Revista (format .pdf, 1.0 MB) - Recreaţii Matematice

deci numărul elementelor mulţimii I = {i ∈ {1, 2,...,k}; 2 nu divide a i + b i } este
par. Atunci există I = I 1 ∪ I 2 opartiţie a lui I în două clasecuacelaşi număr de
elemente. Fie
⎧
⎪⎨ (a i + b i ) /2, i /∈ I
A i = (a i + b i +1)/2, i ∈ I 1
⎪⎩
(a i + b i − 1) /2, i ∈ I 2
şi B i = a i + b i − A i , i = 1,k.Esteclarcă A i ,B i ∈ {0, 1,...,9}. Avem
kX
kX
A 1 A 2 ...A k +B 1 B 2 ...B k = (A i + B i )10 k−i = (a i + b i )10 k−i = a+n−a = n.
Avem că
dar
kX
A i =
i=1
kX
A i +
i=1
i=1
kX
i=1
a i + b i
2
kX
B i =
i=1
i=1
+ |I 1|
2 − |I 2|
2 = kX
kX
(a i + b i ) ⇒
i=1
i=1
kX
A i =
i=1
a i + b i
,
2
kX
B i ,
deci s(A) =s(n − A), undeA = A 1 A 2 ...A k şi prima parte este rezolvată.
Să presupunem acum că n are una dintre formele interzise şi să demonstrăm că
este nedecompozabil. Să presupunem prin absurd că există a, b ≤ n cu a + b = n
astfel încât s(a) =s(b). Observaţia esenţială estecălaadunareaa + b = n nu se fac
transporturi. Să presupunem prin absurd că totuşi am avea transporturi. Să luăm
cifra cea mai nesemnificativă (cea mai din dreapta) la care se face transport. Din
faptul că este cea mai nesemnificativă cifră cu această proprietate rezultă călacifra
din dreapta sa nu s-a facut transport. Atunci această cifrăesteobtinuţă doar prin
adunarea unei cifre m aluia cu o cifră n aluib, darm + n ≤ 18, iarrestulîmpărţirii
lui m + n la 10 trebuie să fie9, decim + n =9. Rezultă călaaceacifrănus-afăcut
transport, contradicţie. Atunci s(n) =s(a)+s(b) =2s(a), deci s(n) este par, însă
nici unul dintre numerele care intră îndiscuţie nu are suma cifrelor parăşi am ajuns
la o contradicţie, deci n este nedecompozabil.
i=1
1. În "egalitatea"
XXIII
= II
VII
mutaţi un beţişor astfel încât să obţineţi o egalitate aproximativă câtmaibună.
Roxana Căpăţână, elevă, Iaşi
2. Adăugaţi o cifră parăladreaptaunuinumăr, astfel încât să obţineţi un număr
impar.
Gabriel Popa, Iaşi
Notă. Răspunsurile se găsesc la p. 26.
23