Revista (format .pdf, 1.0 MB) - Recreaţii Matematice
Revista (format .pdf, 1.0 MB) - Recreaţii Matematice
Revista (format .pdf, 1.0 MB) - Recreaţii Matematice
You also want an ePaper? Increase the reach of your titles
YUMPU automatically turns print PDFs into web optimized ePapers that Google loves.
Soluţie. Cu notaţiile obişnuite într-un triunghi,<br />
avem AE = AF = p − a, BD = BF = p − b,<br />
CD = CE = p − c, DF =2(p − b)sin B 2 , DE =<br />
2(p − c)sin C . Cu teorema bisectoarei şi teorema<br />
2<br />
F<br />
A<br />
I<br />
P<br />
E<br />
sinusurilor, în 4BIC obţinem BM<br />
MC = BI sin C<br />
CI = 2<br />
sin B .<br />
2<br />
B D M<br />
Aplicând relaţia (R 1 ),avem AF<br />
AB · <strong>MB</strong><br />
MC · AC<br />
AE · PE<br />
PF =1,deunderezultăcă<br />
C<br />
PE<br />
PF = c sin B<br />
p − a · 2<br />
sin C 2<br />
· p − a<br />
b<br />
c sin B<br />
= 2<br />
b sin C 2<br />
c sin C<br />
= 2<br />
b sin B 2<br />
sin 2 B<br />
· 2<br />
sin 2 C 2<br />
=<br />
c sin C<br />
= 2 (p − a)(p − c) ab (p − c)sin C<br />
b sin B · ·<br />
ac (p − a)(p − b) = 2<br />
(p − b)sin B = DE<br />
DF<br />
2<br />
2<br />
şi, conform reciprocei teoremei bisectoarei, (DP este bisectoarea unghiului FDE.<br />
Problema 2. Fie ABC un triunghi şi M,N ∈ (BC), P, Q ∈ (AC), R, S ∈ (AB)<br />
puncte astfel încât BM = CN = CP = AQ = AR = BS = x, unde0 < 2x <<br />
min {AB, BC, CA}. Fie A 1 , B 1 , C 1 puncte aparţinând segmentelor (SP), (RN),<br />
(MQ) astfel încât AA 1 , BB 1 , CC 1 sunt ceviene de rang k în triunghiurile ASP ,<br />
BRN, respectiv CQM. Demonstraţi că drepteleAA 1 , BB 1 , CC 1 sunt concurente.<br />
(Generalizarea unei probleme propuse de Constantin Cocea în RMT - 1/1996, care<br />
se obţine pentru k =0.)<br />
A<br />
Soluţie. Notăm cu A 0 intersecţia dreptelor<br />
AA 1 şi BC. Avem AS = c − x, AP = b − x,<br />
µ k<br />
A 1 S c − x<br />
A 1 P<br />
= şi cu relaţia (R 1 ) obţinem<br />
b − x<br />
S<br />
AS<br />
A 1<br />
P<br />
AB · A0 B<br />
A 0 C · AC<br />
AP · A1P<br />
A 1 S =1,deunderezultăcă<br />
A 0 B<br />
A 0 C = c µ k+1 b − x<br />
.<br />
b c − x<br />
B<br />
A′ C<br />
Consideraţii analoage relativ la punctele B 0 şi C 0 . Concluzia rezultă utilizând<br />
reciproca teoremei lui Ceva.<br />
Problema 3. Laturile (AB), (BC), (AC) ale triunghiului ABC sunt tangente<br />
cercului înscris de centru I în punctele C 1 , A 1 , respectiv B 1 . Dacă B 2 este mijlocul<br />
laturii (AC), demonstraţi că dreptele B 1 I, A 1 C 1 şi BB 2 sunt concurente.<br />
(Olimpiadă, Republica Moldova)<br />
Soluţie. Fie B 0 proiecţia vârfului B pe latura AC. Notăm cu M punctul de<br />
intersecţie al medianei BB 2 cu B 1 I. Deoarece B 1 I ⊥ AC, rezultăcă <strong>MB</strong> 1 k BB 0 şi<br />
16