Revista (format .pdf, 1.0 MB) - Recreaţii Matematice

a i + b i (mod 3), b i + c i (mod 3) şi c i + a i (mod 3) reprezintă o permutare a numerelor
0, 1, 2 şi atunci 3 | a i + b i + b i + c i + c i + a i ,deci3 | a i + b i + c i .
Clasa a XI-a
XI.46. Determinaţi A, B ∈M n (Z) pentru care det (A+B)=2 şi det (A+3B)=5.
Cezar Lupu, elev, Constanţa
Soluţie. Fie A, B ca în enunţ şi fie P (X) =det(A + XB) ∈ Z [X], polinom de
grad n. Din ipoteză, P (1) = 2 şi P (3) = 5. Se ştie că, dacă P ∈ Z [X] şi a, b ∈ Z
sunt distincte, atunci P (a) − P (b) . a − b; încazulnostru,P (3) − P (1) . 3 − 1, deci
3 . 2, absurd. În concluzie, nu există matrice cu proprietăţile dorite.
½ a,dacă i = j
XI.47. Fie A ∈ M n (R) matrice cu a ij =
, unde b 6= 0şi
b, dacă i 6= j
a
b /∈ Z. Arătaţi că A este inversabilă şi determinaţi A−1 .
Gheorghe Iurea, Iaşi
Soluţie. Adunând toate liniile la prima şi apoi scăzând, pe rând, coloana 1
din celelalte coloane, obţinem că det A =[a +(n − 1) b](a − b) n−1 6=0, deoarece
a+(n − 1) b =0⇒ a b =1−n ∈ Z, iara−b =0⇒ a =1∈ Z, situaţii contradictorii.
b
Rezultă că A este inversabilă. Pentru determinarea inversei, fie A =(a − b) I + bB,
unde I este matricea unitate, iar B matricea având toate elementele egale cu 1.
Avem:
A 2 =(a − b) 2 I +2b (a − b) B + b 2 B 2 =
=(a − b) 2 I +2b (a − b) · 1
b [A − (a − b) I]+b2 · n · 1 [A − (a − b) I] =
h
i
b
= I · (a − b) 2 − 2(a − b) 2 − bn (a − b) + A · [2 (a − b)+bn] =
=[2a + b (n − 2)] · A − (a − b)[a + b (n − 1)] · I ⇒
A =[2a + b (n − 2)] · I − (a − b)[a + b (n − 1)] · A −1 ⇒
A −1 =
2a + b (n − 2)
(a − b)(a + bn − b) · I − 1
(a − b)(a + bn − b) · A
XI.48. Se defineşte şirul (x n ) n≥0
prin x n = x 2 n−1 − [x n−1 ], ∀n ≥ 1;
x 0 ∈ £ 0, ¡ 1+ √ 5 ¢ /2 ¢ .Săsearatecă lim x n =0.
n→∞
Cătălin Ţigăeru, Suceava
Soliţie. Dacă x 0 ∈ [0, 1), atunci[x 0 ]=0şi se demonstrează uşor prin inducţie
că x n = x 2n
0 ; prin urmare, lim x n =0.Dacă x 0 =1,seobservăimediatcă x n =0,
n→∞
∀n ≥ 1, adică lim x n =0şi în acest caz.
n→∞
µ
Presupunem că x 0 ∈ 1, 1+√
µ
5
.Searată prin inducţie că x n ∈ 0, 1+√
5
,
2
2
∀n ≥ 1. Înplus,x n poate lua valorile x 2 n−1, 0 sau x 2 n−1 − 1, dupăcumx n−1 ∈ [0, 1),
µ
x n−1 =1, respectiv x n−1 ∈ 1, 1+√
5
; în fiecare caz, x n − x n−1 ≤ 0, decişirul
2
este descrescător. Rezultă căşirul este convergent şi fie l limita sa. Vom demonstra
55