Revista (format .pdf, 1.0 MB) - Recreaţii Matematice

În conformitate cu (2),soluţiile ecuaţiei date, în cazul y par, sunt perechile (x k ,y k ) k∈N
;
unde
x k = 1
4 √ 2
·³
3+2 √ ´2k− ³
2 3 − 2 √ ´2k¸
2 , y k = 1 ·³
3+2 √ ´2k+ ³
2 3 − 2 √ ´2k−
2 2¸
.
4
(4)
Cazul y =2l − 1, l ∈ N ∗ .Urmăm calea din cazul precedent. Ecuaţia din enunţ se
scrie x 2 = l (2l − 1). Deoarece (l, 2l − 1) = 1, aceste numere sunt de forma l = ¯m 2 ,
2l−1 =¯n 2 .Rezultăcă ¯m şi ¯n verificăurmătoarea ecuaţie Pell conjugatăecuaţiei (1)
2¯m 2 − ¯n 2 =1, (5)
iar pentru ecuaţia dată avem
x =¯m ¯n, y =2¯m 2 − 1. (6)
Cum (1, 1) este cea mai mică soluţie nebanală aecuaţiei (5), soluţiile acestei ecuaţii
sunt perechile (¯m k , ¯n k ) k∈N
cu
¯m k = m k + n k , ¯n k = m k +2n k ,
unde (m k ,n k ) k∈N
sunt soluţiile ecuaţiei (1) date de relaţiile (3) (T. Andreescu,
D. Andrica - Asupra rezolvării în numere naturale a ecuaţiei ax 2 − by 2 =1,GM-
4/1980, p. 146-148). Ţinând seama de (6), ecuaţia din enunţ are,încazuly impar,
soluţiile (¯x k , ȳ k ) k∈N
cu
¯x k =(m k + n k )(m k +2n k ) , ȳ k =2(m k + n k ) 2 − 1, (7)
unde m k , n k sunt date de (3).
În concluzie, mulţimea soluţiilor este formată din(x k ,y k ) k∈N şi (¯x k , ȳ k ) k∈N
cu x k ,
y k , ¯x k , ȳ k date de (4), (7) şi (3).
Soluţia II. Observăm că ecuaţia dată admitesoluţiile banale x = y = 0 şi
x = y =1.Căutăm soluţiile (x, y) cu x, y /∈ {0, 1}.
Cazul y =2h, h ∈ N ∗ . Ca mai sus, ∃m, n ∈ N ∗ astfel încât h = n 2 şi 2h+1 = m 2 ;
deci m, n satisfac relaţia 2n 2 +1− m 2 . Rezultăcă m este impar şi n este par,
adică m =2k +1, n =2l cu k, l ∈ N ∗ . Înlocuind în relaţia precedentă, obţinem
2l 2 = k (k +1). Aşadar, dacă (x, y) este o soluţie nenulă aecuaţiei date cu y par,
atunci există oaltăsoluţie nenulă (l, k) astfel încât
x =2l (2k +1), y =8l 2 , şi x>l, y>k. (1)
Cazul y =2h +1, h ∈ N ∗ . Procedând asemănător, dar după calculepuţin mai
complicate, ajungem la concluzia că pentru orice soluţie nebanală (x, y) aecuaţiei
date, cu y impar, există osoluţie nenulă (u, v) a acesteia astfel încât
x =(4u +2v +1)(2u +2v +1), y =(4u +2v +1) 2 şi x>u, y>v. (2)
Rezultă că oricare ar fi o soluţie (x, y) aecuaţiei date diferită de(0, 0) şi (1, 1),
după unnumăr finit de paşi în care se găsesc, recursiv, soluţii mai mici determinate
prin relaţii de tipul (1) sau (2), vom obţine soluţia (1, 1) .Cualtecuvinte,mulţimea
S
S asoluţiilor este dată deS = {(0, 0)} ∪ ∞ S n ,undeS 0 = {(1, 1)} şi S n+1 =
n n=0
¡2i ¢ (2j +1), 8i
2
,
³(4i 2´
+2j +1)(2i +2j +1), (4i +2j +1) | (i, j) ∈ S n
o, n ∈ N.
Mai observăm că S m şi S n sunt disjuncte pentru m 6= n şi card (S n )=2 n .
68