Revista (format .pdf, 1.0 MB) - Recreaţii Matematice

Clasa a VII-a
VII.56. Fie x, y ∈ R ∗ cu x 2 − 2y = y 2 + xy =4.Săsearatecă x 2 − 2x = y 2 .
Gigel Buth, Satu Mare
VII.57. Fie x ∈ (0, 1), iarn ∈ N \{0, 1}. Arătaţi că nx 2 +2 n >n+(1+x) n .
Ion Vişan, Craiova
VII.58. Fie a, b ∈ R ∗ + astfel încât mediile aritmetică, geometrică şi armonică ale
lor să fie laturi ale unui triunghi dreptunghic. Aflaţi sinusul celui mai mic dintre
unghiurile triunghiului.
Romanţa Ghiţă şi Ioan Ghiţă, Blaj
VII.59. Fie 4ABC şi A 0 mijlocul lui [BC]. Dacă D ∈ (AC), BD ∩ AA 0 = {F }
1
şi paralela prin F la BC taie AC în E, săsearatecă
DE = 1
AD + 1
CE + 1
AC .
Claudiu - Ştefan Popa, Iaşi
VII.60. În cercul C se consideră coardele [AM] şi [AN]astfel încât AM < AN.
1) Să sedeterminemulţimea punctelor X ∈ C ce îndeplinesc condiţia AM ≤
AX ≤ AN.
2) În ce caz mulţimea găsită este un arc de cerc?
Temistocle Bîrsan, Iaşi
Clasa a VIII-a
VIII.56. Să se determine x, y, z ∈ R ∗ pentru care x 3 − y 3 +z 3 =8, x − y + z =2.
Andrei - Sorin Cozma, elev, Iaşi
VIII.57. Fie a, b, c > 0 astfel încât a + b + c =1.Săsearatecă
1
p
(1 − a)(1− b)
+
1
p
(1 − b)(1− c)
+
1
p
(1 − c)(1− a)
≥ 9 2 .
Cristian Săvescu, elev, Focşani
VIII.58. Fie x, y, z ∈ (0, ∞) cu x + y + z ≥ 3. Săsearatecă x n + y n + z n ≥ 3,
∀n ∈ N.
Romeo Ilie, Braşov
VIII.59. Determinaţi x, y, z ∈ R,ştiind că x+y+z =1,iarxy+(x + y)(z +1)= 4 3 .
Gheorghe Molea, Curtea de Argeş
VIII.60. Se consideră prismatriunghiularăregulată ABCA 0 B 0 C 0 cu AB = 4√ 3
3
şi AA 0 =3 √ 3. Săsearatecă pentru fiecare număr a ∈ ¡ 0, 3 √ 3 ¢ ,existăexactdouă
puncte Ma, 0 Ma 00 pe dreapta CC 0 astfel încât d (B 0 , (MaAB)) 0 = d (B 0 , (Ma 00 AB)) = a.
Mirela Marin, Iaşi
Clasa a IX-a
IX.56. Determinaţi numerele reale pozitive x, y, z, t pentru care x+y+z+t =20,
iar xy + xz + xt + yz + yt + zt + 475 = xyzt.
Lucian Tuţescu şi Liviu Smarandache, Craiova
IX.57. Să sedeterminetoatefuncţiile f : R → R cu proprietatea
73