREDS で 指 定 された
値 になります。
また、 以 下 に 並 列 処 理 時 に 設 定 すべき 環 境 変 数 を 示 します。
1.5.2. OMP_DYNAMIC
IRIX は、 標 準 ではシステムの 負 荷 によってプログラムの 使 用 するプロセッサ 数 を 変 更 します。 環 境 変 数
OMP_DYNAMIC はこの 機 能 を 制 御 します。OMP_DYNAMIC=TRUE (デフォルト) である 場 合 、システムの
負 荷 を 常 に 監 視 する 必 要 があり、そのためのオーバーヘッドがかかりますが、システムの CPU 数 以 上 の
プロセスが 同 時 に 実 行 されないようにしてシステムの 運 用 効 率 を 上 げます。システムが 比 較 的 空 いてい
る 場 合 などには、OMP_DYNAMIC=FALSE にすることをお 勧 めします。
csh で、OMP_DYNAMIC を 設 定 する 場 合 には、 以 下 のようにします。
% setenv OMP_DYNAMIC FALSE
1.5.3. MPC_GANG
環 境 変 数 MPC_GANG は、プロセスのスケジューリングについて、GANG スケジューリングと 呼 ばれる 手
法 で 実 行 することを 指 定 します。 一 般 には、GANG スケジューリングは OpenMP や 自 動 並 列 化 機 能 によ
り 並 列 化 されたプログラムの 実 行 の 際 には 非 効 率 となるため、この 機 能 をオフにします。
csh で、MPC_GANG を 設 定 する 場 合 には、 以 下 のようにします。
% setenv MPC_GANG OFF
並 列 処 理 時 の 最 大 性 能 は、プロセッサが 他 の 仕 事 に 用 いられていない 状 況 でのみ 得 られます。 例 えば、
40 プロセッサ 構 成 のシステムで 複 数 のジョブが 30 プロセッサを 使 用 しているような 場 合 、まだ 10 プロセ
ッサは 余 裕 があるため、10 プロセッサを 使 用 するようなジョブを 投 入 することには 意 味 がありますが、こ
のような 状 況 でさらに 40 プロセッサを 使 用 する 並 列 化 されたプログラムを 投 入 したところで 最 大 の 高 速
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化 を 得 ることはできません。
1.6. 8 バイト 整 数
-lscs あるいは、-lscs_mp の 指 定 でリンクされる SCSL ライブラリの 整 数 型 引 数 の 大 きさは 4 バイト (32
ビット) です。SCSL には、 整 数 型 引 数 の 大 きさを 8 バイト (64 ビット) としたバージョンもあります。この 8
バイト 整 数 データを 扱 うことが 可 能 なルーチンは、 大 きな 配 列 データを 処 理 したり、 整 数 型 データが 8 バ
イトであったシステムで 開 発 されたコードの 移 植 には 便 利 です。こちらを 使 用 する 場 合 は、-lscs_i8 あるい
は-lscs_i8_mp オプションを 指 定 します。1 本 のプログラムでは、4 バイト 整 数 型 あるいは 8 バイト 整 数 型 の
どちらか 一 方 のバージョンを 使 用 することが 可 能 ですが、 両 者 を 混 在 させることは 出 来 ません。
1.7. C/C++プロトタイプ
1.7.1. FFT ライブラリ 及 び BLAS ライブラリ
信 号 処 理 ルーチンに 関 する C/C++ 関 数 プロトタイプは、4 バイト 整 数 を 使 う 場 合 は、
()で 提 供 され、8 バイト 整 数 を 使 う 場 合 は、 () で 提 供 されます。
これらのヘッダファイルでは、 複 素 数 型 である scsl_complex と scsl_zomplex を 定 義 しています。これらの
型 は、プロトタイプで 使 用 されます。あるいは、C++プログラムでは、 標 準 クラスライブラリ (STL) の
complexと complex 型 を 用 いた 引 数 を 宣 言 しているかもしれません。しかし、これらの 型
が 使 用 された 場 合 、は、 () (もしくは、
()) の 前 でインクルードする 必 要 があります。 一 方 で、2 つの 複 素 数 タイプは 同 等 であると
いう 点 に 注 意 する 必 要 があります。すなわち、 複 素 数 タイプは、( 実 数 部 , 虚 数 部 )というようにメモリ 上 に
連 続 的 に 格 納 された 浮 動 小 数 点 数 の 対 として 表 現 されます。 適 切 なキャストによって、 複 素 数 の 引 数 を
持 つルーチンに 浮 動 小 数 点 データの 配 列 が 渡 されます。
しかしながら、キャストは 無 効 化 される 可 能 性 もあります。ヘッダファイルである と
では 直 接 ユーザ 定 義 の 複 素 数 タイプを 使 用 するか、もしくは、 複 素 数 引 数 に 関 するプロトタ
イプのチェックが 完 全 に 行 われないように 定 義 されています。もしくは、をインク
ルードする 前 に シンボル SCSL_VOID_ARGS を 定 義 することによって、 全 ての 複 素 数 引 数 は、void * と
してプロトタイプされます。シンボル SCSL_VOID_ARGS を 定 義 するためには、コンパイル 時 に -D コン
パイラオプションを 使 うか ( 即 ち、-DSCSL_VOID_ARGS) 、もしくは、 明 示 的 にソースコード 内 で #define
SCSL_VOID_ARGS を 定 義 します。こう
することにより、コンパイル 時 にコンパイラからの 警 告 なく 複 素 数 型 のデータ 構 造 を 使 用 可 能 にし、 上 記
で 述 べた 構 造 が 提 供 されます。すなわち、
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1. 実 部 と 虚 部 はメモリ 上 で 連 続 である 必 要 がある。
2. 連 続 的 な 配 列 要 素 もメモリ 上 で 連 続 である 必 要 がある。
コンパイラからの 警 告 なく、 標 準 でない 複 素 数 型 が 利 用 可 能 になりますが、コンパイラが 型 のミスマッチ
を 捉 えられないという 不 都 合 も 生 じます。
SCSL 標 準 の 複 素 数 型 の 代 わりに、ユーザ 定 義 の 複 素 数 型 を 用 いることによって、 強 制 的 な 型 チェック
が 可 能 で す 。 こ の た め に 、 SCSL_USER_COMPLEX_T=my_comlex と
SCSL_USER_ZOMPLEX_T=my_zomplex を 定 義 します。my_complex と my_zomplex は、ユーザ 定 義 の 複 素
数 型 の 名 前 です。これらの 複 素 数 型 は (もしくは、) ヘッダファイルをインク
ルードする 前 に 定 義 される 必 要 があります。
1.7.2. LAPACK ライブラリ 及 び 疎 行 列 の 直 接 解 法 、 反 復 解 法
C/C++ 関 数 プロトタイプは、SCSL の 4 バイト 整 数 については 適 切 に 行 われます。8 バイト 整 数 のバージョ
ンを 使 用 する 時 は、int 型 の 変 数 は long long 型 になり、LAPACK ライブラリを 使 用 の 場 合 は
を、 疎 行 列 の 直 接 解 法 、 反 復 解 法 を 使 用 する 場 合 はをインクルードし
なければなりません。
1.8. マルチスレッドセーフ
SCSLルーチンは、マルチスレッドセーフです。したがって、SCSLは 並 列 実 行 領 域 から 呼 び 出 された 場 合
にも、 逐 次 実 行 領 域 から 呼 び 出 された 場 合 にも 正 しく 動 作 します。ここで 言 う 並 列 実 行 領 域 とは、ユーザ
あるいはコンパイラによって 定 義 された 複 数 のスレッドでの 処 理 実 行 部 分 です。
また、SCSL では、もし 並 列 版 がリンクされたとしても、 並 列 実 行 領 域 から SCSL ルーチンが 呼 び 出 された
時 には、SCSL ルーチンはシーケンシャルに 実 行 されます ( 各 スレッドはシーケンシャルに SCSL ルーチ
ンを 実 行 します)。
1.9. C プログラムからの SCSL の 呼 び 出 し
SCSL 1.3 からは SCSL の LAPACK を 除 くライブラリルーチンに 対 して、ルーチン 名 、プロトタイプ 宣 言 、C
言 語 の 仕 様 にはない 複 素 数 型 を 取 り 扱 うためのヘッダーファイルが 用 意 されました。
以 下 に BLAS ライブラリ、FFT ライブラリ、 疎 行 列 の 直 接 解 法 を C/C++プログラムから 呼 び 出 す 方 法 と
LAPACK ライブラリを C/C++プログラムから 呼 び 出 す 方 法 を 説 明 します。
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また、BLAS ライブラリには Basic Linear Algebra Subprograms Technical (BLAST) によって 提 案 された C
インターフェースのライブラリ CBLAS も 存 在 します。これらについては、3.6 節 の“CBLAS ライブラリ”で 説
明 します。
1.9.1. BLAS ライブラリ、FFT ライブラリ、 疎 行 列 の 直 接 解 法 、 反 復 解 法
SCSL 1.3 からは SCSL の LAPACK の 除 くルーチンに 対 して、ルーチン 名 、プロトタイプ 宣 言 、C 言 語 の 仕
様 にはない 複 素 数 型 を 取 り 扱 うためのヘッダーファイルが 用 意 されました。この 変 更 にともない、 使 用 す
るルーチンに 対 して 次 のヘッダーファイルをインクルードする 必 要 があります。
分 野 man ページ インクルードファイル
BLAS man_intro_blas #include
FFT man_intro_fft #include
疎 行 列 の 解 法 man_intro_solvers #include
• 呼 び 出 し 名
FORTRAN プログラムでは、 大 文 字 、 小 文 字 の 区 別 はありませんが、C/C++プログラムからの 呼 び
出 し 時 には、すべて 小 文 字 になります。 また、man ページの 記 述 にも C/C++からの 呼 び 出 し 方 法 が
明 記 されるようになりました。
( 例 )
FORTRAN: CDOTC ( 大 文 字 、 小 文 字 の 区 別 はありません。)
C: cdotc ( 必 ず 小 文 字 です。)
• 配 列 データの 持 ち 方 の 違 い
FORTRAN では、 列 方 向 優 先 のデータの 持 ち 方 、 一 方 、C では 行 方 向 優 先 のデータの 持 ち 方 なので、
その 違 いに 注 意 してください。
FORTRAN: A(2,2)
A = | 1 3 | -> {1, 2, 3, 4} メモリ 上 の 格 納 順 序
| 2 4 |
C: a[2][2]
a = | 1 2 | -> {1, 2, 3, 4} メモリ 上 の 格 納 順 序
| 3 4 |
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以 上 の 点 に 注 意 して 頂 ければ、C プログラムからも 容 易 に SCSL の ライブラリを 呼 び 出 すことが 可 能 で
す。
以 下 C プログラムから cdotc を 呼 び 出 す 方 法 を 示 します。
% man cdotc
:
:
C/C++:
#include
scsl_complex cdotc(int n, scsl_complex *x, int incx,
scsl_complex *y, int incy);
scsl_complex cdotu(int n, scsl_complex *x, int incx,
scsl_complex *y, int incy);
:
:
CDOTC/ZDOTC の 演 算 内 容
n
_
dot

double re;
double im;
} __scsl_zomplex;
scsl_blas.h のヘッダーファイルの 中 で FORTRAN の 複 素 数 型 を 構 造 体 を 用 いて 定 義 しているので、 実 部 、
虚 部 はそれぞれ.re, .im のメンバーとして 参 照 可 能 です。
プログラム 例
% cat excdotc.c
#include
#include
#include
#define N 10
int main(void)
{
int i,n,incx,incy;
scsl_complex x[N],y[N];
scsl_complex cdot;
n=N;
incx=1;
incy=1;
for (i=0;i

実 行 例
## リンクオプション – lscs を 指 定 してコンパイル
% cc excdotc.c – lscs
## 実 行
% ./a.out
dot = 20.000000 0.000000
%
1.9.2. LAPACK ライブラリ
LAPACK のライブラリルーチンを C/C++から 呼 び 出 す 場 合 には、 次 の FORTRAN と C/C++の 違 いに 注 意
すれば、C/C++からも 利 用 することが 可 能 です。
• 呼 び 出 し 名
FORTRAN プログラムでは、 大 文 字 、 小 文 字 の 区 別 はありませんが、C/C++プログラムからの 呼 び
出 し 名 は、 小 文 字 名 +_になりますので C から 呼 び 出 す 場 合 は 呼 び 出 し 名 の 違 いに 注 意 してくださ
い。
( 例 )
FORTRAN: SSYEV ( 大 文 字 、 小 文 字 の 区 別 はありません。)
C: ssyev_ ( 必 ず 小 文 字 です。)
• アドレス 渡 し
FORTRAN プログラムの 引 数 は、アドレス 渡 しなので、C のプログラム 側 でも、アドレス 渡 しを 意 識 し
て 記 述 する 必 要 があります。 SCSL が 使 用 している 文 字 型 データは、 最 初 の1 文 字 で 判 定 している
ので、 最 初 の 文 字 が 渡 れば 十 分 です。
• 配 列 データの 持 ち 方 の 違 い
FORTRAN では 列 方 向 優 先 のデータの 持 ち 方 、 一 方 、C では 行 方 向 優 先 のデータの 持 ち 方 なので、
その 違 いに 注 意 してください。
FORTRAN: A(2,2)
A = | 1 3 | -> {1, 2, 3, 4} メモリ 上 の 格 納 順 序
| 2 4 |
C: a[2][2]
a = | 1 2 | -> {1, 2, 3, 4} メモリ 上 の 格 納 順 序
| 3 4 |
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以 上 3 点 に 注 意 すれば、C プログラムからも 容 易 に SCSL のライブラリを 呼 び 出 すことが 可 能 です。 この
3 点 を 確 認 しながら、 同 じプログラムを C と FORTRAN で 記 述 した 以 下 の 例 を 参 照 してください。
C: main.c
FORTRAN: main.f
データの 持 ち 方 は、C で a[i][j]を 表 示 すると、 下 三 角 行 列 のように 見 えますが、FORTRAN 流 に 見 ると 上
三 角 行 列 となり uplo='u'になることに 注 意 してください。
問 題
下 記 で 定 義 されるテスト 行 列 に 対 して、 実 対 称 行 列 用 固 有 値 ソルバ SSYEV を 用 いて、 行 列 の 固 有 値 を
求 めます。C と Fortran でのデータの 持 ち 方 の 違 いをご 確 認 ください。
サイズ N の 行 列 A=a[i][j] が 下 記 の 通 りに 定 義 されます。
a[i][j]= a[j][i] = n+1-i, if i >= j.
サイズ 4 の 場 合 の 行 列 は 下 記 の 通 りです。
プログラム 例
C
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% cat main.c
#include
#include
#define N 10
#define LDA (N)
#define LWORK (3*N-1)
static float a[N][LDA],w[N],work[LWORK];
int main(void)
{
char jobz, uplo;
int i,j;
int n, lda, lwork, info;
jobz='n';
uplo='u';
n=N;
lda=LDA;
lwork=LWORK;
/*
*/
set test matrix
for (j=0;j

*/
printf("eigen value \n");
for (i=0;i

parameter(N=10)
parameter(LDA=N,LWORK=3*N-1)
character*1 jobz, uplo
integer i, j, info
common a(LDA,N),w(N),work(LWORK)
!
! set test matrix
!
do j=1,N
do i=1,j
a(i,j)=N-j+1
enddo
enddo
write(*,'(10f8.0)') ((a(i,j),j=1,N),i=1,N)
jobz='n'
uplo='u'
call ssyev( jobz, uplo, N, a, LDA, w, work, LWORK, info );
!
! eigenvalues in ascending order.
!
print *,'eigen value'
write(*,'(10f10.6)') (w(i),i=1,N)
print *,'info = ',info
stop
end
実 行 例
## リンクオプション -lscs を 指 定 してコンパイル
% f90 main.f – lscs
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## 実 行
% ./ a.out
10. 9. 8. 7. 6. 5. 4. 3. 2. 1.
0. 9. 8. 7. 6. 5. 4. 3. 2. 1.
0. 0. 8. 7. 6. 5. 4. 3. 2. 1.
0. 0. 0. 7. 6. 5. 4. 3. 2. 1.
0. 0. 0. 0. 6. 5. 4. 3. 2. 1.
0. 0. 0. 0. 0. 5. 4. 3. 2. 1.
0. 0. 0. 0. 0. 0. 4. 3. 2. 1.
0. 0. 0. 0. 0. 0. 0. 3. 2. 1.
0. 0. 0. 0. 0. 0. 0. 0. 2. 1.
0. 0. 0. 0. 0. 0. 0. 0. 0. 1.
eigen vector
0.255680 0.273787 0.307980 0.366209 0.465233 0.643104 1.000001 1.873024
5.048917 44.766079
info = 0
%
1.10. インストールと 使 用 方 法
SCSL は、modules 環 境 下 (/opt/scsl/) もしくは、デフォルトのディレクトリ (/ root ファイルシステム) に
インストールされています。modules 環 境 下 では、バージョンの 異 なる SCSL ソフトウェアをインストールし、
利 用 することが 可 能 になります。modules を 利 用 するためには、Modules Software をインストールする 必
要 があります。
1.10.1. Modules の 利 用 方 法
modules をシェル 及 びサブシェル 上 で 利 用 するためには、 次 の 設 定 が 必 要 になります。これらの 設 定
は、.cshrc などのユーザドットファイルに 記 述 しておくことをお 勧 めします。
C シェルでの 利 用 方 法 は 次 の 通 りです。
% source /opt/modules/modules/init/csh
% module load modules
% module load scsl
異 なるバージョンの SCSL がインストールされている 場 合 には、 以 下 の 方 法 により 使 用 する SCSL のバー
ジョンを 変 更 することができます。 例 えば 現 在 使 用 している SCSLがバージョン 1.3.0.0 以 前 のものであり、
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module コマンドによりバージョン 1.3.0.0 の SCSL を 使 用 するように 変 更 するとします。
% module avail
------- /opt/modulefiles --------
MIPSpro mpt nqe scsl scsl1.3.0.0
-------- /opt/modules/modules/modulefiles --------
modules
% module swap scsl scsl.1.3.0.0
“module avail”コマンドにより、modules 環 境 下 にインストールされているソフトウェアの 一 覧 が 表 示 され
ます。“module swap”コマンドにより、SCSL のバージョンを 変 更 することができます。
1.11. ドキュメント
SCSL のドキュメントは、 各 ルーチンに 対 してオンラインマニュアルが 用 意 されています。 標 準 的 な UNIX
の man コマンドによりルーチン 名 を 指 定 することで 参 照 可 能 です。SGI の 公 開 Web サイトである (Tech
Pubs Library Search, http://techpubs.engr.sgi.com/library/tpl/cgi-bin/init.cgi) からも 利 用 可 能 です。ま
た、SCSL を 構 成 する 各 ライブラリの 概 要 を 紹 介 しているマニュアルページ ( 以 下 のページ 名 を 指 定 して
ください。) も 利 用 可 能 です。
• intro_libscsl: SCSL ライブラリルーチンの 概 要
• intro_blas1: レベル 1 BLAS ライブラリの 概 要
• intro_blas2: レベル 2 BLAS ライブラリの 概 要
• intro_blas3: レベル 3 BLAS ライブラリの 概 要
• intro_cblas: BLAS ライブラリの C インターフェースについての 概 要
• intro_fft: FFT ライブラリの 概 要
• intro_lapack: LAPACK ライブラリの 概 要
• intro_solvers.3s: 疎 行 列 の 直 接 解 法 、 反 復 解 法 ルーチンの 概 要
出 版 物 としては、SIAM[7] から 出 されている LAPACK User's Guide があります。LAPACK User's Guide
は、すべての LAPACK ルーチンのマニュアルページ、 入 門 的 な 内 容 を 含 んでいます。また、LAPACK
User's Guide の 日 本 語 訳 が 丸 善 [8]より 出 版 されています。
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1.12. 参 考 文 献
[1] B. R. Rau and C. D. Glaser, Some scheduling techniques and an easily schedleable horizontal
architecture for high performance scientific computing, in: Proceedings of the Fourteenth Annual
Workshop on Microprogramming(1981) 183-198.
[2] Lawson, C. L., Hanson, R. J., Kincaid, D. R., and Krogh, F. T., "Basic Linear Algebra Subprograms for
FORTRAN Usage", ACM Transactions on Mathematical Software, Volume 5, Number 3, September
1979, Pages 308-323.
[3] Dongarra, J. J., Du Croz, J. J., Hammarling, S., and Hanson, R. J., "An Extended Set of FORTRAN
Basic Linear Algebra Sub-programs". Technical Memorandum No. 41 (Revision 3), Mathematics and
Computer Science Division, Argonne National Laboratory, 9700 South Cass Avenue, Argonne, Illinois
60439.
[4] Dongarra, J. J., Du Croz, J. J.,and Hammarling, S., "A Set of Level 3 Basic Linear Algebra
Subprograms". Technical Memorandum No. 88 (Revision 1), Mathematics and Computer Science
Division, Argonne National Laboratory, 9700 South Cass Avenue, Argonne, Illinois 60439.
[5] R. W. Hockney, r・ , n1/2 , s1/2 measurements on the 2 CPU CRAY X-MP, Parallel Computing
2(1985) 1-14.
[6] R. W. Hockney and C. R. Jesshope, Parallel Computers, Adam Hilger, Philadelphia, Second Edition,
106-108, 1981.
[7] E. Anderson et al, LAPACK User's Guide, Society for Industrial and Applied Mathematics (SIAM),
3600 University City Science Center, Philadelphia, Pennsylvania, 19104-2688.
[8] E. Anderson et al, 小 国 力 訳 . LAPACK 利 用 の 手 引 き, 丸 善 (1995)
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2. FFT ルーチン
FFTライブラリでは、 高 速 フーリエ 変 換 (FFT)、 畳 み 込 みルーチン 及 び 相 関 ルーチンから 構 成 される 信 号
処 理 に 関 するルーチンを 提 供 します。
2.1. データ 型
これらのルーチンでは 以 下 のデータ 型 が 使 用 されます。
• 単 精 度 実 数 型 :
FORTRAN の real 型 、C/C++ の float 型 であり、これらは 32 ビット 浮 動 小 数 点 実 数 です。これらの
ルーチン 名 は S で 始 まります。
• 単 精 度 複 素 数 型 :
FORTRANの complex 型 、C/C++の scsl_complex 型 ( で 定 義 されています。) C++ STL
の complex 型 (で 定 義 されています。) であり、これらは 2 つの 32 ビット 浮 動 小
数 点 実 数 です。これらのルーチン 名 は C で 始 まります。
• 倍 精 度 実 数 型 :
FORTRAN の double precision 型 、 C/C++の double 型 であり、これらは 64 ビット 浮 動 小 数 点 実 数
です。これらのルーチン 名 は、D で 始 まります。
• 倍 精 度 複 素 数 型 :
FORTRAN の double complex 型 、C/C++の scsl_zomplex 型 (で 定 義 されています。)、
C++ STL の complex 型 (で 定 義 されています。) であり、これらは 2 つの 64 ビ
ット 浮 動 小 数 点 実 数 です。これらのルーチン 名 は Z で 始 まります。
注 意 : 複 素 数 型 を 定 義 するために C++の 標 準 クラスライブラリ (STL) を 用 いる 時 は、 以 下 の 順 でインク
ルードする 必 要 があります。
#include
#include
入 力 データや 出 力 データのデータ 型 以 外 でもバージョンにより 多 少 の 違 いが 生 じてきます。この 場 合 は、
そのルーチンについて man ページで 説 明 されます。
man(1)コマンドにより、 実 数 、 複 素 数 、 倍 精 度 及 び 倍 精 度 複 素 数 での FFT ルーチンの 名 前 で、オンライン
マニュアルページを 参 照 できます。
上 記 ルーチンの 引 数 である scale, table 及 び work は、 関 数 に 応 じてデータ 型 が 異 なります。ルーチン 名
が CC, SC 及 び CS で 始 まるルーチンでは、これらの 引 数 は 単 精 度 になります。ルーチン 名 が ZZ, DZ 及
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び ZD で 始 まるルーチンでは、これらの 引 数 は 倍 精 度 になります。
2.2. 関 数 一 覧
以 下 はサポートされている FFT ルーチンの 一 覧 です。これらのルーチンはそれぞれ、シングルプロセッ
サ 用 に 非 常 に 最 適 化 されています。2 次 元 、3 次 元 及 び 複 数 の 1 次 元 配 列 に 対 する 処 理 ルーチンは、 並
列 化 (マルチスレッド 化 ) されています。それぞれのルーチンは、FFT の 正 変 換 、 逆 変 換 を 行 います。
以 下 の 一 覧 では、 行 は、 列 に 挙 げられたルーチンの 入 力 と 出 力 のデータ 型 を 表 しています。
• C -> C は、32 ビット 複 素 数 の 入 力 と 出 力 であることを 表 しています。
• Z -> Z は、64 ビット 倍 精 度 複 素 数 の 入 力 と 出 力 であることを 表 しています。
• S -> C は、32 ビット 実 数 の 入 力 と 32 ビット 複 素 数 の 出 力 であることを 表 しています。
• D -> Z は、64 ビット 倍 精 度 実 数 の 入 力 と 64 ビット 倍 精 度 複 素 数 の 出 力 であることを 表 しています。
• C -> S は、32 ビット 複 素 数 の 入 力 と 32 ビット 実 数 の 出 力 であることを 表 しています。
• Z -> D は、64 ビット 倍 精 度 複 素 数 の 入 力 と 64 ビット 倍 精 度 実 数 の 出 力 であることを 表 しています。
表 の 列 は、それぞれの 行 の FFT ルーチンに 関 する 次 元 を 表 しています。 1 次 元 (シングル) は、1 次 元
FFT の 計 算 を 行 います。 1 次 元 ( 多 重 ) は、2 次 元 行 列 のそれぞれの 列 (**FFTM) もしくは、 行
(**FFTMR) に 対 して 1 次 元 FFT の 計 算 を 行 います。
--------------------------------------------------------------------------
1 次 元 1 次 元 2 次 元 3 次 元
(シングル) ( 多 重 )
--------------------------------------------------------------------------
C->C CCFFT CCFFTM CCFFTMR CCFFT2D CCFFT3D
Z->Z ZZFFT ZZFFTM ZZFFTMR ZZFFT2D ZZFFT3D
S->C SCFFT SCFFTM SCFFT2D SCFFT3D
D->Z DZFFT DZFFTM DZFFT2D DZFFT3D
C->S CSFFT CSFFTM CSFFT2D CSFFT3D
Z->D ZDFFT ZDFFTM ZDFFT2D ZDFFT3
--------------------------------------------------------------------------
2.3. 注 意
FFT ルーチンは、 多 くの 異 なるアーキテクチャ 上 で 効 率 よく 実 装 出 来 るように 設 計 されています。 呼 び 出
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し 手 続 きは、それらの 実 装 で 共 通 です。しかしながら、 一 部 については、 特 定 の 実 装 に 基 いています。
異 なる 部 分 としては、 例 えば、table 配 列 及 び work 配 列 のサイズがあります。 異 なるシステム 上 では、 異
なるサイズが 必 要 になるかもしれません。サブルーチン 呼 び 出 し 部 分 の 変 更 は 必 要 ではありませんが、
DIMENSION 文 での 配 列 サイズの 変 更 や 配 列 を 宣 言 している 型 の 変 更 をする 必 要 が 出 てくるかもしれま
せん。 以 下 では、Origin システム 上 で 要 求 される 配 列 サイズを 示 しています。ここで 使 用 している NR と
NFR の 値 については、 以 下 で 説 明 します。
• CCFFT
table: 2n + NF REAL WORDS
work: 2n REAL WORDS
• ZZFFT
table: 2n + NF DBL PREC WORDS
work: 2n DBL PREC WORDS
• CCFFTMR
table: 2n + NF REAL WORDS
work: 2n REAL WORDS
• ZZFFTMR
table: 2n + NF DBL PREC WORDS
work: 2n DBL PREC WORDS
• CCFFT2D
table: (2*n1+NF) + (2*n2+NF) REAL WORDS
work: 2*MAX(n1,n2) REAL WORDS
• ZZFFT2D
table: (2*n1*NF) + (2*n2*NF) DBL PREC WORDS
work: 2*MAX(n1,n2) DBL PREC WORDS
• CCFFT3D
table: (2*n1*NF) + (2*n2+NF) + (2*n3+NF) REAL WORDS
work: 2*MAX(n1,n2,n3) REAL WORDS
• ZZFFT3D
table: (2*n1+NF) + (2*n2+NF) + (2*n3+NF) DBL PREC WORDS
work: 2*MAX(n1,n2,n3) DBL PREC WORDS
• CCFFTM
table: (NF+2*n) + REAL WORDS
work: 2n REAL WORDS
• ZZFFTM
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table: (NF+2*n) + DBL PREC WORDS
work: 2n DBL PREC WORDS
• SCFFT, CSFFT
table: (n+NFR) REAL WORDS
work: n+2 REAL WORDS
• DZFFT, ZDFFT
table: (n+NFR) DBL PREC WORDS
work: n+2 DBL PREC WORDS
• SCFFT2D, CSFFT2D
table: (n1+NFR) + (2*n2+NF) REAL WORDS
work: n1+4*n2 REAL WORDS
• DZFFT2D, ZDFFT2D
table: (n1+NFR) + (2*n2+NF) DBL PREC WORDS
work: n1+4*n2 DBL PREC WORDS
• SCFFT3D, CSFFT3D
table: (n1+NFR) + (2*n2+NF) + (2*n3+NF) REAL WORDS
work: n1+4*n3 REAL WORDS
• DZFFT3D, ZDFFT3D
table: (n1+NFR) + (2*n2+NF) + (2*n3+NF) DBL PREC WORDS
work: n1+4*n3 DBL PREC WORDS
• SCFFTM, CSFFTM
table: (n+NFR) REAL WORDS
work: n+2 REAL WORDS
• DZFFTM, ZDFFTM
table: (n+NFR) DBL PREC WORDS
work: n+2 DBL PREC WORDS
その 他 の 異 なる 部 分 には、isys というパラメータ 配 列 がありますが、これはある 実 装 に 特 有 の 情 報 を 与
えます。 特 定 の 実 装 に 依 存 した 機 能 は、この isys 配 列 に 限 定 されます。 任 意 の 実 装 において、デフォル
トの 0 を 用 いることができます。
Origin シリーズでの 実 装 では、isys(0)=0 と isys(0)=1 がサポートされています。SCSL のバージョン 1.3 以
前 では、isys(0)=0 のみのサポートでした。 三 角 関 数 などの 係 数 を 格 納 するテーブルの 大 きさを 指 定 する
際 の NFR 値 は、isys(0)=0 では NF=30 と NFR=15 となり、isys(0)=1 では NF=NFR=256 となります。
isys(0)=0 の 時 の NF と NFR の 小 さな 値 は、 歴 史 的 なものです。それらは、 高 性 能 な FFT で 要 求 される 全
22
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ての 要 素 を 格 納 するには 小 さすぎるため、isys(0)=0 の 時 は、table 配 列 が 初 期 化 される 時 に 陰 的 に 余 分
なスペースがアロケートされます。メモリリークをさけるため、この 余 分 なスペースは、table 配 列 が 必 要
なくなった 時 には 解 放 されるべきです。CCFFTF 及 び CCFFTMF などのルーチンが、このメモリを 解 放 す
るために 使 用 されます。メモリーリークが 生 じる 可 能 性 があるため、isys(0)=0 の 使 用 はさけるべきでしょ
う。
isys(0)=1 では、NF と NFR の 値 は 十 分 大 きいため、 余 分 なメモリが 陰 的 にアロケートされることはなく、ま
たそのため、メモリを 解 放 するために CCFFTF ルーチンなどを 呼 出 す 必 要 はありません。( 仮 に 呼 ばれた
としても、これらのルーチンは 何 もしないでしょう。)
注 :) isys(0)=1 は、isys が 2 つの 要 素 をもつ 整 数 配 列 であることを 意 味 しますが、isys(1)は 参 照 されませ
ん。
2.4. Real-to-complex FFT
マニュアルページで 示 されているように、real-to-complex FFT ルーチンでは、n 個 の 実 数 入 力 X と n/2+1
個 の 複 素 数 の 出 力 Y があります。これは、real-to-complex FFT の 特 徴 です。
フーリエ 変 換 の 数 学 的 定 義 では、n 個 の 複 素 数 列 を 用 い、それを n 個 の 複 素 数 列 に 変 換 します。CCFFT
や CCFFTM のような complex-to-complex FFT ルーチンは、n 個 の 複 素 数 入 力 データを 用 い n 個 の 複 素
数 の 出 力 を 得 ます。 実 際 、real-to-complex FFT の 簡 単 な 計 算 法 の 一 つとしては、 入 力 データを 複 素 数
配 列 x に 格 納 し、CCFFT ルーチンを 呼 ぶ 方 法 があります。この 方 法 でも SCFFT/SCFFTM ルーチンと 同
じ 結 果 が 得 られます。
real-to-complex FFT ルーチンである SCFFT や SCFFTM はより 効 率 的 です。というのは、 入 力 データが
実 数 であるということを 利 用 すれば、 作 業 領 域 としてはほぼ 半 分 の 領 域 を 確 保 すれば 済 むからです。フ
ーリエ 変 換 の 理 論 では、 実 数 の 入 力 データに 対 しては、 最 初 の n/2+1 の 複 素 数 出 力 値 のみ 計 算 するこ
とになります。 残 りの 値 は 次 の 簡 単 な 公 式 によって 最 初 の 半 分 の 値 から 計 算 されます。
Y k,L = conjg(Y n-k,L ) for n/2 ≦ k ≦ n-1
ここで、conjg(Y)は、Y の 複 素 共 役 を 表 しています。 実 際 、 多 くのアプリケーションでは、 複 素 数 出 力 の 残
りの 半 分 は 明 示 的 には 計 算 されないし、 格 納 もされません。 後 述 しますが、complex-to-real FFT に 対 し
ても 同 様 に、 複 素 数 データの 最 初 の 半 分 のみを 与 えます。
FFT の 理 論 によると、 実 数 入 力 データに 関 しては、 最 初 の 出 力 データ Y(0)は 常 に 実 数 となります。それゆ
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え 虚 数 部 は 必 ず 0 となります。また、n が 偶 数 であれば Y(n/2)もまた 実 数 となり、 虚 数 部 として 0 を 持 ちま
す。
2.4.1. SCFFT のアプリケーションプログラムインターフェース (API)
Fortran:
CALL SCFFT (isign, n, scale, x, y, table, work, isys)
C/C++
#include
int scfft (int isign, int n, float scale, float *x,scsl_complex *y, float *table, float
*work, int *isys);
C++ STL
#include
#include
int scfft (int isign, int n, float scale, float *x,complex *y, float*table, float
*work, int *isys);
2.4.2. DZFFT のアプリケーションプログラムインターフェース (API)
Fortran
CALL DZFFT (isign, n, scale, x, y, table, work, isys)
C/C++
#include
int dzfft (int isign, int n, double scale, float *x,scsl_zomplex *y, double *table, double
*work, int *isys);
C++ STL
#include
#include
int dzfft (int isign, int n, double scale, double *x,complex *y, double *table,
double *work, int *isys);
2.4.3. 詳 細
SCFFT/DZFFT ルーチンは、 実 配 列 X の FFT を 計 算 し、 結 果 を 複 素 数 配 列 Y に 格 納 します。
SCFFT/DZFFT は 対 応 する 逆 conplex-to-real 変 換 を 計 算 します。
FFT アプリケーションにおいて 通 常 そうであるように、 配 列 の 添 え 字 は 0 から 始 まります。これらのルーチ
ンの 配 列 は 次 の 宣 言 されます。
Fortran
REAL
X(0:n-1)
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COMPLEX Y(0:n/2)
C/C++
float x[n];
scsl_complex y[n/2+1];
C++ STL
float x[n];
complex y[n/2+1];
出 力 は、 入 力 の 配 列 を 用 いて、FFT の 公 式 により 次 のようになります。
n-1
Y(k) = scale * Sum [ X(j)*w**(isign*j*k) ] for k = 0, ..., n/2
j=0
where:
w =exp(2*pi*i/n),
i =+ sqrt(-1),
pi =3.14159...,
isign =+1 or -1.
もし SCFFT が isign と scale の 値 について、ある 特 定 の 値 で 呼 び 出 された 場 合 、-isign と 1/(n*scale) で
CSFFT が 呼 ばれることによって 数 学 的 な 逆 関 数 が 計 算 されます。 実 際 、もし 前 進 FFT に 関 して、SCFFT
関 数 で isign = +1、scale = 1.0 を 使 用 した 場 合 、isign = -1、scale = 1.0/n で CSFFT を 使 用 することによっ
て 逆 FFT を 計 算 することが 可 能 です。
以 下 の 引 数 の 説 明 で 使 用 されているデータ 型 の 置 き 換 えについては、データ 型 の 節 をご 参 照 ください。
本 ルーチンで 使 用 される 引 数 は 次 の 通 りです。
引 数 一 覧
引 数
isign
n
( 入 力 ) 整 数 型
Isign=0: テーブル 配 列 の 初 期 化
Isign=±1: 指 数 の 符 合 を 表 す
( 入 力 ) 整 数 型
変 換 のサイズ
説 明
scale ( 入 力 )
SCFFT: 単 精 度 実 数 型
DZFFT: 倍 精 度 実 数 型
フーリエ 変 換 の 後 、 出 力 配 列 の 各 要 素 に scale を 掛 ける
x ( 入 力 )
SCFFT: 単 精 度 実 数 型
DZFFT: 倍 精 度 実 数 型
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次 元 n の 配 列
y ( 出 力 )
SCFFT: 単 精 度 実 数 型
DZFFT: 倍 精 度 実 数 型
次 元 n/2+1 の 配 列
table ( 入 力 、もしくは 出 力 )
SCFFT: 単 精 度 実 数 型
DZFFT: 倍 精 度 実 数 型
次 元 n+NFR の 配 列 。isign=0 の 時 、 出 力 。isign=±1 の 時 、table 配 列 の 値 は isign=0 によっ
てすでに 初 期 化 されているとみなされる
work ( 作 業 領 域 )
SCFFT: 単 精 度 実 数 型
DZFFT: 倍 精 度 実 数 型
次 元 n+2 の 配 列
isys ( 入 力 )
実 装 に 特 化 した 情 報 を 与 える 引 数 。Origin では 常 に 0
2.4.4. データ 型
上 記 の 引 数 についての 説 明 で 使 用 されている 用 語 について、 対 応 するデータ 型 を 説 明 いたします。
用 語
Fortran
整 数 型
単 精 度 実 数 型
倍 精 度 実 数 型
C/C++
整 数 型
単 精 度 実 数 型
倍 精 度 実 数 型
C++ STL
整 数 型
単 精 度 実 数 型
倍 精 度 実 数 型
データ 型
INTEGER (INTEGER*8 for –lscs_i8_[mp])
REAL
DOUBLE PRECISION
int (long long for –lscs_i8_[mp])
float
double
int (long long for –lscs_i8_[mp])
float
double
2.4.5. 注 意
232-1 を 超 える 素 因 子 に 関 する 変 換 は 本 ライブラリの 8 バイト 整 数 版 ではサポートされていません。
作 業 配 列 work に 加 えて、FFT ルーチンはスタックからスクラッチスペースを 動 的 に 割 り 当 てます。 割 り 当
てられた 空 間 の 大 きさは 最 大 のプロセッサキャッシュサイズよりも 多 少 大 きくなります。シングルプロセッ
サでの 実 行 では、デフォルトのスタックサイズは、これらの 割 り 当 てが 通 常 問 題 なく 出 来 る 程 度 に 十 分 大
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きなサイズとなっています。しかし、 並 列 実 行 に 関 しては、スレーブスレッドのスタックサイズがこのスクラ
ッチスペースを 持 つのに 十 分 大 きいということを 保 証 する 必 要 があります。 十 分 なスタックスペースを 確
保 するのに 失 敗 した 場 合 は、スタックオーバーフローによるコアダンプが 生 じます。MP ライブラリのスレ
ーブスレッドのスタックサイズは、MP_SLAVE_STACKSIZE 環 境 変 数 、もしくは mp_set_slave_stacsize() ラ
イブラリルーチンによってコントロールすることが 可 能 です。スレーブスタックサイズをコントロールするた
めのさらなる 情 報 につきましては、mp(3C), mp(3F), 及 び pe_environ(5) の man ページをご 参 照 ください。
pthread アプリケーションに 関 しては、スレッドのスタックサイズは pthread_create(3P) 関 数 における
pthread_attr_t に 関 する 引 数 で 提 供 される 多 くの 属 性 の 一 つで 決 定 されます。スタックサイズの 属 性 は
pthread_attr_setstacksize(3P) 呼 び 出 し を 使 用 す る こ と で 明 示 的 に 設 定 さ れ ま す 。
pthread_attr_setstacksize(3P) 呼 び 出 しは、pthread_attr_init(3P) の man ページで 説 明 されています。
2.5. Complex-to-real FFT
計 算 結 果 はマニュアルページの 公 式 で 与 えられます。
一 般 的 に FFT は 複 素 数 列 を 複 素 数 列 に 変 換 しますが、 複 素 数 の 入 力 列 X が 実 数 列 を 変 換 したものであ
る 場 合 には、 出 力 列 Y は 実 数 になります。この 場 合 、 計 算 作 業 領 域 として 半 分 だけ 確 保 すればすみま
す。
フーリエ 変 換 の 理 論 によると、 実 数 列 となる 出 力 列 Y に 関 しては、 入 力 列 に 対 する 次 の 式 が 適 用 されま
す。
X k,L = conjg(X n-k,L ) for n/2 ≦ k ≦ n-1
また、 実 際 以 下 の 入 力 データ
X k,L for k > n/2
は 使 用 されません。なぜなら、 最 初 の 半 分 の 入 力 値 から 推 測 できるからです。
このように、complex-to-real ルーチン CSFFTM では、 配 列 は 以 下 の 次 元 と 大 きさを 取 ります。
Fortran:
COMPLEX X(0:ldx-1, 0:lot-1)
REAL Y(0:ldy-1, 0:lot-1)
C/C++
scsl_complex x[lot][ldx]
float y[lot][ldy]
C++ STL
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complex x[lot][ldx]
float y[lot][ldy]
where ldx ≧ n/2 + 1, ldy ≧ n.
それぞれの 列 で、(n/2) + 1 の 複 素 数 入 力 値 と n の 実 数 出 力 値 があります。(n/2) + 1 の 入 力 値 のみが 適
用 されますが、 変 換 のサイズはこの 場 合 n となります。なぜなら、 陰 的 に、n の 長 さの 列 をもつ FFT の 公
式 が 使 用 されるからです。
X(0, L) は 実 数 (すなわち 虚 数 部 は 0) となります。もし n が 偶 数 ならば、X(n/2, L) もまた 実 数 となります。
CSFFTM と CSFFT ルーチンではこれらの 値 は 実 数 とみなされます。もし 非 ゼロ 虚 数 部 が 与 えられれば、
それは 無 視 されます。
2.6. 初 期 化
table 配 列 は FFT の 計 算 で 使 われる 三 角 法 のテーブルを 格 納 します。 変 換 に 先 立 って、isign に 0 を 指 定
してルーチンを 呼 出 すことで table 配 列 を 初 期 化 する 必 要 があります。 問 題 サイズが n で 変 更 がないなら
ば、table 配 列 は 再 初 期 化 する 必 要 はありません。
SCFFT と CSFFT は table 配 列 に 関 して 同 じフォーマットを 使 用 するため、どちらのルーチンを 用 いて 初 期
化 しても 構 いません。 (CCFFT は 異 なる table フォーマットを 用 いることに 注 意 してください。)
2.7. 配 列 の 次 元 及 び 寸 法
前 述 の 説 明 や 特 定 のマニュアルページでは、FFT アプリケーションにおいて 通 常 そうであるように、 配 列
の 添 字 は 0 から 始 まります。しかしながら、 通 常 の FORTRAN のように、1 から 始 めたい 時 でも 呼 び 出 し
部 分 の 変 更 は 必 要 ありません。
--------------------------------------------------------------------
Routine subscripts starting at 0 subscripts starting at 1
--------------------------------------------------------------------
CCFFT COMPLEX X(0:N-1) COMPLEX X(N)
COMPLEX Y(0:N-1)
COMPLEX Y(N)
CCFFT2D COMPLEX X(0:ldx-1, 0:n2-1) REAL X(ldx, n2)
COMPLEX Y(0:ldy-1, 0:n2-1) COMPLEX Y(ldy, n2)
SCFFT REAL X(0:n-1) REAL X(n)
COMPLEX Y(0:n/2) COMPLEX Y(n/2 + 1)
SCFFT2D REAL X(0:ldx-1, 0:n2-1) COMPLEX X(ldx, n2)
COMPLEX Y(0:ldy-1, 0:n2-1) COMPLEX Y(ldy, n2)
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CCFFTM COMPLEX X(0:ldx-1, 0:lot-1) COMPLEX X(ldx, lot)
COMPLEX Y(0:ldy-1, 0:lot-1) COMPLEX Y(ldy, lot)
CCFFTMR COMPLEX X(0:ldx-1, 0:n-1) COMPLEX X(ldx, n)
COMPLEX Y(0:ldy-1, 0:n-1) COMPLEX Y(ldy, n)
--------------------------------------------------------------------
2.8. 畳 み 込 みルーチン 及 び 相 関 ルーチン
有 限 長 インパルス 応 答 FIR (Finite Impulse Response) に 関 する 畳 み 込 みと 相 関 を 取 り 上 げます。これら
のルーチンはそれぞれシングルプロセッサで 利 用 するために 最 適 化 されています。2 次 元 の 入 力 列 を 使
用 するルーチンは、 並 列 化 (マルチスレッド 化 ) に 対 応 しています。
畳 み 込 みと 相 関 のルーチンは、 非 常 に 一 般 的 です。この 一 般 性 と 最 大 限 の 柔 軟 性 を 達 成 するために、1
次 元 の 数 列 は、3 つのパラメータによって 定 義 されています。2 次 元 配 列 のためには、6 つのパラメータが
必 要 です。この 一 般 性 に 対 する 代 償 は、 呼 び 出 し 手 続 きが 長 くなる 点 です。
以 下 の 一 覧 中 のそれぞれのルーチンにはマニュアルページが 存 在 します。この 一 覧 表 における 行 では、
ルーチンのデータタイプを 示 しています。
• C は、32 ビット 複 素 数 データであることを 示 しています。
• Z は、64 ビット 倍 精 度 複 素 数 データであることを 示 しています。
• S は、32ビット 実 数 であることを 示 しています。
• D は、64 ビット 倍 精 度 実 数 であることを 示 しています。
表 の 列 は、 行 で 示 された 畳 み 込 みもしくは 相 関 に 関 するルーチンの 計 算 の 型 と 次 元 を 示 しています。
• 1 次 元 FIR は、1 次 元 信 号 に 対 して 有 限 長 インパルス 応 答 フィルタを 適 用 します。
• 複 数 1 次 元 FIR は、 複 数 の 1 次 元 信 号 に 対 して 有 限 長 インパルス 応 答 フィルタを 適 用 します。
• 2 次 元 FIR は、2 次 元 信 号 に 対 して 有 限 長 インパルス 応 答 フィルタを 適 用 します。
• 1 次 元 COR は、1 次 元 数 列 の 相 関 を 計 算 します。
• 複 数 1 次 元 COR は、 複 数 の 1 次 元 数 列 の 相 関 を 計 算 します。
• 2 次 元 COR は 2 次 元 数 列 の 相 関 を 計 算 します。
---------------------------------------------
Type 1 次 元 複 数 1 次 元 2 次 元
---------------------------------------------
C CFIR1D CFIRM1D CFIR2D
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Z ZFIR1D ZFIRM1D ZFIR2D
S SFIR1D SFIRM1D SFIR2D
D DFIR1D DFIRM1D DFIR2D
---------------------------------------------
C CCOR1D CCORM1D CCOR2D
Z ZCOR1D ZCORM1D ZCOR2D
S SCOR1D SCORM1D SCOR2D
D DCOR1D DCORM1D DCOR2D
---------------------------------------------
2.9. サンプルプログラム
2.9.1. 1 次 元 real-to-complex FFT DZFFT
問 題
以 下 に FORTRAN, C/C++において、 一 次 元 の 波 形 データ(128 点 サンプリング)を dzfft で 変 換 し、 結 果 を
表 示
します。
DZFFT 引 数 一 覧
DZFFT (isign,n,scale,x,y,table,work,isys)
isign ( 入 力 ) 整 数 型 。
Isign=0: テーブル 配 列 の 初 期 化
Isign=±1: 指 数 の 符 合 を 表 す
n
( 入 力 ) 整 数 型 。 変 換 のサイズ
scale ( 入 力 ) 倍 精 度 実 数 型 。フーリエ 変 換 の 後 、 出 力 配 列 の 各 要 素 に scale を 掛 ける
x
( 入 力 ) 倍 精 度 実 数 型 。 次 元 n の 配 列
y
( 出 力 ) 倍 精 度 複 素 数 型 。 次 元 n/2+1 の 配 列
table ( 入 力 、もしくは 出 力 ) 倍 精 度 実 数 型 。 次 元 n+NFR の 配 列 。isign=0 の 時 、 出 力 。isign=±
1 の 時 、table 配 列 の 値 は isign=0 によってすでに 初 期 化 されているとみなされる
work ( 作 業 領 域 ) 倍 精 度 実 数 。 次 元 n+2 の 配 列
isys ( 入 力 ) 実 装 に 特 化 した 情 報 を 与 える 引 数 。Origin では 常 に 0
プログラム 例
FORTRAN
C
implicit double precision (a-h,o-z)
parameter (n=128,iterm=n/4)
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C
C
C
C
C
C
integer i,isys
double precision pi,x(0:n-1),table(n+256),work(n+2)
complex*16 y(0:n/2)
波 形 データの 初 期 化
pi=4.d0*atan(1.d0)
do i=0,n-1
x(i)=cos(2.d0*iterm*i*pi/n)
end do
isys=0
FFTテーブルの 初 期 化
call dzfft(0,n,1.d0,x,y,table,work,isys)
FFT
call dzfft(1,n,1.d0,x,y,table,work,isys)
結 果 の 表 示
do i=0,n/2
write(*,*) i,zabs(y(i))
end do
stop
end
C/C++
#include
#include
#include
#define N 128
#define ITERM (N / 4)
int main(void)
{
int i, isys;
double pi, x[N];
double table[N + 256], work[N + 2];
scsl_zomplex y[N / 2 + 1];
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* 波 形 データの 初 期 化 */
pi = 4.0 * atan(1.0);
for(i = 0; i < N; i++){
x[i] = cos(2.0 * ITERM * i * pi / N);
}
isys = 0;
/* FFTテーブルの 初 期 化 */
dzfft(0, N, 1.0, x, y, table, work, &isys);
/* FFT */
dzfft(1, N, 1.0, x, y, table, work, &isys);
/* 結 果 の 表 示 */
for(i = 0; i < N / 2 + 1; i++){
printf("%d %g\n", i, sqrt(y[i].re * y[i].re + y[i].im * y[i].im));
}
}
return 0;
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2.10. FFT ルーチンの 性 能
Origin3000 400MHzでの 一 次 元 複 素 FFT ルーチンの 性 能 グラフを 示 します。
測 定 に 用 いたプロセッサのピーク 性 能 は 800MFLOPS です。 単 精 度 / 倍 精 度 、 共 にピーク 性 能 の 8 割 以
上 の 性 能 を 達 成 しています。
Complex 1D FFTs
Origin3000/R12000@400MHz
700
600
Double Precision
Single Precision
500
Mflops
400
300
200
100
0
32
64
128
256
512
1024
2048
4096
8192
16384
32768
65536
131072
262144
524288
1048576
Size
33
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次 に、2 次 元 /3 次 元 FFT を 並 列 実 行 した 場 合 の 性 能 グラフを 示 します。
プロセッサ 数 に 応 じた 良 好 なスケーラビリティが 得 られていることがわかります。
Effective Gflo
12
10
8
6
4
2
0
Multidimensional Fast Fourier Transforms
400 MHz Origin 3000
1 10 100
Number of Processors
4096 x 4096 512 x 512 x 512
34
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3. BLAS ルーチン
基 本 線 形 代 数 サブプログラム (BLAS) は、 線 形 代 数 の 数 値 計 算 を 行 う 行 列 の 低 水 準 サブプログラム 群
です。BLAS は 3 つのレベルから 構 成 されています。レベル1ルーチンは、ベクトル 対 ベクトルのルーチン
で、 一 度 に1 行 もしくは1 列 を 扱 うときに 用 いられます。レベル 2 ルーチンは、 行 列 対 ベクトルのルーチン
で、 行 列 とベクトルの 演 算 に 用 いられます。レベル 3 ルーチンは、 行 列 対 行 列 のルーチンで、 行 列 と 行 列
の 演 算 に 用 いられます。
ベクトルを 扱 うルーチンは、ストライドパラメータが 指 定 できるので 要 素 が 連 続 している 必 要 はありませ
ん。
3.1. データ 型
これらのルーチンでは 以 下 のデータ 型 が 使 用 されます。
• 単 精 度 : FORTRAN の real 型 、C/C++ の float 型 であり、これらは 32 ビット 浮 動 小 数 点 実 数 です。
これらのルーチン 名 は S で 始 まります。
• 単 精 度 複 素 数 : FORTRAN の complex 型 、C/C++の scsl_complex 型 ( で 定 義 されてい
ます。) C++ STL の complex 型 (で 定 義 されています。) であり、これらは 2 つの
32 ビット 浮 動 小 数 点 実 数 です。これらのルーチン 名 は C で 始 まります。
• 倍 精 度 : FORTRAN の double precision 型 、 C/C++の double 型 であり、これらは 64 ビット 浮 動 小 数
点 実 数 です。これらのルーチン 名 は、D で 始 まります。
• 倍 精 度 複 素 数 : FORTRAN の double complex 型 、C/C++の scsl_zomplex 型 (で 定 義 さ
れています。)、C++ STL の complex 型 (で 定 義 されています。) であり、これ
らは 2 つの 64 ビット 浮 動 小 数 点 実 数 です。これらのルーチン 名 は Z で 始 まります。
入 力 データや 出 力 データのデータ 型 以 外 でもバージョンにより 多 少 の 違 いが 生 じてきます。この 場 合 は、
そのルーチンの man ページで 説 明 されます。
3.2. マニュアルページ 名
man(1) コマンドでは、 単 精 度 実 数 、 単 精 度 複 素 数 、 倍 精 度 実 数 、 倍 精 度 複 素 数 のいずれのルーチン 名
でもオンラインマニュアルを 参 照 できます。
以 下 の 表 は、これらのルーチンの 命 名 規 則 を 示 しています。
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実 数 実 数 複 素 数 複 素 数
単 精 度 倍 精 度 単 精 度 倍 精 度
form: Sname Dname Cname Zname
example: SGEMM DGEMM CGEMM ZGEMM
3.3. レベル 1
レベル 1 BLAS ルーチンとしては、 次 の 3 つのベクトル 対 ベクトル 演 算 が 利 用 可 能 です。
• 内 積 と 種 々のベクトルノルム
• 定 数 倍 の 計 算 、ベクトルのコピー、ベクトルの 交 換 及 びベクトルの 線 形 結 合 の 計 算
• 平 面 回 転 変 換 、 修 正 平 面 回 転 変 換
また、レベル1 BLAS では、 絶 対 値 が 最 大 の 要 素 をサーチするなどのいくつかのサーチ 関 数 も 提 供 され
ています。
3.3.1. 増 分 引 数
ベクトルは、 配 列 名 (x や y) と 格 納 の 間 隔 ( 増 分 ) (incx や incy) によって 定 義 されます。 増 分 は、 正 の
数 のこともあれば 負 の 数 であることもあります。ベクトル x が n 個 の 要 素 を 持 つとする 場 合 、 対 応 する 実
際 の 配 列 引 数 は、 少 なくとも 1+(n-1)*|incx|の 長 さを 持 ちます。 負 の 増 分 である 場 合 は、x の 最 初 の 要 素
は FORTRAN では x(1+(n-1)*|incx|) であり、C/C++ では、x[(n-1)*|incx|] となります。この 機 能 は 標 準
BLAS に 対 する 拡 張 であるため、_SCAL, _NRM2, _ASUM 及 び I_AMAX の 標 準 仕 様 では、 負 の 増 分 に 対
してはこれらの 振 る 舞 いは 定 義 されていません。
増 分 引 数 が 0 である 場 合 は、 予 測 不 可 能 な 結 果 が 生 じます。
incx: 増 分
: 要 素
incx
‥‥
incx
‥‥
incx
‥‥
以 下 の 例 では、 要 素 数 5、 増 分 3 の 時 のベクトルへの 要 素 の 格 納 のされ 方 を 示 します。
36
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3 3 3 3
1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13
n = 5
incx = 3
配 列 の 長 さ = 1+(n-1)x|incx|
= 1+(5-1)x|3|
= 13
3.3.2. FORTRAN での 関 数 の 型 宣 言
FORTRAN では、 外 部 関 数 のデータ 型 を 宣 言 する 必 要 があります。 複 素 数 のレベル 1 BLAS 関 数 のデー
タ 型 を 宣 言 することは 特 に 重 要 です。なぜなら、 関 数 名 と FORTRAN のデータ 型 の 規 則 に 従 うと、デフォ
ルトのデータ 型 では 実 数 となってしまうためです。
関 数 名 に 対 応 する FORTRAN での 型 宣 言 は 次 のようになります。
型
REAL
COMPLEX
DOUBLE PRECISION
DOUBLE COMPLEX
INTEGER
関 数 名
SASUM, SCASUM, SCNRM2, SDOT, SNRM2, SSUM
CDOTC, CDOTU, CSUM
DASUM, DZASUM, DDOT, DNRM2, DZNRM2, DSUM
ZDOTC, ZDOTU, ZSUM
ISAMAX, IDAMAX, ICAMAX, IZAMAX, ISAMIN, IDAMIN,
ISMAX, IDMAX, ISMIN, IDMIN
3.3.3. サーチ 関 数
レベル 1 BLAS では、いくつかのサーチ 関 数 が 提 供 されています。 以 下 にこれらの 関 数 を 列 挙 していま
す。
(アスタリスク [*] のついた 関 数 は、 標 準 のレベル 1 BLAS ルーチンに 対 する 拡 張 となっています。)
ISAMAX, ICAMAX, ISAMIN*, ISMAX*, ISMIN*
IDAMAX IZAMAX, IDAMIN*, IDMAX*, IDMIN*
3.3.4. 関 数 一 覧
アスタリスク [*] がついた 関 数 は、 標 準 レベル 1 BLAS ルーチンの 拡 張 となっています。 詳 細 につきまし
ては、 各 ルーチンのマニュアルページをご 参 照 ください。
37
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実 数
単 精 度
実 数
倍 精 度
複 素 数
単 精 度
複 素 数
倍 精 度
説 明
SASUM DASUM 実 数 ベクトル 要 素 の 絶 対 値 の 合 計 (1 ノルム)
SCASUM DZASUM
複 素 ベクトル 要 素 の 絶 対 値 の 合 計
SAXPBY* DAXPBY* CAXPBY* ZAXPBY* ベクトルの 定 数 倍 同 士 の 和
SAXPY DAXPY CAXPY ZAXPY ベクトルの 定 数 倍 とベクトルの 和
SCOPY DCOPY CCOPY ZCOPY ベクトルを 他 のベクトルへコピー
SDOT DDOT CDOTU ZDOTU 内 積
CDOTC ZDOTC 共 役 内 積
SHAD* DHAD* CHAD* ZHAD* 2 つのベクトルのアダマール 積
SNRM2 DNRM2 実 数 ベクトルのユークリッドノルム (L2 ノルム)
SCNRM2 DZNRM2 複 素 ベクトルのユークリッドノルム (L2 ノルム)
CSROT* ZDROT* 実 平 面 回 転 変 換 の 複 素 ベクトルの 対 への 適 用
CROT* ZROT*
SROT DROT 直 行 平 面 回 転 変 換
SROTG DROTG CROTG* ZROTG* Givens 回 転 行 列 の 計 算
SROTM DROTM 修 正 Givens 回 転 変 換
SROTMG DROTMG
修 正 Givens 回 転 行 列 の 計 算
SSCAL DSCAL CSCAL ZSCAL ベクトルの 定 数 倍
CSSCAL ZDSCAL
SSUM* SDUM* CSUM* ZSUM* ベクトル 要 素 の 和
SSWAP DSWAP CSWAP ZSWAP ベクトルの 交 換
ISAMAX IDAMAX ICAMAX IZAMAX 絶 対 値 が 最 大 となる 要 素 のサーチ
ISAMIN* IDAMIN* 絶 対 値 が 最 小 となる 要 素 のサーチ
ISMAX* IDMAX* 最 大 値 となる 要 素 のサーチ
ISMIN* IDMIN* 最 小 値 となる 要 素 のサーチ
3.4. レベル 2
3.4.1. 多 次 元 配 列
BLAS ルーチンへの 引 数 として 渡 される 多 次 元 配 列 は、 列 方 向 の 順 で 格 納 されます。 即 ち、FORTRAN プ
ログラムで 用 いられる 格 納 の 慣 習 です。C/C++ のユーザは 明 示 的 に 列 方 向 で 多 次 元 配 列 に 値 を 格 納
する 必 要 があります。 一 つの 方 法 としては、FORTRAN での 宣 言 を 考 慮 して、 配 列 の 次 元 の 順 序 を 逆 に
するという 方 法 があります ( 例 えば、FORTRAN で x(ldx,n)である 場 合 は、C/C++では x[n][ldx] としま
す)。 で 使 われているプロトタイプのため、コンパイラからの 型 のミスマッチによるエラーや
警 告 を 避 けるために、 配 列 を BLAS ルーチンへの 引 数 として 渡 す 時 は、 適 切 な 型 に 対 するポインタとして
キャストします。
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BLAS ルーチンを 呼 ぶ 際 に、 多 次 元 配 列 に 関 して 行 方 向 の 格 納 形 式 を 望 む C/C++ユーザは、
INTRO_CBLAS(3S) マニュアルページをご 参 照 ください。
3.4.2. 関 数 一 覧
アスタリスク [*] がついた 関 数 は、 標 準 レベル 2 BLAS ルーチンの 拡 張 となっています。 詳 細 につきまし
ては、 各 ルーチンのマニュアルページをご 参 照 ください。
実 数
単 精 度
実 数
倍 精 度
複 素 数
単 精 度
複 素 数
倍 精 度
CHBMV ZHBMV 複 素 エルミート 帯 行 列 と 複 素 ベクトルの 積
CHEMV ZHEMV 複 素 エルミート 行 列 と 複 素 ベクトルの 積
CHER ZHER 複 素 エルミート 行 列 のエルミート ランク 1 更 新
CHER2 ZHER2 複 素 エルミート 行 列 のエルミート ランク 2 更 新
CHPMV ZHPMV 圧 縮 形 式 での 複 素 エルミート 行 列 と 複 素 ベクトルの 積
CHPR ZHPR 圧 縮 形 式 での 複 素 エルミート 行 列 のエルミート ランク 1 更 新
CHPR2 ZHPR2 圧 縮 形 式 での 複 素 エルミート 行 列 のエルミート ランク 2 更 新
SGBMV DGBMV CGBMV ZGBMV 一 般 帯 行 列 とベクトルの 積
SGEMV DGEMV CGEMV ZGEMV 一 般 行 列 とベクトルの 積
SGER DGER 実 一 般 行 列 の ランク 1 更 新
CGERC ZGERC 複 素 一 般 行 列 の 共 役 ランク 1 更 新
CGERU ZGERU 複 素 一 般 行 列 の 非 共 役 ランク 1 更 新
SGESUM* DGESUM* CGESUM* ZGESUM* 行 列 の 定 数 倍 同 士 の 和
SSBMV DSBMV 実 対 称 帯 行 列 と 実 ベクトルの 積
SSPMV DSPMV CSPMV* ZSPMV* 圧 縮 形 式 での 対 称 行 列 とベクトルの 積
SSPR DSPR CSPR* ZSPR* 圧 縮 形 式 での 対 称 行 列 の 対 称 ランク 1 更 新
SSPR2 DSPR2 圧 縮 形 式 での 実 対 称 行 列 の 対 称 ランク 2 更 新
SSYMV DSYMV CSYMV ZSYMV 対 称 行 列 とベクトルの 積
SSYR DSYR CSYR* ZSYR* 対 称 行 列 の 対 称 ランク 1 更 新
SSYR2 DSYR2 実 対 称 行 列 の 対 称 ランク 2 更 新
STBMV DTBMV CTBMV ZTBMV 三 角 帯 行 列 とベクトルの 積
STBSV DTBSV CTBSV ZTBSV 三 角 帯 行 列 の 求 解
STPMV DTPMV CTPMV ZTPMV 圧 縮 形 式 での 三 角 行 列 とベクトルの 積
STPSV DTPSV CTPSV ZTPSV 圧 縮 形 式 での 三 角 行 列 の 求 解
STRMV DTRMV CTRMV ZTRMV 三 角 行 列 とベクトルの 積
STRSV DTRSV CTRSV ZTRSV 三 角 行 列 の 求 解
説 明
3.5. レベル 3
3.5.1. 多 次 元 配 列
BLAS ルーチンへの 引 数 として 渡 される 多 次 元 配 列 は、 列 方 向 の 順 で 格 納 されます。 即 ち、FORTRAN プ
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ログラムで 用 いられる 格 納 の 慣 習 です。C/C++ のユーザは 明 示 に 列 方 向 で 多 次 元 配 列 に 値 を 格 納 す
る 必 要 があります。 一 つの 方 法 としては、FORTRAN での 宣 言 を 考 慮 して、 配 列 の 次 元 の 順 序 を 逆 にす
るという 方 法 があります ( 例 えば、FORTRAN で x(ldx,n)である 場 合 は、C/C++では x[n][ldx] とします)。
で 使 われているプロトタイプのため、コンパイラからの 型 のミスマッチによるエラーや 警 告 を
避 けるために、 配 列 を BLAS ルーチンへの 引 数 として 渡 す 時 は、 適 切 な 型 に 対 するポインタとしてキャス
トします。
BLAS ルーチンを 呼 ぶ 際 に、 多 次 元 配 列 に 関 して 行 方 向 の 格 納 形 式 を 望 む C/C++ユーザは、 次 節 3.6
節 の“CBLAS ライブラリ”、または、INTRO_CBLAS(3S) マニュアルページをご 参 照 ください。
3.5.2. 関 数 一 覧
アスタリスク [*] がついた 関 数 は、 標 準 レベル 3 BLAS ルーチンの 拡 張 となっています。 詳 細 につきまし
ては、 各 ルーチンのマニュアルページをご 参 照 ください。
実 数
単 精 度
実 数
倍 精 度
複 素 数
単 精 度
複 素 数
倍 精 度
SGIMM DGEMM CGEMM ZGEMM 一 般 行 列 同 士 の 積
CGEMM3M* ZGEMM3M* 一 般 行 列 同 士 の 積
Strassen のアルゴリズムのバリエーションを 用 いた
DGEMMS*
倍 精 度 行 列 同 士 の 積
SSYMM DSYMM CSYMM ZSYMM 対 称 行 列 と 一 般 行 列 の 積
CHEMM ZHEMM エルミート 行 列 と 複 素 一 般 行 列 の 積
SSYR2K DSYR2K CSYR2K ZSYR2K 対 称 行 列 の ランク 2k 更 新
CHER2K ZHER2K エルミート 行 列 の ランク 2k 更 新
SSYRK DSYRK CSYRK ZSYRK 対 称 行 列 の ランク k 更 新
CHERK ZHERK エルミート 行 列 の ランク k 更 新
STRMM DTRMM CTRMM ZTRMM 三 角 行 列 と 一 般 行 列 の 積
STRSM DTRSM CTRSM ZTRSM 三 角 行 列 方 程 式 の 求 解
説 明
3.6. CBLAS ライブラリ
SCSL には、BLAS ライブラリに 対 して 2 つの C/C++インターフェースが 存 在 します。 一 つは 1.9 節 で 述 べ
た 方 法 によるもので、scsl_blas.h に 定 義 されたインターフェースを 使 用 します。 本 節 ではもう 一 つのインタ
ーフェース CBLAS ライブラリについて 説 明 します。
3.6.1. ヘッダファイル
CBLAS インターフェースを 使 用 するには、プログラムにおいて cblas.h ファイルをインクルードする 必 要 が
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あります。
#include
3.6.2. 呼 び 出 し 名
FORTRAN 77 インターフェースにおける 文 字 列 引 数 は、CBLAS インターフェースでは 列 挙 型 によって 定
義 されています。 以 下 の 一 覧 をご 参 照 ください。
FORTRAN インターフェース
CBLAS インターフェース
文 字 型 引 数 値 列 挙 型 値
SIDE 'L' CBLAS_SIDE CblasLeft
'R'
CblasRight
UPLO 'U' CBLAS_UPLO CblasUpper
'L'
CblasLower
DIAG 'N' CBLAS_DIAG CblasNonUnit
'U'
CblasUnit
TRANSPOSE 'N' CBLAS_TRANSPOSE CblasNoTrans
'T'
CblasTrans
'C'
CblasConjTrans
CBLAS_ORDER CblasRowMajor
CblasColMajor
上 記 の 表 の 最 後 の 列 挙 型 にある CBLAS_ORDER は、 対 応 する FORTRAN での 引 数 は 存 在 しません。こ
れは、 以 下 の 節 で 説 明 しますが、2 次 元 配 列 を 持 つ 全 てのルーチンに 対 する 引 数 として 使 用 されます。
3.6.3. 配 列 引 数
配 列 要 素 は、メモリ 中 で 連 続 していることが 要 求 されます。 引 数 として 2 次 元 配 列 を 持 つすべての BLAS
ルーチンは、CBLAS インターフェースにおいては 引 数 が 追 加 されます。 引 数 リストにおける 最 初 の 引 数
は、 列 挙 型 の 引 数 です。
enum CBLAS_ORDER {CblasRowMajor=101, CblasColMajor=102};
CblasRowMajor は、 配 列 の 行 内 の 要 素 がメモリ 中 で 連 続 になることを 示 しています。 配 列 の 列 内
の 要 素 は、 定 数 ストライドだけ 離 れます。このストライドパラメータは、FORTRAN 77 インターフ
ェースのリーディングディメンジョン (LDA) に 等 しくなります。
同 様 に CblasColMajor は、 配 列 の 列 中 の 要 素 がメモリ 中 で 連 続 になることを 示 しており、 配 列 の
列 中 の 要 素 が 定 数 ストライドだけ 離 れます。
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CBLAS_ORDER パラメータは、ルーチン 内 の 全 ての 配 列 オペランドに 対 して 適 用 されます。
3.6.4. 複 素 数 データ
標 準 の BLAS では、 複 素 数 引 数 をもつルーチンで 使 用 するための 複 素 数 データ 型 は 定 義 していません。
代 わりに、 全 ての 複 素 数 スカラ 値 と 配 列 は void * としてプロトタイプされます。これにより、コンパイラか
らの 警 告 が 生 じることなく、 以 下 で 述 べる 仕 様 を 満 たしているあらゆる 複 素 数 型 のデータ 構 造 を 使 用 する
ことが 可 能 になりますが、コンパイラが 型 のミスマッチを 捉 えられないという 不 都 合 も 生 じます。
CBLAS インターフェースで 使 用 されている、あらゆる C/C++の 複 素 数 データ 型 は 以 下 の 要 求 を 満 たす 必
要 があります。
1. 実 部 と 虚 部 はメモリ 上 で 連 続 である 必 要 がある。
2. 連 続 的 な 配 列 要 素 もメモリ 上 で 連 続 である 必 要 がある。
標 準 の BLAS に 対 する 拡 張 として、SCSL は 複 素 数 引 数 について 強 制 的 な 型 チェックのサポートを 提 供 し
ています。これを 可 能 にするために、SCSL_NO_VOID_ARGS を CBLAS のヘッダファイルをインクルードす
る 前 に 定 義 する 必 要 があります ( 例 えば、コンパイル 時 に-DSCSL_NO_VOID_ARGS を 指 定 するか、 明 示
的 に#define SCSL_NO_VOID_ARGS をソースコードに 記 述 します)。 この 定 義 によるデフォルトの 振 る 舞
いは、 以 下 のようになります。
• C++の 標 準 クラスライブラリ (STL) の 複 素 数 型 が 使 われている C++コードについては、 単 精 度 複 素
数 の 引 数 は complex* としてプロトタイプされ、 倍 精 度 複 素 数 の 引 数 は、complex*と
してプロトタイプされます。
• そうでなければ、C/C++の 両 方 に 関 して、 単 精 度 複 素 数 引 数 は scsl_complex *としてプロトタイプさ
れ、 倍 精 度 複 素 数 引 数 は scsl_zomplex* としてプロトタイプされます。SCSL 複 素 数 型 は 次 のように
定 義 されています。
typedef struct {float re; float im;} scsl_complex;
typedef struct {double re; double im;} scsl_zomplex;
強 制 的 な 型 チェックは、ユーザ 定 義 の 複 素 数 型 を 用 いているプログラムでも 可 能 です。これを
可 能 にするために、SCSL_USER_COMPLEX_T=my_complex か SCSL_USER_COMPLEX_T=my_zomplex を
定 義 します。ここで my_comlex と my_zomplex はユーザ 定 義 の 複 素 数 型 の 名 前 です。 これらの
複 素 数 型 は、SCSL_NO_VOID_ARGS と 同 様 に CBLAS ヘッダファイルをインクルードする 前 に 定 義
することが 必 要 です。
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3.6.5. インデックスを 返 すルーチン
FORTRAN 77 の 配 列 インデックスの 慣 習 に 従 うと、BLASルーチンは、1≦i≦nの 範 囲 のインデックスを 返
します。ここで n は 要 素 数 であり、i はインデックスです。このため 返 り 値 であるインデックスは 直 接 配 列 の
インデックスとして 使 用 することが 可 能 です。C インターフェースは、 同 じ 理 由 により 0≦i

3.7.1. 倍 精 度 スカラー・ベクトル 乗 算 及 びベクトル 同 士 の 和 DASPY
以 下 の 例 では、DAXPY ルーチンによるベクトル 同 士 の 和 を 行 い、 解 析 的 に 正 しい 結 果 との 比 較 を 行 いま
す。
問 題
入 力 となるベクトル X, Y の 各 要 素 は 次 の 式 により 与 えます。
x(i)=i, y(i)=n-α*i, where i=1,n, α=2.0
すなわち、DAXPY で 行 われる 演 算
Y

C
C
C
x(i)=i
y(i)=n-a*i
end do
演 算
call daxpy(n,a,x,1,y,1)
正 しい 解 との 比 較
derr=0.d0
do i=1,n
derr=derr+(y(i)-n)*(y(i)-n)
end do
derr=dsqrt(derr)
write(*,*) derr
stop
end
C/C++
#include
#include
#include
#define N 100
int main(void)
{
int i;
double a, derr;
double x[N], y[N];
/* 初 期 化 */
a = 2.0;
for(i = 0; i < N; i++){
x[i] = i;
y[i] = N - a * i;
}
/* 演 算 */
daxpy(N, a, x, 1, y, 1);
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}
/* 正 しい 解 との 比 較 */
derr = 0.0;
for(i = 0; i < N; i++){
derr += (y[i] - N) * (y[i] - N);
}
derr = sqrt(derr);
printf("%g\n", derr);
return 0;
3.7.2. 倍 精 度 実 一 般 行 列 同 士 の 積 DGEMM
サブルーチン DGEMM では、 行 列 A, B、および C とスカラー 値 α、およびβに 対 して 次 の 操 作 をします。
C = j.
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サイズ 4 の 場 合 の 行 列 は 下 記 の 通 りです。
DGEMM 引 数 一 覧
DGEMM (TRANSA,TRANSB,M,N,K,ALPHA,A,LDA,B,LDB,BETA,C,LDC)
TRANSA ( 入 力 ) 文 字 型 。 行 列 A を 転 置 するか 否 かを 指 定 します。
TRANSA=’N’もしくは’n’: op(A)=A
TRANSA=’Y’もしくは’y’: op(A)= T A
TRANSB ( 入 力 ) 文 字 型 。 行 列 B を 転 置 するか 否 かを 指 定 します。
TRANSA=’N’もしくは’n’: op(B)=B
TRANSA=’Y’もしくは’y’: op(B)= T B
M
( 入 力 ) 整 数 型 。 行 列 op(A) 及 び C の 行 数
N
( 入 力 ) 整 数 型 。 行 列 op(B) 及 び C の 列 数
K
( 入 力 ) 整 数 型 。 行 列 op(A)の 列 数 、 及 び op(B)の 行 数
ALPHA ( 入 力 ) 倍 精 度 実 数 型 。スカラ 値
A ( 入 力 ) 倍 精 度 実 数 型 。 次 元 (LDA,KA) の 配 列 。
TRANSA=’N’だったら KA は K, そうでなければ M
LDA ( 入 力 ) 整 数 型 。 配 列 A の 第 1 次 元
B ( 入 力 ) 倍 精 度 実 数 型 。 次 元 (LDB,KB)の 配 列 。
TRANSB=’N’だったらKBはN、そうでなければK
LDB ( 入 力 ) 整 数 型 。 配 列 B の 第 1 次 元
BETA ( 入 力 ) 倍 精 度 実 数 型 。スカラ 値
C
( 入 出 力 ) 倍 精 度 実 数 型 。 次 元 (LDC,N)の 配 列
LDC ( 入 力 ) 実 数 型 。 配 列 C の 第 1 次 元
データの 格 納 方 法
BLASルーチンへの 引 数 として 渡 される 多 次 元 配 列 は、 列 方 向 の 順 で 格 納 されます。
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プログラム 例
FORTRAN
implicit double precision (a-h,o-z)
C
parameter (n=10)
parameter (lda=n,ldb=n,ldc=n)
integer i,j
double precision dtmp,alpha,beta
double precision a(lda,n),b(ldb,n),c(ldc,n)
C 初 期 化
C A: テスト 行 列 B: テスト 行 列 の 逆 行 列 C: 零 行 列
alpha=1.d0
beta =0.d0
do j=1,n
do i=1,n
a(i,j)=n+1.d0-max(i,j)
c(i,j)=0.d0
if((i .eq. 1) .and. (j .eq. 1)) then
b(i,j)=1.d0
else if((i .eq. j-1) .or. (i .eq. j+1)) then
b(i,j)=-1.d0
else if(i .eq. j) then
b(i,j)=2.d0
else
b(i,j)=0.d0
end if
end do
end do
C C := A*B
call dgemm('N','N',n,n,n,alpha,a,lda,b,ldb,beta,c,ldc)
C 正 しい 解 との 比 較
dtmp=0.d0
do j=1,n
do i=1,n
if(i .eq. j) then
dtmp=dtmp+(c(i,j)-1.d0)*(c(i,j)-1.d0)
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C
C
else
dtmp=dtmp+c(i,j)*c(i,j)
end if
end do
end do
dtmp=dsqrt(dtmp)
write(*,*) dtmp
stop
end
C/C++
#include
#include
#include
#define N 10
#define LDA N
#define LDB N
#define LDC N
#define MAX(i,j) (((i) > (j)) (i) : (j))
int main(void)
{
int i, j;
double dtmp, alpha, beta;
double a[LDA * N], b[LDB * N], c[LDC *N];
/* 初 期 化 */
/* A: テスト 行 列 B: テスト 行 列 の 逆 行 列 C: 零 行 列 */
alpha = 1.0;
beta = 0.0;
for(j = 0; j < N; j++){
for(i = 0; i < N; i++){
a[j * LDA + i] = N - MAX(i, j);
c[j * LDC + i] = 0.0;
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if(i == 0 && j == 0){
b[j * LDB + i] = 1.0;
}else if(i == j - 1 || i == j + 1){
b[j * LDB + i] = -1.0;
}else if(i == j){
b[j * LDB + i] = 2.0;
}else{
b[j * LDB + i] = 0.0;
}
}
}
/* C := A*B */
dgemm("N", "N", N, N, N, alpha, a, LDA, b, LDB, beta, c, LDC);
/* 正 しい 解 との 比 較 */
dtmp = 0.0;
for(j = 0; j < N; j++){
for(i = 0; i < N; i++){
if(i == j){
dtmp += (c[j * LDC + i] - 1.0) * (c[j * LDC + i] - 1.0);
}else{
dtmp += c[j * LDC + i] * c[j * LDC + i];
}
}
}
dtmp = sqrt(dtmp);
printf("%g\n", dtmp);
}
return 0;
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3.8. BLAS の 性 能
以 下 にLevel 3 BLASの 複 素 行 列 積 ZGEMMルーチンの 並 列 処 理 における 性 能 グラフを 示 します。
理 論 ピーク 性 能 の8 割 以 上 の 性 能 を 維 持 したまま、プロセッサ 数 の 増 加 に 伴 い、ほぼリニアなスケール
で 性 能 が 向 上 しているのがわかります。また、SCSLの 提 供 する3Mカーネルによる 複 素 行 列 積 のルーチ
ンを 用 いることにより、 標 準 的 なZGEMMよりも 短 時 間 で 解 を 求 めることができます。
Gflops (based o
standard ZGEMM
4000 x 4000 Complex Matrix Multiplication
400 MHz Origin 3000
8
7
6
5
4
3
2
1
0
0 2 4 6 8 10
Number of Processors
Standard ZGEMM "3M" ZGEMM Theoretical Peak
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4. LAPACK ルーチン
LAPACK は 密 行 列 に 対 する 線 形 代 数 の 問 題 を 解 くためのサブルーチンを 与 えるパブリックドメインのライ
ブラリであり、 以 下 のものを 含 みます。
• 連 立 一 次 方 程 式
• 線 形 最 小 自 乗 問 題
• 固 有 値 問 題
• 特 異 値 分 解 (SVD)
LAPACK パッケージは、LINPACK や EISPACK パッケージにとって 替 わるものであり、これらの 古 いパッ
ケージよりも 現 在 の 高 性 能 な 計 算 機 をより 効 率 よく 利 用 するために 設 計 さています。また、 均 衡 化 や 反
復 改 良 、 誤 差 境 界 の 計 算 法 や、 線 形 システムのドライバルーチン、Schur 分 解 を 計 算 しリオーダリングす
るためのルーチン、そして、 固 有 値 問 題 のための 条 件 数 を 評 価 するためのルーチンを 含 むことによって
機 能 を 拡 張 しています。
レベル 2, 3 の BLAS コードを 用 いて 計 算 効 率 のよいアルゴリズムを 使 用 することで、 性 能 面 での 最 適 化
が 図 られています。ほとんどの BLAS コードは、シングル 及 びマルチプロセッサ 環 境 上 で 最 適 化 されてい
るため、LAPACK 自 身 も 最 適 な 性 能 を 提 供 します。
E. Anderson, Z. Bai, C. Bischof, J. Demmel, J. Dongarra, J. DuCroz, A. Greenbaum, S. Hammarling, A.
McKenney, S. Ostrouchov, and D. Sorensen,らによって LAPACK ユーザガイドで 述 べられたオリジナル
の FORTRAN プログラムは、1992 年 に SIAM より 出 版 されています。
4.1. SCSL に 含 まれる LAPACK ルーチン
LAPACK3.0 に 含 まれる 全 ての 実 数 及 び 複 素 数 ルーチンがサポートされています。これには、 連 立 一 次
方 程 式 、 最 小 自 乗 問 題 、 固 有 値 問 題 及 び 特 異 値 問 題 に 関 するドライバルーチンと 計 算 ルーチンを 含 み
ます。また、 基 本 的 な 直 交 変 換 を 行 うための 補 助 ルーチンがサポートされています。
科 学 技 術 計 算 ライブラリ 中 の LAPACK ルーチンについてはオンラインのマニュアルページで 説 明 されて
います。 例 えば、 一 般 行 列 のための 連 立 一 次 方 程 式 を 解 くためのエキスパートドライバルーチンに 対 す
る 引 数 の 説 明 を 見 たいときは、 次 のコマンドを 入 力 します。
% man sgesvx
サポートされている 全 ての LAPACK ルーチンに 対 するユーザインターフェースは、 標 準 の LAPACK イン
ターフェースと 厳 密 に 同 じです。
SCSL 中 で 提 供 されているブロックアルゴリズムに 関 するチューニングパラメータは、LAPACK ルーチン
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ILAENV(3) 中 のパラメータの 集 合 です。ILAENV(3) は、 問 題 の 型 や 次 元 に 関 する 情 報 を 受 け 付 ける 整
数 関 数 であり、 最 適 なブロックサイズ、ブロックアルゴリズムが 使 用 するべき 最 少 のブロックサイズ、また、
クロスオーバーポイント (ブロック 化 されていないアルゴリズムを 用 いる 際 の 基 準 となる 問 題 サイズ) な
どの 一 つの 整 数 パラメータを 返 します。チューニングパラメータは 自 動 的 に 生 成 されますが、 使 用 される
値 を 見 つけるために ( 例 えば、どの 程 度 の 作 業 空 間 が 必 要 であるかを 知 るために) 直 接 ILAENV(3S)
ルーチンを 呼 ぶことになります。
4.2. ネーミングスキーム
各 LAPACK ルーチン 名 は、その 機 能 のコード 名 となっています (ただし、 標 準 FORTRAN 77 の 6 文 字 名
称 の 制 限 に 従 っています)。 全 てのドライバ 及 び 計 算 ルーチンは、XYYZZ や XYYZZZ などの 5 もしくは 6
文 字 の 名 前 になっています。
それぞれの 名 前 の 最 初 の 文 字 X は、 以 下 のデータの 型 を 意 味 します。
S REAL
D DOUBLE PRECISION
C COMPLEX
Z DOUBLE COMPLEX
続 く 2 文 字 YY は、 行 列 ( 最 も 特 徴 を 示 していると 思 われる 行 列 ) の 種 類 を 示 しています。これらの 2 文
字 で 示 されるコードは、 実 及 び 複 素 行 列 のどちらにも 適 用 されますが、ごくわずかに、どちらか 一 方 にの
みしか 適 用 されないものがあります。 行 列 の 種 類 は、 次 の 通 りです。
BD 準 対 角 行 列
DI 対 角 行 列
GB 一 般 帯 行 列
GE 一 般 行 列 ( 非 対 称 )
GG 一 般 化 問 題 での 一 般 行 列
GT 一 般 三 重 対 角 行 列
HB エルミート 帯 行 列 ( 複 素 のみ)
HE エルミート 行 列 ( 複 素 のみ)
HG 一 般 化 問 題 でのヘッセンベルグ 行 列
HP 圧 縮 形 式 でのエルミート 行 列 ( 複 素 のみ)
HS 上 三 角 ヘッセンベルグ 行 列
OP 圧 縮 形 式 での 直 交 行 列 ( 実 数 のみ)
OR 直 交 行 列 ( 実 数 のみ)
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PB 正 値 帯 行 列 ( 対 称 もしくはエルミート)
PO 正 値 行 列 ( 対 称 もしくはエルミート)
PP 圧 縮 形 式 での 正 値 行 列 ( 対 称 もしくはエルミート)
PT 正 値 三 重 対 角 行 列 ( 対 称 もしくはエルミート)
SB 対 称 帯 行 列 ( 実 数 のみ)
SP 圧 縮 形 式 での 対 称 行 列
ST 対 称 三 重 対 角 行 列
SY 対 称 行 列
TB 三 角 帯 行 列
TG 一 般 化 問 題 での 三 角 行 列
TP 圧 縮 形 式 三 角 行 列
TR 三 角 行 列
TZ 台 形 行 列
UN ユニタリ 行 列 ( 複 素 のみ)
UP 圧 縮 形 式 でのユニタリ 行 列 ( 複 素 のみ)
最 後 の 2 もしくは 3 文 字 である ZZ もしくは、ZZZ は、どのような 計 算 が 行 われたかを 示 します。 例 えば、
SGETRF は、 単 精 度 実 数 (Single-precision, real) の 一 般 行 列 (GEneral) に 対 して 3 角 分 解 (TRiangular
Factorization) が 行 われたことを 示 し、CGETRF は、 複 素 一 般 行 列 (Complex GEneral) に 対 して 同 様 の
分 解 が 行 われたことを 示 しています。
SCSL で 利 用 可 能 な LAPACK のドライバ 及 び 計 算 ルーチンの 一 覧 や 引 数 、 及 び 使 い 方 に 関 する 詳 細 は、
マニュアルページをご 参 照 ください。
4.3. サンプルプログラム
4.3.1. 倍 精 度 実 一 般 行 列 用 連 立 一 次 方 程 式 の 解 法 DGESV
ここでは 次 のような 連 立 一 次 方 程 式 を 例 にとって 説 明 します。
問 題
⎡1.0
⎢
⎢
1.0
⎢⎣
1.0
3.0
3.0
4.0
3.0⎤
⎡ 1.0 ⎤
4.0
⎥ ⎢ ⎥
⎥
∗ x =
⎢
4.0
⎥
3.0⎥⎦
⎢⎣
−1.0⎥⎦
この 連 立 一 次 方 程 式 に 対 する 解 ベクトル x は 次 の 通 りです。
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⎡−
2.0⎤
x =
⎢ ⎥
⎢
− 2.0
⎥
⎢⎣
3.0 ⎥⎦
サブルーチン DGESV の 呼 び 出 しに 必 要 な 引 数 は 次 の 通 りです。
DGESV 引 数 一 覧
DGESV( N, NRHS, A, LDA, IPIV, B, LDB, INFO )
N ( 入 力 ) 整 数 型 。 係 数 行 列 A の 次 数
NRHS ( 入 力 ) 整 数 型 。 右 辺 の 行 列 B の 列 数
A ( 入 出 力 ) 単 精 度 実 数 。 係 数 行 列 A を 格 納 する 次 元 (LDA,N) の 配 列 。 出 力 時 は
LU 分 解 の 結 果
LDA ( 入 力 ) 整 数 型 。 配 列 A の 第 1 次 元
IPIV ( 出 力 ) 整 数 型 。 軸 選 択 用 添 字 を 格 納 する 次 元 N の 配 列
B ( 入 出 力 ) 単 精 度 実 数 。 右 辺 の 行 列 B を 格 納 する 次 元 (LDB,NRHS)の 配 列 。 出 力
時 は INFO=0 の 時 、(n,nrhs)の 解 行 列 X
LDB ( 入 力 ) 整 数 型 。 配 列 B の 第 1 次 元
INFO ( 出 力 ) 整 数 型
0: 正 常 終 了
0 以 外 : 異 常 終 了
データの 格 納 方 法
サブルーチン DGESV は 非 対 称 一 般 行 列 に 対 する 解 法 であり、 本 サブルーチンでの 係 数 行 列 データの
配 列 への 格 納 形 式 は、 密 行 列 に 対 する 伝 統 的 な 格 納 形 式 を 使 用 します。この 格 納 形 式 では 行 列 A の 行
列 要 素 a ij を 2 次 元 配 列 A の 配 列 要 素 A(i,j) に 格 納 します。
a ij -> A(I,j)
プログラム 例 は 次 の 通 りです。
プログラム 例
1: C EXAMPLE LAPACK DGESV
2: INTEGER N, LDA, NRHS, LDB, INFO
3: PARAMETER (N=3,LDA=3,NRHS=1,LDB=3)
4: INTEGER IPIV(N)
5: REAL*8 A(LDA,N), B(LDB,NRHS)
6: C A=( 1.0 3.0 3.0 )
7: C 1.0 3.0 4.0 )
8: C 1.0 4.0 3.0 )
55
日 本 SGI 株 式 会 社

9: C B=( 1.0
10: C 4.0
11: C -1.0 )
12: DATA A/1.0,1.0,1.0,3.0,3.0,4.0,3.0,4.0,3.0/
13: DATA B/1.0,4.0,-1.0/
14:
15: CALL DGESV(N,NRHS,A,LDA,IPIV,B,LDB,INFO)
16:
17: WRITE(*,*) 'INFO=',INFO
18: IF (INFO.EQ.0) THEN
19: WRITE(6,630) ((I,B(I,J),I=1,LDB),J=1,NRHS)
20: END IF
21: 630 FORMAT('0',10X,'SOLUTION VECTOR'
22: * /(10X,5('(',I3,')',E16.8)))
23: END
実 行 例
## リンクオプション –lscs を 指 定 してコンパイル
% f77 dgesv_main.f -lscs
## 実 行
% ./a.out
INFO= 0
0 SOLUTION VECTOR
( 1) -0.20000000E+01( 2) -0.20000000E+01( 3) 0.30000000E+01(
4.3.2. 倍 精 度 実 帯 行 列 用 連 立 一 次 方 程 式 の 解 法 DGBSV
ここでは 次 のような 連 立 一 次 方 程 式 を 例 にとって 説 明 します。
問 題
⎡2.0
⎢
⎢
4.0
⎢6.0
⎢
⎢0.0
⎢
⎣0.0
−1.0
1.0
1.0
2.0
0.0
0.0
2.0
1.0
3.0
2.0
0.0
0.0
4.0
6.0
1.0
0.0⎤
⎡ 0.0 ⎤
0.0
⎥ ⎢ ⎥
⎥ ⎢
12.0
⎥
0.0⎥
∗ x = ⎢27.0⎥
⎥ ⎢ ⎥
1.0⎥
⎢42.0⎥
5.0⎥
⎦
⎢
⎣35.0⎥
⎦
56
日 本 SGI 株 式 会 社

この 連 立 一 次 方 程 式 に 対 する 解 ベクトル x は 次 の 通 りです。
⎡1.0⎤
⎢ ⎥
⎢
2.0
⎥
x = ⎢3.0⎥
⎢ ⎥
⎢4.0⎥
⎢
⎣5.0⎥
⎦
DGESV 引 数 一 覧
DGBSV( N, NRHS, A, LDA, IPIV, B, LDB, INFO )
N ( 入 力 ) 整 数 型 。 係 数 行 列 A の 次 数
KL ( 入 力 ) 整 数 型 。A の 帯 内 の 対 角 下 要 素 の 個 数 ( 対 角 下 帯 幅 )
KU ( 入 力 ) 整 数 型 。A の 帯 内 の 対 角 上 要 素 の 個 数 ( 対 角 上 帯 幅 )
NRHS ( 入 力 ) 整 数 型 。 右 辺 の 個 数 。 行 列 B の 列 数
AB ( 入 出 力 ) 倍 精 度 実 数 型 。 係 数 行 列 を 帯 格 納 形 式 で 格 納 する 次 元 (LDAB,N)の
配 列 。 出 力 時 、 三 角 分 解 の 詳 細 。
LDAB ( 入 力 ) 整 数 型 。 配 列 AB の 第 1 次 元
IPIV ( 入 力 ) 整 数 型 。
B 右 辺 の 行 列 B を 格 納 する 次 元 (LDB,NRHS)の 配 列 。 出 力 時 は INFO=0 の 時 、
(n,nrhs)の 解 行 列 X
LDB ( 出 力 ) 整 数 型 。 軸 選 択 用 添 字 を 格 納 する 次 元 N の 配 列
INFO ( 出 力 ) 整 数 型
0: 正 常 終 了
0 以 外 : 異 常 終 了
データの 格 納 方 法
サブルーチン DGBSV は 非 対 称 一 般 帯 行 列 に 対 する 解 法 であり、 本 サブルーチンでの 係 数 行 列 データ
の 配 列 への 格 納 形 式 は、 帯 格 納 形 式 を 使 用 します。 帯 格 納 形 式 では、 下 バンド 幅 を k l 、 上 バンド 幅 を k u
とした 場 合 、n 次 元 の 帯 行 列 を h l +h u +1 個 の 行 と n 個 の 列 をもつ 2 次 元 配 列 に 詰 めて 格 納 します。 行 列 の
列 はこの 配 列 の 対 応 する 列 に 格 納 し、 行 列 の 対 角 要 素 は 配 列 の 同 一 行 に 格 納 します。
本 ルーチンでは、 係 数 行 列 を 格 納 する 配 列 を 出 力 時 に 三 角 分 解 の 詳 細 を 格 納 する 配 列 としても 使 用 す
るため、 配 列 の 行 サイズは、2*h l +h u +1 として、 係 数 行 列 の 要 素 は、 行 h l+1 行 2*h l +h u +1 に 格 納 します。
この 格 納 方 法 では、max(1,j-k u )≦i≦min(n,j+k l ) に 対 して 行 列 A の 行 列 要 素 a ij を 2 次 元 配 列 A の 配 列 要
素 AB(h l +k u +1+i-j,j) に 格 納 します。
a ij -> AB(h l +k u +1+i-j,j) ,max(1,j-k u )≦i≦min(n,j+k l )
57
日 本 SGI 株 式 会 社

本 問 題 で 扱 う 係 数 行 列 は 配 列 AB に 次 のように 格 納 されます。
⎡2.0
⎢
⎢
4.0
⎢6.0
⎢
⎢0.0
⎢
⎣0.0
帯 行 列 A
−1.0
0.0 0.0
1.0 2.0 0.0
1.0 1.0 4.0
2.0 3.0 6.0
0.0 2.0 1.0
0.0⎤
0.0
⎥
⎥
0.0⎥
⎥
1.0⎥
5.0⎥
⎦
⎡ *
⎢
⎢
*
⎢ *
⎢
⎢2.0
⎢4.0
⎢
⎣6.0
配 列 AB への 帯 格 納
* * * * ⎤
* * * *
⎥
⎥
−1.0
2.0 4.0 1.0⎥
⎥
1.0 1.0 6.0 5.0⎥
1.0 3.0 1.0 * ⎥
⎥
2.0 2.0 * *
⎦
プログラム 例 は 次 の 通 りです。
プログラム 例
1: C EXAMPLE LAPACK DGESV
2: INTEGER N, KL, KU, LDAB, NRHS, LDB, INFO
3: PARAMETER (N=5,KL=2,KU=1,LDAB=2*KL+1+KU,NRHS=1,LDB=5)
4: INTEGER IPIV(N)
5: REAL*8 AB(LDAB,N), B(LDB,NRHS)
6: C
7: C AB=( * * * * *
8: C * * * * *
9: C * -1.0 2.0 4.0 1.0
10: C 2.0 1.0 1.0 6.0 5.0
11: C 4.0 1.0 3.0 1.0 *
12: C 6.0 2.0 2.0 * *)
13: C
14: C B=( 0.0
15: C 12.0
16: C 27.0
17: C 42.0
18: C 35.0 )
19:
20: DATA B/0.0,12.0,27.0,42.0,35.0/
21:
22: READ(5,*) ((AB(I,J),I=KL+1,LDAB),J=1,N)
23: WRITE(6,600) N,((I,J,AB(I,J),J=1,N),I=1,LDAB)
58
日 本 SGI 株 式 会 社

24:
25: CALL DGBSV(N,KL,KU,NRHS,AB,LDAB,IPIV,B,LDB,INFO)
26:
27: WRITE(*,*) 'INFO=',INFO
28: IF (INFO.EQ.0) THEN
29: WRITE(6,630) ((I,B(I,J),I=1,LDB),J=1,NRHS)
30: END IF
31: 600 FORMAT('1',10X,'** COEFFICIENT ','MATRIX'/12X,'ORDER=',I5/
32: * (10X,5('(',I3,',',I3,')',E16.8)))
33: 630 FORMAT('0',10X,'SOLUTION VECTOR'
34: * /(10X,5('(',I3,')',E16.8)))
35: END
実 行 例
## リンクオプション –lscs を 指 定 してコンパイル
% f77 dgbsv_main.f -lscs
% cat dgbsv.5.data
0.0 2.0 4.0 6.0 -1.0 1.0 1.0 2.0 2.0 1.0 3.0 2.0 4.0 6.0 1.0 0.0 1.0 5.0 0.0 0.0
## 実 行
% ./a.out < dgbsv.5.data
1 ** COEFFICIENT MATRIX
ORDER= 5
( 1, 1) 0.00000000E+00( 1, 2) 0.24209217E+00( 1, 3)
0.19367373E+00( 1, 4) 0.12996486E+00( 1, 5) 0.38286897E+00
( 2, 1) 0.13048633E+00( 2, 2) 0.13023846E+00( 2, 3)
0.10609715E+00( 2, 4) 0.00000000E+00( 2, 5) 0.00000000E+00
( 3, 1) 0.00000000E+00( 3, 2) -0.10000000E+01( 3, 3)
0.20000000E+01( 3, 4) 0.40000000E+01( 3, 5) 0.10000000E+01
( 4, 1) 0.20000000E+01( 4, 2) 0.10000000E+01( 4, 3)
0.10000000E+01( 4, 4) 0.60000000E+01( 4, 5) 0.50000000E+01
( 5, 1) 0.40000000E+01( 5, 2) 0.10000000E+01( 5, 3)
0.30000000E+01( 5, 4) 0.10000000E+01( 5, 5) 0.00000000E+00
( 6, 1) 0.60000000E+01( 6, 2) 0.20000000E+01( 6, 3)
0.20000000E+01( 6, 4) 0.00000000E+00( 6, 5) 0.00000000E+00
INFO= 0
0 SOLUTION VECTOR
59
日 本 SGI 株 式 会 社

( 1) 0.10000000E+01( 2) 0.20000000E+01( 3) 0.30000000E+01( 4)
0.40000000E+01( 5) 0.50000000E+01
4.3.3. 倍 精 度 実 一 般 行 列 の LU 分 解 DGETRF と LU 分 解 を 用 いた 連 立 一 次
方 程 式 の 解 法 DGETRS
本 例 題 では、LU 分 解 を 使 って 逆 行 列 を 求 め、 元 の 行 列 との 積 が 単 位 行 列 になることを 確 かめます。
問 題
係 数 行 列 A は 倍 精 度 の 乱 数 発 生 ルーチンによりデータを 与 えます。LU 分 解 を 用 いた 連 立 一 次 方 程 式 の
解 法 ルーチンである DGETRS は、 複 数 個 の 右 辺 ベクトルを 2 次 元 配 列 ( 右 辺 行 列 )で 与 えます。 本 例 題
では、 右 辺 行 列 が 単 位 行 列 となるようにデータを 与 えて、DGETRS を 呼 び 出 すことにより、 解 行 列 ( 各 右
辺 ベクトルに 対 応 する 複 数 の 解 ベクトルの 並 び)が 係 数 行 列 の 逆 行 列 となるようにします。
AX=B において B=E の 時 、
X=A -1 E
X=A -1
DGETRF 引 数 一 覧
DGETRF(M,N,A,LDA,IPIV,INFO )
M ( 入 力 ) 整 数 型 。 係 数 行 列 A の 行 数
N ( 入 力 ) 整 数 型 。 係 数 行 列 A の 列 数
A ( 入 出 力 ) 倍 精 度 実 数 型 。 係 数 行 列 A を 格 納 する 次 元 (LDA,N)の 配 列
LDA ( 入 力 ) 整 数 型 。 配 列 A の 第 1 次 元
IPIV ( 出 力 ) 整 数 型 。 軸 選 択 用 添 え 字 を 格 納 する 次 元 N の 配 列
INFO ( 出 力 ) 整 数 型
0: 正 常 終 了
0 以 外 : 異 常 終 了
DGETRS 引 数 一 覧
DGETRS(TRANS,N,NRHS,A,LDA,IPIV,B,LDB,INFO )
TRANS ( 入 力 ) 文 字 型 。 係 数 行 列 A を 転 置 するか 否 かを 指 定 します。
’N’ : 転 置 しない
‘T’: 転 置 する
N
( 入 力 ) 整 数 型 。 係 数 行 列 A のオーダー。
NRHS ( 入 力 ) 整 数 型 。 右 辺 行 列 B の 列 数
A
( 入 力 ) 倍 精 度 実 数 型 。 係 数 行 列 A を 格 納 する 次 元 (LDA,N)の 配 列
LDA ( 入 力 ) 整 数 型 。 配 列 A の 第 1 次 元
IPIV ( 出 力 ) 整 数 型 。 軸 選 択 用 添 え 字 を 格 納 する 次 元 N の 配 列 で、DGETRF からの 出 力 を 使
60
日 本 SGI 株 式 会 社

B
LDB
INFO
用 する
( 入 出 力 ) 倍 精 度 実 数 型 。 次 元 (LDB,NRHS)の 右 辺 行 列
( 入 力 ) 整 数 型 。 右 辺 行 列 B の 第 1 次 元
( 出 力 ) 整 数 型
0: 正 常 終 了
0 以 外 : 異 常 終 了
データの 格 納 方 法
DGETRF, DGETRS は 実 一 般 行 列 に 対 するルーチンであり、 係 数 行 列 A の 各 要 素 の 配 列 への 格 納 方 法
は、 密 行 列 に 対 する 伝 統 的 な 格 納 形 式 を 使 用 します。この 格 納 形 式 では 行 列 A の 行 列 要 素 a ij を2 次 元
配 列 A の 配 列 要 素 A(i,j) に 格 納 します。
a ij -> A(I,j)
プログラム 例
以 下 に、FORTRAN、C/C++での、BLAS ルーチンを 使 用 したサンプルプログラムを 示 します。
SCSL の LAPACK ルーチンは C/C++のインターフェイスを 提 供 していないので、FORTRAN のインターフ
ェイスを 直 接 呼 び 出 していることに 注 意 してください。
FORTRAN
implicit double precision (a-h,o-z)
C
parameter (n=10)
parameter (lda=n,ldb=n)
integer i,j,info,ipiv(n)
integer*8 seed
double precision dummy
double precision dtmp,alpha,beta
double precision a1(lda,n),a2(lda,n),b(ldb,n)
C 初 期 化
C A1,A2: 乱 数 行 列 (A1=A2) B: 単 位 行 列
seed = 1
call drand64_set(seed)
do j=1,n
do i=1,n
a1(i,j)=drand64(dummy)
a2(i,j)=a1(i,j)
61
日 本 SGI 株 式 会 社

C
C
C
C
C
if(i .eq. j) then
b(i,j)=1.d0
else
b(i,j)=0.d0
end if
end do
end do
LU 分 解
call dgetrf(n,n,a1,lda,ipiv,info)
逆 行 列 の 計 算
call dgetrs('N',n,n,a1,lda,ipiv,b,ldb,info)
行 列 積 が 単 位 行 列 になることを 確 かめる
alpha=1.d0
beta =0.d0
call dgemm('N','N',n,n,n,alpha,a2,lda,b,ldb,beta,a1,lda)
dtmp =0.d0
do j=1,n
do i=1,n
if(i .eq. j) then
dtmp=dtmp+(a1(i,j)-1.d0)*(a1(i,j)-1.d0)
else
dtmp=dtmp+a1(i,j)*a1(i,j)
end if
end do
end do
dtmp=dsqrt(dtmp)
write(*,*) dtmp
stop
end
C/C++
#include
#include
#include
62
日 本 SGI 株 式 会 社

#include
#define N 10
#define LDA N
#define LDB N
int main(void)
{
int i, j, n, lda, ldb, info, ipiv[N];
long long seed = 1LL;
double dummy;
double dtmp, alpha, beta;
double a1[LDA * N], a2[LDA * N], b[LDB * N];
/* 初 期 化 */
/* A1,A2: 乱 数 行 列 (A1=A2) B: 単 位 行 列 */
drand64_set(seed);
for(j = 0; j < N; j++){
for(i = 0; i < N; i++){
a1[j * LDA + i] = drand64(&dummy);
a2[j * LDA + i] = a1[j * LDA + i];
if(i == j){
b[j * LDA + i] = 1.0;
}else{
b[j * LDA + i] = 0.0;
}
}
}
n = N;
lda = LDA;
ldb = LDB;
/* LU 分 解 */
dgetrf_(&n, &n, a1, &lda, ipiv, &info);
/* 逆 行 列 の 計 算 */
dgetrs_("N", &n, &n, a1, &lda, ipiv, b, &ldb, &info);
/* 行 列 積 が 単 位 行 列 になることを 確 かめる */
alpha = 1.0;
63
日 本 SGI 株 式 会 社

eta = 0.0;
dgemm("N", "N", N, N, N, alpha, a2, LDA, b, LDB, beta, a1, LDA);
dtmp = 0.0;
for(j = 0; j < N; j++){
for(i = 0; i < N; i++){
if(i == j){
dtmp += (a1[j * LDA + i] - 1.0) * (a1[j * LDA + i] - 1.0);
}else{
dtmp += a1[j * LDA + i] * a1[j * LDA + i];
}
}
}
dtmp = sqrt(dtmp);
printf("%g\n", dtmp);
}
return 0;
4.3.4. 全 部 または 指 定 した 範 囲 の 倍 精 度 実 対 称 固 有 値 問 題 (dqds アルゴリ
ズム) DSYEVR
問 題
本 例 題 では、 対 称 行 列 の 固 有 値 / 固 有 ベクトルを 求 め、 得 られた 固 有 値 を 正 しい 解 と 比 較 します。
テスト 行 列 は、 下 記 で 定 義 される 行 列 を 用 います。
サイズ N の 行 列 A=a[i][j] が 下 記 の 通 りに 定 義 されます。
a[i][j]= a[j][i] = n+1-i, if i >= j.
64
日 本 SGI 株 式 会 社

サイズ 4 の 場 合 の 行 列 は 下 記 の 通 りです。
DSYEVR 引 数 一 覧
DSYEVR(JOBZ,RANGE,UPLO,N,A,LDA,VL,VU,IL,IU,ABSTOL,M,W,Z,LDZ,ISUPPZ,WORK,LWORK,IW
ORK,LIWORK,INFO)
JOBZ
( 入 力 ) 文 字 型 。 固 有 ベクトルを 計 算 するか 否 かを 指 定
=’N’: 固 有 値 のみ 計 算
=’V’: 固 有 値 と 固 有 ベクトルを 計 算
RANGE
( 入 力 ) 文 字 型 。 計 算 する 固 有 値 の 範 囲 を 指 定
=’A’: すべての 固 有 値 を 計 算
=’V’: 半 開 区 間 (VL,VU〕 の 固 有 値 を 計 算
=’I’: IL 番 目 から IU 番 目 の 固 有 値 を 計 算
UPLO
( 入 力 ) 文 字 型 。 配 列 に 格 納 する 係 数 行 列 が 上 三 角 部 分 か 下 三 角 部 分 かを
指 定
=’U’: 係 数 行 列 A の 上 三 角 部 分 を 格 納
=’L’: 係 数 行 列 A の 下 三 角 部 分 を 格 納
N
( 入 力 ) 整 数 型 。 係 数 行 列 A のオーダー
A
( 入 出 力 ) 倍 精 度 実 数 型 。 係 数 行 列 を 格 納 する 次 元 (LDA,N)の 配 列 。 格 納 方
法 は 密 行 列 に 対 する 伝 統 的 な 格 納 形 式 をとり、 格 納 するのは UPLO で 指 定 し
た 当 該 三 角 部 分 となる。 出 力 時 内 容 は 保 存 されない。
LDA
( 入 力 ) 整 数 型 。 配 列 A の 第 1 次 元
VL
( 入 力 ) 倍 精 度 実 数 型 。RANGE=’V’の 時 、 計 算 する 固 有 値 の 範 囲 における 下
限 を 指 定 。
RANGE=’A’または’I’の 時 は 参 照 されない。
VU
( 入 力 ) 倍 精 度 実 数 型 。RANGE=’V’の 時 、 計 算 する 固 有 値 の 範 囲 における 上
限 を 指 定 。
RANGE=’A’または’I’の 時 は 参 照 されない。
IL ( 入 力 ) 整 数 型 。RANGE=’I’の 時 、 計 算 する 最 小 固 有 値 の 添 え 字 を 指 定 。
65
日 本 SGI 株 式 会 社

RANGE=’A’または’V’の 時 は 参 照 されない。
IU ( 入 力 ) 整 数 型 。RANGE=’I’の 時 、 計 算 する 最 大 固 有 値 の 添 え 字 を 指 定 。
RANGE=’A’または’V’の 時 は 参 照 されない。
ABSTOL ( 入 力 ) 倍 精 度 実 数 型 。 固 有 値 に 対 する 絶 対 許 容 誤 差 。 詳 細 については、
LAPACK マニュアルの 当 該 ルーチンの 説 明 箇 所 を 参 照 ください
M
( 出 力 ) 整 数 型 。 見 つかった 固 有 値 の 総 数
W
( 出 力 ) 倍 精 度 実 数 型 。 最 初 の M 個 の 要 素 は、 見 つかった M 個 の 固 有 値 が 昇
順 で 格 納 される。 次 元 N の 配 列
Z
( 出 力 ) 倍 精 度 実 数 型 。 計 算 された 固 有 ベクトルが 入 る 次 元 (LDZ,max(1,M))
の 配 列 。Z の 第 i 列 には W(i)に 関 係 した 固 有 ベクトルが 入 る
LDZ
( 入 力 ) 整 数 型 。 配 列 Z の 第 1 次 元
ISUPPZ ( 出 力 ) 整 数 型 。 配 列 Z における 非 ゼロ 要 素 の 添 え 字 が 格 納 される。 第 i 番 目
の 固 有 ベクトルのうち、ISUPPZ(2*i-1)から ISUPPZ(2*i)の 要 素 のみが 非 ゼロで
ある。
WORK
( 作 業 領 域 / 出 力 ) 倍 精 度 実 数 型 。 次 元 LWORK の 配 列 。 出 力 時 、WORK(1)に
最 適 な LWORK が 返 される。
LWORK
( 入 力 ) 整 数 型 。 配 列 WORK の 次 元 。LWORK≧max(1,26+N)
IWORK
( 作 業 領 域 / 出 力 ) 整 数 型 。 次 元 LIWORK の 配 列 。 出 力 時 、IWROK(1)に 最 適 な
LIWORK が 返 される。
LIWORK ( 入 力 ) 整 数 型 。 配 列 IWORK の 次 元 。LIWORK≧max(1,10*N)
INFO
( 出 力 ) 整 数 型
0: 正 常 終 了
< 0: i 番 目 の 引 数 が 適 切 でない
> 0: 異 常 終 了
データの 格 納 方 法
ルーチン DSYVR は 対 称 固 有 値 問 題 に 対 するルーチンです。 行 列 の 配 列 への 格 納 方 法 は、 密 行 列 に 対
する 伝 統 的 な 格 納 形 式 をとり、 格 納 するのは UPLO で 指 定 した 当 該 三 角 部 分 となります。
本 例 題 では、UPLO=’U’ を 指 定 しています。これは、 行 列 A の 上 三 角 部 分 を 配 列 A に 格 納 することを 指
定 しています。 以 下 は N=4 で、UPLO=’U’の 時 の 配 列 への 格 納 のされ 方 を 示 しています。 配 列 の 残 りの
要 素 ( 下 三 角 部 分 )は 設 定 する 必 要 はありません。
⎡a11
⎢
⎢
a21
⎢a31
⎢
⎣a41
対 称 行 列 A
a12
a13
a22
a23
a32
a33
a42
a43
a14⎤
a24
⎥
⎥
a34⎥
⎥
a44⎦
配 列 A への 格 納
a11
a12
a14
a14
* a22
a23
a24
* * a33
a34
* * * a44
66
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プログラム 例
FORTRAN
C
C
C
C
C
C
C
C
implicit double precision (a-h,o-z)
parameter (n=10,lda=n,ldz=n)
parameter (nw=(n+16)*n,niw=(n+1)*n)
parameter (eps=1.d-12)
integer i,j,m,n,il,info
integer isuupz(2*n),iwork(niw)
double precision derr,vl,vu
double precision a(lda,n),w(n)
double precision z(ldz,n),work(nw)
初 期 化
A: テスト 行 列 の 上 三 角 部 分
vl=0.d0
vu=0.d0
do j=1,n
do i=1,j
a(i,j)=n-j+1.d0
end do
end do
全 固 有 値 / 固 有 ベクトルの 計 算
call dsyevr('V','A','U',n,a,lda,vl,vu,
& il,n,eps,m,w,z,ldz,isuppz,work,nw,iwork,niw,info)
固 有 値 が 正 しい 値 であるか、 確 かめる
derr=0.d0
do i=1,n
derr=derr+(w(i)-deigen(n,i))*(w(i)-deigen(n,i))
end do
derr=dsqrt(derr)
write(*,*) derr
stop
end
67
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C
C
C
C
テスト 行 列 の 固 有 値 関 数
double precision function deigen(n,i)
implicit double precision (a-h,o-z)
integer n,i
double precision dpi
dpi =4.d0*atan(1.d0)
deigen=1.d0/(2.d0*(1.d0-cos(dpi*
& (2.d0*(n+1-i)-1.d0)/(2.d0*n+1.d0))))
return
end
C/C++
#include
#include
#include
#define N 10
#define LDA N
#define LDZ N
#define NW ((N + 16) * N)
#define NIW ((N + 1) * N)
#define EPS 1.0e-12
double deigen(int n, int i);
int main(void)
{
int lda, ldz, nw, niw;
int i, j, m, n, il, info;
int isuppz[2 * N], iwork[NIW];
double derr, vl, vu, eps;
double a[LDA * N], w[N];
double z[LDZ * N], work[NW];
68
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* 初 期 化 */
/* A: テスト 行 列 の 上 三 角 部 分 */
vl = 0.0;
vu = 0.0;
for(j = 0; j < N; j++){
for(i = 0; i < N; i++){
a[j * LDA + i] = N - j;
}
}
n = N;
lda = LDA;
ldz = LDZ;
nw = NW;
niw = NIW;
eps = EPS;
/* 全 固 有 値 / 固 有 ベクトルを 求 める */
dsyevr_("V", "A", "U", &n, a, &lda, &vl, &vu,
&il, &n, &eps, &m, &w, z, &ldz, isuppz,
work, &nw, iwork, &niw, &info);
/* 固 有 値 が 正 しい 値 であることを 確 かめる */
derr = 0.0;
for(i = 0; i < N; i++){
derr += (w[i] - deigen(N, i)) * (w[i] - deigen(N, i));
}
derr = sqrt(derr);
printf("%g\n", derr);
}
return 0;
/* テスト 行 列 の 固 有 値 関 数 */
double deigen(int n, int i)
{
double dpi;
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dpi = 4.0 * atan(1.0);
return 1.0/(2.0 * (1.0 -
cos(dpi * (2.0 * (n - i) - 1.0) / (2.0 * n + 1))));
}
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4.4. LAPACK の 性 能
以 下 に LAPACK ルーチン DGETRF(LU 分 解 )の 並 列 処 理 における 性 能 グラフを 示 します。
プロセッサ 数 を 多 くしても、スケーラビリティの 高 い、 良 好 な 並 列 性 能 が 得 られていることがわかります。
Gflops
30
25
20
15
10
5
0
LAPACK DGETRF Routine -- LU
Factorization
400 MHz Origin 3000
1 10 100
Number of Processors
4000 x 4000 system 16000 x 16000 system
71
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5. 疎 行 列 の 直 接 解 法 、 反 復 解 法
5.1. はじめに
SCSL 科 学 技 術 計 算 ライブラリは、 疎 行 列 に 対 して2 種 類 の 直 接 法 ルーチンを 提 供 しています。
• DPSLDLT, ZPSLDLT ( 対 称 線 形 一 次 方 程 式 の 解 法 )
• DPSLDU , ZPSLDU( 非 対 称 線 形 一 次 方 程 式 の 解 法 )
また、 疎 行 列 反 復 解 法 として Diterative ルーチンを 提 供 しています。
これらのルーチンは、SGI が 開 発 したものであり、SGI のシステムに 最 適 化 されています。 密 行 列 の 線 形
方 程 式 に 対 する 直 接 法 ソルバは INTRO_LAPACK(3S) のマニュアルページをご 参 照 ください。
DPSLDLT、ZPSLDLT は、 疎 行 列 の 対 称 線 形 方 程 式 Ax=b を 解 きます。ここで、A は n×n の 対 称 行 列 、b
は 次 元 n の 右 辺 ベクトル、x は 次 元 n の 解 ベクトルです。
これらのソルバは、 直 接 法 を 用 いています。A は 次 の 形 式 に 分 解 できます。
A = L D L T
ここで、L は 対 角 要 素 が 1 の 下 三 角 行 列 、D は 対 角 項 だけの 行 列 を 示 しています。
ソルバは、 倍 精 度 実 数 版 、 倍 精 度 複 素 数 版 が 用 意 されており、SCSL の 並 列 化 にも 対 応 しています。 詳
細 は、DPSLDLT(3S)、ZPSLDLT(3S)のマニュアルページをご 参 照 ください。
DPSLDU、ZPSLDU は、 非 対 称 の 対 称 線 形 方 程 式 Ax=b を 解 きます。ここで、A は n×n の 非 ゼロ 要 素 の
位 置 については 対 称 であるが 値 は 非 対 称 である 行 列 、b は 次 元 n の 右 辺 ベクトル、x は 次 元 n の 解 ベク
トルです。
これらのソルバこれらのソルバは、 直 接 法 を 用 いています。A は 次 の 形 式 に 分 解 できます。
A = L D U
ここで、L は 対 角 要 素 が 1 の 下 三 角 行 列 、D は 対 角 項 だけの 行 列 、U は 対 角 要 素 が 1 の 上 三 角 行 列 を
示 しています。
72
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このソルバは、 倍 精 度 実 数 版 、 倍 精 度 複 素 数 版 が 用 意 されており、SCSL の 並 列 化 にも 対 応 しています。
詳 細 は、DPSLDU(3S)、ZPSLDU(3S)のマニュアルページをご 参 照 ください。
Diterative ルーチンは 疎 行 列 線 形 方 程 式 Ax=bを 反 復 法 で 解 きます。ここで、A はCSCまたはCSR 形 式
で 格 納 されたnXnの 入 力 行 列 、b は 次 元 n の 右 辺 ベクトル、x は 次 元 n の 解 ベクトルです。
反 復 ソルバでは4つの 前 処 理 付 反 復 法 を 利 用 できます。 対 称 行 列 向 けの 解 法 として、 共 役 勾 配 (CG) 法
および 共 役 残 差 (CR) 法 、 非 対 称 行 列 向 けの 解 法 として、 共 役 勾 配 二 乗 (CGS) 法 およびその 変 種 で 収
束 の 過 程 がよりスムーズな 双 共 役 勾 配 安 定 (BiCGSTAB) 法 が 含 まれます。 反 復 法 へ 適 用 する 前 処 理
としては、ヤコビ、 対 称 逐 次 緩 和 (SSOR) 法 、パターンによる 不 完 全 LU 分 解 、 値 による 不 完 全 LU 分 解
が 利 用 できます。 不 完 全 LU 分 解 は 対 称 行 列 にのみ 適 用 でき、 値 による 不 完 全 LU 分 解 はまだ 並 列 化 さ
れていません。
反 復 ソルバは、 現 在 、 倍 精 度 実 数 版 のみをサポートしています。 詳 細 は ITERATIVE(3S)を 御 覧 ください。
5.2. 注 意
これらの 疎 行 列 に 対 するルーチンはピボッティングのための 枢 軸 の 選 択 を 行 いません。
現 在 、SCSL はリシェイプト 配 列 (reshaped array) をサポートする 予 定 はありません。
また、これらのルーチンは SGI R8000, R10000, R12000 のシステム 向 けに 最 適 化 されています。
5.3. DPSLDLT、ZPSLDLT ルーチン
ここでは、 対 称 疎 行 列 直 接 解 法 DPSLDLT、ZPSLDLT ルーチンの 使 用 方 法 に 関 して 説 明 します。 以 下 で
は 倍 精 度 実 数 版 を 例 に 説 明 しますが、 倍 精 度 複 素 数 版 も 基 本 的 には 同 じです。 倍 精 度 複 素 数 版 の 場 合
には、 関 数 の 接 頭 文 字 D をZに、ops と ooclimit を 除 く 引 数 の DOUBLE PRECISION 型 を COMPLREX*16
型 (C/C++では double 型 を scsl_zcomplex 型 )に、 各 々 読 み 替 えてください。
なお、 環 境 変 数 に 関 しては、DPSLDLT、ZPSLDLT ともに 共 通 です。
DPSLDLT では、 対 称 疎 行 列 に 対 する 並 列 化 対 応 直 接 法 ソルバを 提 供 し、 以 下 のルーチンより 構 成 され
ています。これらのルーチンの 詳 細 については、 本 節 以 降 をご 参 照 ください。
DPSLDLT_Destroy, DPSLDLT_ExtractPerm, PSLDDLT_Factor, DPSLDLT_FactorOOC,
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DPSLDLT_OOCLimit, DPSLDLT_OOCPath, DPSLDLT__Ordering, DPSLDLT_Preprocess,
DPSLDLT_PreprocessZ, DPSLDLT_Solve, DPSLDLTT_SolveM, DPSLDLT_Storage
5.3.1. 関 数 一 覧
以 下 に、 各 関 数 の 引 数 のデータ 型 を 示 します。 各 引 数 についての 説 明 は、 第 5.3.10 節 引 数 の 説 明 を
ご 参 照 ください。
5.3.1.1. FORTRAN
SUBROUTINE DPSLDLT_DESTROY (token)
INTEGER
token
SUBROUTINE DPSLDLT_EXTRACTPERM (token, perm)
INTEGER
token, perm(*)
SUBROUTINE DPSLDLT_FACTOR (token, n, pointers, indices, values)
INTEGER
token, n, pointers(*), indices(*)
DOUBLE PRECISION values(*)
SUBROUTINE DPSLDLT_FACTOROOC (token, n, pointers, indices, values)
INTEGER
token, n, pointers(*), indices(*)
DOUBLE PRECISION values(*)
SUBROUTINE DPSLDLT_OOCLIMIT (token, ooclimit)
INTEGER
token
DOUBLE PRECISION ooclimit
SUBROUTINE DPSLDLT_OOCPATH (token, oocpath, length)
INTEGER
token, length
CHARACTER
oocpath(*)
SUBROUTINE DPSLDLT_ORDERING (token, method)
INTEGER
token, method
SUBROUTINE DPSLDLT_PREPROCESS (token, n, pointes, indices,non_zeros, ops)
INTEGER
token, n, pointers(*), indices(*)
INTEGER*8
non_zeros
DOUBLE PRECISION ops
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SUBROUTINE DPSLDLT_PREPROCESSZ (token, n, pointers, indices, mask, non_zeros, ops)
INTEGER
INTEGER*8
DOUBLE PRECISION
token, n, pointers(*), indices(*), mask(*)
non_zeros
ops
SUBROUTINE DPSLDLT_SOLVE (token, x, b)
INTEGER
token
DOUBLE PRECISION x(*), b(*)
SUBROUTINE DPSLDT_SOLVEM (token, X, ldx, B, ldb, nrhs)
INTEGER
Token, ldx, ldb, nrhs
DOUBLE PRECISION X(*), B(*)
DOUBLE PRECISION FUNCTION DPSLDLT_STORAGGE(token)
INTEGER
token
5.3.1.2. C/C++
#include
void DPSLDLT_Destroy (int token );
void DPSLDLT_ExtractPerm (int token int perm[];
void DPSLDLT_Factor (int token, int n, int pointers[], intindices[], double values[] );
void DPSLDLT_FactorOOC (int token, int n, int pointers[], intindices[], double values[] );
void DPSLDLT_OOCLimit (int token, double ooclimit );
void DPSLDLT_OOCPath (int token, char oocpath );
void DPSLDLT_Ordering (int token, int method );
void DPSLDLT_Preprocess (int token, int n, int ponters[], int indices[], long long
*non_zeros, double *ops );
void DPSLDLT_PreprocessZ (int token, int n, int pointers[], intindices[], int mask[], long
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long *non_zeros, double *ops );
void DPSLDLT_Solve (int token, double x[], doublle b[] );
void DPSLDLT_SolveM (int token, double X[], int ldx, double B[], int ldb, int nrhs);
double DPSLDLT_Storage (int token);
5.3.2. 詳 細
DPSLDLT は、 疎 行 列 の 対 称 線 形 方 程 式 Ax=b を 解 きます。ここで、A は n×n の 対 称 行 列 、b は 次 元 n
の 右 辺 ベクトル、x は 次 元 n の 解 ベクトルです。
DPSLDLT は、 直 接 法 を 用 いています。A は 次 の 形 式 に 分 解 できます。
A = L D L T
ここで、L は 対 角 要 素 が 1 の 下 三 角 行 列 、D は 対 角 項 だけの 行 列 を 示 しています。
このルーチンは、 倍 精 度 版 だけが 用 意 されており、SCSL の 並 列 化 にも 対 応 しています。
このルーチンではピボッティングを 行 わないことに 注 意 してください。
DPSLDLT ライブラリは、5 つのメインルーチンから 構 成 されています。
• DPSLDLT_Ordering() は、 行 列 の 前 処 理 段 階 で 使 われる 5 つのオーダリング 方 法 を 選 択 します。
• DPSLDLT_Preprocess() は、 行 列 A の 構 造 に 対 して 前 処 理 を 行 います。(L のフィルインを 減 少 させ
るオーダリングや、シンボル 分 解 など)
• DPSLDLT_Factor() は、 先 に 処 理 した 行 列 A を L と D に 分 解 します。
• DPSLDLT_Solve() は、 右 辺 bベクトルに 対 する 解 ベクトルxを 求 めます。
• DPSLDLT_Destroy() は、 行 列 A の 分 解 に 使 用 したメモリ 領 域 を 開 放 します。(L, D の 他 に 前 処 理 段
階 で 必 要 となるデータ 構 造 などを 含 みます。)
非 ゼロ 要 素 の 位 置 は 同 じで 値 が 異 なる 行 列 、すなわち、 構 造 が 同 じ 行 列 であれば、
DPSLDLT_Preprocess()は 一 度 だけ 呼 べばよく、それらの 行 列 を L と D に 分 解 するための
DPSLDLT_Factor()は 複 数 回 呼 び 出 すことが 可 能 です。 同 様 に、 複 数 の 右 辺 を 解 くために、
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DPSLDLT_Factor()を 1 回 呼 び 出 した 後 、DPSLDLT_Solve()を 複 数 回 呼 び 出 すことも 可 能 です。また、 複
数 の 右 辺 を 1 次 元 の 配 列 にすべて 格 納 して、DPSLDLT_SolveM()を 呼 び 出 すことも 可 能 です。
5.3.3. 疎 行 列 の 格 納 形 式
疎 行 列 A は、DPSLDLT に 対 して、ハーウェル ボーイング (Compressed Column Storage の 名 でも 呼 ば
れています) 形 式 の 入 力 でなければなりません。
対 象 とする 行 列 は、pointers, indices, values の 3 つ 配 列 から 構 成 されています。Indices 配 列 は、 配 列 A
の 非 ゼロ 要 素 の 行 番 号 を 格 納 しています。Values 配 列 は、その 位 置 の 非 ゼロ 要 素 の 値 を 格 納 します。
Pointers 配 列 は、 配 列 A の 各 列 について 最 初 の 非 ゼロ 要 素 が 何 番 目 の 非 ゼロ 要 素 かを 格 納 した 配 列 で
す。こうして、i 列 目 の 非 ゼロ 要 素 に 対 する 行 番 号 は、indices[pointers[i]]から indices[pointers[i+1]-1]に
格 納 されています。それに 対 応 する 配 列 A の 非 ゼロ 要 素 の 値 は、 values[pointers[i]]から
values[pointers[i+1]-1]に 格 納 されています。
対 称 行 列 A に 対 しては、A の 下 三 角 あるいは 上 三 角 のどちらかを 与 えれば 良 く、 両 方 を 与 える 必 要 はあ
りません。A の 同 じ 列 内 の 要 素 については 順 序 は 問 いません。
対 称 行 列 に 対 する 例 を 以 下 に 示 します。
1.0
0.0 3.0
2.0 0.0 5.0
0.0 4.0 0.0 6.0
は、FORTRAN では 次 のように 記 述 されます。
INTEGER pointers(5), indices(6), i
DOUBLE PRECISION values(6)
DATA (pointers(i), i = 1, 5) / 1, 3, 5, 6, 7 /
DATA (indices(i), i = 1, 6) / 1, 3, 2, 4, 3, 4 /
DATA (values(i), i = 1, 6) / 1.0, 2.0, 3.0, 4.0, 5.0, 6.0 /
C の 様 に 0 から 始 まる 添 字 で 示 すと、pointers と indices の 配 列 は、 次 のようになります。
Int pointers[] = {0, 2, 4, 5, 6}
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int indices[] = {0, 2, 1, 3, 2, 3}
double values[] = {1.0, 2.0, 3.0, 4.0, 5.0, 6.0}
5.3.4. オーダリングの 方 法
DPSLDLT_Ordering(token, method) ルーチンは、 行 列 の 分 解 を 行 う 前 に 前 処 理 に 用 いるオーダリングの
方 法 を 変 更 します。このルーチンは DPSLDLT_Preprocess の 前 に 呼 び 出 さなければなりません。 現 在 、5
種 類 の method の 指 定 ができます。
• Method 0 は 前 処 理 のオーダリングを 行 わない。
• Method 1 フィルインが 最 小 となるようなオーダリング
• Method 2 シングルネスト 分 析 によるオーダリング(デフォルト)
• Method 3 マルチプルネスト 分 析 によるオーダリング( 並 列 化 対 応 )
• Method 4 マルチプルネスト 分 析 によるオーダリング( 並 列 化 対 応 )
メソッド 4 では、 同 じ 行 列 構 造 に 対 しては 前 回 の 結 果 を 学 習 してもっとも 効 率 的 なオーダリングを 行
ないます。メソッド 3 と 4 は 同 じマルチプルネスト 分 析 のアルゴリズムを 採 用 しています。
メソッド 2 はメソッド 1 に 比 較 して、 演 算 量 は 多 くなりますが、はるかに 良 いオーダリングを 行 います。メソ
ッド 3 は、 特 にマルチプロセッサのシステムで 有 効 です。メソッド 3 は、OMP_NUM_THREADS (OpenMP で
使 用 するプロセッサ 数 を 指 定 する 環 境 変 数 ) 種 類 の 行 列 のオーダリングの 評 価 を 並 列 に 行 ない、 行 列
の 分 解 段 階 でもっとも 浮 動 小 数 点 演 算 が 減 るようなオーダリングを 選 択 します。
メソッド 4 は、 同 じ 非 ゼロ 要 素 構 造 の 行 列 に 対 して、 複 数 の 右 辺 に 対 する 解 を 求 める 場 合 にだけに 使 用
します。メソッド 4 は、「 学 習 」ファイルに 最 大 200 個 分 の 行 列 の 構 造 と 前 回 の 履 歴 情 報 を 記 録 します。 次
回 のメソッド 4 の 呼 び 出 しでは、 同 じ 非 ゼロ 構 造 の 行 列 に 対 して、2 * OMP_NUM_THREADS 種 類 のオー
ダリングを 評 価 して、もっとも 浮 動 小 数 点 演 算 が 少 なくなるオーダリングを 選 択 します。こうして、オーダリ
ングの 質 は 計 算 を 続 けるにしたがって 改 良 され 続 けます。
メソッド 3 と 4 は、デフォルトの 行 列 の 前 処 理 よりも 計 算 時 間 を 要 します。しかし、 大 規 模 な 系 あるいは 分
解 を 繰 り 返 すにしたがい、メソッド 2 に 対 してソルバ 全 体 で 大 幅 な 性 能 改 善 (1.1〜2 倍 程 度 )が 得 られま
す。
5.3.5. 置 換 ベクトル
メソッド 0 を 選 択 しない 場 合 、DPSLDLT は、 行 列 A に 対 して 行 列 の 分 解 を 行 なう 前 に 行 の 入 れ 替 えを 行
ないます。その 結 果 、 一 般 的 に 行 の 入 れ 替 えを 終 えた 行 列 はオリジナルの 行 列 に 対 してフィルインが 減
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少 します。また、token の 対 応 した 行 の 入 れ 替 えを 行 なった 行 列 を DPSLDLT_ExtractPerm(token, perm)
を 呼 び 出 すことで 得 ることができます。 置 換 ベクトルは、 大 きさ n の 1 次 元 の 配 列 1≦perm(i) ≦n に 戻 り
ます。 (C コードに 対 しては 0 ≦perm[i] < n です。 )
perm(i)の k の 値 は、オリジナルの i 行 の 値 が 新 しいオーダリングでは k 行 になることを 表 しています。
5.3.6. 対 角 項 がゼロになる 行 列
先 に 述 べたように、 行 列 の 分 解 では 安 定 性 向 上 のためのピボッティングを 行 いません。 対 角 項 がゼロ、
あるいはゼロに 非 常 に 近 い 場 合 、DPSLDLT はエラーメッセージを 出 力 し 実 行 を 停 止 します。この 場 合 、
わずかに 結 果 が 異 なるかも 知 れませんが、 安 定 性 の 高 いオーダリングを 行 う DPSLDLT_PreprocessZ()
を 使 用 することが 可 能 です。この 場 合 、DPSLDLT_PreprocessZ()に 対 して 整 数 型 の 配 列 mask が 必 要 に
なります。もし、mask(i)=0 であれば、DPSLDLT はできるかぎり 対 角 項 の|Aii|が 最 大 になるようにオーダリ
ングをします。
5.3.7. メモリの 使 用 量
DPSLDLT_Storage()は、 行 列 のデータ 構 造 に 応 じて 必 要 とされるメモリの 総 量 の 見 積 りをメガ・バイト 単
位 で 返 します。
5.3.8. アウトオブコア 分 解
分 解 に 必 要 な 2 種 類 のメモリ 管 理 方 法 のルーチンを 提 供 します。 DPSLDLT_Factor()は、 分 解 に 必 要 な
メモリを 内 部 的 に 確 保 した 後 、DPSLDLT_Destroy()が 呼 ばれるまで 確 保 し 続 けます。もう 一 つは、アウト
オブコア 分 解 のルーチンである DPSLDLT_FactorOOC()です。このルーチンでは、メモリの 使 用 量 は 少 な
くて 済 みますが、 残 りの 必 要 な 領 域 をディスク 上 に 確 保 します。DPSLDLT_OOCPath()は、 分 解 ファイル
が 作 成 されるディレクトリを 指 示 し、DPSLDLT_OOCLimit()は、 行 列 の 分 解 に 必 要 とされるメモリ 領 域 の 上
限 を 与 えます。より 多 くのメモリを 使 用 すれば、ディスク I/O は 減 少 して 行 列 分 解 部 分 の 性 能 が 向 上 しま
す。インコア 分 解 からアウトオブコア 分 解 へは、DPSLDLT_Factor()を DPSLDLT_FactorOOC()に 変 更 す
るだけです。 他 のルーチン(DPSLDLT_Solve(), DPSLDLT_Destroy()など)は、アウトオブコア 分 解 ルーチン
と 互 換 性 があるように 設 計 されています。DPSLDLT_FactorOOC とそれに 続 く DPSLDLT_Solve の 呼 び 出
しは 並 列 化 されていないことに 注 意 してください。
5.3.9. 複 数 の 右 辺 に 対 する 解
DPSLDLT は、DPSLDLT_SolveM()を 1 回 呼 び 出 すことで、 複 数 の 右 辺 に 対 する 解 を 求 めます。
79
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DPSLDLT_SolveM()は、これらの 右 辺 に 対 する 計 算 を 各 プロセッサで 並 列 に 行 ないます。
5.3.10. 各 ルーチンの 引 数 の 説 明
DPSLDLT の 各 ルーチンは 以 下 の 引 数 をとります。
引 数
説 明
token
( 入 力 ) DPSLDLT は 同 時 に 複 数 の 行 列 を 扱 うことができます。Token は、 行 列 の 選
択 に 使 用 します。DPSLDLT_Factor()に 渡 される token は、 同 じ token で、 以 前 に
DPSLDLT_Preprocess()で 呼 び 出 されていなければなりません。 同 様 に、
DPSLDLT_Solve()に 渡 される token は、 以 前 に DPSLDLT_Factor()で 呼 び 出 されてい
なければなりません。
method ( 入 力 ) オーダリングの 選 択 を 行 なう 整 数 型 変 数 0 ≦ method ≦ 4
n ( 入 力 ) 行 列 A の 行 と 列 の 数 。N ≧ 0
pointers ( 入 力 ) pointers と indices 配 列 は、 疎 行 列 A の 非 ゼロ 要 素 の 構 造 をハーウェル ボー
indices, イング(Compressed Column Storage の 名 前 でも 呼 ばれています) 形 式 で 格 納 しま
values
す。Pointers 配 列 は n+1 個 の 整 数 型 で、pointers[i]は 行 列 A の i 列 目 の 最 初 の 非 ゼ
ロ 要 素 の 順 番 を 与 えます。Indices 配 列 は、A の 非 ゼロ 要 素 の 行 番 号 を 格 納 します。
Values 配 列 は、 配 列 A の 非 ゼロ 要 素 の 値 を 格 納 します。
non_zeros ( 出 力 ) 下 三 角 行 列 L の 非 ゼロ 要 素 の 個 数 。
ops
( 出 力 ) 行 列 A の 分 解 に 必 要 な 浮 動 小 数 点 演 算 回 数
mask
( 入 力 ) DPSLDLT_PreprocessZ()で 使 用 される 次 元 n の 整 数 型 配 列 。Mask(i)=0 であ
れば、ピボッティングのゼロ 割 りを 避 けるようにオーダリングされる。
b
( 入 力 ) DPSLDLT_Solve の 呼 び 出 しの 右 辺 ベクトルを 格 納 する。
x
( 出 力 ) DPSLDLT_Solve の 呼 び 出 しの 解 ベクトルを 格 納 する。
nrhs ( 入 力 ) DPSLDLT_SolveM()の 呼 び 出 しで、 解 くべき 右 辺 ベクトルの 組 数 。
B
( 入 力 ) DPSLDLT_SolveM()の 右 辺 行 列 。 列 方 向 優 先 の 格 納 形 式 で、 各 次 元 は n でな
ければならない。
X
( 出 力 ) DPSLDLT_SolveM()の 呼 び 出 した 後 、 解 を 格 納 する 配 列 。 列 方 向 優 先 の 格 納
形 式 で、 各 次 元 は n でなければならない。
oocpath ( 入 力 ) 文 字 型 の 配 列 あるいは 変 数 。アウトオブコアの 行 列 分 解 ファイルを 格 納 する
場 所 を 指 定 する。もし、ストライプ(RAID 0 など)されたファイルシステムが 指 定 されて
いるのであれば、アウトオブコアのソルバの 性 能 が 向 上 します。デフォルトは
/usr/tmp です。
length
( 入 力 ) oocpath の 文 字 列 の 文 字 数
occlimit ( 入 力 ) 倍 精 度 型 変 数 。DPSLDLT_FactorOOC の 呼 び 出 しで 使 用 されるメモリ 量 を M
バイト 単 位 で 指 定 する。 行 列 を 直 接 格 納 する 配 列 以 外 に 大 量 の 作 業 領 域 が 必 要 な
ことに 注 意 してください。デフォルト 値 は 64M バイトです。
perm
( 出 力 ) n 次 元 の 整 数 型 配 列 。 行 列 A の 置 換 ベクトルを 格 納 する。
ldb
( 入 力 ) 行 列 B のリーディングディメンジョン。ldb ≧ n
ldx
( 入 力 ) 行 列 X のリーディングディメンジョン。ldx ≧ n
80
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5.3.11. 環 境 変 数
メソッド 3 とメソッド 4 のオーダリングに 影 響 する 環 境 変 数 は 2 つあります。SPARSE_NUM_ORDERS は、
オーダリングの 評 価 を 行 なう 種 類 を、デフォルト 値 (メソッド 3 では OMP_NUM_THREADS、メソッド 4 では
(2*OMP_NUM_THREADS))と 異 なる 数 に 設 定 する 場 合 に 使 用 します。SPARSE_FEEDBACK_FILE は、「 学
習 」ファイルが 作 成 されるパスとファイル 名 を 指 定 します。デフォルトでは「 学 習 」ファイルは
$HOME/.sparseFeedback に 作 成 されます。このファイルは 5K バイト 以 下 の 大 きさです。
環 境 変 数 OMP_NUM_THREADS は、 行 列 の 分 解 を 行 なう 時 に 使 用 するプロセッサ 数 を 指 定 します。アウト
オブコアのソルバは 並 列 化 に 対 応 していません。 環 境 変 数 PSLDLT_VERBOSE を 設 定 することにより、
行 列 の 分 解 過 程 のさまざまな 情 報 を 出 力 します。
5.4. DPSLDU、ZPSLDU ルーチン
ここでは、 非 対 称 疎 行 列 直 接 解 法 DPSLDU、ZPSLDU ルーチンの 使 用 方 法 に 関 して 説 明 します。 以 下 で
は 倍 精 度 実 数 版 を 例 に 説 明 しますが、 倍 精 度 複 素 数 版 も 基 本 的 には 同 じです。 倍 精 度 複 素 数 版 の 場 合
には、 関 数 の 接 頭 文 字 D をZに、ops と ooclimit を 除 く 引 数 の DOUBLE PRECISION 型 を COMPLREX*16
型 (C/C++では double 型 を scsl_zcomplex 型 )に、 各 々 読 み 替 えてください。
なお、 環 境 変 数 に 関 しては DPSLDU、ZPSLDU ともに 共 通 です。
DPSLDU ルーチンでは、 以 下 の 非 対 称 疎 行 列 に 対 する 並 列 化 対 応 直 接 法 ソルバを 提 供 します。これら
のルーチンの 詳 細 については、 本 節 以 降 をご 参 照 ください。
DPSLDU_Destroy, DPSLDU_ExtractPerm, PSLDDLT_Factor, DPSLDU_FactorOOC,
DPSLDU_OOCLimit, DPSLDU_OOCPath, DPSLDU__Ordering, DPSLDU_Preprocess,
DPSLDU_PreprocessZ, DPSLDU_Solve, DPSLDUT_SolveM, DPSLDU_Storage
5.4.1. 関 数 一 覧
以 下 に、 各 関 数 の 引 数 のデータ 型 を 示 します。 各 引 数 についての 説 明 は、 第 5.3.10 節 引 数 の 説 明 を
ご 参 照 ください。
5.4.1.1. FORTRAN
SUBROUTINE DPSLDU_DESTROY (token)
INTEGER
token
SUBROUTINE DPSLDU_EXTRACTPERM (token, perm)
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INTEGER token
perm(*)
SUBROUTINE DPSLDU_FACTOR (token, n, pointers, indices, values)
INTEGER
token, n, pointers(*), indices(*)
DOUBLE PRECISION values(*)
SUBROUTINE DPSLDU_FACTOROOC (token, n, pointers, indices, values)
INTEGER
token, n, pointers(*), indices(*)
DOUBLE PRECISION values(*)
SUBROUTINE DPSLDU_OOCLIMIT (token, ooclimit)
INTEGER
token
DOUBLE PRECISION ooclimit
SUBROUTINE DPSLDU_OOCPATH (token, oocpath, length)
INTEGER
token, length
CHARACTER
oocpath(*)
SUBROUTINE DPSLDU_ORDERING (token, method)
INTEGER
token, method
SUBROUTINE DPSLDU_PREPROCESS (token, n, pointes, indices,non_zeros, ops)
INTEGER
token, n, pointers(*), indices(*)
INTEGER*8
non_zeros
DOUBLE PRECISION ops
SUBROUTINE DPSLDU_PREPROCESSZ (token, n, pointers, indices, mask,non_zeros, ops)
INTEGER
token, n, pointers(*), indices(*), mask(*)
INTEGER*8
non_zeros
DOUBLE PRECISION ops
SUBROUTINE DPSLDU_SOLVE (token, x, b)
INTEGER
token
DOUBLE PRECISION x(*), b(*)
SUBROUTINE DPSLDU_SOLVEM (token, X, ldx, B, ldb, nrhs)
INTEGER
token, ldx, ldb, nrhs
DOUBLE PRECISION X(*), B(*)
DOUBLE PRECISION FUNCTION DPSLDU_STORAGGE(token)
INTEGER
token
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5.4.1.2. C/C++
#include
void DPSLDU_Destroy (int token );
void DPSLDU_ExtractPerm (int token int perm[];
void DPSLDU_Factor (int token, int n, int pointers[], intindices[], double values[] );
void DPSLDU_FactorOOC (int token, int n, int pointers[], int indices[], double values[] );
void DPSLDU_OOCLimit (int token, double ooclimit );
void DPSLDU_OOCPath (int token, char oocpath );
void DPSLDU_Ordering (int token, int method );
void DPSLDU_Preprocess (int token, int n, int ponters[], int indices[], long long
*non_zeros, double *ops );
void DPSLDU_PreprocessZ (int token, int n, int pointers[], int indices[], int mask[], long
long *non_zeros, double *ops );
void DPSLDU_Solve (int token, double x[], doublle b[] );
void DPSLDU_SolveM (int token, double X[], int ldx, double B[], int ldb, int nrhs);
double DPSLDU_Storage (int token);
5.4.2. 詳 細
DPSLDU は、 疎 行 列 の 非 対 称 線 形 方 程 式 Ax=b を 解 きます。ここで、A は n×n の 非 対 称 行 列 、b は 次 元
n の 右 辺 ベクトル、x は 次 元 n の 解 ベクトルです。
DPSLDU は、 直 接 法 を 用 いています。A は 次 の 形 式 に 分 解 できます。
A = L D U
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ここで、L は 対 角 要 素 が 1 の 下 三 角 行 列 、D は 対 角 項 だけの 行 列 、U は 対 角 要 素 が 1 の 上 三 角 行 列 を
示 しています。
このルーチンは、 倍 精 度 版 だけが 用 意 されており、SCSL の 並 列 化 にも 対 応 しています。
このルーチンではピボッティングを 行 わないことに 注 意 してください。
DPSLDU ライブラリは、5 つのメインルーチンから 構 成 されています。
• DPSLDU_Ordering() は、 行 列 の 前 処 理 段 階 で 使 われる 5 つのオーダリング 方 法 を 選 択 します。
• DPSLDU_Preprocess() は、 行 列 A の 構 造 に 対 して 前 処 理 を 行 います。(L のフィルインを 減 少 させる
オーダリングや、シンボル 分 解 など)
• DPSLDU_Factor() は、 先 に 処 理 した 行 列 A を L と D と U に 分 解 します。
• DPSLDU_Solve() は、 右 辺 b ベクトルに 対 する 解 ベクトル x を 求 めます。
• DPSLDU_Destroy() は、 行 列 A の 分 解 に 使 用 したメモリ 領 域 を 開 放 します。(L, D,U の 他 に 前 処 理 段
階 で 必 要 となるデータ 構 造 などを 含 みます。)
非 ゼロ 要 素 の 位 置 は 同 じで 値 が 異 なる 行 列 、すなわち、 構 造 が 同 じ 行 列 であれば、
DPSLDLT_Preprocess()は 一 度 だけ 呼 べばよく、それらの 行 列 を L と D に 分 解 するための
DPSLDLT_Factor()は 複 数 回 呼 び 出 すことが 可 能 です。 同 様 に、 複 数 の 右 辺 を 解 くために、
DPSLDU_Factor()を 1 回 呼 び 出 した 後 、DPSLDU_Solve()を 複 数 回 呼 び 出 すことも 可 能 です。また、 複 数
の 右 辺 を 1 次 元 の 配 列 にすべて 格 納 して、DPSLDU_SolveM()を 呼 び 出 すことも 可 能 です。
5.4.3. 疎 行 列 の 格 納 形 式
疎 行 列 A は、DPSLDU に 対 して、ハーウェル ボーイング(Compressed Column Storage の 名 でも 呼 ばれ
ています) 形 式 の 入 力 でなければなりません。
対 象 とする 行 列 は、pointers, indices, values の 3 つ 配 列 から 構 成 されています。indices 配 列 は、 配 列 A
の 非 ゼロ 要 素 の 行 番 号 を 格 納 しています。values 配 列 は、その 位 置 の 非 ゼロ 要 素 の 値 を 格 納 します。
pointers 配 列 は、 配 列 A の 各 列 について 最 初 の 非 ゼロ 要 素 が 何 番 目 の 非 ゼロ 要 素 かを 格 納 した 配 列 で
す。こうして、i 列 目 の 非 ゼロ 要 素 に 対 する 行 番 号 は、indices[pointers[i]]から indices[pointers[i+1]-1]に
格 納 されています。それに 対 応 する 配 列 A の 非 ゼロ 要 素 の 値 は、 values[pointers[i]]から
values[pointers[i+1]-1]に 格 納 されています。
行 列 A に 対 して、 同 一 列 内 の 非 ゼロ 要 素 は、 行 番 号 が 大 きくなる 順 番 に 格 納 されていなければなりませ
ん。
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非 対 称 行 列 に 対 する 例 を 以 下 に 示 します。
1.0 0.0 5.0 0.0
0.0 3.0 0.0 8.0
2.0 0.0 7.0 0.0
0.0 4.0 0.0 9.0
は、FORTRAN では 次 のように 記 述 されます。
INTEGER pointers(5), indices(8), i
DOUBLE PRECISION values(8)
DATA (pointers(i), i = 1, 5) / 1, 3, 5, 7, 9 /
DATA (indices(i), i = 1, 8) / 1, 3, 2, 4, 1, 3, 2, 4 /
DATA (values(i), i = 1, 8) / 1.0, 2.0, 3.0, 4.0, 5.0, 7.0, 8.0, 9.0 /
C の 様 に 0 から 始 まる 添 字 で 示 すと、pointers と indices の 配 列 は、 次 のようになります。
int pointers[] = {0, 2, 4, 6, 8}
int indices[] = {0, 2, 1, 3, 0, 2, 1, 3}
double values[] = {1.0, 2.0, 3.0, 4.0, 5.0, 7.0, 8.0, 9.0}
5.4.4. オーダリングの 方 法
DPSLDU_Ordering(token, method) ルーチンは、 行 列 の 分 解 を 行 う 前 に 前 処 理 に 用 いるオーダリングの
方 法 を 変 更 します。このルーチンは DPSLDU_Preprocess の 前 に 呼 び 出 さなければなりません。 現 在 、5
種 類 の method の 指 定 ができます。
• Method 0 は 前 処 理 のオーダリングを 行 わない。
• Method 1 フィルインが 最 小 となるようなオーダリング
• Method 2 シングルネスト 分 析 によるオーダリング(デフォルト)
• Method 3 マルチプルネスト 分 析 によるオーダリング( 並 列 化 対 応 )
• Method 4 マルチプルネスト 分 析 によるオーダリング( 並 列 化 対 応 )
メソッド 4 では、 同 じ 行 列 構 造 に 対 しては 前 回 の 結 果 を 学 習 してもっとも 効 率 的 なオーダリングを 行
ないます。メソッド 3 と 4 は 同 じマルチプルネスト 分 析 のアルゴリズムを 採 用 しています。
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メソッド 2 はメソッド 1 に 比 較 して、 演 算 量 は 多 くなりますが、はるかに 良 いオーダリングを 行 ないます。メ
ソッド 3 は、 特 にマルチプロセッサのシステムで 有 効 です。
メソッド 3 は、OMP_NUM_THREADS(OpenMP で 使 用 するプロセッサ 数 を 指 定 する 環 境 変 数 )
種 類 の 行 列 のオーダリングの 評 価 を 並 列 に 行 ない、 行 列 の 分 解 段 階 でもっとも 浮 動 小 数 点 演 算 が 減 る
ようなオーダリングを 選 択 します。
メソッド 4 は、 同 じ 非 ゼロ 要 素 構 造 の 行 列 に 対 して、 複 数 の 右 辺 に 対 する 解 を 求 める 場 合 にだけに 使 用
します。メソッド 4 は、「 学 習 」ファイルに 最 大 200 個 分 の 行 列 の 構 造 と 前 回 の 履 歴 情 報 を 記 録 します。 次
回 のメソッド 4 の 呼 び 出 しでは、 同 じ 非 ゼロ 構 造 の 行 列 に 対 して、2 * OMP_NUM_THREADS 種 類 のオー
ダリングを 評 価 して、もっとも 浮 動 小 数 点 演 算 が 少 なくなるオーダリングを 選 択 します。こうして、オーダリ
ングの 質 は 計 算 を 続 けるにしたがって 改 良 され 続 けます。
メソッド 3 と 4 は、デフォルトの 行 列 の 前 処 理 よりも 計 算 時 間 を 要 します。しかし、 大 規 模 な 系 あるいは 分
解 を 繰 り 返 すにしたがい、メソッド 2 に 対 してソルバ 全 体 で 大 幅 な 性 能 改 善 (1.1〜2 倍 程 度 )が 得 られま
す。
5.4.5. 置 換 ベクトル
メソッド 0 を 選 択 しない 場 合 、DPSLDU は、 行 列 A に 対 して 行 列 の 分 解 を 行 なう 前 に 行 の 入 れ 替 えを 行 な
います。その 結 果 、 一 般 的 に 行 の 入 れ 替 えを 終 えた 行 列 はオリジナルの 行 列 に 対 してフィルインが 減 少
します。また、token の 対 応 した 行 の 入 れ 替 えを 行 なった 行 列 を DPSLDU_ExtractPerm(token, perm)を 呼
び 出 すことで 得 ることができます。 置 換 ベクトルは、 大 きさ n の 1 次 元 の 配 列 1≦perm(i)≦n に 戻 ります。
(C コードに 対 しては 0≦perm[i]

5.4.7. メモリの 使 用 量
DPSLDU_Storage()は、 行 列 のデータ 構 造 に 応 じて 必 要 とされるメモリの 総 量 の 見 積 りを M バイト 単 位 で
返 します。
5.4.8. アウトオブコア 分 解
分 解 に 必 要 な 2 種 類 のメモリ 管 理 方 法 のルーチンを 提 供 します。 DPSLDU_Factor()は、 分 解 に 必 要 なメ
モリを 内 部 的 に 確 保 した 後 、DPSLDU_Destroy()が 呼 ばれるまで 確 保 し 続 けます。もう 一 つは、アウトオブ
コア 分 解 のルーチンである DPSLDU_FactorOOC() です。このルーチンでは、メモリの 使 用 量 は 少 なくて
済 みますが、 残 りの 必 要 な 領 域 をディスク 上 に 確 保 します。DPSLDU_OOCPath()は、 分 解 ファイルが 作
成 されるディレクトリを 指 示 し、DPSLDU_OOCLimit()は、 行 列 の 分 解 に 必 要 とされるメモリ 領 域 の 上 限 を
与 えます。より 多 くのメモリを 使 用 すれば、ディスク I/O は 減 少 して 行 列 分 解 部 分 の 性 能 が 向 上 します。
インコア 分 解 からアウトオブコア 分 解 へは、DPSLDU_Factor()を DPSLDU_FactorOOC()に 変 更 するだけ
です。 他 のルーチン(DPSLDU_Solve(), DPSLDU_Destroy()など)は、アウトオブコア 分 解 ルーチンと 互 換 性
があるように 設 計 されています。DPSLDU_FactorOOC とそれに 続 く DPSLDU_Solve の 呼 び 出 しは 並 列 化
されていないことに 注 意 してください。
5.4.9. 複 数 の 右 辺 に 対 する 解
DPSLDU は、DPSLDU_SolveM()を 1 回 呼 び 出 すことで、 複 数 の 右 辺 に 対 する 解 を 求 めます。
DPSLDU_SolveM()は、これらの 右 辺 に 対 する 計 算 を 各 プロセッサで 並 列 に 行 ないます。
5.4.10. 各 ルーチンの 引 数 の 説 明
DPSLDU の 各 ルーチンは 以 下 の 引 数 をとります。
引 数
説 明
token
( 入 力 ) DPSLDU は 同 時 に 複 数 の 行 列 を 扱 うことができます。token は、 行 列 の 選 択
に 使 用 します。DPSLDU_Factor()に 渡 される token は、 同 じ token で 以 前 に
DPSLDU_Preprocess()で 呼 び 出 されていなければなりません。 同 様 に、
DPSLDU_Solve()に 渡 される token は、 以 前 に DPSLDU_Factor()で 呼 び 出 されていな
ければなりません。
method ( 入 力 ) オーダリングの 選 択 を 行 なう 整 数 型 変 数 0 ≦ method ≦ 4
n ( 入 力 ) 行 列 A の 行 と 列 の 数 。n ≧ 0
pointers ( 入 力 ) pointers と indices 配 列 は、 疎 行 列 A の 非 ゼロ 要 素 の 構 造 をハーウェル ボー
indices
イング(Compressed Column Storage の 名 前 でも 呼 ばれています) 形 式 で 格 納 しま
values
す。pointers 配 列 は n+1 個 の 整 数 型 で、pointers[i]は 行 列 A の i 列 目 の 最 初 の 非 ゼ
ロ 要 素 の 順 番 を 与 えます。indices 配 列 は、A の 非 ゼロ 要 素 の 行 番 号 を 格 納 します。
values 配 列 は、 配 列 A の 非 ゼロ 要 素 の 値 を 格 納 します。
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non_zeros ( 出 力 ) 非 ゼロ 要 素 の 個 数 。
ops
( 出 力 ) 行 列 A の 分 解 に 必 要 な 浮 動 小 数 点 演 算 回 数
mask
( 入 力 ) DPSLDU_PreprocessZ()で 使 用 される 次 元 n の 整 数 型 配 列 。mask(i)=0 であれ
ば、ピボッティングのゼロ 割 りを 避 けるようにオーダリングされる。
b
( 入 力 ) DPSLDU_Solve の 呼 び 出 しの 右 辺 ベクトルを 格 納 する。
x
( 出 力 ) DPSLDU_Solve の 呼 び 出 しの 解 ベクトルを 格 納 する。
nrhs ( 入 力 ) DPSLDU_SolveM()の 呼 び 出 しで、 解 くべき 右 辺 ベクトルの 組 数 。
B
( 入 力 ) DPSLDU_SolveM()の 右 辺 行 列 。 列 方 向 優 先 の 格 納 形 式 で、 各 次 元 は n でな
ければならない。
X
( 出 力 ) DPSLDU_SolveM()の 呼 び 出 した 後 、 解 を 格 納 する 配 列 。 列 方 向 優 先 の 格 納
形 式 で、 各 次 元 は n でなければならない。
oocpath ( 入 力 ) 文 字 型 の 配 列 あるいは 変 数 。アウトオブコアの 行 列 分 解 ファイルを 格 納 する
場 所 を 指 定 する。もし、ストライプ(RAID 0 など)されたファイルシステムが 指 定 されて
いるのであれば、アウトオブコアのソルバの 性 能 が 向 上 します。デフォルトは
/usr/tmp です。
length
( 入 力 ) oocpath の 文 字 列 の 文 字 数
occlimit ( 入 力 ) 倍 精 度 型 変 数 。DPSLDU_FactorOOC の 呼 び 出 しで 使 用 されるメモリ 量 を M バ
イト 単 位 で 指 定 する。 行 列 を 直 接 格 納 する 配 列 以 外 に 大 量 の 作 業 領 域 が 必 要 なこと
に 注 意 してください。デフォルト 値 は 64M バイトです。
perm
( 出 力 ) n 次 元 の 整 数 型 配 列 。 行 列 A の 置 換 ベクトルを 格 納 する。
ldb
( 入 力 ) 行 列 B のリーディングディメンジョン。ldb ≧ n
ldx
( 入 力 ) 行 列 X のリーディングディメンジョン。ldx ≧ n
5.4.11. 環 境 変 数
メソッド 3 とメソッド 4 のオーダリングに 影 響 する 環 境 変 数 は 2 つあります。SPARSE_NUM_ORDERS は、
オーダリングの 評 価 を 行 なう 種 類 を、デフォルト 値 (メソッド 3 では OMP_NUM_THREADS、メソッド 4 では
(2*OMP_NUM_THREADS)) と 異 なる 数 に 設 定 する 場 合 に 使 用 します。SPARSE_FEEDBACK_FILE は、
「 学 習 」ファイルが 作 成 されるパスとファイル 名 を 指 定 します。デフォルトでは「 学 習 」ファイルは
$HOME/.sparseFeedback に 作 成 されます。このファイルは 5K バイト 以 下 の 大 きさです。
環 境 変 数 OMP_NUM_THREADS は、 行 列 の 分 解 を 行 なう 時 に 使 用 するプロセッサ 数 を 指 定 します。アウト
オブコアのソルバは 並 列 化 に 対 応 していません。 環 境 変 数 PSLDU_VERBOSE を 設 定 することにより、 行
列 の 分 解 過 程 のさまざまな 情 報 を 出 力 します。
5.5. DIterative ルーチン
Diterative ルーチンでは、 以 下 の 疎 行 列 に 対 する 並 列 化 対 応 反 復 法 ソルバを 提 供 します。これらのルー
チンの 詳 細 については、 本 節 以 降 をご 参 照 ください。
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• DIterative
• DIterative_DropTol
• DIterative_DropStorage
5.5.1. 関 数 一 覧
Diterative の 各 ルーチンは 以 下 の 引 数 をとります。 引 数 の 詳 細 に 関 しては、 第 5.5.4 節 引 数 の 説 明 をご
参 照 ください。
5.5.1.1. FORTRAN
SUBROUTINE DITERATIVE (n, pointers, indices, values, storage, x, b, method, precond,
maxiters, convtol, iters, finalres)
INTEGER
n, storage, method, precond, maxiters, iters
INTEGER
pointers(*), indices(*)
DOUBLE
PRECISION values(*), x(*), b(*)
DOUBLE PRECISION convtol, finalres
SUBROUTINE DITERATIVE_DROPTOL (DropTolerance)
DOUBLE PRECISION DropTolerance
SUBROUTINE DITERATIVE_DROPSTORAGE (Storage_Multiplier)
DOUBLE PRECISION Storage_Multiplier
5.5.1.2. C/C++
#include
void DIterative (int n, int pointers[], int indices[], double values[], int storage, double x[], double b[], int
method, int precond, int maxiters, double convtol, int *iters, double *finalres)
void DIterative_DropTol (double drop_tolerance );
void DIterative_DropStorage (double storage_multiplier );
5.5.2. 詳 細
Diterative ルーチンは、 疎 な 線 形 方 程 式 Ax=bを 解 くために 反 復 法 を 用 います。 解 法 は4つの 前 処 理 付
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反 復 法 の 中 から 選 択 できます。 対 称 行 列 向 けには 共 役 勾 配 (CG) 法 、 共 役 残 差 法 、 非 対 称 行 列 向 けに
は 共 役 勾 配 二 乗 (CGS) 法 およびその 変 種 で 収 束 過 程 がよりスムーズな 双 共 役 勾 配 安 定 (BiCGSTAB)
法 が 利 用 できます。
前 処 理 としては、ヤコビ、 対 称 逐 次 緩 和 (SSOR) 法 、no-fill ILU として 知 られる、パターンによる 不 完 全
LU 分 解 、スレッシュホールド ILU として 知 られる、 値 による 不 完 全 LU 分 解 の4つの 方 法 が 利 用 できます。
不 完 全 LU 分 解 による 前 処 理 は 対 称 行 列 にのみ 適 用 できます。 現 在 、 値 による 不 完 全 LU 分 解 の 並 列 化
はされていません。
値 による 不 完 全 LU 分 解 のパラメータの 設 定 のために 以 下 の2つのルーチンがあります。
• DIterative_DropTol() は 不 完 全 LU 分 解 の drop tolerance を 設 定 します。
• DIterative_DropStorage() は 不 完 全 LU 分 解 の 要 素 を 格 納 するメモリの 容 量 を 設 定 します。
5.5.3. 疎 行 列 の 格 納 形 式
疎 行 列 A は DIterative ルーチンに 対 して、 列 圧 縮 格 納 形 式 (ハーウェルボーイングの 名 でも 呼 ばれてい
ます)、または 行 圧 縮 格 納 形 式 で 入 力 しなければなりません。
5.5.3.1. 列 圧 縮 格 納 形 式
対 象 とする 行 列 は、pointers, indices, values の 3 つ 配 列 から 構 成 されています。 列 圧 縮 格 納 形 式 では
indices 配 列 は、 行 列 A の 非 ゼロ 要 素 の 行 番 号 を 格 納 しています。values 配 列 は、その 位 置 の 非 ゼロ 要
素 の 値 を 格 納 します。pointers 配 列 は、 配 列 A の 各 列 について 最 初 の 非 ゼロ 要 素 が 何 番 目 の 非 ゼロ 要
素 かを 格 納 した 配 列 です。こうして、i 列 目 の 非 ゼロ 要 素 に 対 する 行 番 号 は、indices[pointers[i]から
indices[pointers[i+1]-1]に 格 納 されています。それに 対 応 する 行 列 A の 非 ゼロ 要 素 の 値 は、
values[pointers[i]]から values[pointers[i+1]-1]に 格 納 されています。
対 称 行 列 A に 対 しては、A の 下 三 角 あるいは 上 三 角 のどちらかを 与 えれば 良 く、 両 方 を 与 える 必 要 はあ
りません。A の 同 じ 列 内 の 要 素 については 順 序 は 問 いません。
対 称 行 列 に 対 する 例 を 以 下 に 示 します。
1.0
0.0 3.0
2.0 0.0 5.0
0.0 4.0 0.0 6.0
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は、FORTRAN では 次 のように 記 述 されます。
INTEGER pointers(5), indices(6), i
DOUBLE PRECISION values(6)
DATA (pointers(i), i = 1, 5) / 1, 3, 5, 6, 7 /
DATA (indices(i), i = 1, 6) / 1, 3, 2, 4, 3, 4 /
DATA (values(i), i = 1, 6) / 1.0, 2.0, 3.0, 4.0, 5.0, 6.0 /
C の 様 に 0 から 始 まる 添 字 で 示 すと、pointers と indices の 配 列 は、 次 のようになります。
int pointers[] = {0, 2, 4, 5, 6}
int indices[] = {0, 2, 1, 3, 2, 3}
double values[] = {1.0, 2.0, 3.0, 4.0, 5.0, 6.0}
5.5.3.2. 行 圧 縮 格 納 形 式
行 圧 縮 格 納 形 式 では、indices 配 列 は、 行 列 A の 非 ゼロ 要 素 の 列 番 号 を 格 納 しています。values 配 列 は、
その 位 置 の 非 ゼロ 要 素 の 値 を 格 納 します。pointers 配 列 は、 行 列 A の 各 行 について 最 初 の 非 ゼロ 要 素
の 場 所 を 格 納 した 配 列 です。こうして、i 行 目 の 非 ゼロ 要 素 に 対 する 列 番 号 は、indices[pointers[i]から
indices[pointers[i+1]-1]に 格 納 されています。それに 対 応 する 列 A の 非 ゼロ 要 素 の 値 は、
values[pointers[i]]から values[pointers[i+1]-1]に 格 納 されています。
上 記 例 と 同 じ 対 称 行 列 に 対 する 例 を 示 します。
1.0
0.0 3.0
2.0 0.0 5.0
0.0 4.0 0.0 6.0
行 圧 縮 格 納 形 式 を 用 いると、FORTRAN では 次 のように 記 述 されます。
INTEGER pointers(5), indices(6), i
DOUBLE PRECISION values(6)
DATA (pointers(i), i = 1, 5) / 1, 2, 3, 5, 7 /
DATA (indices(i), i = 1, 6) / 1, 2, 1, 3, 2, 4 /
DATA (values(i), i = 1, 6) / 1.0, 3.0, 2.0, 5.0, 4.0, 6.0 /
C 言 語 で 用 いられる、0からはじまるインデックスで 表 すと pointers と indeices 配 列 は 次 のようになりま
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す。
int pointers[] = {0, 1, 2, 4, 6}
int indices[] = {0, 1, 0, 2, 1, 3}
double values[] = {1.0, 3.0, 2.0, 5.0, 4.0, 6.0}
5.5.4. 引 数
DIterative ルーチンは 以 下 の 引 数 をとります。
引 数
n
pointers
indices
values
説 明
( 入 力 ) 行 列 Aの 行 と 列 の 数 を 示 す 整 数 。 n>=0
( 入 力 ) 配 列 pointers と indices は 疎 行 列 Aの 0 を 含 まない 構 造 を 行 圧 縮 格 納 形 式 、
または 列 圧 縮 格 納 形 式 で 持 ちます。
列 圧 縮 格 納 形 式 では、pointers 配 列 は n+1 個 の 整 数 を 持 ち、pointers[i]は 疎 行 列 A
の i 行 目 の 非 零 要 素 の、 配 列 indices での 最 初 の 位 置 を 示 します。 配 列 indices は 行
列 Aの 非 零 要 素 の 行 のインデックスを 持 ちます。values 配 列 は 行 列 Aの 非 零 要 素 の
値 を 持 ちます。
storage
( 入 力 ) 行 列 データが 行 圧 縮 格 納 形 式 と 列 圧 縮 格 納 形 式 のどちらであるかを 示 しま
す。storage=0 であれば、 列 圧 縮 格 納 形 式 とみなします。storage=1 であれば、 行 圧
縮 格 納 形 式 とみなします。
x
( 入 力 / 出 力 )ベクトルxの 初 期 値 と 最 終 的 に 得 られた 解 になります。
b
( 入 力 ) 右 辺 ベクトルb
method ( 入 力 ) 使 用 する 反 復 解 法 を 指 定 する 整 数 。
method=0: 共 役 勾 配 (CG) 法
method=1: 共 役 残 差 (CR) 法
method=10: 共 役 勾 配 二 乗 (CGS) 法
method=11: 双 共 役 勾 配 安 定 (BiCGSTAB) 法
precond ( 入 力 ) 反 復 法 で 使 用 される 前 処 理 を 指 定 する 整 数 。0

成 分 の 値 と storage_multiplier との 積 の 値 よりも 多 くの 非 零 成 分 を 含 む 場 合 、
drop_tolerance の 値 が 自 動 的 に 引 き 上 げられます。
5.5.5. 環 境 変 数
以 下 の 環 境 変 数 は 様 々なランタイム 時 の 動 作 特 性 を 制 御 します。
• ITERATIVE_VERBOSE は 実 行 時 のステップ 毎 の 情 報 を 表 示 します。
• ITERATIVE_DUMP は 行 列 を”ppcr.mat”ファイルへ 圧 縮 列 格 納 (ハーウェルボーイング) 形 式 で 表 示
します。
• ITERATIVE_RCM は 行 列 のオーダリングを 制 御 します。ディフォルトでは 行 列 へのオーダリングは 適
用 されません。 設 定 されるべき 値 は 以 下 の 通 りです。
0: 行 列 のオーダリングは 適 用 されません。(RCM に 何 も 設 定 しない 場 合 と 同 じです。)
1: 末 端 ノードのみを 探 索 する、トリミングされた Cuthill-McKee リオーダリングが 適 用 されます。
-1: 逆 Cuthill-McKee リオーダリングが 適 用 されます。
環 境 変 数 OMP_NUM_THREADS は 反 復 法 を 行 うときに 使 用 するプロセッサ 数 を 指 定 します。 環 境 変 数
ITREATIVE_VERBOSE をセットすると DITERATIVE ルーチンに 行 列 分 解 に 関 する 情 報 を 出 力 させること
ができます。
93
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5.6. サンプルプログラム
以 下 に FORTRAN, C/C++における、スパースソルバーのサンプルプログラムを 示 します。
5.6.1. 倍 精 度 実 対 称 疎 行 列 の 直 接 解 法 DPSLDLT
問 題
下 記 で 定 義 されるテスト 行 列 を 用 いて、 対 称 行 列 直 接 法 スパースソルバーの 実 行 例 を 示 します。 実 行 例
では、 下 記 で 定 義 される 逆 行 列 ( 対 称 三 重 対 角 行 列 )の 逆 行 列 を 求 め、 元 の 行 列 になることを 確 かめま
す。オーダリングは 入 れ 子 分 析 法 (デフォルト)を 用 います。
サイズ N の 行 列 A=a[i][j] が 下 記 の 通 りに 定 義 されます。
a[i][j]= a[j][i] = n+1-i, if i >= j.
サイズ 4 の 場 合 の 行 列 は 下 記 の 通 りです。
データの 格 納 方 法 については、 第 5.3.3 節 疎 行 列 の 格 納 形 式 をご 参 照 ください。 関 数 の 引 数 についての
詳 細 は 第 5.3.10 節 の 各 ルーチンの 引 数 の 説 明 をご 参 照 ください。
94
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プログラム 例
FORTRAN
C
C
C
C
implicit double precision (a-h,o-z)
parameter (n=10)
parameter (method=2)
integer*8 non_zeros
integer i,j,k,info
integer iptr(n+1),idx(2*n)
double precision val(2*n)
double precision dtmp,ops
double precision b(n,n),x(n,n)
逆 行 列 の 初 期 化
k=1
do j=1,n
iptr(j)=k
do i=max(1,j-1),j
if(i .eq. j) then
if(i .eq. 1) then
val(k)=1.d0
else
val(k)=2.d0
end if
else
val(k)=-1.d0
end if
idx(k)=i
k =k+1
end do
end do
iptr(j)=k
RHSを 単 位 行 列 に 初 期 化
do j=1,n
do i=1,n
95
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C
C
C
C
x(i,j)=0.d0
if(i .eq. j) then
b(i,j)=1.d0
else
b(i,j)=0.d0
end if
end do
end do
L D L^T 分 解
call DPSLDLT_Ordering(1,method)
call DPSLDLT_Preprocess(1,n,iptr,idx,non_zeros,ops)
call DPSLDLT_Factor(1,n,iptr,idx,val)
call DPSLDLT_SolveM(1,x,b,n)
call DPSLDLT_Destroy(1)
逆 行 列 が 元 の 行 列 になることを 確 かめる
dtmp=0.d0
do j=1,n
do i=1,n
dtmp=dtmp+
&
(x(i,j)-(n+1.d0-max(i,j)))*(x(i,j)-(n+1.d0- max(i,j)))
end do
end do
dtmp=dsqrt(dtmp)
write(*,*) dtmp
stop
end
C/C++
#include
#include
#include
#define N 10
#define METHOD 2
96
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#define MAX(i,j) (((i) > (j)) (i) : (j))
int main(void)
{
long long non_zeros;
int i,j,k,info;
int iptr[N + 1], idx[2 * N];
double val[2 * N];
double dtmp, ops;
double b[N * N], x[N * N];
/* 逆 行 列 を 初 期 化 */
k = 0;
for(j = 0; j < N; j++){
iptr[j] = k;
for(i = MAX(0, j - 1); i

[j * N + i] = 0.0;
}
}
}
/* L D L^T 分 解 */
DPSLDLT_Ordering(1,METHOD);
DPSLDLT_Preprocess(1,N,iptr,idx,&non_zeros,&ops);
DPSLDLT_Factor(1,N,iptr,idx,val);
DPSLDLT_SolveM(1,x,b,N);
DPSLDLT_Destroy(1);
/* 逆 行 列 が 元 の 行 列 になることを 確 かめる */
dtmp = 0.0;
for(j = 0; j < N; j++){
for(i = 0; i < N; i++){
dtmp += (x[j * N + i] - (N - MAX(i, j))) *
(x[j * N + i] - (N - MAX(i, j)));
}
}
dtmp=sqrt(dtmp);
printf("%g\n", dtmp);
}
return 0;
5.6.2. 倍 精 度 実 疎 行 列 の 反 復 解 法 (ヤコビ 前 処 理 付 CG 法 )
問 題
反 復 法 スパースソルバで、 下 記 で 定 義 されるテスト 行 列 の 逆 行 列 を 係 数 行 列 とする 連 立 一 次 方 程 式 を
解 き、 正 しい 解 と 比 較 します。 反 復 法 はヤコビ 前 処 理 付 CG 法 を 用 いる。 行 列 データは 列 圧 縮 格 納 形 式 と
なります。
データの 格 納 方 法 については、 第 5.5.3 節 疎 行 列 の 格 納 形 式 をご 参 照 ください。 関 数 の 引 数 についての
詳 細 は 第 5.5.4 節 の 各 ルーチンの 引 数 の 説 明 をご 参 照 ください。
98
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サイズ N の 行 列 A=a[i][j] が 下 記 の 通 りに 定 義 されます。
a[i][j]= a[j][i] = n+1-i, if i >= j.
サイズ 4 の 場 合 の 行 列 は 下 記 の 通 りです。
プログラム 例
FORTRAN
C
C
C
implicit double precision (a-h,o-z)
parameter (n=10,maxiter=2*n)
parameter (mstorage=0)
parameter (imethod=0,iprecond=0)
parameter (deps=1.d-12)
integer i,j,k,iter
integer iptr(n+1),idx(2*n)
double precision val(2*n),b(n),x(n)
double precision dtmp,res
テスト 行 列 の 逆 行 列 の 初 期 化
99
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C
C
C
C
C
k=1
do j=1,n
iptr(j)=k
do i=max(1,j-1),j
if(i .eq. j) then
if(i .eq. 1) then
val(k)=1.d0
else
val(k)=2.d0
end if
else
val(k)=-1.d0
end if
idx(k)=i
k =k+1
end do
end do
iptr(j)=k
RHSの 初 期 化
do i=1,n
x(i)=0.d0
b(i)=0.d0
end do
b(1)=1.d0
ヤコビ 前 処 理 付 CG 法
call diterative(n,iptr,idx,val,mstorage,x,b,
& imethod,iprecond,maxiter,deps,iter,res)
正 しい 解 が 得 られていることを 確 かめる
dtmp=0.d0
do i=1,n
dtmp=dtmp+(x(i)-n+i-1)*(x(i)-n+i-1)
end do
dtmp=dsqrt(dtmp)
write(*,*) dtmp
100
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stop
end
C/C++
#include
#include
#include
#define N 10
#define MAXITER (2 * N)
#define MSTORAGE 0 /* CCS */
#define IMETHOD 0 /* CG */
#define IPRECOND 0 /* Jacobi */
#define DEPS 1.e-12
#define MAX(i, j) (((i) > (j)) (i) : (j))
int main(void)
{
int i, j, k, iter;
int iptr[N + 1], idx[2 * N];
double val[2 * N], b[N], x[N];
double dtmp, res;
/* テスト 行 列 の 逆 行 列 の 初 期 化 */
k = 0;
for(j = 0; j < N; j++){
iptr[j] = k;
for(i = MAX(0, j - 1); i

idx[k] = i;
k++;
}
}
iptr[j] = k;
/* RHSの 初 期 化 */
for(i = 0; i < N; i++){
x[i] = b[i] = 0.0;
}
b[0] = 1.0;
/* ヤコビ 前 処 理 付 CG 法 */
DIterative(N, iptr, idx, val, MSTORAGE, x, b,
IMETHOD, IPRECOND, MAXITER, DEPS, &iter, &res);
/* 正 しい 解 が 得 られていることを 確 かめる */
dtmp = 0.0;
for(i = 0; i < N; i++){
dtmp += (x[i] - N + i) * (x[i] - N + i);
}
dtmp = sqrt(dtmp);
printf("%g\n", dtmp);
}
return 0;
102
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5.7. スパースソルバーの 性 能
以 下 に、 対 称 疎 行 列 に 対 する 直 接 法 スパースソルバーDPSLDLT の 並 列 処 理 性 能 のグラフを 示 します。
一 般 にスパースソルバーは、 密 行 列 に 対 するソルバーとは 異 なり、プロセッサの 性 能 を 引 き 出 すことが
難 しいのですが、DPSLDLT では 理 論 ピーク 性 能 の 7 割 近 くの 性 能 が 得 られています。プロセッサ 数 の 増
加 と 共 に、リニアに 近 い 性 能 向 上 がみられ、 良 好 なスケーラビリティであることがわかります。
Seconds
PSLDLT Sparse Solver -- 400 MHz
Origin 3000
1.75 million DOF, 41.8 million nonzeros
400
300
200
100
0
0 2 4 6 8 10
Number of Processors
5
4
3
2
1
0
Gflops
Total Solution Time
Factorization Speed
103
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6. 乱 数 発 生 ルーチン
SCSL では 64bit のスレッドセーフな 乱 数 発 生 ルーチン Drand64 を 提 供 します。このルーチンは SCSL の
並 列 化 にも 対 応 しています。 詳 細 は Drand64(3S)のマニュアルページをご 参 照 ください。
6.1. Drand64 ルーチン
Drand64 ルーチンでは、 以 下 の 並 列 化 対 応 64bit 乱 数 発 生 ルーチンを 提 供 します。これらのルーチンの
詳 細 については、 本 節 以 降 をご 参 照 ください。
• srand64
• drand64
• drand64_advance
• drand64_get
• drand64_getv
• drand64_maxthreads
• drand64_set
• drand64_setv
• drand64_thread
6.1.1. 関 数 一 覧
以 下 に、 各 関 数 が 扱 うデータの 型 を 示 します。
6.1.1.1. FORTRAN
REAL FUNCTION SRAND64 (harvest)
REAL
harvest
DOUBLE PRECISION FUNCTION DRAND64 (harvest)
DOUBLE PRECISION harvest
SUBROUTINE DRAND64_ADVANCE (count)
INTEGER*8
count
SUBROUTINE DRAND64_GET (seed, count, thread)
INTEGER*8
seed, count
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INTEGER
thread
SUBROUTINE DRAND64_GETV (state, count)
INTEGER*8
state(*), count(*)
INTEGER FUNCTION DRAND64_MAXTHREADS ()
SUBROUTINE DRAND64_SET (seed)
INTEGER*8
seed
SUBROUTINE DRAND64_SETV (state, count)
INTEGER*8 state(*) count(*)
INTEGER FUNCTION DRAND64_THREAD (thread)
INTEGER
thread
6.1.1.2. C/C++
#include
float srand64 (float *harvest);
double drand64 (double *harvest);
void drand64_advance (long long count);
void drand64_get (long long *seed, long long *count, int thread);
void drand64_getv (long long state[], long long count[]);
int drand64_maxthreads (void);
void drand64_set (long long seed);
void drand64_setv (long long state[], long long count[]);
int drand64_thread (int thread);
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6.1.2. 詳 細
これらのルーチンは、 以 下 の 式 で 示 される 線 形 合 同 法 を 基 にした 64bit のスレッドセーフな 並 列 化 乱 数 ジ
ェネレータです。
Y(n+1)=(a X(n) + c) mod 2^64
パラメータ a, c は Knuth, The Art of Computer Programming, Vol. 2, Addison Wesley 1981, page 102. か
ら
a = 6364136223846793005
c = 1
を 用 いています。
乱 数 の 生 成 をスレッド 間 で 分 割 することによって 安 全 性 を 保 ちます。 そのため、 各 スレッドであらかじめ
設 定 した 値 からスタートする、 それぞれ 独 立 した 乱 数 を 生 成 します。 最 大 で drand_64_maxthreads()ルー
チンの 返 す 値 までの 乱 数 生 成 の 並 列 処 理 がサポートされます。
関 数
srand64
drand64
drand64_advance
drand64_get
drand64_getv
drand64_maxthreads
drand64_set
drand64_setv
drand64_thread()
詳 細
この 関 数 は 区 間 [0,1)の 範 囲 の 単 精 度 の 乱 数 を 返 します。 引 数 が 与 えられれ
ば、 引 数 にも 同 じ 値 を
返 します。
この 関 数 は 区 間 [0,1)の 範 囲 の 倍 精 度 の 乱 数 を 返 します。 引 数 が 与 えられれ
ば、 引 数 にも 同 じ 値 を
返 します。
srand64()あるいは drand64()が count 回 呼 ばれたかのように 呼 び 出 し 元 のス
レッドの 内 部 状 態
のテーブルを 変 化 させます。
3 番 目 の 引 数 のスレッドごとの invocation count と 同 様 に drand64 と srand64
のスタートポイントを 得 ます。
drand64 と srand64 の 内 部 状 態 を 得 ます。 引 数 は rand64_setv の 引 数 に 与 え
られる seed と invocation counts の 配 列 です。 これらのテーブルは 最 低 で
drand64_maxthreads()の 返 す 値 の 数 だけのエントリーが 必 要 です。
この 関 数 は 乱 数 を 並 列 に 生 成 することのできるストリームの 最 大 数 を 返 しま
す。drand64_getv(), drand64_setv() 関 数 で 用 いられる 内 部 状 態 テーブルはこの
関 数 の 返 す 値 の 数 だけのエントリーを 持 ちます。
drand64()と srand64()のスタートポイントをセットします。 デフォルトで-1です。
drand64 と srand64 の 内 部 状 態 をセットします。 引 数 は、drand64_getv で 返 され
た seed と
invocation counts の 配 列 です。これらのテーブルは 最 低 で
drand64_maxthreads()の 返 す 値 の 数 だけのエントリーが 必 要 です。
この 関 数 を 呼 んだ 直 後 から、srand64(), drand64() 関 数 は、drand64_thread()の
引 数 で 与 えた 数 で 識 別 されるスレッドから 呼 ばれたかの 如 く 動 作 します。
106
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この 関 数 はそれまでに 乱 数 列 を 生 成 していたスレッドの 識 別 番 号 を 返 します。
6.1.3. 使 用 例
以 下 に、drand64()の 使 用 例 を 示 します。
6.1.4. 例 1
問 題
単 一 のシードによって 乱 数 を 初 期 化 し、 各 スレッドから 乱 数 を 並 列 に 生 成 します。
プログラム 例
Fortran 77
EXTERNAL SRAND64
REAL SRAND64
INTEGER*8 SEED
REAL S1, DUMMY
SEED = 1
CALL DRAND64_SET(SEED)
C Each thread gets a different random number
C$OMP PARALLEL PRIVATE(S1, DUMMY)
S1 = SRAND64(DUMMY)
C$OMP END PARALLEL
C/C++
#include
float s1, dummy;
long long seed = 1LL;
drand64_set(seed);
/* Each thread gets a different random number */
#pragma omp parallel private(s1, dummy)
{
s1 = srand64(&dummy);
107
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}
6.1.5. 例 2
問 題
乱 数 生 成 の 内 部 状 態 テーブルをセーブ 後 、 各 スレッドで11 個 の 乱 数 を 生 成 します。そして、 内 部 状 態 テ
ーブルを 元 にもどし、drand_advance() 関 数 で 10 個 の 乱 数 の 生 成 をスキップします。そして、 次 に 生 成 され
る 乱 数 が、 先 ほど 生 成 した 11 番 目 の 乱 数 と 同 じになります。
プログラム 例
Fortran 90
INTEGER(KIND=8), DIMENSION(:), ALLOCATABLE :: STATE, COUNT
EXTERNAL DRAND64_MAXTHREADS, OMP_GET_THREAD_NUM
EXTERNAL DRAND64
INTEGER :: I, TABLE_SIZE, DRAND64_MAXTHREADS
INTEGER :: OMP_GET_THREAD_NUM
REAL(KIND=8) :: D1, DUMMY, DRAND64
TABLE_SIZE = DRAND64_MAXTHREADS()
ALLOCATE(STATE(TABLE_SIZE))
ALLOCATE(COUNT(TABLE_SIZE))
CALL DRAND64_GETV(STATE, COUNT)
!$OMP PARALLEL PRIVATE(I, D1, DUMMY)
DO I = 1, 11
D1 = DRAND64(DUMMY)
END DO
PRINT *, OMP_GET_THREAD_NUM(), D1
!$OMP END PARALLEL
CALL DRAND64_SETV(STATE, COUNT)
!$OMP PARALLEL PRIVATE(D1, DUMMY)
DRAND64_ADVANCE(10_8)
D1 = DRAND64(DUMMY)
PRINT *, OMP_GET_THREAD_NUM(), D1
!$OMP END PARALLEL
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C/C++
#include
#include
#include
#include
ong long *state, *count;
int i, table_size;
double d1, dummy;
table_size = drand64_maxthreads();
state = (long long *) malloc(table_size * sizeof(long long));
count = (long long *) malloc(table_size * sizeof(long long));
drand64_getv(state, count);
#pragma omp parallel private(i, d1, dummy)
{
for (i = 0; i < 11; i++)
d1 = drand64(&dummy);
printf("%d, %g0, omp_get_thread_num(), d1);
}
drand64_setv(state, count);
#pragma omp parallel private(d1, dummy)
{
drand64_advance(10LL);
d1 = drand64(&dummy);
printf("%d, %g0, omp_get_thread_num(), d1);
}
6.1.6. 例 3
単 一 のスレッドのみを 用 い、11 本 の 独 立 な 乱 数 のストリームを 生 成 します。
Fortran 77
EXTERNAL DRAND64_THREAD, SRAND64
INTEGER DRAND64_THREAD
REAL SRAND64
INTEGER I, J, OLDID
REAL STREAM(1000,10), DUMMY
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DO J = 1, 10
OLDID = DRAND64_THREAD(J-1)
DO I = 1, 1000
STREAM(I, J) = SRAND64(DUMMY)
END DO
END DO
C RESTORE ORIGINAL BASE THREAD
OLDID = DRAND64_THREAD(0)
C/C++
#include
int i, j, oldid;
float stream[10][1000], dummy;
for (i = 0; i < 10; i++) {
oldid = drand64_thread(i);
for (j = 0; j < 1000; j++)
stream[i][j] = srand64(&dummy);
}
/* restore original base thread */
oldid = drand64_thread(0);
6.1.7. 注 意
drand64_thread() 関 数 が 並 列 処 理 を 行 う 領 域 で 使 用 される 場 合 には、 注 意 が 必 要 です。もし、 複 数 のスレ
ッドが drand64_thread() 関 数 で 設 定 される 同 じスレッド 識 別 番 号 を 設 定 してしまうと、スレッドの 安 全 性 は
失 われてしまい、 異 なるスレッドが 独 立 した 乱 数 列 を 生 成 することが 保 証 されません。 個 々のスレッド 上
の 乱 数 列 における 統 計 的 な 乱 数 性 も 失 われることがあります。
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