Revista (format .pdf, 1.0 MB) - Recreaţii Matematice

C, cerculC 2 tangent la AD 0 , CD 0 şi la C, iar{E} = C 1 ∩[BD], {F } = C 2 ∩[D 0 C]. Să
se arate că cercul circumscris 4AEF şi cercul înscris în 4ABC sunt concentrice.
Neculai Roman, Mirceşti (Iaşi)
Soluţie. Fie {N} = AD ∩ C 1 , {M 1 A} = AD ∩ C.
Avem că \CAD ≡ \ABC ≡ \AMC, deci[AC] ≡ [MC].
A
Aplicăm teorema lui Casey cercurilor cele A, C, M (degenerate)
şi C 1 , tangente interior cercului C; obţinem
succesiv:
C 1
C 2
AC · MN + AN · MC = AM · CE ⇔
N
AC · MN + AN · AC = AM · CE ⇔
AC (MN + AN) =AM · CE ⇔ AC = CE. B E D D´ F C
Rezultăcă 4ACE este isoscel, deci mediatoarea lui [AE]
C
este bisectoarea unghiului \ACB. Analog se aratăcă
M
mediatoarea lui [AF ] este bisectoarea lui \ABC, de unde concluzia.
L58. Pe muchiile (Ox, (Oy şi (Oz ale unui triedru oarecare se consideră punctele
A, L ∈ (Ox, B,M ∈ (Oy şi C, N ∈ (Oz astfel încât OA = OB = OC = a şi OL =
= OM = ON = b (a