Revista (format .pdf, 1.0 MB) - Recreaţii Matematice

|f (x + y + z + t)+cosx +cosy +cosz +cost| < 4, ∀x, y, z, t ∈ R ?
Lucian Tuţescu, Craiova (RecMat - 2/2004)
Clasa a X-a
1. Să sedeterminea ∈ R astfel încât ecuaţia 2 x−1 +2 x2−1 = y2 + ay + a 2
y 2 + a 2 să
aibă soluţii în Z × Z.
Petru Răducanu, Iaşi (RecMat-1/2004)
2. Arătaţi că există o infinitate de numere naturale n pentru care n 2 + n +1
divide n!.
Lucian Tuţescu, Craiova
3. Fie S 1 (O 1 ,r 1 ), S 2 (O 2 ,r 2 ) două sfere,iarA i ∈ S 1 , B i ∈ S 2 , i = 1, 4 puncte
astfel încât A i B i , i = 1, 4 să fie tangente comune la cele două sfere.FieM i mijlocul
segmentului [A i B i ], i = 1, 4. Să se determine un punct P ∈ O 1 O 2 pentru care suma
PM 1 + PM 2 + PM 3 + PM 4 săfieminimă.
Gabriel Popa, Paul Georgescu, Iaşi
4. Există triunghiuri pentru care IH = 2004 şi GH = 2003? (notaţii clasice)
Lucian Lăduncă, Andrei Nedelcu, Iaşi
Clasa a XI-a
1. a) Fie f : R → R funcţie derivabilă peR şi a ∈ R ∗ \ Im f 0 . Săsearatecă
pentru orice funcţii g, h : R → R, ecuaţiile
g (x) =h (x) , (f ◦ g)(x) − ag (x) =(f ◦ h)(x) − ah (x)
au aceleaşi mulţimi de soluţii.
b) Să serezolveecuaţia 2x +sin(sinx) =3sinx.
Silviu Boga, Suceava
2. Se dă cercul (C) şi dreapta (d) tangentă lui. Din punctul M, mobil pe dreapta
(d), se duce tangenta MT la cercul (C). Secere:
a) locul geometric al punctului care împarte segmentul [MT] în raportul k.
b) să sereprezintegraficacestlocpentruk =1.
Gabriel Mîrşanu, Iaşi
3. Fie k, n, p, q ∈ N ∗ , n, p, q impare, iar A ∈ M n (Z). Să se demonstreze că
A 2k + pA + qI n 6= O n .
Romeo Ilie, Braşov
4. Fie k ∈ N ∗ ;săsearatecăecuaţia x n+k − x n − x n−1 − ···− x − 1=0are o
singură soluţie pozitivă (pecareonotăm cu x n ). Să searatecăşirul (x n ) n≥1
este
convergent şi să se afle limita sa.
Dumitru Mihalache, Marian Tetiva, Bârlad (RecMat - 2/2004)
FUNDAŢIA CULTURALĂ "POIANA"(dir. Dan Tiba)
aoferitdouă premii în valoare de câte 1 000 000 lei, pentru cele mai bune teze de
la gimnaziu şi liceu, următorilor elevi:
1. Hurmuz Daniel, cl. a VIII-a, Şcoala nr. 7, Botoşani,
2. Săvescu Cristian, cl.aIX-a,Colegiul Naţional "Unirea", Focşani.
42