Revista (format .pdf, 1.0 MB) - Recreaţii Matematice
Revista (format .pdf, 1.0 MB) - Recreaţii Matematice
Revista (format .pdf, 1.0 MB) - Recreaţii Matematice
You also want an ePaper? Increase the reach of your titles
YUMPU automatically turns print PDFs into web optimized ePapers that Google loves.
FS k AA 0 , S ∈ A 0 C 0 ;atunci<br />
FS<br />
AA 0<br />
= C0 F<br />
C 0 A = PC<br />
AC = PE , deci FS = PE,adică<br />
AA0 de vârf, deci<br />
FPES este paralelogram. În 4FSP, M se află pe mediana din F la 2 3<br />
M este centrul de greutate al 4FSP şi atunci SM este mediană şi va trece prin L.<br />
Analog, Q ∈ SN, deundeconcluzia.<br />
G65. Fie SABCD o piramidă cubazaABCD dreptunghi, M proiecţia lui D<br />
pe SB şi N proiecţia lui C pe SA, iar{P } = AM ∩ NB. Ştiind că M ∈ (SB) şi<br />
N ∈ (SA), săsearatecă NP · SA · <strong>MB</strong> = SM · AN · PB.<br />
Daniel Ştefan Ninu, elev, Iaşi<br />
Soluţie. Fie {O} = AC ∩ BD şi a = OA = OB = OC = OD. Avem<br />
că NO = MO = a, ce mediane corespunzătoare ipotenuzelor în triunghiuri dreptunghice.<br />
Prin urmare, punctele A, B, M, N aparţin sferei de centru O şi rază a.<br />
Însă cele patru puncte sunt coplanare, iar un plan taie o sferă după un cerc, deci patrulaterul<br />
ABMN este inscriptibil. Atunci 4NPA ∼ 4MPB şi 4NPM ∼ 4AP B,<br />
de unde NP<br />
MP = NA<br />
PM<br />
, respectiv<br />
<strong>MB</strong> PB = MN<br />
NP<br />
, prin urmare<br />
AB MP · PM NM · NA<br />
=<br />
PB <strong>MB</strong> · AB ,<br />
adică MN <strong>MB</strong> · NP<br />
= . Pedealtăparte,4SMN ∼ 4SAB, deciMN<br />
AB PB · NA AB = SM<br />
SA .<br />
Comparând ultimele două relaţii, rezultă concluzia.<br />
B. Nivel liceal<br />
L56. Fie ABCD patrulater convex şi {P } = AB ∩ CD, {Q} = AD ∩ BC.<br />
Considerăm J ∈ (AQ), L ∈ (BQ), K ∈ (DP), N ∈ (AP ) astfel încât QJ = AD,<br />
QL = CB, PK = DC şi PN = AB. Săsearatecă JL k NK.<br />
Carmen Nejneru, Iaşi<br />
Soluţie. Fie M ∈ Int ABCD, avem:<br />
Q<br />
AD · d (M,AD) BC · d (M,BC)<br />
S MAD + S <strong>MB</strong>C = + =<br />
2<br />
2<br />
L<br />
QJ · d (M,QJ) QL · d (M,QL)<br />
= + =<br />
2<br />
2<br />
J<br />
= S MJQ + S MQL = S QJL + S MJL D<br />
d<br />
şi cum S QJL este constantă, locul geometric al<br />
C<br />
punctelor M pentru care S MAD + S <strong>MB</strong>C = k este o<br />
porţiune dintr-o dreaptă d paralelă cuJL.Analogse<br />
K<br />
arată că locul geometric al punctelor M pentru care<br />
M<br />
S MAB + S MCD = k 0 este o porţiune dintr-o dreaptă A<br />
B N P<br />
d 0 paralelă cuNK. Luând k = k 0 = 1 2 S ABCD cele două locuri geometrice coincid,<br />
prin urmare JL k NK.<br />
Notă. Soluţie corectăaudaturmătorii elevi: Andrei-Codruţ Onofrei, Lucian<br />
Rotaru, Cosmin-Alexandru Spînu.<br />
L57. Fie 4ABC înscris în cercul C şi punctele D ∈ (CB, D 0 ∈ (BC astfel încât<br />
\CAD ≡ \ABC, \BAD 0 ≡ \ACB. Se mai consideră cercul C 1 tangent la AD, BD şi la<br />
63