Revista (format .pdf, 1.0 MB) - Recreaţii Matematice
Revista (format .pdf, 1.0 MB) - Recreaţii Matematice
Revista (format .pdf, 1.0 MB) - Recreaţii Matematice
Create successful ePaper yourself
Turn your PDF publications into a flip-book with our unique Google optimized e-Paper software.
Soluţie. Conform inegalităţii lui Ptolomeu aplicată în patrulaterul AMOQ,avem<br />
AQ · MO + AM · OQ ≥ AO · MQ,adică a√ 2<br />
(AQ + AM) ≥ a · AO, undea este<br />
2<br />
latura pătratului MNPQ; prin urmare, AQ + AM ≥ √ 2 · AO. Scriind celelalte<br />
trei inegalităţi analoage şi adunându-le, urmează concluzia. Egalitatea are loc dacă<br />
cele patru patrulatere în care s-a aplicat Ptolomeu sunt inscriptibile, fapt care se<br />
întâmplă dacă ABCD este dreptunghi. Însă înABCD trebuie să se poată înscrie<br />
pătratul MNPQ,deciABCD este el însuşi pătrat.<br />
A<br />
Q<br />
Justificare: ABCD -dreptunghi,MNPQ -pătrat<br />
D<br />
⇒ ABCD -pătrat.<br />
)<br />
m( \MNB)+m(\CNP)=90 ◦<br />
⇒ \BMN ≡ \CNP M<br />
m( \MNB)+m( \N<strong>MB</strong>)=90 ◦ )<br />
P<br />
m( \BMN)+m( \AMQ) =90 ◦<br />
⇒ \BMN ≡ \AQM<br />
m( \AMQ)+m( \AQM) =90 ◦<br />
Considerăm 4NCP, 4<strong>MB</strong>N şi 4QAM<br />
B N<br />
C<br />
(m( A)=m( b B)=m( b C)=90 b ◦ )<br />
¾<br />
[NP] ≡ [MN] ≡ [MQ] IU<br />
⇒ 4NCP ≡ 4<strong>MB</strong>N ≡ 4QAM ⇒<br />
\CNP ≡ \BMN ≡ \AQM<br />
¾<br />
[BN] ≡ [AM]<br />
⇒<br />
⇒ [BC] ≡ [AB] ⇒ ABCD -pătrat.<br />
[NC] ≡ [<strong>MB</strong>]<br />
G63. În 4ABC cu m( A)=10 b ◦ şi m( B) b = 100 ◦ construim M ∈ (AB) şi<br />
N ∈ (AC) astfel ca m( \MCB)=40 ◦ şi m(\NBC)=75 ◦ .Săseaflem( \AMN).<br />
Octavian Bondoc, Piteşti<br />
Soluţie. Fie P ∈ (AC) astfel încat m(\PBC)=40 ◦ .Obţinem atunci 4BPC isoscel,<br />
deci [BP] ≡ [BC], apoi4<strong>MB</strong>C isoscel cu [BM] ≡ [BC], de unde [BP] ≡ [BM].<br />
Însă m( \<strong>MB</strong>P)=60 ◦ ,deci4<strong>MB</strong>P este echilateral şi [MP]≡[<strong>MB</strong>],iarm( \BMP)=60 ◦ .<br />
Pe de altă parte, tot din congruenţe de unghiuri, 4NPB este isoscel cu [NP] ≡ [PB],<br />
prin urmare [NP] ≡ [PM] şi cum m( \NPM)=50 ◦ ,găsim m( \NMP)=65 ◦ .Înfinal,<br />
m( \AMN) = 180 ◦ − 65 ◦ − 60 ◦ =55 ◦ .<br />
G64. Prin punctul P al laturii (AC) a 4ABC<br />
se duc paralele la medianele AA 0 şi CC 0 , care intersectează<br />
laturile(BC) şi (AB) în E, respectiv F .<br />
Fie {M} = EF ∩AA 0 , {N} = EF ∩CC 0 ,iarL şi Q<br />
mijloacele segmentelor [FP], respectiv [PE]. Săse<br />
arate că drepteleML, NQ şi A 0 C 0 sunt concurente.<br />
Andrei Nedelcu, Iaşi<br />
Soluţie. Fie G centrul de greutate al 4ABC<br />
şi {T } = PE ∩ CC 0 . Deoarece TN k PF, avem<br />
EN<br />
NF = ET ET<br />
.Însă<br />
TP TP = GA0<br />
GA = 1 2 ,deunde2EN =<br />
C´<br />
B<br />
F<br />
A<br />
S<br />
L<br />
M P<br />
G N<br />
Q<br />
T<br />
A´ E<br />
= NF.Analogsearatăcă 2MF = ME,prinurmareFM = MN = NE.Fieacum<br />
62<br />
C
Change language