Revista (format .pdf, 1.0 MB) - Recreaţii Matematice

Asupra unei probleme de concurs
Alexandru NEGRESCU 1
La cea de-a VI-a ediţie a Concursului interjudeţean de matematică "Radu Miron",
care a avut loc la Vaslui în perioada 5 - 7 noiembrie 2004, a fost propusă elevilorde
clasaaX-aurmătoarea problemă:
Dacă A, B, C sunt măsurile unghiurile unui triunghi, atunci
1
sin A + 1
sin B + 1
sin C ≥ 2√ 3.
Precizaţi când are loc egalitatea.
Vă prezentăm în continuare cinci soluţii pentru această inegalitate, lăsându-vă pe
dumneavostră sădecideţi care este cea mai frumoasă.
Soluţia I (prezentată în baremul de corectare). Deoarece sin A, sin B, sin C
sunt strict pozitive, avem
³X
sin A´ µX 1
X 1
≥ 9 sau
sin A
sin A ≥ 9
P . sin A
Conform inegalităţii Cauchy - Buniakowski - Schwarz, avem
³X X
sin A´2
≤ 3 sin 2 A =3 X 1 − cos 2A
= 9 2 2 − 3 X
cos 2A.
2
Cum X
cos 2A =2cos 2 C − 1 − 2cos(A − B)cosC =
= 1 2
h
i
(2 cos C − cos (A − B)) 2 +sin 2 (A − B) − 3 ≥− 3 2 ,
rezultă că
³X 9
sin A´2
≤
2 + 9 4 = 27 sau
4
Combinând rezultatele precedente obţinem P 1
X
sin A ≤
3 √ 3
2 .
sin A ≥ 9 · 2
3 √ 3 =2√ 3,adică inegalitatea
dorită. Se constată uşor că egalitatea are loc dacă şi numai dacă triunghiul
este echilateral.
SoluţiaaII-a(AlexandruNegrescu). Conform teoremei sinusurilor, avem:
sin A =
a etc. Inegalitatea de demonstrat devine
2R
2R
a + 2R b + 2R µ 1
c ≥ 2√ 3 ⇔ R
a + 1 b + 1
≥ √ 3
3 ⇔
c
1
a + 1 b + 1 ≤ √ 3R.
c
µ 1
Cum 3/
a + 1 b + 1
≤ a + b + c = 2p c 3 3 ,rămâne să arătăm că 2p 3 ≤ √ 3R sau
p ≤ 3√ 3
R, ceea ce este o cunoscută inegalitate a lui Mitrinović.
2
1 Elev, cl. a X-a, Colegiul Naţional "August Treboniu Laurean", Botoşani
27