Revista (format .pdf, 1.0 MB) - Recreaţii Matematice

Soluţie. 1) Demonstrăm afirmaţia prin inducţie după n. Pentrun =1, xyx k−1 =
= y p xx k−1 = y p x k = y p . Presupunem concluzia adevăratăpentrun şi săojustificăm
pentru n +1;avem:
xy n+1 x k−1 =(xy) ¡ y n x k−1¢ = y p x · y n x k−1 = y p y np = y (n+1)p .
2) Dacă xy = yx, atunciy p x = yx, deciy p = y şi prin urmare y p−1 = e; evident
avem şi y n(p−1) = e n = e, ∀n ∈ N ∗ . Reciproc, dacă y n(p−1) = e, ∀n ∈ N ∗ ,în
particular y p−1 = e, decixy = y p x = y p−1 · yx = e · yx = yx, ceea ce încheie
rezolvarea.
XII.49. Se consideră numerele reale b>a≥ 0, c ≥ 1 şi funcţiile continue
Z nb
f,g : R + → R + astfel încât lim g (x) dx = d ∈ R. Să searatecăşirul (u n )
n→∞
n≥1
,
Z b
na
1
u n =
dx este convergent şi să seaflelimitasa.
a c + f (x)+g (nx)
D. M. Bătineţu - Giurgiu, Bucureşti
Soluţie. Din ipotezele problemei, avem că
1
0 ≤
c + f (x) − 1
c + f (x)+g (nx) =
g (nx)
[c + f (x)] [c + f (x)+g (nx)] ≤ g (nx)
pentru x ∈ [a, b] şi n ∈ N ∗ . Prin integrare, deducem că
Z b
Z
1
b
0 ≤
a c + f (x) − u n ≤ g (nx) dx.
a
Însă
Z b
Z
1 bn
1
0 ≤ lim g (nx) dx = lim g (t) dt = d · lim
n→∞
a
n→∞n
an
n→∞n =0,
Z b
1
prin urmare există limita şirului (u n ) n≥1
, egală cu
a c + f (x) dx.
s (n!)
XII.50. Fie s (n) suma cifrelor numărului natural n. Să se calculeze lim
n→∞ ln k ln n ,
unde k ∈ N este fixat.
Gabriel Dospinescu, student, Bucureşti
are suma
Soluţie. Vom arăta întâi că orice multiplu nenul al lui A =11...1
| {z }
m
cifrelor cel puţin m. Într-adevăr, să presupunem că există B cel mai mic multiplu
nenul al lui A cu s (B) < m. Cum s (iA) ≥ m, ∀i ∈ 1, 9 se impune să avem
B ≥ 10A >10 m ;fieB = a r 10 r +···+a 1 · 10 + a 0 ,under ≥ m. Considerăm numărul
C = B − 10 r−m (10 m − 1).
Evident că C