Revista (format .pdf, 1.0 MB) - Recreaţii Matematice

Soluţie. Conform inegalităţii mediilor, 4=a + b + c + √ abc ≥ 4 4p abc √ abc,
de unde abc ≤ 1, prin urmare a + b + c ≥ 3. Folosind acum inegalitatea Cauchy -
Schwartz şi cunoscuta (a + b + c) 2 ≥ 3(ab + bc + ac), avem:
h
(a + √ bc)+(b + √ ca)+(c + √ i · a 2
¸
ab)
a+ √ bc + b2
b+ √ ca + c2
c+ √ ≥ (a + b + c) 2
ab
⇒ X a 2
a + √ (a + b + c)2 (a + b + c)2
≥ P P √ ≥
bc a + bc 2(a + b + c) ≥ 3 2 .
IX.49. Să searatecă 4ABC este isoscel în fiecare din ipotezele:
a) 2m a + b =2m b + a; b) 2m a + a =2m b + b.
Marius Pachiţariu, elev, Iaşi
Soluţie. Folosind torema medianei, avem că
4 ¡ m 2 a − m 2 £ ¡
b¢
= 2 b 2 + c 2¢ − a 2¤ − £ 2 ¡ a 2 + c 2¢ − b 2¤ =3 ¡ b 2 − a 2¢ .
În ipoteza a), obţinem că (a − b)[2m a +2m b +3(a + b)] = 0 şi, cum paranteza pătrată
ia valori strict pozitive, rămâne că a = b. În ipoteza b), găsim (a − b)[2m a +
+2m b − 3(a + b)] = 0. Însă 2m a