Revista (format .pdf, 1.0 MB) - RecreaÅ£ii Matematice

More documents

Recommendations

Info

Soluţie. Conform inegalităţii lui Ptolomeu aplicată în patrulaterul AMOQ,avem AQ · MO + AM · OQ ≥ AO · MQ,adică a√ 2 (AQ + AM) ≥ a · AO, undea este 2 latura pătratului MNPQ; prin urmare, AQ + AM ≥ √ 2 · AO. Scriind celelalte trei inegalităţi analoage şi adunându-le, urmează concluzia. Egalitatea are loc dacă cele patru patrulatere în care s-a aplicat Ptolomeu sunt inscriptibile, fapt care se întâmplă dacă ABCD este dreptunghi. Însă înABCD trebuie să se poată înscrie pătratul MNPQ,deciABCD este el însuşi pătrat. A Q Justificare: ABCD -dreptunghi,MNPQ -pătrat D ⇒ ABCD -pătrat. ) m( \MNB)+m(\CNP)=90 ◦ ⇒ \BMN ≡ \CNP M m( \MNB)+m( \NMB)=90 ◦ ) P m( \BMN)+m( \AMQ) =90 ◦ ⇒ \BMN ≡ \AQM m( \AMQ)+m( \AQM) =90 ◦ Considerăm 4NCP, 4MBN şi 4QAM B N C (m( A)=m( b B)=m( b C)=90 b ◦ ) ¾ [NP] ≡ [MN] ≡ [MQ] IU ⇒ 4NCP ≡ 4MBN ≡ 4QAM ⇒ \CNP ≡ \BMN ≡ \AQM ¾ [BN] ≡ [AM] ⇒ ⇒ [BC] ≡ [AB] ⇒ ABCD -pătrat. [NC] ≡ [MB] G63. În 4ABC cu m( A)=10 b ◦ şi m( B) b = 100 ◦ construim M ∈ (AB) şi N ∈ (AC) astfel ca m( \MCB)=40 ◦ şi m(\NBC)=75 ◦ .Săseaflem( \AMN). Octavian Bondoc, Piteşti Soluţie. Fie P ∈ (AC) astfel încat m(\PBC)=40 ◦ .Obţinem atunci 4BPC isoscel, deci [BP] ≡ [BC], apoi4MBC isoscel cu [BM] ≡ [BC], de unde [BP] ≡ [BM]. Însă m( \MBP)=60 ◦ ,deci4MBP este echilateral şi [MP]≡[MB],iarm( \BMP)=60 ◦ . Pe de altă parte, tot din congruenţe de unghiuri, 4NPB este isoscel cu [NP] ≡ [PB], prin urmare [NP] ≡ [PM] şi cum m( \NPM)=50 ◦ ,găsim m( \NMP)=65 ◦ .Înfinal, m( \AMN) = 180 ◦ − 65 ◦ − 60 ◦ =55 ◦ . G64. Prin punctul P al laturii (AC) a 4ABC se duc paralele la medianele AA 0 şi CC 0 , care intersectează laturile(BC) şi (AB) în E, respectiv F . Fie {M} = EF ∩AA 0 , {N} = EF ∩CC 0 ,iarL şi Q mijloacele segmentelor [FP], respectiv [PE]. Săse arate că drepteleML, NQ şi A 0 C 0 sunt concurente. Andrei Nedelcu, Iaşi Soluţie. Fie G centrul de greutate al 4ABC şi {T } = PE ∩ CC 0 . Deoarece TN k PF, avem EN NF = ET ET .Însă TP TP = GA0 GA = 1 2 ,deunde2EN = C´ B F A S L M P G N Q T A´ E = NF.Analogsearatăcă 2MF = ME,prinurmareFM = MN = NE.Fieacum 62 C
FS k AA 0 , S ∈ A 0 C 0 ;atunci FS AA 0 = C0 F C 0 A = PC AC = PE , deci FS = PE,adică AA0 de vârf, deci FPES este paralelogram. În 4FSP, M se află pe mediana din F la 2 3 M este centrul de greutate al 4FSP şi atunci SM este mediană şi va trece prin L. Analog, Q ∈ SN, deundeconcluzia. G65. Fie SABCD o piramidă cubazaABCD dreptunghi, M proiecţia lui D pe SB şi N proiecţia lui C pe SA, iar{P } = AM ∩ NB. Ştiind că M ∈ (SB) şi N ∈ (SA), săsearatecă NP · SA · MB = SM · AN · PB. Daniel Ştefan Ninu, elev, Iaşi Soluţie. Fie {O} = AC ∩ BD şi a = OA = OB = OC = OD. Avem că NO = MO = a, ce mediane corespunzătoare ipotenuzelor în triunghiuri dreptunghice. Prin urmare, punctele A, B, M, N aparţin sferei de centru O şi rază a. Însă cele patru puncte sunt coplanare, iar un plan taie o sferă după un cerc, deci patrulaterul ABMN este inscriptibil. Atunci 4NPA ∼ 4MPB şi 4NPM ∼ 4AP B, de unde NP MP = NA PM , respectiv MB PB = MN NP , prin urmare AB MP · PM NM · NA = PB MB · AB , adică MN MB · NP = . Pedealtăparte,4SMN ∼ 4SAB, deciMN AB PB · NA AB = SM SA . Comparând ultimele două relaţii, rezultă concluzia. B. Nivel liceal L56. Fie ABCD patrulater convex şi {P } = AB ∩ CD, {Q} = AD ∩ BC. Considerăm J ∈ (AQ), L ∈ (BQ), K ∈ (DP), N ∈ (AP ) astfel încât QJ = AD, QL = CB, PK = DC şi PN = AB. Săsearatecă JL k NK. Carmen Nejneru, Iaşi Soluţie. Fie M ∈ Int ABCD, avem: Q AD · d (M,AD) BC · d (M,BC) S MAD + S MBC = + = 2 2 L QJ · d (M,QJ) QL · d (M,QL) = + = 2 2 J = S MJQ + S MQL = S QJL + S MJL D d şi cum S QJL este constantă, locul geometric al C punctelor M pentru care S MAD + S MBC = k este o porţiune dintr-o dreaptă d paralelă cuJL.Analogse K arată că locul geometric al punctelor M pentru care M S MAB + S MCD = k 0 este o porţiune dintr-o dreaptă A B N P d 0 paralelă cuNK. Luând k = k 0 = 1 2 S ABCD cele două locuri geometrice coincid, prin urmare JL k NK. Notă. Soluţie corectăaudaturmătorii elevi: Andrei-Codruţ Onofrei, Lucian Rotaru, Cosmin-Alexandru Spînu. L57. Fie 4ABC înscris în cercul C şi punctele D ∈ (CB, D 0 ∈ (BC astfel încât \CAD ≡ \ABC, \BAD 0 ≡ \ACB. Se mai consideră cercul C 1 tangent la AD, BD şi la 63
Page 1 and 2:
Anul VII, Nr. 1 Ianuarie - Iunie 20
Page 3:
Anul VII, Nr. 1 Ianuarie - Iunie 20
Page 6 and 7:
obţinerea unui doctorat) ceea ce
Page 8 and 9:
cele trei mulţimi ale reuniunii pu
Page 10 and 11:
Asupra monotoniei unor şiruri Dumi
Page 12 and 13:
de unde f 00 (x) > 0, ∀x >0, şi
Page 14 and 15:
Demonstraţie. Inegalitatea x n c n
Page 16 and 17: P n n a n i − P n i=1 i=1 a n−1
Page 18 and 19: care, împreună cu (13), implică
Page 20 and 21: Soluţie. Cu notaţiile obişnuite
Page 22 and 23: Asupra unor ecuaţii diofantice pă
Page 24 and 25: Soluţie. Ecuaţia din enunţ seob
Page 26 and 27: Asupra problemei G67 Adrian ZAHARIU
Page 28 and 29: Matematică şi algoritmi Irina MUS
Page 30 and 31: 4. Un colier este format din mărge
Page 32 and 33: Soluţia a III-a (Alexandru Negresc
Page 34 and 35: Avem, în patrulaterul convex DBEC,
Page 36 and 37: Este ¸ evident că M s poate fi pr
Page 38 and 39: Probleme selectate de la Olimpiadel
Page 40 and 41: fie distincte. Deci, presupunerea f
Page 42 and 43: Probleme pentru clasa a VIII-a —
Page 44 and 45: p 1 2 3 4 6 12 19 38 57 76 114 228
Page 46 and 47: |f (x + y + z + t)+cosx +cosy +cosz
Page 48 and 49: Soluţiile problemelor propuse în
Page 50 and 51: ticale prin care trec drumurile cu
Page 52 and 53: VI.50. Fie 4ABC cu [AC] ≡ [BC], D
Page 54 and 55: Notă. Se poate arăta că relaţia
Page 56 and 57: Soluţie. Conform inegalităţii me
Page 58 and 59: de centru D şi rază a. Searatău
Page 60 and 61: că există n 0 ∈ N ∗ astfel î
Page 62 and 63: Soluţie. 1) Demonstrăm afirmaţia
Page 64 and 65: µ 1 Dacă (p, q) =1,atunci p + 1
Page 68 and 69: C, cerculC 2 tangent la AD 0 , CD 0
Page 70 and 71: Ã √ # 7 − 2 Domeniul valorilor
Page 72 and 73: În conformitate cu (2),soluţiile
Page 74 and 75: g (0) = 0 şi g (x) = x 2n+1 cos (1
Page 76 and 77: P.93. O foaie de hârtie dreptunghi
Page 78 and 79: f (f (f (x)+y) · f (x − f (y)))
Page 80 and 81: √ Z 1 q Z 1 3 1 − (f (x)) 2 dx
Page 82 and 83: G85. Fie A 0 , B 0 , C 0 picioarele
Page 84 and 85: G80. Let A be the set of all sums o
Page 86 and 87: Pagina rezolvitorilor BRAŞOV Liceu
Page 88 and 89: Premii acordate rezolvitorilor ASOC
Page 90: CUPRINS 200 de ani de la naşterea
show all

Revista (format .pdf, 1.0 MB) - RecreaÅ£ii Matematice

You also want an ePaper? Increase the reach of your titles

Delete template?

Save as template?