Revista (format .pdf, 1.0 MB) - Recreaţii Matematice

tiv Q.
Paul Georgescu şi Gabriel Popa, Iaşi
L83. Să secalculeze
" µ
lim 1+ 1 1 µ
2
+ 1+ 1 2 µ
3
+ ···+ 1+ 1 n
#
n+1
− n .
n→∞ n
n
n
Marius Olteanu, Râmnicu Vâlcea
L84. Fie n ∈ N, n ≥ 3 şi
n
A = x>0; x = a 0 + a √ n
1 n + ···+ a √ n
n−1 n n−1 ;
a 0 ,a 1 ,...,a n ∈ Z; n − 1 | a 0 + a 1 + ···+ a n
o.
Determinaţi inf A.
Paul Georgescu şi Gabriel Popa, Iaşi
L85. Fie f : R → R ofuncţie pentru care mulţimea punctelor în care f are limită
finită lastângaestedensăînR. Săsearatecămulţimea punctelor în care f este
continuă estedeasemeneadensăînR. (O mulţime D ⊂ R se numeşte densă în R
dacă orice interval deschis al axei reale conţine măcar un element din D.)
Gabriel Dospinescu, Paris, şi Marian Tetiva, Bârlad
Training problems for mathematical contests
A. Junior high school level
⎧
⎨ x 2 − y = u 2
G76. Solve the system y 2 − z = v 2
⎩
z 2 − x = t 2
G77. i) Prove that
ii) Prove that a2 − b 2
c
a ≥ b ≥ c>0.
a 2
a − b +
in the set of natural numbers.
Adrian Zanoschi, Iaşi
b2
>a+2b + c for any a, b, c ∈ R, a>b>c.
b − c
+ c2 − b 2
a
+ a2 − c 2
b
≥ 3a − 4b + c for any a, b, c ∈ R,
Ioan Şerdean, Orăştie
G78. Prove that
b (a + c) c (b + d) d (a + c) a (b + d)
+ + +
c (a + b) d (b + c) a (d + c) b (a + d) ≥ 4
for any a, b, c, d ∈ (0, ∞).
Artur Bălăucă, Botoşani
G79. Prove that
xy + yz + zx ≥ 3+ p x 2 +1+ p y 2 +1+ p z 2 +1
for any x, y, z ∈ (0, ∞) such that x + y + z = xyz.
Florina Cârlan and Marian Tetiva, Bârlad
79