Revista (format .pdf, 1.0 MB) - Recreaţii Matematice

Dacă a, b ∈ (−∞, 0] cu a>bprocedăm asemănător, cu observaţia că în acest caz
nx + y
n +1 ≤ n+1√ x n y,iarradicalularesensdatfiindfaptulcă n este par.
Clasa a XII-a
XII.46. Să se determine funcţia f : R → R dacă (R, ∗) este grup abelian
cu proprietatea că simetricul oricărui element x ∈ [−1, 1] se află în[−1, 1], unde
x ∗ y = f (x)+f (y), ∀x, y ∈ R.
Ioan Săcăleanu, Hârlău
Soluţie. Notăm cu e elementul neutru al grupului şi cu x 0 simetricul lui x. Din
x = x ∗ e, ∀x ∈ R, rezultăcă f (x) =x − f (e), ∀x ∈ R. Pentru x = e, obţinem
f (e) = e 2 , deci f (x) =x− e 2 , ∀x ∈ R. Deoarece x∗x0 = e, avemcă f (x)+f (x 0 )=e,
prin urmare x 0 =2e−x. Pentrux =1, x 0 =2e−1 ∈ [−1, 1], de unde e ∈ [0, 1]. Dacă
x = −1, x 0 =2e +1∈ [−1, 1], deundee ∈ [−1, 0]. Rămâne că e =0, deci f (x) =x,
funcţiecareverifică toate condiţiile din problemă.
XII.47. Fie G =(a, b), a, b ∈ R, iar"·" înmulţirea numerelor reale. Să se determine
a, b astfel încât ¡ R ∗ +, ·¢ ∼ = (G, ·) printr-un izomorfism de forma f : R
∗
+ → G,
f (x) = αx + β
γx + δ , ∀x ∈ R∗ +,cuα, β, γ, δ ∈ R.
Alexandru Blaga şi Ovidiu Pop, Satu Mare
Soluţie. Deoarece (G, ·) este grup şi 1 este unitatea faţă de înmulţire, rezultă că
a