Revista (format .pdf, 1.0 MB) - Recreaţii Matematice
Revista (format .pdf, 1.0 MB) - Recreaţii Matematice
Revista (format .pdf, 1.0 MB) - Recreaţii Matematice
You also want an ePaper? Increase the reach of your titles
YUMPU automatically turns print PDFs into web optimized ePapers that Google loves.
Probleme pentru pregătirea concursurilor 1<br />
A. Nivel gimnazial<br />
⎧<br />
⎨ x 2 − y = u 2<br />
G76. Rezolvaţi în mulţimea numerelor naturale sistemul y 2 − z = v 2 .<br />
⎩<br />
z 2 − x = t 2<br />
Adrian Zanoschi, Iaşi<br />
a 2<br />
G77. i) Fie a, b, c ∈ R cu a>b>c;atunci<br />
a − b +<br />
b2<br />
>a+2b + c.<br />
b − c<br />
ii) Fie a, b, c ∈ R cu a ≥ b ≥ c>0; atunci a2 − b 2<br />
+ c2 − b 2<br />
+ a2 − c 2<br />
≥ 3a−4b+c.<br />
c a b<br />
Ioan Şerdean, Orăştie<br />
G78. Dacă a, b, c, d ∈ (0, ∞), să se demonstreze inegalitatea<br />
b (a + c) c (b + d) d (a + c) a (b + d)<br />
+ + +<br />
c (a + b) d (b + c) a (d + c) b (a + d) ≥ 4.<br />
Artur Bălăucă, Botoşani<br />
G79. Dacă x, y, z ∈ (0, ∞) sunt astfel încât x + y + z = xyz, atunci<br />
xy + yz + zx ≥ 3+ p x 2 +1+ p y 2 +1+ p z 2 +1.<br />
Florina Cârlan şi Marian Tetiva, Bârlad<br />
G80. Fie A mulţimea tuturor sumelor de tipul ±1 2 ± 3 2 ± 5 2 ±···±(2n +1) 2 ,<br />
n ∈ N, unde semnele ± pot fi alese în orice combinaţie posibilă. Să searatecă A = Z.<br />
(În legătură cu teorema Erdös-Surányi.)<br />
Petru Asaftei, Iaşi<br />
G81. Fie n ∈ N ∗ şi k ∈ {0, 1,...,2 n − 1}. Săsearatecăexistăomulţime A ⊂ R<br />
cu n elemente care are exact k submulţimi cu suma elementelor strict pozitivă.<br />
Adrian Zahariuc, elev, Bacău<br />
G82. Un cal se află petabladeşahîncâmpulA1 şi dorim să-l ducem pe poziţia<br />
H8 într-un număr minim de sărituri. Aflaţi care este acest număr minim, precum şi<br />
câte trasee de lungime minimă există.<br />
Gheorghe Crăciun, Plopeni şi Gabriel Popa, Iaşi<br />
G83. Fie ABCD patrulater convex şi punctele M,N ∈ (AB), P, R ∈ (CD) astfel<br />
încât AD ∩ BC ∩ MR∩ NP 6= ∅. Săsearatecă BM<br />
MN · NA<br />
DP · PR<br />
RC · CD<br />
AB =1.<br />
Andrei-Sorin Cozma, elev, Iaşi<br />
G84. Fie ABCD un trapez cu ABkCD, AB < CD. Se consideră punctele<br />
E ∈ (AD) şi F ∈ (BC) astfel încât AE<br />
ED = CF .DreaptaEF intersecteză BD şi AC<br />
FB<br />
în M, respectivN. Săsearatecă MN<br />
EF<br />
=<br />
DC − AB<br />
DC + AB .<br />
1 Se primesc soluţii până la data de 31 decembrie 2005.<br />
77<br />
Andrei Nedelcu, Iaşi