Revista (format .pdf, 1.0 MB) - Recreaţii Matematice

Probleme selectate de la Olimpiadele de Matematică
ale Republicii Moldova
Notă. Material trimis pentru publicare Redacţiei de către Dr. Valeriu GUŢU,
Facultatea de Matematicăşi Informatică, Universitatea de Stat din Chişinău.
Enunţuri
h n
i h n
i h n
1. Se consideră şirul (a n ) n∈N ∗, a n = + + ···+ , n ∈ N
1 2 ni
∗ ,unde[x]
este partea întreagă anumărului x. Săsearatecă
a n =2+a n−1 , (1)
dacă şi numai dacă n este un număr prim. (O. R. M. — 1997 )
2. Să sedemonstrezecă, pentru orice numere naturale m, n ≥ 2, celmaimic
dintre numerele n√ m
m şi √ n nu depăşeşte numărul
3√
3.(O. R. M. — 1996 )
3. Polinomul P (X) de grad n ≥ 5, cu coeficienţi întregi, are n rădăcini întregi
distincte α 1 ,α 2 ,...,α n ,undeα 1 =0. Săsegăsească toate rădăcinile întregi ale
polinomului P (P (X)). (O. R. M. — 1997 )
4. Fie triunghiul ABC cu înălţimea CD. Se ştie că AB = 1999, BC = 1998
şi AC = 2000. Cercurile înscrise în triunghiurile ACD şi BCD sunt tangente la
segmentul CD în punctele M şi N respectiv. Să seafle MN.(O. R. M. — 1999 )
5. Fie ABCD un pătrat de latură 1. Pe laturile AB şi CD se iau punctele
interioare X şi Y .FieM punctul de intersecţie a dreptelor XD şi YAşi N punctul
de intersecţie a dreptelor XC şi YB. Pentru ce poziţie a punctelor X şi Y aria
patrulaterului XNY M este maximă? (O. R. M. — 1997 )
6. Doi fraţi au vândut n pui cu câte n lei fiecare. Banii i-au împărţit astfel:
fratele mai mare a luat 10 lei, apoi cel mai mic 10 lei, apoi din nou cel mai mare,
ş. a. m. d. Fratelui mai mic i-a revenit la sfârşit o sumă maimicădecât10 lei. El a
luat acest rest şi încă briceagul fratelui mai mare, ambii acceptând că auobţinut în
final acelaşi câştig. Cât costă briceagul? (O. R. M. — 1996 )
7. Fie n un număr natural astfel încât numărul 2n 2 are 28 de divizori (pozitivi)
distincţi, iar numărul 3n 2 are 24 de divizori distincţi. Câţi divizori distincţi are
numărul 6n 2 ?(O. R. M. — 1999 )
8. Din cubuleţe de latură 1 se construieşte un cub de latură 45. În cubul obţinut
1998 de cubuleţe sunt populate de bacterii. În fiecare secundă bacteriile se extind
în orice alt cubuleţ, care are cel puţin trei feţe comune cu cubuleţele deja populate.
Este posibil ca bacteriile să ocupe toate cubuleţele? (O. R. M. — 1998 )
9. Într-o şcoală primarăruralăînvaţă 20 de copii. Fiecare doi copii au cel puţin
un bunic comun. Să sedemonstrezecăunuldintrebuniciareînaceastăşcoală cel
puţin 14 nepoţi. (O. R. M. — 1996 )
10. În timpul unei bătăliicomunefiecaredintrecei2001 de cocoşi a rupt câte o
pană delaunaltcocoşşi fiecare cocoş arămas fără opană. Se ştie că printre oricare
34