Revista (format .pdf, 1.0 MB) - Recreaţii Matematice
Revista (format .pdf, 1.0 MB) - Recreaţii Matematice
Revista (format .pdf, 1.0 MB) - Recreaţii Matematice
You also want an ePaper? Increase the reach of your titles
YUMPU automatically turns print PDFs into web optimized ePapers that Google loves.
à √ #<br />
7 − 2<br />
Domeniul valorilor posibile este D 0 = 2arctg , π . Proprietatea cerută este<br />
3 4<br />
π<br />
√ √ 7 − 2<br />
7 − 2<br />
p = mes D 0<br />
mes D = 4 − 2arctg 8arctg<br />
3<br />
π =1− 3 .<br />
π<br />
4<br />
L60. Fie A 1 A 2 ...A n şi B 1 B 2 ...B n ( n>2) două poligoane înscrise în acelaşi<br />
cerc de centru O şiavândcentreledegreutatetotînO. Săsearatecăputemrenumerota<br />
vârfurile poligonului A 1 A 2 ...A n pentru a obţine un nou poligon A i1 A i2 ...A in<br />
în care A ij 6= B j pentru j ∈ {1, 2,...,n}.<br />
Gabriel Dospinescu, student, Bucureşti<br />
Soluţie. Trebuie săarătăm că existăopermutareσ ∈ S n astfel încât A σ(1) 6= B i<br />
pentru i ∈ M = {1, 2,...,n}. Să definim matricea T =(t ij ) i,j∈M<br />
, t ij = A i Bj 2.<br />
Vom arăta că sumele elementelor de pe orice linie şi coloană înT sunt egale. Putem<br />
presupune că poligoanele sunt înscrise în cercul unitate (O fiind originea planului<br />
complex) şi fie a i , b i afixele punctelor A i , B i . Suma elementelor de pe linia i în<br />
matricea T este<br />
nX<br />
nX<br />
X n<br />
X n<br />
|a i − b j | 2 =<br />
³|a i | + |b j | 2 − a i¯bj − ā i b j´<br />
=2n − a i b j − ā i b j =2n<br />
j=1<br />
j=1<br />
(am folosit faptul că centrul de greutate al poligonului B 1 B 2 ...B n este O, deci<br />
nP<br />
b j =0).<br />
j=1<br />
Analog, suma elementelor de pe coloana j amatriceiT este 2n. Să presupunem că<br />
pentru orice permutare σ ∈ S n există i astfel încât t iσ(i) =0.Vomspune:"coloana<br />
R i place linia S j " dacă elementul de la intersecţialinieisicoloaneiestenenulîn<br />
matricea T .Rezultăcă nu putem asocia câte o linie distinctă fiecărei coloane astfel<br />
încât coloanele respective să placă liniile asociate lor. Deci, din lema mariajelor,<br />
rezultă căexistă k>0 şi k coloane ce plac cel mult k − 1 linii. Prin permutări de<br />
linii şi coloane, putem presupune că aceste linii şi coloane sunt primele din matricea<br />
T . Să facem suma elementelor dreptunghiului determinat de aceste k − 1 linii şi<br />
k coloane. În dreptunghiul determinat de primele k coloane şi ultimele n − k +1<br />
linii avem numai zerouri (căci cele k coloane nu plac nici una dintre liniile k, k +1,<br />
..., n), deci suma elementelor din dreptunghi este egală cusumaelementelordepe<br />
primele k coloane, adică 2nk. Pedealtă parte, evident, suma este cel mult cât suma<br />
elementelor de pe primele k −1 linii, adică 2n (k − 1). Deducem că 2n (k − 1) ≥ 2nk,<br />
contradicţie.<br />
L61. Fie n ≥ 3. Să se determine maximul expresiei<br />
E = x 3 1x 2 2 + x 3 2x 2 3 + ···+ x 3 nx 2 1 +(n − 1) 2(n−1) x 3 1x 3 2 ···x 3 n,<br />
când numerele nenegative x 1 , x 2 , ..., x n au suma 1.<br />
Gabriel Dospinescu, student, Bucureşti<br />
Soluţie. Pentru x 1 = 3 5 , x 2 = 2 5 , x k =0, ∀k ∈ 3,n,obţinem pentru E valoarea<br />
108<br />
3125 = 22 3 3<br />
108<br />
, deci maximul cerut este cel puţin .Sădemonstrăm că maximul<br />
55 3125<br />
66<br />
j=1<br />
j=1