Revista (format .pdf, 1.0 MB) - RecreaÅ£ii Matematice

More documents

Recommendations

Info

VI.50. Fie 4ABC cu [AC] ≡ [BC], D mijlocul lui [AB], P un punct pe dreapta AB, iarM şi L picioarele perpendicularelor din P pe AC, respectiv BC. Săse arate că [DM] ≡ [DL]. Neculai Roman, Mirceşti (Iaşi) Soluţie. Deosebim trei cazuri, după cumP ∈ [AB], P ∈ [BA \ [AB] sau P ∈ [AB \ [AB]. Vom trata numai prima situaţie, celelalte rezolvându-se asemănător. Ne situăm cu P ∈ [DA], ca în figură şi fie D 0 , D 00 mijloacele segmentelor [PA], respectiv [PB]; demonstrăm că 4DD 0 M ≡ 4LD 00 D. Avem că DD 0 = 1 2 (AB − PA) = 1 2 PB = D00 L, iar DD 00 = 1 2 (AB − PB) = 1 2 PA = D0 M. În plus, D P D m( \DD 0 M) = 2m(\BAC) = 2m(\ABC) = m( \LD 00 D) B L C şi atunci congruenţa de triunghiuri anunţată urmeazăconformLUL.Rezultăcă [DM] ≡ [DL]. Clasa a VII-a VII.46. Să se rezolve în R inecuaţiile: a) x 100 + x 77 + x 50 + x 21 + x 10 + x 5 +1> 0; b) x 100 − x 77 + x 50 − x 21 + x 10 − x 5 +2< 0. Vasile Solcanu, Bogdăneşti (Suceava) Soluţie. a) Fie E (x) =x 100 + x 77 + x 50 + x 21 + x 10 + x 5 +1. Dacă x ≥ 0, evident că E (x) > 0. Pentru x ∈ (−1, 0), avemx 2k > 0 şi x 2k+1 +1 > 0, deci E (x) =x 100 + x ¡ 50 x 27 +1 ¢ + x ¡ 10 x 11 +1 ¢ + x 5 +1 > 0. Dacă x = −1, atunci E (−1) = 1 > 0. Însfârşit, dacă x ∈ (−∞, −1), atuncix 2k+1 +1 < 0, x 2k+1 < 0, deci E (x) =x ¡ 77 x 23 +1 ¢ + x ¡ 21 x 29 +1 ¢ + x ¡ 5 x 5 +1 ¢ +1> 0. Înconcluzie,E (x) > 0, ∀x ∈ R. b) Dacă F (x) =x 100 −x 77 +x 50 −x 21 +x 10 −x 5 +2, atunciF (x) =E (−x)+1 > 0, ∀x ∈ R, deciinecuaţia dată nuaresoluţie în R. VII.47. Să se rezolve în Z 2 ecuaţia u 2 v + uv 2 =2u 2 +2v 2 − 40. Mihai Crăciun, Paşcani Soluţie. Ecuaţia h se scrie echivalent i uv (u + v) = 2(u + v) 2 − 4uv − 40 ⇔ uv (u + v +4) = 2 (u + v) 2 − 16 − 8 ⇔ (u + v +4)(uv − 2u − 2v +8) = −8, iar uv − 2u − 2v +8=(u − 2) (v − 2) + 4. Considerând toate cazurile posibile, găsim în final soluţiile (u, v) ∈ {(2, −8) , (−8, 2)}. VII.48. Dacă a i = i + √ i, ∀i = 1, 2004, precizaţi dacă numărul N = a 1 − a 2 − a 3 + a 4 + a 5 − a 6 − a 7 + a 8 + ···+ a 2001 − a 2002 − a 2003 + a 2004 este negativ, pozitiv sau nul. Viorel Cornea şi Dan Ştefan Marinescu, Hunedoara Soluţie. Avem că N = N 1 + N 2 , unde N 1 =(1− 2 − 3+4)+(5− 6 − 7+8)+···+ (2001 − 2002 − 2003 + 2004) , iar ³√ √ √ √ ³√ √ √ √ ³√ √ √ √ N 2 = 1− 2− 3+ 4´ + 5− 6− 7+ 8´ +···+ 2001− 2002− 2003+ 2004´ . 48 D A M
Evident că N 1 =0şi cum vom arăta că fiecare parantezădinscrierealuiN 2 este negativă, va rezulta că N
Page 1 and 2: Anul VII, Nr. 1 Ianuarie - Iunie 20
Page 3: Anul VII, Nr. 1 Ianuarie - Iunie 20
Page 6 and 7: obţinerea unui doctorat) ceea ce
Page 8 and 9: cele trei mulţimi ale reuniunii pu
Page 10 and 11: Asupra monotoniei unor şiruri Dumi
Page 12 and 13: de unde f 00 (x) > 0, ∀x >0, şi
Page 14 and 15: Demonstraţie. Inegalitatea x n c n
Page 16 and 17: P n n a n i − P n i=1 i=1 a n−1
Page 18 and 19: care, împreună cu (13), implică
Page 20 and 21: Soluţie. Cu notaţiile obişnuite
Page 22 and 23: Asupra unor ecuaţii diofantice pă
Page 24 and 25: Soluţie. Ecuaţia din enunţ seob
Page 26 and 27: Asupra problemei G67 Adrian ZAHARIU
Page 28 and 29: Matematică şi algoritmi Irina MUS
Page 30 and 31: 4. Un colier este format din mărge
Page 32 and 33: Soluţia a III-a (Alexandru Negresc
Page 34 and 35: Avem, în patrulaterul convex DBEC,
Page 36 and 37: Este ¸ evident că M s poate fi pr
Page 38 and 39: Probleme selectate de la Olimpiadel
Page 40 and 41: fie distincte. Deci, presupunerea f
Page 42 and 43: Probleme pentru clasa a VIII-a —
Page 44 and 45: p 1 2 3 4 6 12 19 38 57 76 114 228
Page 46 and 47: |f (x + y + z + t)+cosx +cosy +cosz
Page 48 and 49: Soluţiile problemelor propuse în
Page 50 and 51: ticale prin care trec drumurile cu
Page 54 and 55: Notă. Se poate arăta că relaţia
Page 56 and 57: Soluţie. Conform inegalităţii me
Page 58 and 59: de centru D şi rază a. Searatău
Page 60 and 61: că există n 0 ∈ N ∗ astfel î
Page 62 and 63: Soluţie. 1) Demonstrăm afirmaţia
Page 64 and 65: µ 1 Dacă (p, q) =1,atunci p + 1
Page 66 and 67: Soluţie. Conform inegalităţii lu
Page 68 and 69: C, cerculC 2 tangent la AD 0 , CD 0
Page 70 and 71: Ã √ # 7 − 2 Domeniul valorilor
Page 72 and 73: În conformitate cu (2),soluţiile
Page 74 and 75: g (0) = 0 şi g (x) = x 2n+1 cos (1
Page 76 and 77: P.93. O foaie de hârtie dreptunghi
Page 78 and 79: f (f (f (x)+y) · f (x − f (y)))
Page 80 and 81: √ Z 1 q Z 1 3 1 − (f (x)) 2 dx
Page 82 and 83: G85. Fie A 0 , B 0 , C 0 picioarele
Page 84 and 85: G80. Let A be the set of all sums o
Page 86 and 87: Pagina rezolvitorilor BRAŞOV Liceu
Page 88 and 89: Premii acordate rezolvitorilor ASOC
Page 90: CUPRINS 200 de ani de la naşterea

Revista (format .pdf, 1.0 MB) - RecreaÅ£ii Matematice

Create successful ePaper yourself

Delete template?

Save as template?