Revista (format .pdf, 1.0 MB) - RecreaÅ£ii Matematice

More documents

Recommendations

Info

P.93. O foaie de hârtie dreptunghiulară se îndoaie de-a lungul de 6 ori, formânduse 7 benzi egale şi suprapuse. Dreptunghiul obţinut se îndoaie de-a latul de 9 ori, rezultând în final un pătrat cu perimetrul de 12 cm. Să seafleperimetruldreptunghiului iniţial. (ClasaaIV-a) Petru Asaftei, Iaşi Clasa a V-a V.56. Se consideră numărul A =5+5 2 +5 3 + ···+5 2005 . a) Să searatecă A nu este pătrat perfect. b) Să segăsească 5 divizorimaimicidecât100 ai lui A. Andrei Tofan, elev, Iaşi V.57. Aflaţi restul împărţirii prin 47 anumărului N = 1268 99 | {z ...9 } . 2005 cifre Alexandru Negrescu, elev, Botoşani V.58. Aflaţi numerele naturale x, y, z cu proprietatea că 2 4x+1 +2 3y+1 +2 2z+1 = 9248. Cristian - Cătălin Budeanu, Iaşi V.59. Dacă a 1 a 2 ...a 2 2 n − b 1 b 2 ...b n = c1 c 2 ...c 2 n ,săsearatecă a 1 a 2 ...a n a 1 a 2 ...a 2 2 n − b 1 b 2 ...b n b 1 b 2 ...b n = c1 c 2 ...c n c 1 c 2 ...c 2 n . Petru Asaftei, Iaşi V.60. Să se determine ultimele două cifrealenumărului 7 999 . Artur Bălăucă, Botoşani Clasa a VI-a VI.56. Determinaţi, în funcţiedenumărul întreg x, cel mai mare divizor comun al numerelor 2005x +2şi 2006x +3. Tamara Culac, Iaşi VI.57. Un vânzător de autoturisme scade procentul beneficiului său de la 25% la 20% din valoarea vânzărilor. Datorită scăderii preţurilor, creşte valoarea vânzărilor. Aflaţi procentul cu care a crescut valoarea vânzărilor, ştiind că beneficiul a crescut cu 10%. Marius Farcaş, Iaşi VI.58. Se aşează cifrele2, 3, 4, 5, 6, 8, 9 într-o ordine oarecare obţinând un număr A. Seaşează apoiaceleaşi cifre în altă ordine,obţinând numărul B 6= A. Să se arate că A nu se divide cu B. Cristian - Cătălin Budeanu, Iaşi VI.59. Fie 4ABC cu m( B) b = 120 ◦ . Dacămediana[BM] este perpendiculară pe BC, arătaţi că AB =2BC. Bogdan Posa, elev, Motru (Gorj) VI.60. Fie 4ABC şi punctele E ∈ (AB), F ∈ (AC) şi M ∈ (BC) astfel încât AE = EB, iarîntre4AEF şi 4EFM să existeocongruenţă. Să searatecă: a) F este mijlocul lui [AC]; b) [AM] este mediană sauînălţime. Ioan Săcăleanu, Hârlău 72
Clasa a VII-a VII.56. Fie x, y ∈ R ∗ cu x 2 − 2y = y 2 + xy =4.Săsearatecă x 2 − 2x = y 2 . Gigel Buth, Satu Mare VII.57. Fie x ∈ (0, 1), iarn ∈ N \{0, 1}. Arătaţi că nx 2 +2 n >n+(1+x) n . Ion Vişan, Craiova VII.58. Fie a, b ∈ R ∗ + astfel încât mediile aritmetică, geometrică şi armonică ale lor să fie laturi ale unui triunghi dreptunghic. Aflaţi sinusul celui mai mic dintre unghiurile triunghiului. Romanţa Ghiţă şi Ioan Ghiţă, Blaj VII.59. Fie 4ABC şi A 0 mijlocul lui [BC]. Dacă D ∈ (AC), BD ∩ AA 0 = {F } 1 şi paralela prin F la BC taie AC în E, săsearatecă DE = 1 AD + 1 CE + 1 AC . Claudiu - Ştefan Popa, Iaşi VII.60. În cercul C se consideră coardele [AM] şi [AN]astfel încât AM < AN. 1) Să sedeterminemulţimea punctelor X ∈ C ce îndeplinesc condiţia AM ≤ AX ≤ AN. 2) În ce caz mulţimea găsită este un arc de cerc? Temistocle Bîrsan, Iaşi Clasa a VIII-a VIII.56. Să se determine x, y, z ∈ R ∗ pentru care x 3 − y 3 +z 3 =8, x − y + z =2. Andrei - Sorin Cozma, elev, Iaşi VIII.57. Fie a, b, c > 0 astfel încât a + b + c =1.Săsearatecă 1 p (1 − a)(1− b) + 1 p (1 − b)(1− c) + 1 p (1 − c)(1− a) ≥ 9 2 . Cristian Săvescu, elev, Focşani VIII.58. Fie x, y, z ∈ (0, ∞) cu x + y + z ≥ 3. Săsearatecă x n + y n + z n ≥ 3, ∀n ∈ N. Romeo Ilie, Braşov VIII.59. Determinaţi x, y, z ∈ R,ştiind că x+y+z =1,iarxy+(x + y)(z +1)= 4 3 . Gheorghe Molea, Curtea de Argeş VIII.60. Se consideră prismatriunghiularăregulată ABCA 0 B 0 C 0 cu AB = 4√ 3 3 şi AA 0 =3 √ 3. Săsearatecă pentru fiecare număr a ∈ ¡ 0, 3 √ 3 ¢ ,existăexactdouă puncte Ma, 0 Ma 00 pe dreapta CC 0 astfel încât d (B 0 , (MaAB)) 0 = d (B 0 , (Ma 00 AB)) = a. Mirela Marin, Iaşi Clasa a IX-a IX.56. Determinaţi numerele reale pozitive x, y, z, t pentru care x+y+z+t =20, iar xy + xz + xt + yz + yt + zt + 475 = xyzt. Lucian Tuţescu şi Liviu Smarandache, Craiova IX.57. Să sedeterminetoatefuncţiile f : R → R cu proprietatea 73
Page 1 and 2:
Anul VII, Nr. 1 Ianuarie - Iunie 20
Page 3:
Anul VII, Nr. 1 Ianuarie - Iunie 20
Page 6 and 7:
obţinerea unui doctorat) ceea ce
Page 8 and 9:
cele trei mulţimi ale reuniunii pu
Page 10 and 11:
Asupra monotoniei unor şiruri Dumi
Page 12 and 13:
de unde f 00 (x) > 0, ∀x >0, şi
Page 14 and 15:
Demonstraţie. Inegalitatea x n c n
Page 16 and 17:
P n n a n i − P n i=1 i=1 a n−1
Page 18 and 19:
care, împreună cu (13), implică
Page 20 and 21:
Soluţie. Cu notaţiile obişnuite
Page 22 and 23:
Asupra unor ecuaţii diofantice pă
Page 24 and 25:
Soluţie. Ecuaţia din enunţ seob
Page 26 and 27: Asupra problemei G67 Adrian ZAHARIU
Page 28 and 29: Matematică şi algoritmi Irina MUS
Page 30 and 31: 4. Un colier este format din mărge
Page 32 and 33: Soluţia a III-a (Alexandru Negresc
Page 34 and 35: Avem, în patrulaterul convex DBEC,
Page 36 and 37: Este ¸ evident că M s poate fi pr
Page 38 and 39: Probleme selectate de la Olimpiadel
Page 40 and 41: fie distincte. Deci, presupunerea f
Page 42 and 43: Probleme pentru clasa a VIII-a —
Page 44 and 45: p 1 2 3 4 6 12 19 38 57 76 114 228
Page 46 and 47: |f (x + y + z + t)+cosx +cosy +cosz
Page 48 and 49: Soluţiile problemelor propuse în
Page 50 and 51: ticale prin care trec drumurile cu
Page 52 and 53: VI.50. Fie 4ABC cu [AC] ≡ [BC], D
Page 54 and 55: Notă. Se poate arăta că relaţia
Page 56 and 57: Soluţie. Conform inegalităţii me
Page 58 and 59: de centru D şi rază a. Searatău
Page 60 and 61: că există n 0 ∈ N ∗ astfel î
Page 62 and 63: Soluţie. 1) Demonstrăm afirmaţia
Page 64 and 65: µ 1 Dacă (p, q) =1,atunci p + 1
Page 66 and 67: Soluţie. Conform inegalităţii lu
Page 68 and 69: C, cerculC 2 tangent la AD 0 , CD 0
Page 70 and 71: Ã √ # 7 − 2 Domeniul valorilor
Page 72 and 73: În conformitate cu (2),soluţiile
Page 74 and 75: g (0) = 0 şi g (x) = x 2n+1 cos (1
Page 78 and 79: f (f (f (x)+y) · f (x − f (y)))
Page 80 and 81: √ Z 1 q Z 1 3 1 − (f (x)) 2 dx
Page 82 and 83: G85. Fie A 0 , B 0 , C 0 picioarele
Page 84 and 85: G80. Let A be the set of all sums o
Page 86 and 87: Pagina rezolvitorilor BRAŞOV Liceu
Page 88 and 89: Premii acordate rezolvitorilor ASOC
Page 90: CUPRINS 200 de ani de la naşterea
show all

Revista (format .pdf, 1.0 MB) - RecreaÅ£ii Matematice

Create successful ePaper yourself

Delete template?

Save as template?