Revista (format .pdf, 1.0 MB) - Recreaţii Matematice

Soluţia sistemului (1) în x, y, z este
x = 1 2 (9i +33j − 14k − 20) , y = 1 (9i − 11j − 22) , z =7k − 11j − 3. (3)
2
Expresia lui y din (3) arată că i şi j trebuie să aibă aceeaşi paritate. Ca urmare,
există treicazuri:
1 ◦ i =3şi j =1, caz ce conduce la y = −3, ceeaceesteimposibil;
2 ◦ i =5şi j =1,caredă x =29− 7k, y =6şi z =7k − 14; pentruk =3se
obţine soluţia x =8, y =6, z =7;
3 ◦ i =4şi j =0,caredă x =8− 7k, y =7, z =7k − 3; pentruk =1obţinem
soluţia x =1, y =7, z =4.
Aşadar, sunt posibile două numere divizibile cu 9, 7 şi 11: 800 670 055 046 400 şi
100 740 055 046 400. Pentru a decide care este numărul corect este necesar încă un
test de divizibilitate, şi anume, cu 27. Puterile lui 10 împărţite la 27 pot da resturile
1, 10 sau −8, în mod periodic. Aplicând această observaţie la primul număr, avem
1 · (0+6+5+0+0)+10· (0+4+5+7+0)− 8 · (4+0+0+6+8)=27,
deci acest număr este divizibil cu 27. Relativ la al doilea număr avem
1 · (0+6+5+0+0)+10· (0+4+5+4+0)− 8 · (4+0+0+7+1)=45,
adică acestnumăr nu se divide cu 27 şi trebuie exclus.
În final, singura soluţie valabilă estenumărul 800 670 055 046 400.
4. Un număr x format din cinci cifre diferite şi nenule este divizibil cu 9. Arătaţi
că suma tuturor numerelor de cinci cifre distincte ce se pot forma cu aceste cinci
cifre (inclusiv x) este divizibilă cu2399976.
Soluţie. Fie x = x 1 x 2 x 3 x 4 x 5 .Cifrax 1 este exact de 4! = 24 ori pe prima poziţie.
Adunarea tuturor acestor prime poziţii egale cu x 1 dănumărul 24 · 10000x 1 . Şi pe
poziţia a doua, a treia etc. apare cifra x 1 tot de 24 ori. Cifra x 1 va contribui la suma
totală S cu
24 · 10000 + 24 · 1000 + 24 · 100 + 24 · 10 + 24 · 1=24· 11111 = 266 664.
Aceasta e valabil pentru orice cifră. Deci pentru suma S avem
S = 266664 (x 1 + x 2 + x 3 + x 4 + x 5 ) .
Deoarece x e divizibil cu 9, atuncişi x 1 + x 2 + x 3 + x 4 + x 5 este divizibil cu 9. În
consecinţă, S este divizibilă cu266 664 · 9 = 2 399 976.
5. Găsiţi toate perechile de numere întregi x şi y care sunt soluţii ale ecuaţiei
diofantice 2x 2 +7xy +3y 2 = 228.
Soluţie. Scriem ecuaţia în forma (x +3y)(2x + y) = 228. Dacănumărul 228
este descompus într-un produs de doi factori întregi p · q = 228, atunci putem scrie
sistemul
2x + y = p, x +3y = q
cu soluţia
x = 3p − q , y = 2q − p .
5
5
228 are divizorii 1, 2, 3, 4, 6, 12, 19, 38, 57, 76, 114, 228 şi cei corespunzători cu
semnul minus. Dacă înlocuimp şi q cu aceşti divizori şi calculăm, obţinem
39