Revista (format .pdf, 1.0 MB) - RecreaÅ£ii Matematice

More documents

Recommendations

Info

f (f (f (x)+y) · f (x − f (y))) = x 2 − y 2 , ∀x, y ∈ R. Adrian Zahariuc, elev, Bacău IX.58. Fie n ∈ N, n ≥ 2. Determinaţi a 1 ,a 2 ,...,a n−1 ,c∈ R pentru care [x]+[x + a 1 ]+···+[x + a n−1 ]=[cx] , ∀x ∈ R. (În legătură cu G.42 din RecMat 1/2003.) Iuliana Georgescu şi Paul Georgescu, Iaşi IX.59. Fie C (I,r) cercul înscris în 4ABC. Săsearatecă IA · IB + IB · IC + IC · IA ≥ 12r 2 . D. M. Bătineţu - Giurgiu, Bucureşti IX.60. Fie ABC un triunghi ascuţitunghic cu a
Fibonacci number (F 1 = F 2 =1, F k+2 = F k+1 + F k for all k ≥ 1). Prove that Fn 2 Fn+1 2 2F n F n+1 − F 2 n+2 Fn+2 2 −2F n+1 F n+2 − Fn 2 Fn+1 2 ¯−2F n F n+2 − Fn+1 2 Fn+2 2 Fn 2 ¯ =0. José Luis Díaz - Barrero, Barcelona, Spain XI.57. Fie pătratul ABCD circumscris cercului C. În pătrat se înscrie octogonul EFGHIJKL, circumscris cercului C, astfelîncâtE,F ∈ (AB), E ∈ (AF ), G, H ∈ (BC), G ∈ (BH), I,J ∈ (CD), I ∈ (CJ), K, L ∈ (DA), K ∈ (DL). Fie {M} = EL∩ AC, {N} = FG∩ BD, {P } = HI ∩ AC, {Q} = JK ∩ BD. Săsearate că suma S = AE EB + BF FA + BG GC + CH HC + CI ID + DJ JC + DK KA + AL LD + AM MC + BN ND + CP PA + DQ QB nu depinde de alegerea vârfurilor octogonului pe laturile pătratului. Cătălin Calistru, Iaşi XI.58. Dacă n este un număr natural iar p un număr prim, atunci şirul (x n+1 (p) − x n (p)) n≥0 este divergent, unde x n (p) reprezintă exponentul cu care apare numărul p în descompunerea lui n!. Sorin Puşpană, Craiova XI.59. Fie şirul de numere supraunitare (a n ) n≥1 ,astfelca lim a n =1. Săse n→∞ studieze continuitatea funcţiei f : R → R, f (x) = lim {xa n}, unde{x} reprezintă n→∞ partea fracţionară anumărului real x. Dan Popescu, Suceava XI.60. Fie a ∈ (0, 1); să se demonstreze că pentruoricex>− 2 este valabilă ln a inegalitatea (1 − a x ) 1 x+1 < ¡ 1 − a x+1¢ 1 x . Angela Ţigăeru, Suceava Clasa a XII-a XII.56. Fie S n mulţimea permutărilor de ordin n, iarσ ∈ S n . Se consideră funcţia mărginită f : R → R. Săsecalculeze: 1 lim n→∞ n µf (σ (1)) + 1 2 f (σ (2)) + ···+ 1 n f (σ (n)) . (O generalizare a problemei 24131, G. M. 5-6/1999.) Marius Olteanu, Râmnicu Vâlcea µ 1 1 XII.57. Considerăm matricea A = şi mulţimea 1 1 G = ½ X a | X a = I 2 + aA, a ∈ µ− 1 2 , ∞ ¾ . Arătaţi că (G, ·) este grup izomorf cu (R, +). Calculaţi X 1 · X 3 ···X 2n−1 , n ∈ N ∗ . 2 2 2 Gheorghe Iurea, Iaşi XII.58. Let f : R → [−1, 1] be a continuous function. Prove that 75
Page 1 and 2:
Anul VII, Nr. 1 Ianuarie - Iunie 20
Page 3:
Anul VII, Nr. 1 Ianuarie - Iunie 20
Page 6 and 7:
obţinerea unui doctorat) ceea ce
Page 8 and 9:
cele trei mulţimi ale reuniunii pu
Page 10 and 11:
Asupra monotoniei unor şiruri Dumi
Page 12 and 13:
de unde f 00 (x) > 0, ∀x >0, şi
Page 14 and 15:
Demonstraţie. Inegalitatea x n c n
Page 16 and 17:
P n n a n i − P n i=1 i=1 a n−1
Page 18 and 19:
care, împreună cu (13), implică
Page 20 and 21:
Soluţie. Cu notaţiile obişnuite
Page 22 and 23:
Asupra unor ecuaţii diofantice pă
Page 24 and 25:
Soluţie. Ecuaţia din enunţ seob
Page 26 and 27:
Asupra problemei G67 Adrian ZAHARIU
Page 28 and 29: Matematică şi algoritmi Irina MUS
Page 30 and 31: 4. Un colier este format din mărge
Page 32 and 33: Soluţia a III-a (Alexandru Negresc
Page 34 and 35: Avem, în patrulaterul convex DBEC,
Page 36 and 37: Este ¸ evident că M s poate fi pr
Page 38 and 39: Probleme selectate de la Olimpiadel
Page 40 and 41: fie distincte. Deci, presupunerea f
Page 42 and 43: Probleme pentru clasa a VIII-a —
Page 44 and 45: p 1 2 3 4 6 12 19 38 57 76 114 228
Page 46 and 47: |f (x + y + z + t)+cosx +cosy +cosz
Page 48 and 49: Soluţiile problemelor propuse în
Page 50 and 51: ticale prin care trec drumurile cu
Page 52 and 53: VI.50. Fie 4ABC cu [AC] ≡ [BC], D
Page 54 and 55: Notă. Se poate arăta că relaţia
Page 56 and 57: Soluţie. Conform inegalităţii me
Page 58 and 59: de centru D şi rază a. Searatău
Page 60 and 61: că există n 0 ∈ N ∗ astfel î
Page 62 and 63: Soluţie. 1) Demonstrăm afirmaţia
Page 64 and 65: µ 1 Dacă (p, q) =1,atunci p + 1
Page 66 and 67: Soluţie. Conform inegalităţii lu
Page 68 and 69: C, cerculC 2 tangent la AD 0 , CD 0
Page 70 and 71: Ã √ # 7 − 2 Domeniul valorilor
Page 72 and 73: În conformitate cu (2),soluţiile
Page 74 and 75: g (0) = 0 şi g (x) = x 2n+1 cos (1
Page 76 and 77: P.93. O foaie de hârtie dreptunghi
Page 80 and 81: √ Z 1 q Z 1 3 1 − (f (x)) 2 dx
Page 82 and 83: G85. Fie A 0 , B 0 , C 0 picioarele
Page 84 and 85: G80. Let A be the set of all sums o
Page 86 and 87: Pagina rezolvitorilor BRAŞOV Liceu
Page 88 and 89: Premii acordate rezolvitorilor ASOC
Page 90: CUPRINS 200 de ani de la naşterea
show all

Revista (format .pdf, 1.0 MB) - RecreaÅ£ii Matematice

You also want an ePaper? Increase the reach of your titles

Delete template?

Save as template?