Revista (format .pdf, 1.0 MB) - Recreaţii Matematice

Notă. Se poate arăta că relaţia m n + n m ∈ N∗ implică m n + n m =2.
VIII.47. Pentru ∀x ∈ (0, ∞), să se demonstreze inegalitatea
¡
x 5 +x 3 +x 2 +1 ¢¡ x 3 +x 2 +2 ¢ + ¡ x 4 +x 3 +x+1 ¢¡ x 3 +x+2 ¢ + ¡ x 3 +x 2 +x+1 ¢¡ x 2 +x+2 ¢
x 6 + x 5 + x 4 +2x 3 + x 2 ≥6.
+ x +1
Mircea Coşbuc, elev, Iaşi
Soluţie. Cu notaţiile a = x +1, b = x 2 +1, c = x 3 +1, inegalitatea se scrie
succesiv
ac (a + c)+bc (b + c)+ab (a + b)
≥ 6 ⇔ a abc
b + b a + a c + c a + b c + c b ≥ 6.
Ultima inegalitate rezultă din cunoscutele a b + b ≥ 2 şi analoagele.
a
VIII.48. Găsiţi numerele prime p şi q pentru care p 2 + q =37q 2 + p.
Liviu Smarandache, Craiova
Soluţie. Evident p 6= q şi scriem ipoteza sub forma p (p − 1) = q (37q − 1), unde
(p, q) =1.Urmeazăcă 37q − 1=tp, t ∈ N ∗ ,decip (p − 1) = qtp, adică p = qt +1şi
înlocuind în ipoteză găsim că qt 2 + t =37q − 1. Deaici,q ¡ 37 − t 2¢ = t +1≥ 2, deci
37 − t 2 ≥ 0, prin urmare t ∈ {1, 2, 3, 4, 5, 6}. Dupăîncercări, singurul caz favorabil
rămâne t =6,cândq =7, p =43.
VIII.49. Fie 4ABC dreptunghic în A cu AB =AC =a. Considerăm MA ⊥(ABC),
MA = a √ 2 şi N ∈ AM astfel încât m( CN,BM) \ =60 ◦ . Săseaflelungimeasegmentului
[AN].
Romanţa Ghiţă şi Ioan Ghiţă, Blaj
Soluţie. Fie N de aceeaşi parte a planului (ABC) ca
N
şi M; notăm AN = x. Construim d k MB,cuN ∈ d;
evident că NP ⊂ (AMB) şi fie {P } = AB ∩ d. Din
M
4ABM ∼ 4AP N, obţinem AP = x√ 2
2 , NP = x√ 6
2 .
Cu teorema r lui Pitagora în 4AP C şi 4NAC, găsim
C
PC = a 2 + x2
2 , NC = √ a 2 + x 2 . Deoarece m(\PNC)=
A
= m( CN,BM)=60 \
◦ , teorema cosinusului în 4NPC duce
laoecuaţie în x, cusoluţia admisibilă x = a√ 15
.Analog
5
B
se trateazăcazulcândN se aflădecealaltăparteaplanului
(ABC), obţinând acelaşi rezultat.
P
VIII.50. Fie patrulaterul convex ABCD cu AB = BC, m( A)=m( b C)=90 b ◦ ,
m( B) b ≤ 90 ◦ şi fie O mijlocul lui [BD]. Pe perpendiculara în O pe planul (ABC) se
ia un punct V astfel încât OV = OB. Săsearatecă d (D, (VAB)) = 2 d (D, (VAC))
dacă şi numai dacă m(\ABC) =60 ◦ .
Monica Nedelcu, Iaşi
Soluţie. Observăm că ABCD este patrulater înscris în cercul de diametru [BD]
şi fie r = OA = OB = OC = OD = OV . Notăm {P } = AC ∩ BD şi x = OP;
evident că AP = PC şi AP ⊥ BD. Calculândîndouă moduri volumul tetraedrului
50