Revista (format .pdf, 1.0 MB) - Recreaţii Matematice

G85. Fie A 0 , B 0 , C 0 picioarele bisectoarelor unghiurilor 4ABC. Pelatura(BC)
considerăm punctele D şi E astfel încât D ∈ (BE) şi cevienele AD şi AE sunt
izogonale. Să sedemonstrezecă DB 0 şi EC 0 se intersecteză peAA 0 .(În legătură cu
Propoziţia 1, p. 99, RecMat - 2/2004.)
Titu Zvonaru, Comăneşti
B. Nivel liceal
L76. Fie cercurile C 1 şi C 2 tangente interior unui cerc C în punctele distincte M,
respectiv N. Cercurile C 1 şi C 2 sunt secante sau tangente exterior iar axa radicală a
cercurilor C 1 şi C 2 taie cercul C în A şi B. DrepteleAM şi AN taie din nou cercurile
C 1 şi C 2 în K, respectiv L. Arătaţi că AB ≥ 2KL. În ce caz avem egalitate?
Neculai Roman, Mirceşti (Iaşi)
L77. Fie punctele P 1 , P 2 ,...,P 13 în plan astfel încât oricare trei sunt necoliniare
şi toate au coordonate întregi. Să searatecăexistăcelpuţin un triunghi P i P j P k
astfel încât centrul său de greutate să aibă coordonate întregi.
Vasile Pravăţşi Titu Zvonaru, Comăneşti (Bacău)
L78. Considerăm şirul de puncte (P n ) n∈N
pe cercul trigonometric astfel încât
m( P n
\ OP n+1 )=arctg 5 12 pentru orice n ∈ N, P n
\ OP n+1 fiind considerat ca unghi
orientat. Să searatecă µ pentru
orice punct P pe cercul trigonometric există j ∈ N
1
astfel încât P j ∈ Int C P, .
2005
Lucian - Georges Lăduncă şi Andrei Nedelcu, Iaşi
L79. Fie a 1 ,a 2 ,...,a n ∈ R în aşa fel încât a 1 + a 2 + ···+ a n =0şi
max {|a i − a j | ;1≤ i