Revista (format .pdf, 1.0 MB) - RecreaÅ£ii Matematice

More documents

Recommendations

Info

Este ¸ evident că M s poate fi privit ca graficul unei funcţii continue f s :[0,s] → ;demonstraţia acestui fapt foloseşte convergenţa uniformă a unui anumit şir · 0, 1 6 de funcţii continue. h Fie atunci F s :[0,s] → 0, π i , F s (t) = R t 56 0 f s (x) ds, pentru0 ≤ t ≤ s. Atunci F s este derivabilă cu derivata continuă, iar deoarece f s (x) ≥ 0, ∀x ∈ [0,s], F s este şi crescătoare. Mai mult, din modul de construcţie a lui M s se observă căpentruorice 0 ≤ t 1
oricăror două nefiind constantă, ceea ce încheie construcţia exemplului. * * * Prezentăm în cele ce urmează, pe scurt, definiţia derivatelor Dini ale unei funcţii reale [2]. Fie f :(a, b) → R şi x 0 ∈ (a, b). Numim derivata Dini superioară (respectiv inferioară) la dreapta aluif în x 0 numărul D + f (x 0 ) = lim sup f (x) − f (x 0) x&x 0 x − x 0 (respectiv D + f (x 0 ) = lim inf f (x) − f (x 0) ). Analog se pot defini derivata Dini x&x 0 x − x 0 superioară, respectivinferioară, la stânga aluif în x 0 , notate D − f (x 0 ),respectiv D − f (x 0 ). Privitor la relaţia dintre derivatele Dini şi derivatele clasice ale unei funcţii într-un punct x 0 ,sepoateobservacădacă D + f (x 0 )=D + f (x 0 ),atuncif are derivată la dreapta în x 0 în sens clasic şi f+ 0 (x 0 )=D + f (x 0 )=D + f (x 0 ),unrezultatasemănător având loc şi pentru derivata la stânga, iar dacă toate cele patru derivate Dini au o valoare comună înx 0 ,atuncif are derivată înx 0 .Esteînsăderemarcatcăoricărei funcţii f i se pot asocia cele patru derivate Dini în x 0 , spre deosebire de derivatele laterale clasice. Indicăm acum extinderile unor rezultate clasice folosind derivate Dini. Teorema 1. Fie f :(a, b) → R continuă pe(a, b). Dacă Df =0pe (a, b) cu excepţia unei mulţimi cel mult numărabile, unde D poate fi orice derivată Dini, atunci f este constantă pe(a, b). Teorema 2. Fie f :(a, b) → R continuă pe(a, b). Dacă Df ≥ 0 pe (a, b) cu excepţia unei mulţimi cel mult numărabile, unde D poate fi orice derivată Dini, atunci f este crescătoare pe (a, b). Teorema 3. Fie f :(a, b) → R continuă pe(a, b) şi x 0 ∈ (a, b). Dacă una dintre derivatele Dini este continuă înx 0 , la fel sunt şi celelalte trei. În acest caz, toate cele patru derivate Dini în x 0 sunt egale, iar f este derivabilă înx 0 . Încheiem cu o extindere a rezultatului privitor la funcţiile derivabile cu aceeaşi derivată peuninterval. Teoema 4. Fie f,g :(a, b) → R continue pe (a, b). Dacă Df şi Dg au valori egale şi finite pe (a, b) cu excepţia unei mulţimi cel mult numărabile, unde D poate fi orice derivată Dini, atunci f şi g diferă printr-o constantă pe(a, b). Bibliografie 1. M. Ganga - Manual de matematică: clasa a XI-a, Mathpress, Ploieşti, 2001. 2. R. Kannan, C. K. Krueger - Advanced Analysis on the Real Line, Springer Verlag, New York, 1996. 3. S. Ruziewicz - Sur les fonctions qui ont la même dérivée et dont la différence n’est pas constante, Fundamenta Mathematicae 1(1920), 148—151 (accesibil şi în <strong>format</strong> electronic la adresa http://matwbn.icm.edu.pl/wyszukiwarka.php). 33
Page 1 and 2: Anul VII, Nr. 1 Ianuarie - Iunie 20
Page 3: Anul VII, Nr. 1 Ianuarie - Iunie 20
Page 6 and 7: obţinerea unui doctorat) ceea ce
Page 8 and 9: cele trei mulţimi ale reuniunii pu
Page 10 and 11: Asupra monotoniei unor şiruri Dumi
Page 12 and 13: de unde f 00 (x) > 0, ∀x >0, şi
Page 14 and 15: Demonstraţie. Inegalitatea x n c n
Page 16 and 17: P n n a n i − P n i=1 i=1 a n−1
Page 18 and 19: care, împreună cu (13), implică
Page 20 and 21: Soluţie. Cu notaţiile obişnuite
Page 22 and 23: Asupra unor ecuaţii diofantice pă
Page 24 and 25: Soluţie. Ecuaţia din enunţ seob
Page 26 and 27: Asupra problemei G67 Adrian ZAHARIU
Page 28 and 29: Matematică şi algoritmi Irina MUS
Page 30 and 31: 4. Un colier este format din mărge
Page 32 and 33: Soluţia a III-a (Alexandru Negresc
Page 34 and 35: Avem, în patrulaterul convex DBEC,
Page 38 and 39: Probleme selectate de la Olimpiadel
Page 40 and 41: fie distincte. Deci, presupunerea f
Page 42 and 43: Probleme pentru clasa a VIII-a —
Page 44 and 45: p 1 2 3 4 6 12 19 38 57 76 114 228
Page 46 and 47: |f (x + y + z + t)+cosx +cosy +cosz
Page 48 and 49: Soluţiile problemelor propuse în
Page 50 and 51: ticale prin care trec drumurile cu
Page 52 and 53: VI.50. Fie 4ABC cu [AC] ≡ [BC], D
Page 54 and 55: Notă. Se poate arăta că relaţia
Page 56 and 57: Soluţie. Conform inegalităţii me
Page 58 and 59: de centru D şi rază a. Searatău
Page 60 and 61: că există n 0 ∈ N ∗ astfel î
Page 62 and 63: Soluţie. 1) Demonstrăm afirmaţia
Page 64 and 65: µ 1 Dacă (p, q) =1,atunci p + 1
Page 66 and 67: Soluţie. Conform inegalităţii lu
Page 68 and 69: C, cerculC 2 tangent la AD 0 , CD 0
Page 70 and 71: Ã √ # 7 − 2 Domeniul valorilor
Page 72 and 73: În conformitate cu (2),soluţiile
Page 74 and 75: g (0) = 0 şi g (x) = x 2n+1 cos (1
Page 76 and 77: P.93. O foaie de hârtie dreptunghi
Page 78 and 79: f (f (f (x)+y) · f (x − f (y)))
Page 80 and 81: √ Z 1 q Z 1 3 1 − (f (x)) 2 dx
Page 82 and 83: G85. Fie A 0 , B 0 , C 0 picioarele
Page 84 and 85: G80. Let A be the set of all sums o
Page 86 and 87:
Pagina rezolvitorilor BRAŞOV Liceu
Page 88 and 89:
Premii acordate rezolvitorilor ASOC
Page 90:
CUPRINS 200 de ani de la naşterea
show all

Revista (format .pdf, 1.0 MB) - RecreaÅ£ii Matematice

You also want an ePaper? Increase the reach of your titles

Delete template?

Save as template?