Revista (format .pdf, 1.0 MB) - Recreaţii Matematice

à √ #
7 − 2
Domeniul valorilor posibile este D 0 = 2arctg , π . Proprietatea cerută este
3 4
π
√ √ 7 − 2
7 − 2
p = mes D 0
mes D = 4 − 2arctg 8arctg
3
π =1− 3 .
π
4
L60. Fie A 1 A 2 ...A n şi B 1 B 2 ...B n ( n>2) două poligoane înscrise în acelaşi
cerc de centru O şiavândcentreledegreutatetotînO. Săsearatecăputemrenumerota
vârfurile poligonului A 1 A 2 ...A n pentru a obţine un nou poligon A i1 A i2 ...A in
în care A ij 6= B j pentru j ∈ {1, 2,...,n}.
Gabriel Dospinescu, student, Bucureşti
Soluţie. Trebuie săarătăm că existăopermutareσ ∈ S n astfel încât A σ(1) 6= B i
pentru i ∈ M = {1, 2,...,n}. Să definim matricea T =(t ij ) i,j∈M
, t ij = A i Bj 2.
Vom arăta că sumele elementelor de pe orice linie şi coloană înT sunt egale. Putem
presupune că poligoanele sunt înscrise în cercul unitate (O fiind originea planului
complex) şi fie a i , b i afixele punctelor A i , B i . Suma elementelor de pe linia i în
matricea T este
nX
nX
X n
X n
|a i − b j | 2 =
³|a i | + |b j | 2 − a i¯bj − ā i b j´
=2n − a i b j − ā i b j =2n
j=1
j=1
(am folosit faptul că centrul de greutate al poligonului B 1 B 2 ...B n este O, deci
nP
b j =0).
j=1
Analog, suma elementelor de pe coloana j amatriceiT este 2n. Să presupunem că
pentru orice permutare σ ∈ S n există i astfel încât t iσ(i) =0.Vomspune:"coloana
R i place linia S j " dacă elementul de la intersecţialinieisicoloaneiestenenulîn
matricea T .Rezultăcă nu putem asocia câte o linie distinctă fiecărei coloane astfel
încât coloanele respective să placă liniile asociate lor. Deci, din lema mariajelor,
rezultă căexistă k>0 şi k coloane ce plac cel mult k − 1 linii. Prin permutări de
linii şi coloane, putem presupune că aceste linii şi coloane sunt primele din matricea
T . Să facem suma elementelor dreptunghiului determinat de aceste k − 1 linii şi
k coloane. În dreptunghiul determinat de primele k coloane şi ultimele n − k +1
linii avem numai zerouri (căci cele k coloane nu plac nici una dintre liniile k, k +1,
..., n), deci suma elementelor din dreptunghi este egală cusumaelementelordepe
primele k coloane, adică 2nk. Pedealtă parte, evident, suma este cel mult cât suma
elementelor de pe primele k −1 linii, adică 2n (k − 1). Deducem că 2n (k − 1) ≥ 2nk,
contradicţie.
L61. Fie n ≥ 3. Să se determine maximul expresiei
E = x 3 1x 2 2 + x 3 2x 2 3 + ···+ x 3 nx 2 1 +(n − 1) 2(n−1) x 3 1x 3 2 ···x 3 n,
când numerele nenegative x 1 , x 2 , ..., x n au suma 1.
Gabriel Dospinescu, student, Bucureşti
Soluţie. Pentru x 1 = 3 5 , x 2 = 2 5 , x k =0, ∀k ∈ 3,n,obţinem pentru E valoarea
108
3125 = 22 3 3
108
, deci maximul cerut este cel puţin .Sădemonstrăm că maximul
55 3125
66
j=1
j=1