Revista (format .pdf, 1.0 MB) - Recreaţii Matematice

Probleme pentru pregătirea concursurilor 1
A. Nivel gimnazial
⎧
⎨ x 2 − y = u 2
G76. Rezolvaţi în mulţimea numerelor naturale sistemul y 2 − z = v 2 .
⎩
z 2 − x = t 2
Adrian Zanoschi, Iaşi
a 2
G77. i) Fie a, b, c ∈ R cu a>b>c;atunci
a − b +
b2
>a+2b + c.
b − c
ii) Fie a, b, c ∈ R cu a ≥ b ≥ c>0; atunci a2 − b 2
+ c2 − b 2
+ a2 − c 2
≥ 3a−4b+c.
c a b
Ioan Şerdean, Orăştie
G78. Dacă a, b, c, d ∈ (0, ∞), să se demonstreze inegalitatea
b (a + c) c (b + d) d (a + c) a (b + d)
+ + +
c (a + b) d (b + c) a (d + c) b (a + d) ≥ 4.
Artur Bălăucă, Botoşani
G79. Dacă x, y, z ∈ (0, ∞) sunt astfel încât x + y + z = xyz, atunci
xy + yz + zx ≥ 3+ p x 2 +1+ p y 2 +1+ p z 2 +1.
Florina Cârlan şi Marian Tetiva, Bârlad
G80. Fie A mulţimea tuturor sumelor de tipul ±1 2 ± 3 2 ± 5 2 ±···±(2n +1) 2 ,
n ∈ N, unde semnele ± pot fi alese în orice combinaţie posibilă. Să searatecă A = Z.
(În legătură cu teorema Erdös-Surányi.)
Petru Asaftei, Iaşi
G81. Fie n ∈ N ∗ şi k ∈ {0, 1,...,2 n − 1}. Săsearatecăexistăomulţime A ⊂ R
cu n elemente care are exact k submulţimi cu suma elementelor strict pozitivă.
Adrian Zahariuc, elev, Bacău
G82. Un cal se află petabladeşahîncâmpulA1 şi dorim să-l ducem pe poziţia
H8 într-un număr minim de sărituri. Aflaţi care este acest număr minim, precum şi
câte trasee de lungime minimă există.
Gheorghe Crăciun, Plopeni şi Gabriel Popa, Iaşi
G83. Fie ABCD patrulater convex şi punctele M,N ∈ (AB), P, R ∈ (CD) astfel
încât AD ∩ BC ∩ MR∩ NP 6= ∅. Săsearatecă BM
MN · NA
DP · PR
RC · CD
AB =1.
Andrei-Sorin Cozma, elev, Iaşi
G84. Fie ABCD un trapez cu ABkCD, AB < CD. Se consideră punctele
E ∈ (AD) şi F ∈ (BC) astfel încât AE
ED = CF .DreaptaEF intersecteză BD şi AC
FB
în M, respectivN. Săsearatecă MN
EF
=
DC − AB
DC + AB .
1 Se primesc soluţii până la data de 31 decembrie 2005.
77
Andrei Nedelcu, Iaşi