Revista (format .pdf, 1.0 MB) - Recreaţii Matematice

Rapoarte determinate de o ceviană
şi o secantă într-un triunghi
Titu ZVONARU 1 ,BogdanIONIŢĂ 2
În triunghiul ABC considerăm ceviana AD, cuD ∈ (BC). Dacăosecantăintersectează
laturileAB, AC şi ceviana AD în punctele M, N, respectiv P ,atunci
sunt adevărate următoarele două relaţii:
AM
AB · BD
DC · AC
AN · PN
PM =1 (R 1) ,
AP
PD =
BC · AM
MB · AN
NC
BD · AM AN
+ DC ·
MB NC
(R 2 ) .
Demonstraţie. (1) Fie M 0 , N 0 , B 0 , C 0
A
proiecţiile punctelor M, N, B, respectiv C pe
dreapta AD. Folosind triunghiuri dreptunghice
asemenea, avem:
N
AM
N′
P
AB = MM0
BB 0 ; BD
DC = BB0
CC 0 ;
M ′
M B′
AC
AN = CC0
NN 0 ; PN
PM = NN0
MM 0 ,
de unde, prin înmulţire, obţinem relaţia (R 1 ). B D
C
(2) Notăm AM
MB = x, AN
= y. Dacă
NC C′
MN k BC, atunci AP
PD = AM
MB = AN
NC şi relaţia (R 2) este adevărată.
Dacă x 6= y, fie{S} = MN ∩ BC; presupunem A
că punctul B este situat între S şi C. Cu teorema
lui Menelaus aplicată la4ABC şi transversala
SMN obţinem SB
SC · NC
NA · MA = 1, de
N
MB
SB
M
P
unde rezultă
SB + a = y , adică SB =
ay
x x − y .
Aplicând acum teorema lui Menelaus în 4ABD cu
transversala SMP avem SB
SD · PD
PA · MA
MB =1,adică S B D C
PA
PD = SB
PA
· x şi obţinem
SB + BD PD = BC · xy
BD · x + DC · y ,careestetocmai(R 2).
Prezentăm în continuare câteva aplicaţii ale relaţiilor (R 1 ) şi (R 2 ).
Problema 1. Laturile (AB), (BC), (AC) ale triunghiului ABC sunt tangente
cercului înscris de centru I în punctele D, E, respectiv F . Bisectoarea interioară a
unghiului [BIC intersectează laturaBC în punctul M. Notăm {P } = FE ∩ AM.
Să se demonstreze că (DP este bisectoarea unghiului \FDE. (Propusă deSpania la
Olimpiada Mediteraneană deMatematică în 1998.)
1 Profesor, Comăneşti (Bacău)
2 Profesor, Bucureşti
15