Revista (format .pdf, 1.0 MB) - RecreaÅ£ii Matematice

More documents

Recommendations

Info

Soluţie. 1) Demonstrăm afirmaţia prin inducţie după n. Pentrun =1, xyx k−1 = = y p xx k−1 = y p x k = y p . Presupunem concluzia adevăratăpentrun şi săojustificăm pentru n +1;avem: xy n+1 x k−1 =(xy) ¡ y n x k−1¢ = y p x · y n x k−1 = y p y np = y (n+1)p . 2) Dacă xy = yx, atunciy p x = yx, deciy p = y şi prin urmare y p−1 = e; evident avem şi y n(p−1) = e n = e, ∀n ∈ N ∗ . Reciproc, dacă y n(p−1) = e, ∀n ∈ N ∗ ,în particular y p−1 = e, decixy = y p x = y p−1 · yx = e · yx = yx, ceea ce încheie rezolvarea. XII.49. Se consideră numerele reale b>a≥ 0, c ≥ 1 şi funcţiile continue Z nb f,g : R + → R + astfel încât lim g (x) dx = d ∈ R. Să searatecăşirul (u n ) n→∞ n≥1 , Z b na 1 u n = dx este convergent şi să seaflelimitasa. a c + f (x)+g (nx) D. M. Bătineţu - Giurgiu, Bucureşti Soluţie. Din ipotezele problemei, avem că 1 0 ≤ c + f (x) − 1 c + f (x)+g (nx) = g (nx) [c + f (x)] [c + f (x)+g (nx)] ≤ g (nx) pentru x ∈ [a, b] şi n ∈ N ∗ . Prin integrare, deducem că Z b Z 1 b 0 ≤ a c + f (x) − u n ≤ g (nx) dx. a Însă Z b Z 1 bn 1 0 ≤ lim g (nx) dx = lim g (t) dt = d · lim n→∞ a n→∞n an n→∞n =0, Z b 1 prin urmare există limita şirului (u n ) n≥1 , egală cu a c + f (x) dx. s (n!) XII.50. Fie s (n) suma cifrelor numărului natural n. Să se calculeze lim n→∞ ln k ln n , unde k ∈ N este fixat. Gabriel Dospinescu, student, Bucureşti are suma Soluţie. Vom arăta întâi că orice multiplu nenul al lui A =11...1 | {z } m cifrelor cel puţin m. Într-adevăr, să presupunem că există B cel mai mic multiplu nenul al lui A cu s (B) < m. Cum s (iA) ≥ m, ∀i ∈ 1, 9 se impune să avem B ≥ 10A >10 m ;fieB = a r 10 r +···+a 1 · 10 + a 0 ,under ≥ m. Considerăm numărul C = B − 10 r−m (10 m − 1). Evident că C
Soluţiile problemelor pentru pregătirea concursurilor din nr. 1 / 2004 A. Nivel gimnazial G56. Fie m ∈ Z, n ∈ 2 Z +1 fixate. Să searatecăecuaţia nx + y = m, x, y ∈ Z are o unică soluţie (x 0 ,y 0 ) cu proprietatea că |y 0 | < |n| /2. Petru Asaftei, Iaşi Soluţie. Pentru existenţa soluţiei, să observăm că există q, r ∈ Z, 0 ≤ r
Page 1 and 2:
Anul VII, Nr. 1 Ianuarie - Iunie 20
Page 3:
Anul VII, Nr. 1 Ianuarie - Iunie 20
Page 6 and 7:
obţinerea unui doctorat) ceea ce
Page 8 and 9:
cele trei mulţimi ale reuniunii pu
Page 10 and 11:
Asupra monotoniei unor şiruri Dumi
Page 12 and 13: de unde f 00 (x) > 0, ∀x >0, şi
Page 14 and 15: Demonstraţie. Inegalitatea x n c n
Page 16 and 17: P n n a n i − P n i=1 i=1 a n−1
Page 18 and 19: care, împreună cu (13), implică
Page 20 and 21: Soluţie. Cu notaţiile obişnuite
Page 22 and 23: Asupra unor ecuaţii diofantice pă
Page 24 and 25: Soluţie. Ecuaţia din enunţ seob
Page 26 and 27: Asupra problemei G67 Adrian ZAHARIU
Page 28 and 29: Matematică şi algoritmi Irina MUS
Page 30 and 31: 4. Un colier este format din mărge
Page 32 and 33: Soluţia a III-a (Alexandru Negresc
Page 34 and 35: Avem, în patrulaterul convex DBEC,
Page 36 and 37: Este ¸ evident că M s poate fi pr
Page 38 and 39: Probleme selectate de la Olimpiadel
Page 40 and 41: fie distincte. Deci, presupunerea f
Page 42 and 43: Probleme pentru clasa a VIII-a —
Page 44 and 45: p 1 2 3 4 6 12 19 38 57 76 114 228
Page 46 and 47: |f (x + y + z + t)+cosx +cosy +cosz
Page 48 and 49: Soluţiile problemelor propuse în
Page 50 and 51: ticale prin care trec drumurile cu
Page 52 and 53: VI.50. Fie 4ABC cu [AC] ≡ [BC], D
Page 54 and 55: Notă. Se poate arăta că relaţia
Page 56 and 57: Soluţie. Conform inegalităţii me
Page 58 and 59: de centru D şi rază a. Searatău
Page 60 and 61: că există n 0 ∈ N ∗ astfel î
Page 64 and 65: µ 1 Dacă (p, q) =1,atunci p + 1
Page 66 and 67: Soluţie. Conform inegalităţii lu
Page 68 and 69: C, cerculC 2 tangent la AD 0 , CD 0
Page 70 and 71: Ã √ # 7 − 2 Domeniul valorilor
Page 72 and 73: În conformitate cu (2),soluţiile
Page 74 and 75: g (0) = 0 şi g (x) = x 2n+1 cos (1
Page 76 and 77: P.93. O foaie de hârtie dreptunghi
Page 78 and 79: f (f (f (x)+y) · f (x − f (y)))
Page 80 and 81: √ Z 1 q Z 1 3 1 − (f (x)) 2 dx
Page 82 and 83: G85. Fie A 0 , B 0 , C 0 picioarele
Page 84 and 85: G80. Let A be the set of all sums o
Page 86 and 87: Pagina rezolvitorilor BRAŞOV Liceu
Page 88 and 89: Premii acordate rezolvitorilor ASOC
Page 90: CUPRINS 200 de ani de la naşterea
show all

Revista (format .pdf, 1.0 MB) - RecreaÅ£ii Matematice

Create successful ePaper yourself

Delete template?

Save as template?